Função de distribuição cumulativa

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Probabilidade de que a variável aleatória X é menor ou igual a x

Função de distribuição cumulativa para distribuição exponencial

Função de distribuição cumulativa para distribuição normal

Em teoria e estatísticas de probabilidade, o função de distribuição cumulativa (CDF) de uma variável aleatória real $X$ , ou apenas função de distribuição de $X$ , avaliado em $x$ , é a probabilidade que $X$ terá um valor inferior ou igual a $x$ .

Cada distribuição de probabilidade suportada nos números reais, discreta ou "misturada", bem como contínua, é identificada exclusivamente por uma função crescente monotone contínua direita (uma função càdlàg) ${displaystyle F:mathbb {R} rightarrow [0,1]}$ satisfazendo ${displaystyle lim _{xrightarrow -infty }F(x)=0}$ e ${displaystyle lim _{xrightarrow infty }F(x)=1}$ .

No caso de uma distribuição contínua escalar, ele dá a área sob a função de densidade de probabilidade de menos infinito a $x$ . Também são utilizadas funções de distribuição cumulativa para especificar a distribuição de variáveis aleatórias multivariadas.

Definição

A função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória real $X$ é a função dada por

{displaystyle F_{X}(x)=operatorname {P} (Xleq x)}

(Eq.1)

onde o lado direito representa a probabilidade de que a variável aleatória $X$ assume um valor inferior ou igual a $x$ .

A probabilidade de $X$ reside no intervalo semi-fechado $(a,b]$ , onde $<math alttext="{displaystyle a um<b)- Sim. <img alt="a$ , é, portanto,

<math alttext="{displaystyle operatorname {P} (aP⁡ ⁡ (um<X≤ ≤ b))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =FX(b))- Sim. - Sim. FX(um){displaystyle operatorname} {P} (a<Xleq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}<img alt="{displaystyle operatorname {P} (a

(Eq.2)

Na definição acima, o "menor ou igual a" O sinal, "≤", é uma convenção, não universalmente usada (por exemplo, a literatura húngara usa "<"), mas a distinção é importante para distribuições discretas. O uso adequado das tabelas das distribuições binomial e de Poisson depende dessa convenção. Além disso, fórmulas importantes, como a fórmula de inversão de Paul Lévy para a função característica, também dependem do "menor que ou igual" formulação.

Se tratar várias variáveis aleatórias ${displaystyle X,Y,ldots }$ etc. as letras correspondentes são usadas como subscrições enquanto, se tratando apenas uma, o subscrito é geralmente omitido. É convencional usar uma capital $F$ para uma função de distribuição cumulativa, em contraste com a minúscula $f$ usado para funções de densidade de probabilidade e funções de massa de probabilidade. Isso se aplica ao discutir distribuições gerais: algumas distribuições específicas têm sua própria notação convencional, por exemplo, a distribuição normal usa $Phi$ e $phi$ em vez de $F$ e $f$ , respectivamente.

A função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua pode ser determinada a partir da função de distribuição cumulativa diferenciando usando o teorema Fundamental de Calculus; ou seja, dada $F(x)$ ,

{displaystyle f(x)={frac {dF(x)}{dx}}}

O CDF de uma variável aleatória contínua $X$ pode ser expressa como a integral de sua função de densidade de probabilidade $f_X$ da seguinte forma:

{displaystyle F_{X}(x)=int _{-infty }^{x}f_{X}(t),dt.}

No caso de uma variável aleatória $X$ que tem distribuição com um componente discreto em um valor $b$ ,

{displaystyle operatorname {P} (X=b)=F_{X}(b)-lim _{xto b^{-}}F_{X}(x).}

Se $F_{X}$ é contínuo em $b$ , isto equivale a zero e não há nenhum componente discreto em $b$ .

Propriedades

De cima para baixo, a função de distribuição cumulativa de uma distribuição de probabilidade discreta, distribuição de probabilidade contínua e uma distribuição que tem uma parte contínua e uma parte discreta.

Exemplo de uma função de distribuição cumulativa com um conjunto contável infinita de descontinuidades.

Cada função de distribuição cumulativa $F_{X}$ é não crescente e contínuo direito, o que o torna uma função càdlàg. Além disso,

{displaystyle lim _{xto -infty }F_{X}(x)=0,quad lim _{xto +infty }F_{X}(x)=1.}

Toda função com essas quatro propriedades é um CDF, ou seja, para cada uma dessas funções, uma variável aleatória pode ser definida de modo que a função seja a função de distribuição cumulativa dessa variável aleatória.

