Função holomorfa

Uma grade retangular (top) e sua imagem sob um mapa conformado f (bottom).

Em matemática, uma função holomórfica é uma função de valor complexo de uma ou mais variáveis complexas que é diferenciável complexa em uma vizinhança de cada ponto em um domínio no espaço de coordenadas complexas Cⁿ. A existência de uma derivada complexa em uma vizinhança é uma condição muito forte: ela implica que uma função holomorfa é infinitamente diferenciável e localmente igual à sua própria série de Taylor (analítica). As funções holomórficas são os objetos centrais de estudo na análise complexa.

Embora o termo função analítica seja frequentemente usado como sinônimo de "função holomórfica", a palavra "analítica" é definido em um sentido mais amplo para denotar qualquer função (real, complexa ou de tipo mais geral) que pode ser escrita como uma série de potências convergentes em uma vizinhança de cada ponto em seu domínio. Que todas as funções holomórficas são funções analíticas complexas, e vice-versa, é um teorema importante na análise complexa.

As funções holomórficas também são às vezes chamadas de funções regulares. Uma função holomórfica cujo domínio é todo o plano complexo é chamada de função inteira. A frase "holomorfo em um ponto z₀" significa não apenas diferenciável em z₀, mas diferenciável em qualquer lugar dentro de alguma vizinhança de z₀ no plano complexo.

Definição

A função f(zangão.) = Não. não é complexo diferencial em zero, porque como mostrado acima, o valor de (f(zangão.) f(0)zangão. - 0) varia dependendo da direção a partir da qual zero é abordado. Ao longo do eixo real, f igual a função g(zangão.) = zangão. e o limite é 1, enquanto ao longo do eixo imaginário, f iguais h(zangão.) = −zangão. e o limite é - Sim.. Outras direções produzem outros limites.

Dada uma função de valor complexo f de uma única variável complexa, a derivada de f em um ponto z₀ em seu domínio é definido como o limite

f?(zangão.0)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.zangão.→ → zangão.0f(zangão.)- Sim. - Sim. f(zangão.0)zangão.- Sim. - Sim. zangão.0.{displaystyle f'(z_{0})=lim _{zto z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) over z-z_{0}}.}

Esta é a mesma definição da derivada de uma função real, exceto que todas as quantidades são complexas. Em particular, o limite é considerado como o número complexo z tende a z₀, e isso significa que o mesmo valor é obtido para qualquer sequência de valores complexos para z que tende a z₀. Se o limite existir, f é considerado diferenciável complexo em z₀. Esse conceito de diferenciabilidade complexa compartilha várias propriedades com a diferenciabilidade real: é linear e obedece à regra do produto, regra do quociente e regra da cadeia.

Uma função é holomorfa em um conjunto aberto U se for diferenciável complexa em cada ponto de U. Uma função f é holomorfa em um ponto z ₀ se for holomórfico em alguma vizinhança de z₀. Uma função é holomorfa em algum conjunto não aberto A se for holomorfa em todos os pontos de A.

Uma função pode ser diferenciada complexa em um ponto, mas não holomórfica neste ponto. Por exemplo, a função f(zangão.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|zangão.|2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =zangão.zangão.? ? {displaystyle f(z)=|z|^{2}=z{overline {z}}} é complexo diferencial em 0, mas não complexo diferenciável em outros lugares (veja as equações de Cauchy-Riemann, abaixo). Então, é não holomorfo em 0.

