Função inteira

Em análise complexa, função inteira, também chamado de função integral, é uma função de valor complexo que é holomórfica em todo o plano complexo. Exemplos típicos de funções inteiras são polinomiais e a função exponencial, e quaisquer somas finitas, produtos e composições destes, tais como as funções trigonométricas sine e cossena e suas contrapartes hiperbólicas sinh e cosh, bem como derivados e integrais de funções inteiras, como a função de erro. Se uma função inteira $Não.$ tem um raiz em $Não.$, então ${displaystyle f(z)/(z-w)}$, tomando o valor limite em $Não.$, é uma função inteira. Por outro lado, o logaritmo natural, a função recíproca, e a raiz quadrada não são todas funções inteiras, nem podem ser continuadas analíticamente a uma função inteira.

Uma função inteira transcendental é uma função inteira que não é um polinômio.

Assim como funções meromórficas podem ser vistas como uma generalização de frações racionais, funções inteiras podem ser vistas como uma generalização de polinômios. Em particular, se para funções meromórficas pode-se generalizar a fatoração em frações simples (o teorema de Mittag-Leffler sobre a decomposição de uma função meromórfica), então para funções inteiras há uma generalização da fatoração - o teorema de Weierstrass em funções inteiras.

Propriedades

Toda a função $Não.$ pode ser representado como uma série de poder

$${displaystyle f(z)=sum _{n=0}^{infty }a_{n}z^{n}}$$

$${displaystyle lim _{nto infty }|a_{n}|^{frac Não.$$

$${displaystyle lim _{nto infty ? |a_{n}|}{n}}=-infty.}$$

Qualquer série de potências que satisfaça este critério representará uma função inteira.

Se (e somente se) os coeficientes da série de poder são todos reais, então a função evidentemente leva valores reais para argumentos reais, e o valor da função na conjugação complexa de $Não.$ será o conjugado complexo do valor em $Não.$. Tais funções são às vezes chamadas de auto-conjugação (a função conjugada, $Não. F^{*}(z)}$, sendo dada por ${displaystyle {bar {F}}({bar {z}})}$).

Se a parte real de uma função inteira é conhecida em um bairro de um ponto, então ambas as partes reais e imaginárias são conhecidas por todo o plano complexo, até uma constante imaginária. Por exemplo, se a parte real é conhecida em um bairro de zero, então podemos encontrar os coeficientes para $- Sim.$ dos seguintes derivados em relação a uma variável real $Não.$:

$${displaystyle {begin{aligned}operatorname} {Re} a_{n}&={frac {1}{n!}}{frac {d^{n}}{dr^{n}}}operatorname {Re} f(r)&&{text{at }}r=0\operatorname {Im} a_{n}&={frac {1}{n!}}{frac {d^{n}}{dr^{n}}}operatorname {Re} fleft(re^{-{frac {ipi }{2n}}right)&&{text{at }}r=0end{aligned}}}$$

(Se a parte imaginária é conhecida em um bairro, então a função é determinada até uma constante real.) Na verdade, se a parte real é conhecida apenas em um arco de um círculo, então a função é determinada até uma constante imaginária. (Por exemplo, se a parte real é conhecida em parte do círculo unitário, então é conhecida em todo o círculo unitário por extensão analítica, e então os coeficientes da série infinita são determinados a partir dos coeficientes da série Fourier para a parte real no círculo unitário.) Note no entanto que uma função inteira é não determinada pela sua parte real em todas as curvas. Em particular, se a parte real é dada em qualquer curva no plano complexo onde a parte real de alguma outra função inteira é zero, então qualquer múltiplo dessa função pode ser adicionado à função que estamos tentando determinar. Por exemplo, se a curva onde a parte real é conhecida é a linha real, então podemos adicionar $Não.$ vezes qualquer função de auto-conjugação. Se a curva forma um loop, então é determinado pela parte real da função no loop, uma vez que as únicas funções cuja parte real é zero na curva são aquelas que são em toda parte iguais a algum número imaginário.