Se $X$ é uma variável aleatória puramente discreta, então atinge valores $x_{1},x_{2},ldots$ com probabilidade ${displaystyle p_{i}=p(x_{i})}$ , e o CDF de $X$ será descontinuado nos pontos $x_{i}$ :

{displaystyle F_{X}(x)=operatorname {P} (Xleq x)=sum _{x_{i}leq x}operatorname {P} (X=x_{i})=sum _{x_{i}leq x}p(x_{i}).}

Se o CDF $F_{X}$ de uma variável aleatória real valorizada $X$ é contínuo, então $X$ é uma variável aleatória contínua; se além disso $F_{X}$ é absolutamente contínuo, então existe uma função Lebesgue-integrável $f_{X}(x)$ tal que

<math alttext="{displaystyle F_{X}(b)-F_{X}(a)=operatorname {P} (aFX(b))- Sim. - Sim. FX(um)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =P⁡ ⁡ (um<X≤ ≤ b))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ umb)fX(x)Dx(b)-F_{X}(a)=operatorname {P} (a<Xleq b)=int _{a}^{b}f_{X}(x),dx}<img alt="{displaystyle F_{X}(b)-F_{X}(a)=operatorname {P} (a

$a$ $b$ $f_X$ $F_{X}$ $X$
Se $X$ tem L1-norm finito, ou seja, a expectativa de $|X|$ é finito, então a expectativa é dada pela integral de Riemann-Stieltjes
${displaystyle mathbb {E} [X]=int _{-infty }^{infty }tdF_{X}(t)}$ $xgeq 0$