A relação entre diferenciabilidade real e diferenciabilidade complexa é a seguinte: Se uma função complexa f(x + i y ) = u(x, y) + i v(x, y) é holomórfico, então u e v tem primeiras derivadas parciais em relação a x e y, e satisfaça as equações de Cauchy–Riemann:

∂ ∂ u∂ ∂ x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∂ ∂ v∂ ∂ Sim.e∂ ∂ u∂ ∂ Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. ∂ ∂ v∂ ∂ x{displaystyle {frac {partial u}{partial x}}={frac {partial v}{partial y}}qquad {mbox{and}}qquad {frac {partial u}{partial y}}=-{frac {partial v}{partial x}},}

ou, equivalentemente, o derivado Wirtinger de f com respeito a zangão.? ? ,{displaystyle {bar {z}},} o complexo conjugar zangão.,- Sim. é zero:

∂ ∂ f∂ ∂ zangão.? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0,{displaystyle {partial f}{partial A superlinha {z}}=0,}

que é dizer que, aproximadamente, f é funcionalmente independente de zangão.? ? ,{displaystyle {bar {z}},} o complexo conjugar zangão..

Se a continuidade não for dada, o inverso não é necessariamente verdadeiro. Um inverso simples é que se u e v tem primeiras derivadas parciais contínuas e satisfaz as equações de Cauchy–Riemann, então f é holomórfico. Um inverso mais satisfatório, que é muito mais difícil de provar, é o teorema de Looman–Menchoff: se f é contínuo, u e v têm primeiras derivadas parciais (mas não necessariamente contínuas) e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann, então f é holomórfico.

Terminologia

O termo holomorfo foi introduzido em 1875 por Charles Briot e Jean-Claude Bouquet, dois alunos de Augustin-Louis Cauchy, e deriva do grego ὅλος (hólos) significando "todo", e μορφή (morfoḗ) significando "forma" ou "aparência" ou "tipo", em contraste com o termo meromórfico derivado de μέρος (méros) que significa "parte". Uma função holomórfica se assemelha a uma função inteira ("todo") em um domínio do plano complexo, enquanto uma função meromórfica (definida como holomórfica, exceto em certos pólos isolados), se assemelha a uma fração racional ("parte& #34;) de funções inteiras em um domínio do plano complexo. Em vez disso, Cauchy usou o termo sinético.

Hoje, o termo "função holomórfica" às vezes é preferido à "função analítica". Um resultado importante na análise complexa é que toda função holomorfa é analítica complexa, um fato que não decorre obviamente das definições. O termo "analítico" no entanto, também é amplamente utilizado.

Propriedades

Como a diferenciação complexa é linear e obedece às regras de produto, quociente e cadeia, as somas, produtos e composições de funções holomórficas são holomórficas, e o quociente de duas funções holomórficas é holomórfico sempre que o denominador não é zero. Ou seja, se as funções f e g são holomórficos em um domínio U, então f + g, f − g, f g e f ∘ g. Além disso, f / g é holomórfico se g não tem zeros em U, ou é meromorfo caso contrário.

Se identificarmos C com o plano real R² , então as funções holomórficas coincidem com as funções de duas variáveis reais com primeiras derivadas contínuas que resolvem as equações de Cauchy-Riemann, um conjunto de duas equações diferenciais parciais.

Toda função holomórfica pode ser separada em suas partes reais e imaginárias f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y), e cada um deles é uma função harmônica em R² (cada um satisfaz a equação de Laplace ∇² u = ∇ ² v = 0), com v o conjugado harmônico de u. Por outro lado, cada função harmônica u(x, y) em um domínio simplesmente conectado Ω ⊂ R² é a parte real de uma função holomórfica: If v é o conjugado harmônico de u, único até uma constante, então f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) é holomórfico.

O teorema da integral de Cauchy implica que a integral de contorno de toda função holomórfica ao longo de um loop desaparece:

:: γ γ f(zangão.)Dzangão.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0.{displaystyle oint _{gamma }f(z),dz=0.}

Aqui γ é um caminho retificável em um domínio complexo simplesmente conectado U ⊂ C cujo ponto inicial é igual ao seu ponto final, e f: U → C é uma função holomórfica.

