Função de Bessel

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Famílias de soluções para equações diferenciais relacionadas

As funções de mexilhão são a parte radial dos modos de vibração de uma cabeça de tambor circular.

Funções de Bessel, primeiro definidas pelo matemático Daniel Bernoulli e depois generalizadas por Friedrich Bessel, são soluções canônicas $y (x)$ da equação diferencial de Bessel

{displaystyle x^{2}{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{frac {dy}{dx}}+left(x^{2}-alpha ^{2}right)y=0}

alpha

ordem

alpha

-alpha

alpha

Os casos mais importantes são quando $alpha$ é um inteiro ou meio inteiro. Funções de mexilhão para inteiro $alpha$ também são conhecidos como funções do cilindro ou o harmônicos cilíndricos porque eles aparecem na solução para a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas. Funções do mexilhão esférico com meio inteiro $alpha$ são obtidos quando a equação de Helmholtz é resolvida em coordenadas esféricas.

Aplicações das funções de Bessel

A função de Bessel é uma generalização da função seno. Pode ser interpretado como a vibração de uma corda com espessura variável, tensão variável (ou ambas as condições simultaneamente); vibrações em um meio com propriedades variáveis; vibrações da membrana do disco, etc.

A equação de Bessel surge ao encontrar soluções separáveis para a equação de Laplace e a equação de Helmholtz em coordenadas cilíndricas ou esféricas. As funções de Bessel são, portanto, especialmente importantes para muitos problemas de propagação de ondas e potenciais estáticos. Na resolução de problemas em sistemas de coordenadas cilíndricas, obtém-se funções de Bessel de ordem inteira ( $α = n$ ); em problemas esféricos, obtém-se ordens semi-inteiras ( $α = n + 1 / 2$ ). Por exemplo:

Ondas eletromagnéticas em um guia de onda cilíndrico
amplitudes de pressão de fluxos rotacionais invisíveis
Condução de calor em um objeto cilíndrico
Modos de vibração de uma fina membrana acústica circular ou anular (como uma cabeça de tambor ou outro membranophone) ou placas mais grossas, tais como chapa de metal (veja Kirchhoff – teoria da placa de amor, teoria da placa Mindlin–Reissner)
Problemas de difusão em uma treliça
Soluções para a equação radial Schrödinger (em coordenadas esféricas e cilíndricas) para uma partícula livre
Resolvendo padrões de radiação acústica
Atrito dependente de frequência em pipelines circulares
Dinâmica de corpos flutuantes
Resolução angular
Diffraction de objetos helicoidais, incluindo DNA
Função de densidade de probabilidade do produto de duas variáveis aleatórias normalmente distribuídas
Analisando as ondas de superfície geradas por microtremores, em geofísica e seismologia.

As funções de Bessel também aparecem em outros problemas, como processamento de sinal (por exemplo, consulte síntese de áudio FM, janela Kaiser ou filtro de Bessel).

Definições

Como esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem, deve haver duas soluções linearmente independentes. Dependendo das circunstâncias, no entanto, várias formulações dessas soluções são convenientes. Variações diferentes são resumidas na tabela abaixo e descritas nas seções a seguir.

Tipo	Primeira espécie	Segunda espécie
Funções de borla	$J.$	$Sim.$
Funções de mexilhão modificadas	$Eu... α$	$KK α$
Funções de Hankel	$H. H. H. (1) α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = JJ α + Sim. α$	$H. H. H. (2) α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = JJ α - Sim. Sim. α$
Funções do mexilhão esférico	$JJ n$	$Sim. n$
Funções de Hankel esférico	$h (1) n = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = JJ n + Olá. n$	$h (2) n = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = JJ n - Sim. Olá. n$

As funções de Bessel do segundo tipo e as funções esféricas de Bessel do segundo tipo às vezes são denotadas por $N n$ e $n n$ , respectivamente, em vez de $S n$ e $y n$ .