enredo CDF com dois retângulos vermelhos, ilustrando ${displaystyle x(1-F_{X}(x))leq int _{x}^{infty }tdF_{X}(t)}$ e ${displaystyle xF_{X}(-x)leq int _{-infty }^{-x}(-t)dF_{X}(t)}$ .
${displaystyle {begin{aligned}x(1-F_{X}(x))&leq int _{x}^{infty }tdF_{X}(t)\xF_{X}(-x)&leq int _{-infty }^{-x}(-t)dF_{X}(t)end{aligned}}}$
Em particular, temos
${displaystyle lim _{xto -infty }xF(x)=0,quad lim _{xto +infty }x(1-F(x))=0.}$
Exemplos
Como um exemplo, suponha $X$ é uniformemente distribuído no intervalo da unidade $[0,1]$ .
Então o CDF de $X$ é dado por
$<math alttext="{displaystyle F_{X}(x)={begin{cases}0&: x1end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">FX(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(0:x<0x:0≤ ≤ x≤ ≤ 11:x>1{displaystyle F_{X}(x)={begin{cases}0&: x1end{cases}}}<img alt="{displaystyle F_{X}(x)={begin{cases}0&: x1end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66226d857103ccdb14332fb0bc1c4c1babc614d9" style="vertical-align: -3.671ex; width:27.558ex; height:8.509ex;"/>$
Suponha que em vez disso $X$ leva apenas os valores discretos 0 e 1, com probabilidade igual.
Então o CDF de $X$ é dado por
$<math alttext="{displaystyle F_{X}(x)={begin{cases}0&: x<0\1/2&: 0leq xFX(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(0:x<01/2:0≤ ≤ x<11:x≥ ≥ 1Não. F_{X}(x)={begin{cases}0&: x<01/2&: 0leq x<11&: xgeq 1end{cases}}}<img alt="{displaystyle F_{X}(x)={begin{cases}0&: x<0\1/2&: 0leq x$
Suponha $X$ é distribuído exponencialmente. Então o CDF de $X$ é dado por
$<math alttext="{displaystyle F_{X}(x;lambda)={begin{cases}1-e^{-lambda x}&xgeq 0,\0&xFX(x;λ λ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(1- Sim. - Sim. e- Sim. - Sim. λ λ xx≥ ≥ 0,0x<0.{displaystyle F_{X}(x;lambda)={begin{cases}1-e^{-lambda x}&xgeq 0,&x<0.end{cases}}}<img alt="{displaystyle F_{X}(x;lambda)={begin{cases}1-e^{-lambda x}&xgeq 0,\0&x$
Aqui λ > 0 é o parâmetro da distribuição, geralmente chamado de parâmetro de taxa.
Suponha $X$ é distribuído normal. Então o CDF de $X$ é dado por
${displaystyle F(x;musigma)={frac {1}{sigma {sqrt {2pi }}}}int _{-infty }^{x}exp left(-{frac {(t-mu)^{2}}{2sigma ^{2}}}right),dt.}$
Aqui o parâmetro $mu$ é a média ou expectativa da distribuição; e $sigma$ é seu desvio padrão.
Uma tabela do CDF da distribuição normal padrão é frequentemente usada em aplicações estatísticas, onde é chamada de tabela normal padrão, tabela normal unitária ou tabela Z.
Suponha $X$ é distribuído binomial. Então o CDF de $X$ é dado por
${displaystyle F(k;n,p)=Pr(Xleq k)=sum _{i=0}^{lfloor krfloor }{n choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}}$
Aqui. $p$ é a probabilidade de sucesso e a função denota a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos em uma sequência de $n$ experiências independentes, e $lfloor krfloor$ é o "floor" abaixo $k$ , ou seja, o maior inteiro menos ou igual a $k$ .
Funções derivadas
Função de distribuição cumulativa complementar (distribuição de cauda)