A fórmula integral de Cauchy afirma que toda função holomórfica dentro de um disco é completamente determinada por seus valores no limite do disco. Além disso: Suponha que U ⊂ C seja um domínio complexo, f: U → C é uma função holomórfica e o disco fechado D = {z: |z − z ₀| ≤ r} está completamente contido em U. Seja γ o círculo que forma o limite de D. Então, para cada a no interior de D:

f(um)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12D D Eu...:: γ γ f(zangão.)zangão.- Sim. - Sim. umDzangão.{displaystyle f(a)={frac {1}{2pi i}}oint _{gamma }{frac {f(z)}{z-a}},dz}

onde a integral de contorno é calculada no sentido anti-horário.

A derivada f′(a ) pode ser escrito como uma integral de contorno usando a fórmula de diferenciação de Cauchy:

f?(um)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12D D Eu...:: γ γ f(zangão.)(zangão.- Sim. - Sim. um)2Dzangão.,{displaystyle f'(a)={1 over 2pi i}oint _{gamma }{f(z) over (z-a)^{2}},dz,}

para qualquer loop simples girando positivamente uma vez ao redor de a, e

f?(um)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.γ γ → → umEu...2A(γ γ ):: γ γ f(zangão.)Dzangão.? ? ,{displaystyle f'(a)=lim limits _{gamma to a}{frac {i}{2{mathcal {A}}(gamma)}}oint _{gamma }f(z),d{bar {z}},}

para loops positivos infinitesimais γ em torno de a.

Em regiões onde a primeira derivada não é zero, as funções holomórficas são conformes: elas preservam os ângulos e a forma (mas não o tamanho) de pequenas figuras.

Toda função holomórfica é analítica. Ou seja, uma função holomórfica f tem derivadas de todas as ordens em cada ponto a em seu domínio, e coincide com sua própria série de Taylor em a em uma vizinhança de a. De fato, f coincide com sua série de Taylor em a em qualquer disco centrado nesse ponto e dentro do domínio da função.

Do ponto de vista algébrico, o conjunto de funções holomorfas em um conjunto aberto é um anel comutativo e um espaço vetorial complexo. Além disso, o conjunto de funções holomórficas em um conjunto aberto U é um domínio integral se e somente se o conjunto aberto U está conectado. De fato, trata-se de um espaço vetorial topológico localmente convexo, sendo as seminormas a supremacia em subconjuntos compactos.

De uma perspectiva geométrica, uma função f é holomórfica em z₀ se e somente se sua derivada exterior df em uma vizinhança U de z₀ é igual a f′(z ) dz para alguma função contínua f′. Segue-se de

0= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =D2f= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =D(f? ? Dzangão.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Df? ? ∧ ∧ Dzangão.{displaystyle textstyle 0=d^{2}f=d(f^{prime }dz)=df^{prime }wedge dz}

que df′ também é proporcional a dz, implicando que a derivada f′ é em si holomórfico e, portanto, f é infinitamente diferenciável. Da mesma forma, d(f dz) = f′ dz ∧ dz = 0 implica que qualquer função f que é holomórfico na região simplesmente conectada U também é integrável em U.

(Para um caminho γ a partir de zangão.₀ para zangão. deitado inteiramente em U, definir Fγ γ (zangão.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =F0+∫ ∫ γ γ fDzangão.;F_{gamma }(z)=F_{0}+int _{gamma }f,dz;} à luz do teorema da curva do Jordão e do teorema de Stokes generalizado, F_γ(zangão.) é independente da escolha particular do caminho γe assim F(zangão.) é uma função bem definida em U tendo em conta que F(zangão.₀) = F₀ e DF = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = F.)