O teorema da fatoração de Weierstrass afirma que qualquer função inteira pode ser representada por um produto envolvendo seus zeros (ou "raízes").

Todas as funções no plano complexo formam um domínio integral (na verdade, um domínio de Prüfer). Eles também formam uma álgebra associativa unitária comutativa sobre os números complexos.

O teorema de Liouville afirma que qualquer função inteira limitada deve ser constante. O teorema de Liouville pode ser usado para provar elegantemente o teorema fundamental da álgebra.

Como consequência do teorema de Liouville, qualquer função que esteja inteira em toda a esfera de Riemann (plano complexo e o ponto no infinito) é constante. Assim, qualquer função inteira não-constante deve ter uma singularidade no ponto complexo no infinito, ou um pólo para um polinomial ou uma singularidade essencial para uma função inteira transcendental. Especificamente, pelo teorema de Casorati-Weierstrass, para qualquer função transcendental inteira $Não.$ e qualquer complexo $Não.$ há uma sequência ${displaystyle (z_{m})_{min mathbb Não.$ tal que

${displaystyle lim _{mto infty }|z_{m}|=inftyqquad {text{and}}qquad lim _{mto infty }f(z_{m})=w.}$

O pequeno teorema de Picard é um resultado muito mais forte: qualquer função inteira não constante assume cada número complexo como valor, possivelmente com uma única exceção. Quando existe uma exceção, ela é chamada de valor lacunar da função. A possibilidade de um valor lacunar é ilustrada pela função exponencial, que nunca assume o valor 0. Pode-se tomar um ramo adequado do logaritmo de uma função inteira que nunca chega a 0, de modo que também será uma função inteira (segundo ao teorema da fatoração de Weierstrass). O logaritmo atinge todos os números complexos, exceto possivelmente um número, o que implica que a primeira função atingirá qualquer valor diferente de 0 um número infinito de vezes. Da mesma forma, uma função inteira não constante que não atinge um valor específico atingirá todos os outros valores um número infinito de vezes.

O teorema de Liouville é um caso especial da seguinte afirmação:

Crescimento

Funções inteiras podem crescer tão rápido quanto qualquer função crescente: para qualquer função crescente ${displaystyle g:[0,infty)to [0,infty)}$ existe uma função inteira $Não.$ tal que ${displaystyle f(x)>g(|x|)}$ para todos real $Não.$. Tal função $Não.$ pode ser facilmente encontrado do formulário:

$${displaystyle f(z)=c+sum _{k=1}^{infty }left({frac) {z}{k}}right)^{n_{k}}}$$

para uma constante $Não.$ e uma sequência estritamente crescente de inteiros positivos $Não. N_{k}}$. Qualquer sequência define uma função inteira $Não.$, e se os poderes forem escolhidos apropriadamente nós podemos satisfazer a desigualdade ${displaystyle f(x)>g(|x|)}$ para todos real $Não.$. (Por exemplo, segura se alguém escolhe $Não.$ e, para qualquer inteiro ${displaystyle kgeq 1}$ escolhe um mesmo expoente $Não. N_{k}}$ tal que ${displaystyle left({frac {k+1}{k}}right)^{n_{k}}geq g(k+2)}$).

Ordem e tipo

O ordem (no infinito) de uma função inteira $Não.$ é definido usando o limite superior como:

$${displaystyle rho =limsup _{rto infty }{frac {ln left(ln |f|_{inftyB_{r}}right)}{ln r}},}$$

Onde? $Não. B_{r}}$ é o disco de raio $Não.$ e ${displaystyle |f|_{inftyB_{r}}}$ denota a norma suremum de $Não.$ sobre $Não. B_{r}}$. A ordem é um número real não negativo ou infinito (exceto quando $Não.$ para todos $Não.$. Em outras palavras, a ordem de $Não.$ é o infim de todos $Não.$ tal que:

$${displaystyle f(z)=Oleft(exp left(|z|^{m}right)right),quad {text{as }}zto infty.}$$

O exemplo de ${displaystyle f(z)=exp(2z^{2})}$ mostra que isso não significa ${displaystyle f(z)=O(exp(|z|^{m})})}$ se $Não.$ é de ordem $Não.$.