Às vezes, é útil estudar a questão oposta e perguntar com que frequência a variável aleatória está acima de um determinado nível. Isso é chamado de função de distribuição cumulativa complementar (ccdf) ou simplesmente a distribuição de cauda ou excedência e é definido como
$x)=1-F_{X}(x).}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">F? ? X(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =P⁡ ⁡ (X>x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1- Sim. - Sim. FX(x).{displaystyle {bar {F}}_{X}(x)=operatorname {P} (X>x)=1-F_{X}(x). ?x)=1-F_{X}(x).}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15665a3d46120b6740ccce9d8e32ec9458c37a8" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.489ex; height:3.009ex;"/>$
Isso tem aplicações em testes estatísticos de hipóteses, por exemplo, porque o valor p unilateral é a probabilidade de observar uma estatística de teste pelo menos tão extremo quanto o observado. Assim, desde que o teste estatístico, T, tem uma distribuição contínua, o valor p unilateral é simplesmente dado pelo ccdf: para um valor observado $t$ da estatística de teste
$t)=1-F_{T}(t).}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =P⁡ ⁡ (T≥ ≥ ))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =P⁡ ⁡ (T>))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1- Sim. - Sim. FT()).{displaystyle p=operatorname} {P} (Tgeq t)=operatorname {P} (T>t)=1-F_{T}(t). ?t)=1-F_{T}(t).}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779dc6f3668f7d0ffab59059e3edab09fef014b5" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:38.67ex; height:2.843ex;"/>$
Na análise de sobrevivência, ${displaystyle {bar {F}}_{X}(x)}$ é chamado de função de sobrevivência e denotado $S(x)$ , enquanto o termo função de confiabilidade é comum em engenharia.
Propriedades
Para uma variável aleatória contínua não negativa com expectativa, a desigualdade de Markov afirma que ${displaystyle {bar {F}}_{X}(x)leq {frac {operatorname {E} (X)}{x}}.}$
Como ${displaystyle xto infty{bar {F}}_{X}(x)to 0}$ e de facto ${displaystyle {bar {F}}_{X}(x)=o(1/x)}$ desde que $operatorname {E}(X)$ é finito.
Prova:
Assumindo $X$ tem uma função de densidade $f_X$ , para qualquer $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">c>0- Sim. 0 " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba126f626d61752f62eaacaf11761a54de4dc84" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.268ex; height:2.176ex;"/>$ ${displaystyle operatorname {E} (X)=int _{0}^{infty }xf_{X}(x),dxgeq int _{0}^{c}xf_{X}(x),dx+cint _{c}^{infty }f_{X}(x),dx}$ Então, em reconhecer ${displaystyle {bar {F}}_{X}(c)=int _{c}^{infty }f_{X}(x),dx}$ e termos de rearranjo, ${displaystyle 0leq c{bar {F}}_{X}(c)leq operatorname {E} (X)-int _{0}^{c}xf_{X}(x),dxto 0{text{ as }}cto infty }$ como reivindicado.
Para uma variável aleatória com expectativa, ${displaystyle operatorname {E} (X)=int _{0}^{infty }{bar {F}}_{X}(x),dx-int _{-infty }^{0}F_{X}(x),dx}$ e para uma variável aleatória não negativa o segundo termo é 0.
Se a variável aleatória só pode tomar valores inteiros não negativos, isso equivale a ${displaystyle operatorname {E} (X)=sum _{n=0}^{infty }{bar {F}}_{X}(n).}$
Distribuição cumulativa dobrada