Exemplos

Todas as funções polinomiais em zangão. com coeficientes complexos são funções inteiras (holomórfica em todo o plano complexo C), e assim são a função exponencial exp zangão. e as funções trigonométricas e⁡ ⁡ zangão.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12(exp⁡ ⁡ (Eu...zangão.)+exp⁡ ⁡ (- Sim. - Sim. Eu...zangão.))- Sim. {1}{2}}{bigl (}exp(iz)+exp(-iz){bigr)}} e pecado⁡ ⁡ zangão.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. 12Eu...(exp⁡ ⁡ (Eu...zangão.)- Sim. - Sim. exp⁡ ⁡ (- Sim. - Sim. Eu...zangão.))- Sim. Não. {1}{2}}i{bigl (}exp(iz)-exp(-iz){bigr)}} (cf. fórmula de Euler). O ramo principal da função logaritmo complexo log zangão. é holomorfo no domínio C ∖zangão. ∈ R: zangão. ≤ 0}. A função raiz quadrada pode ser definida como zangão.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =exp⁡ ⁡ (12log⁡ ⁡ zangão.){textstyle {sqrt {z}}=exp {bigl (}{tfrac {1}{2}}log z{bigr)}} e é, portanto, holomórfico onde quer que o logaritmo log zangão. É. A função recíproca 1 /zangão. é holomorfo em C ∖. (A função recíproca, e qualquer outra função racional, é meromórfica em C.)

Como consequência das equações de Cauchy-Riemann, qualquer função holomórfica de valor real deve ser constante. Portanto, o valor absoluto |zangão.|, o argumento Arg (zangão.), a parte real Re (zangão.) e a parte imaginária Im (zangão.) não são holomorfos. Outro exemplo típico de uma função contínua que não é holomórfica é o conjugado complexo zangão.? ? .{displaystyle {bar {z}}} (O conjugado complexo é antiholomórfico.)

Várias variáveis

A definição de uma função holomórfica generaliza-se a várias variáveis complexas de forma direta. Uma função f:(zangão.1,zangão.2,...... ,zangão.n)↦ ↦ f(zangão.1,zangão.2,...... ,zangão.n){displaystyle f:(z_{1},z_{2},ldotsz_{n})mapsto f(z_{1},z_{2},ldotsz_{n})} em n variáveis complexas é Analista em um ponto p se existe um bairro de p em que f é igual a uma série de energia convergente em n variáveis complexas; a função f o holomorphic em um subconjunto aberto U de Cⁿ se for analítico em cada ponto em U. O lema de Osgood mostra (usando a fórmula integral Cauchy multivariada) que, para uma função contínua f, isto é equivalente a f ser holomorfo em cada variável separadamente (significando que se algum n - 1 coordenadas são fixas, então a restrição de f é uma função holomórfica da coordenada restante). O teorema de Hartogs muito mais profundo prova que a suposição de continuidade é desnecessário: f é holomorphic se e somente se for holomorphic em cada variável separadamente.

Em geral, uma função de várias variáveis complexas que é integrável ao quadrado sobre todo subconjunto compacto de seu domínio é analítica se e somente se satisfaz as equações de Cauchy-Riemann no sentido de distribuições.

As funções de várias variáveis complexas são, em alguns aspectos básicos, mais complicadas do que as funções de uma única variável complexa. Por exemplo, a região de convergência de uma série de potências não é necessariamente uma bola aberta; essas regiões são domínios de Reinhardt logaritmicamente convexos, cujo exemplo mais simples é um polidisco. No entanto, eles também vêm com algumas restrições fundamentais. Ao contrário das funções de uma única variável complexa, os domínios possíveis nos quais existem funções holomórficas que não podem ser estendidas para domínios maiores são altamente limitados. Tal conjunto é chamado de domínio de holomorfia.

Uma forma diferencial complexa (p, 0) α é holomórfica se e somente se sua derivada Dolbeault anti-holomórfica é zero: ∂α = 0.

Extensão para análise funcional

O conceito de função holomórfica pode ser estendido aos espaços de dimensão infinita da análise funcional. Por exemplo, a derivada de Fréchet ou Gateaux pode ser usada para definir uma noção de função holomórfica em um espaço de Banach sobre o corpo de números complexos.