Se ${displaystyle 0$ um também pode definir o tipo:

$${displaystyle sigma =limsup _{rto infty }{frac |f|_{inftyB_{r}}}{r^{rho Sim.$$

Se a ordem for 1 e o tipo for $- Sim.$, diz-se que a função é "de tipo exponencial $- Sim.$". Se é de ordem inferior a 1 diz-se que é de tipo exponencial 0.

Se

$${displaystyle f(z)=sum _{n=0}^{infty }a_{n}z^{n},}$$

$${displaystyle {begin{aligned}rho &=limsup _{nto infty ? n}{-ln |a_{n}|}}\[6pt](erho sigma)^{frac {1}{rho }}&=limsup _{nto infty }n^{frac {1}{rho }}|a_{n}|^{frac {1}{n}}end{aligned}}}$$

Vamos. ${displaystyle f^{(n)}}$ denotar a $Não.$-o derivado de $Não.$, então podemos reformular essas fórmulas em termos dos derivados em qualquer ponto arbitrário $Não. z_{0}}$:

$${displaystyle {begin{aligned}rho &=limsup _{nto infty }{frac {nln n}{nln n-ln |f^{(n)}(z_{0})|}}=left(1-limsup _{nto infty }{frac {ln |f^{(n)}(z_{0})|{nln n}}right)^{-1}\[6pt](rho sigma) }}&=e^{1-{frac {1}{rho }}}limsup _{nto infty }{frac {|f^{(n)}(z_{0})|^{frac {1}{n}}{n^{1-{frac Não. }}}end{aligned}}}$$

O tipo pode ser infinito, como no caso da função gama recíproca, ou zero (consulte o exemplo abaixo em § Ordem 1).

Exemplos

Aqui estão alguns exemplos de funções de várias ordens:

Ordem ρ

Para números positivos arbitrários $- Sim.$ e $- Sim.$ pode-se construir um exemplo de toda uma função da ordem $- Sim.$ e tipo $- Sim.$ usando:

$${displaystyle f(z)=sum _{n=1}^{infty }left({frac {erho sigma }{n}}right)^{frac (n){rho }}z^{n}}$$

Pedido 0

• Não-zero polinômios
• ${displaystyle sum _{n=0}^{infty }2^{-n^{2}}z^{n}}$

Ordem 1/4

$$[displaystyle f({sqrt[{4}]{z}}) ?$$

$${displaystyle f(u)=cos(u)+cosh(u)}$$

Ordem 1/3

$$[displaystyle f({sqrt[{3}]{z}}) ?$$

$${displaystyle f(u)=e^{u}+e^{omega u}+e^{omega ^{2}u}=e^{u}+2e^{-{frac {u}{2}}}cos left({frac {{sqrt {3}}u}{2}}right),quad {text{with }}omega {text{ uma raiz complexa do cubo de 1}}.}$$

Pedido 1/2

$${displaystyle cos left(a{sqrt {z}}right)}$$

$- Sim.$

${displaystyle sigma =|a|}$

Pedido 1

• ${displaystyle exp(az)}$ com $- Sim.$ (${displaystyle sigma =|a|}$)
• ${displaystyle sin(z)}$
• ${displaystyle cosh(z)}$
• a função Bessel ${displaystyle J_{0}(z)}$
• a função gama recíproca ${displaystyle 1/Gamma (z)}$ ($- Sim.$ é infinito)
• ${displaystyle sum _{n=2}^{infty }{frac {z^{n}}{(nln n)^{n}}}quad (sigma =0)}$

Ordem 3/2

• Função aérea $- Sim.$

Pedido 2

• ${displaystyle exp(az^{2})}$ com $- Sim.$ (${displaystyle sigma =|a|}$)
• O Barnes G-função ($- Sim.$ é infinito).