Exemplo da distribuição cumulativa dobrada para uma função de distribuição normal com um valor esperado de 0 e um desvio padrão de 1.
Enquanto o enredo de uma distribuição cumulativa $F$ muitas vezes tem uma forma semelhante a S, uma ilustração alternativa é o distribuição cumulativa dobrada ou lote de montanha, que dobra a metade superior do gráfico sobre, que é
$0.5}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Ffold(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =F(x)1(F(x)≤ ≤ 0,5?+(1- Sim. - Sim. F(x))1(F(x)>0,5?{displaystyle F_{text{fold}}(x)=F(x)1_{{F(x)leq 0.5}}+(1-F(x)1_{{F(x)>0.5}}}0.5}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64fb171fc50495773d22a592a91603af18b6170b" style="vertical-align: -1.171ex; width:48.811ex; height:3.176ex;"/>$
Onde? ${displaystyle 1_{{A}}}$ denota a função indicadora e o segundo summand é a função sobrevivente, assim usando duas escalas, uma para o upslope e outra para o downslope. Esta forma de ilustração enfatiza a mediana, dispersão (especificamente, o desvio absoluto médio da mediana) e cegueira da distribuição ou dos resultados empíricos.
Função de distribuição inversa (função quantílica)
Se o CDF F é estritamente crescente e contínua, então $F^{-1}(p),pin [0,1],$ é o número real único $x$ tal que $F(x)=p$ . Isso define o função de distribuição inversa ou função quantil.
Algumas distribuições não têm um inverso único (por exemplo, se $f_{X}(x)=0$ para todos $<math alttext="{displaystyle a<x um<x<b)- Sim. <img alt="a<x$ , causando $F_{X}$ para ser constante). Neste caso, pode-se usar o função de distribuição inversa generalizada, que é definido como
${displaystyle F^{-1}(p)=inf{xin mathbb {R}:F(x)geq p},quad forall pin [0,1].}$
Exemplo 1: A mediana é $F^{-1}(0.5)$ .
Exemplo 2: Colocar $tau =F^{-1}(0.95)$ . Depois ligamos. $tau$ o percentil 95.
Algumas propriedades úteis do cdf inverso (que também são preservadas na definição da função de distribuição inversa generalizada) são:
$F^{-1}$ não é crescente
$F^{-1}(F(x))leq x$
$F(F^{-1}(p))geq p$
$F^{-1}(p)leq x$ se e somente se ${displaystyle pleq F(x)}$
Se $Y$ tem um $U[0,1]$ distribuição em seguida $F^{-1}(Y)$ é distribuído como $F$ . Isso é usado na geração de números aleatórios usando o método inverso de amostragem.
Se ${X_{alpha }}$ é uma coleção de independente $F$ -variáveis aleatórias distribuídas definidas no mesmo espaço amostral, existem variáveis aleatórias $Y_{alpha }$ tal que $Y_{alpha }$ é distribuído como $U[0,1]$ e $F^{-1}(Y_{alpha })=X_{alpha }$ com probabilidade 1 para todos $alpha$ .
O inverso do cdf pode ser usado para traduzir os resultados obtidos para a distribuição uniforme para outras distribuições.
Função de distribuição empírica
A função de distribuição empírica é uma estimativa da função de distribuição cumulativa que gerou os pontos na amostra. Converge com probabilidade 1 para essa distribuição subjacente. Existem vários resultados para quantificar a taxa de convergência da função de distribuição empírica para a função de distribuição cumulativa subjacente.
Caso multivariado
Definição para duas variáveis aleatórias
Ao lidar simultaneamente com mais de uma variável aleatória função de distribuição cumulativa conjunta também pode ser definido. Por exemplo, para um par de variáveis aleatórias $X,Y$ , o CDF conjunto ${displaystyle F_{XY}}$ é dado por
${displaystyle F_{X,Y}(x,y)=operatorname {P} (Xleq x,Yleq y)}$
(Eq.3)
onde o lado direito representa a probabilidade de que a variável aleatória $X$ assume um valor inferior ou igual a $x$ e que $Y$ assume um valor inferior ou igual a $y$ .
Exemplo de função de distribuição cumulativa conjunta:
Para duas variáveis contínuas X e Y:
$<math alttext="{displaystyle Pr(a<X<b{text{ and }}c<YPr(um<X<b)ec<Y<D)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ umb)∫ ∫ cDf(x,Sim.)DSim.Dx;{displaystyle Pr(a<X<b{text{ and }}c<Y<d)=int _{a}^{b}int _{c}^{d}f(x,y),dy,dx;}<img alt="{displaystyle Pr(a<X<b{text{ and }}c<Y$
Para duas variáveis aleatórias discretas, é benéfico gerar uma tabela de probabilidades e abordar a probabilidade cumulativa para cada intervalo potencial de X e Y, e aqui está o exemplo:
dada a função de massa de probabilidade conjunta em forma de tabela, determine a função de distribuição cumulativa conjunta.
Y = 2 Y = 4 Y = 6 Y = 8
X = 1 0 0.1 0 0.1
X = 3 0 0 0,2 0
X = 5 0 0 0 0,15
X = 7 0 0 0,15 0
Solução: usando a tabela de probabilidades fornecida para cada intervalo potencial de X e Y, a função de distribuição cumulativa conjunta pode ser construída em forma de tabela:
Y < 2 2 ≤ Y < 4 4 ≤ Y < 6 6 ≤ Y < 8 Y ≥ 8
X < 1 0 0 0 0 0
1 ≤ X < 3 0 0 0.1 0.1 0,2
3 ≤ X < 5 0 0 0.1 0 0
5 ≤ X < 7 0 0 0 0.6 0,85
X ≥ 7 0 0 0 0,75 1

Definição para mais de duas variáveis aleatórias
Para $N$ variáveis aleatórias $X_1,ldots,X_N$ , o CDF conjunto ${displaystyle F_{X_{1},ldotsX_{N}}}$ é dado por
${displaystyle F_{X_{1},ldotsX_{N}}(x_{1},ldotsx_{N})=operatorname {P} (X_{1}leq x_{1},ldotsX_{N}leq x_{N})}$
(Eq.4)
Interpretação $N$ variáveis aleatórias como um vetor aleatório ${displaystyle mathbf {X} =(X_{1},ldotsX_{N})^{T}}$ produz uma notação mais curta:
${displaystyle F_{mathbf {X} }(mathbf {x})=operatorname {P} (X_{1}leq x_{1},ldotsX_{N}leq x_{N})}$
Propriedades
Todo CDF multivariado é:
Monotonicamente não crescente para cada uma de suas variáveis,
Contínua direita em cada uma de suas variáveis,
${displaystyle 0leq F_{X_{1}ldots X_{n}}(x_{1},ldotsx_{n})leq 1,}$
${displaystyle lim _{x_{1},ldotsx_{n}rightarrow +infty }F_{X_{1}ldots X_{n}}(x_{1},ldotsx_{n})=1{text{ and }}lim _{x_{i}rightarrow -infty }F_{X_{1}ldots X_{n}}(x_{1},ldotsx_{n})=0,{text{for all }}i.}$
Nem todas as funções que satisfazem as quatro propriedades acima são um CDF multivariado, diferentemente no caso de dimensão única. Por exemplo, deixe $F(x,y)=0$ para $<math alttext="{displaystyle xx<0- Sim. <img alt="x$ ou $<math alttext="{displaystyle x+yx+Sim.<1{displaystyle x+y<1}} <img alt="{displaystyle x+y$ ou $<math alttext="{displaystyle ySim.<0- Sim. <img alt="{displaystyle y$ e deixar ${displaystyle F(x,y)=1}$ Caso contrário. É fácil ver que as condições acima são atendidas, e ainda $F$ não é um CDF desde que se fosse, então $<math alttext="{textstyle operatorname {P} left({frac {1}{3}}<Xleq 1,{frac {1}{3}}P⁡ ⁡ (13<X≤ ≤ 1,13<Y≤ ≤ 1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. 1Nome do operador {P} left({frac {1}{3}}<Xleq 1,{frac {1}{3}}<Yleq 1right)=-1}<img alt="{textstyle operatorname {P} left({frac {1}{3}}<Xleq 1,{frac {1}{3}}$ como explicado abaixo.
A probabilidade de um ponto pertencer a um hiperretângulo é análoga ao caso unidimensional:
$<math alttext="{displaystyle F_{X_{1},X_{2}}(a,c)+F_{X_{1},X_{2}}(b,d)-F_{X_{1},X_{2}}(a,d)-F_{X_{1},X_{2}}(b,c)=operatorname {P} (a<X_{1}leq b,cFX1,X2(um,c)+FX1,X2(b),D)- Sim. - Sim. FX1,X2(um,D)- Sim. - Sim. FX1,X2(b),c)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =P⁡ ⁡ (um<X1≤ ≤ b),c<X2≤ ≤ D)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ ...Não. F_{X_{1},X_{2}}(a,c)+F_{X_{1},X_{2}}(b,d)-F_{X_{1},X_{2}}(a,d)-F_{X_{1},X_{2}}(b,c)=operatorname {P} (a<X_{1}leq b,c<X_{2}leq d)=int...}<img alt="{displaystyle F_{X_{1},X_{2}}(a,c)+F_{X_{1},X_{2}}(b,d)-F_{X_{1},X_{2}}(a,d)-F_{X_{1},X_{2}}(b,c)=operatorname {P} (a<X_{1}leq b,c$
Caso complexo
Variável aleatória complexa
A generalização da função de distribuição cumulativa de variáveis aleatórias reais a complexas não é óbvia porque expressões da forma ${displaystyle P(Zleq 1+2i)}$ Não faz sentido. Contudo expressões da forma ${displaystyle P(Re {(Z)}leq 1,Im {(Z)}leq 3)}$ Faz sentido. Portanto, definimos a distribuição cumulativa de variáveis aleatórias complexas através da distribuição conjunta de suas partes reais e imaginárias:
${displaystyle F_{Z}(z)=F_{Re {(Z)},Im {(Z)}}(Re {(z)},Im {(z)})=P(Re {(Z)}leq Re {(z)},Im {(Z)}leq Im {(z)}).}$
Vetor aleatório complexo
Generalização da Eq.4 produz
${displaystyle F_{mathbf {Z} }(mathbf {z})=F_{Re {(Z_{1})},Im {(Z_{1})},ldotsRe {(Z_{n})},Im {(Z_{n})}}(Re {(z_{1})},Im {(z_{1})},ldotsRe {(z_{n})},Im {(z_{n})})=operatorname {P} (Re {(Z_{1})}leq Re {(z_{1})},Im {(Z_{1})}leq Im {(z_{1})},ldotsRe {(Z_{n})}leq Re {(z_{n})},Im {(Z_{n})}leq Im {(z_{n})})}$ ${displaystyle mathbf {Z} =(Z_{1},ldotsZ_{N})^{T}}$
Uso em análise estatística
O conceito da função de distribuição cumulativa aparece explicitamente na análise estatística de duas maneiras (semelhantes). A análise de frequência cumulativa é a análise da frequência de ocorrência de valores de um fenômeno menores que um valor de referência. A função de distribuição empírica é uma estimativa direta formal da função de distribuição cumulativa para a qual propriedades estatísticas simples podem ser derivadas e que podem formar a base de vários testes de hipóteses estatísticas. Esses testes podem avaliar se há evidência contra uma amostra de dados que surgiu de uma determinada distribuição, ou evidência contra duas amostras de dados que surgiram da mesma distribuição populacional (desconhecida).
Testes de Kolmogorov-Smirnov e Kuiper
O teste de Kolmogorov–Smirnov é baseado em funções de distribuição cumulativas e pode ser usado para testar se duas distribuições empíricas são diferentes ou se uma distribuição empírica é diferente de uma distribuição ideal. O teste de Kuiper intimamente relacionado é útil se o domínio da distribuição for cíclico como no dia da semana. Por exemplo, o teste de Kuiper pode ser usado para verificar se o número de tornados varia durante o ano ou se as vendas de um produto variam por dia da semana ou dia do mês.

	Y = 2	Y = 4	Y = 6	Y = 8
X = 1	0	0.1	0	0.1
X = 3	0	0	0,2	0
X = 5	0	0	0	0,15
X = 7	0	0	0,15	0

	Y < 2	2 ≤ Y < 4	4 ≤ Y < 6	6 ≤ Y < 8	Y ≥ 8
X < 1	0	0	0	0	0
1 ≤ X < 3	0	0	0.1	0.1	0,2
3 ≤ X < 5	0	0	0.1	0	0
5 ≤ X < 7	0	0	0	0.6	0,85
X ≥ 7	0	0	0	0,75	1

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