Ordem infinito

• ${displaystyle exp(exp(z)}$

Gênero

Funções inteiras de ordem finita têm a representação canônica de Hadamard:

$${displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}prod _{n=1}^{infty }left(1-{frac {z}{z_{n}}}right)exp left({frac {z}{z_{n}}}+cdots +{frac {1}{p}}left({frac {z}{z_{n}}}right)^{p}right),}$$

Onde? $Não. Z_{k}}$ são as raízes de $Não.$ que não são zero (${displaystyle z_{k}neq} 0$), $Não.$ é a ordem do zero de $Não.$ em $- Sim.$ (o caso $Não.$ ser levado a significar $(0) 0$), $Não. P.$ um polinômio (cujo grau chamaremos $Não.$), e $Não.$ é o menor inteiro não negativo tal que a série

$${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}}$$

converge. O inteiro não negativo ${displaystyle g=max{p,q}}$ é chamado de gênero de toda a função $Não.$.

Se a ordem $- Sim.$ não é um inteiro, então $- Sim.$ é a parte inteira de $- Sim.$. Se a ordem é um inteiro positivo, então há duas possibilidades: ${displaystyle g=rho -1$ ou $- Sim.$.

Por exemplo, $- Sim.$, $- Sim.$ e $- Sim.$ são funções inteiras do gênero $Não. 1$.

Outros exemplos

De acordo com J. E. Littlewood, a função sigma Weierstrass é uma função inteira "típica". Esta afirmação pode ser feita precisa na teoria de funções inteiras aleatórias: o comportamento assintotic de quase todas as funções inteiras é semelhante ao da função sigma. Outros exemplos incluem as integrais Fresnel, a função Jacobi theta e a função Gamma recíproca. A função exponencial e a função de erro são casos especiais da função Mittag-Leffler. De acordo com o teorema fundamental de Paley e Wiener, Fourier transforma de funções (ou distribuições) com suporte limitado são funções inteiras de ordem $Não. 1$ e tipo finito.

Outros exemplos são soluções de equações diferenciais lineares com coeficientes polinomiais. Se o coeficiente na derivada mais alta for constante, então todas as soluções de tais equações são funções inteiras. Por exemplo, a função exponencial, seno, cosseno, funções de Airy e funções de cilindro parabólico surgem dessa maneira. A classe de funções inteiras é fechada com respeito a composições. Isso torna possível estudar a dinâmica de funções inteiras.

Uma função inteira da raiz quadrada de um número complexo é inteira se a função original é mesmo, por exemplo ${displaystyle cos({sqrt {z}})}$.

Se uma sequência de polinômios todas cujas raízes são reais convergem em um bairro da origem para um limite que não é idêntica a zero, então este limite é uma função inteira. Tais funções inteiras formam a classe Laguerre-Pólya, que também pode ser caracterizada em termos do produto Hadamard, ou seja, $Não.$ pertence a esta classe se e somente se na representação Hadamard tudo $Não. Z_{n}}$ são reais, ${displaystyle rho leq 1$e ${displaystyle P(z)=a+bz+cz^{2}}$, onde $Não.$ e $Não.$ são reais, e $- Sim.$. Por exemplo, a sequência de polinômios

$${displaystyle left(1-{frac {(z-d)^{2}}{n}}right)^{n}}$$

converge, como $Não.$ aumentos, para ${displaystyle exp(-(z-d)^{2})}$. Os polinômios

$${displaystyle {frac {1}{2}}left(left(1+{frac {iz}{n}}right)^{n}+left(1-{frac {iz}{n}}right)^{n}right}$$

têm todas as raízes reais, e convergem para ${displaystyle cos(z)}$. Os polinômios

$${displaystyle prod _{m=1}^{n}left(1-{frac {z^{2}}{left(left(m-{frac {1}{2}}right)pi right)^{2}}}right}$$

também convergem para ${displaystyle cos(z)}$, mostrando o acúmulo do produto Hadamard para a cossena.