Funções de Bessel do primeiro tipo: Jα

Lote da função Bessel do primeiro tipo

JJ n (zangão.)

com

n = 0,5

no plano complexo de

- 2-2i

para

2+2i

com cores criadas com o Mathematica 13.1 função ComplexPlot3D

Lote de Bessel função do primeiro tipo,

JJ α (x)

, para pedidos inteiros

α = 0, 1, 2

Funções de Bessel do primeiro tipo, denotadas como $J α (x)$ , são soluções da equação diferencial de Bessel. Para números inteiros ou positivos $α$ , as funções de Bessel do primeiro tipo são finitas na origem ( $x = 0$ ); enquanto para números não inteiros negativos $α$ , as funções de Bessel do primeiro tipo divergem como $x$ se aproxima de zero. É possível definir a função por sua expansão em série em torno de $x = 0$ , que pode ser encontrada aplicando o método de Frobenius ao método de Bessel equação:

{displaystyle J_{alpha }(x)=sum _{m=0}^{infty }{frac {(-1)^{m}}{m!,Gamma (m+alpha +1)}}{left({frac {x}{2}}right)}^{2m+alpha },}

) zangão.)

α

{displaystyle x^{-{frac {1}{2}}}}

x

- Sim. JJ 1 (x)

JJ 0 (x)

- Sim. x

e x

JJ n (x)

JJ n \pm 1 (x)

Para $α$ não inteiro, as funções $J α (x)$ e $J - α (x)$ são linearmente independentes e, portanto, são as duas soluções da equação diferencial. Por outro lado, para ordem inteira $n$ , a seguinte relação é válida (a função gama tem pólos simples em cada um dos não - inteiros positivos):

{displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}

Isso significa que as duas soluções não são mais linearmente independentes. Nesse caso, a segunda solução linearmente independente é então considerada a função de Bessel de segundo tipo, conforme discutido abaixo.

Integrais de Bessel

Outra definição da função de Bessel, para valores inteiros de $n$ , é possível usando uma representação integral:

{displaystyle J_{n}(x)={frac {1}{pi }}int _{0}^{pi }cos(ntau -xsin tau),dtau ={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }e^{i(ntau -xsin tau)},dtau}

Essa foi a abordagem que Bessel usou e, a partir dessa definição, ele derivou várias propriedades da função. A definição pode ser estendida para ordens não inteiras por uma das integrais de Schläfli, para $Re(x) > 0$ :

{displaystyle J_{alpha }(x)={frac {1}{pi }}int _{0}^{pi }cos(alpha tau -xsin tau),dtau -{frac {sin alpha pi }{pi }}int _{0}^{infty }e^{-xsinh t-alpha t},dt.}

Relação com séries hipergeométricas

As funções de Bessel podem ser expressas em termos da série hipergeométrica generalizada como

{displaystyle J_{alpha }(x)={frac {left({frac {x}{2}}right)^{alpha }}{Gamma (alpha +1)}};_{0}F_{1}left(alpha +1;-{frac {x^{2}}{4}}right).}

Esta expressão está relacionada ao desenvolvimento das funções de Bessel em termos da função de Bessel–Clifford.

Relação com polinômios de Laguerre

Em termos dos polinômios de Laguerre $L k$ e parâmetro arbitrariamente escolhido $t$ , a função de Bessel pode ser expressa como

{displaystyle {frac {J_{alpha }(x)}{left({frac {x}{2}}right)^{alpha }}}={frac {e^{-t}}{Gamma (alpha +1)}}sum _{k=0}^{infty }{frac {L_{k}^{(alpha)}left({frac {x^{2}}{4t}}right)}{binom {k+alpha }{k}}}{frac {t^{k}}{k!}}.}

Funções de Bessel do segundo tipo: Yα

Lote da função Bessel do segundo tipo

Y n (zangão.)

com

n = 0,5

no plano complexo de

- 2-2i

para

2+2i

com cores criadas com o Mathematica 13.1 função ComplexPlot3D

As funções de Bessel do segundo tipo, denotadas por $Y α (x)$ , ocasionalmente denotado por $N α (x)$ , são soluções de Bessel equação diferencial que tem uma singularidade na origem ( $x = 0$ ) e são multivalorados. Às vezes, elas são chamadas de funções de Weber, pois foram introduzidas por H. M. Weber (1873) e também funções de Neumann depois de Carl Neumann.

Para não inteiro $α$ , $Y α (x)$ está relacionado a $J α (x)$ por

{displaystyle Y_{alpha }(x)={frac {J_{alpha }(x)cos(alpha pi)-J_{-alpha }(x)}{sin(alpha pi)}}.}

No caso de ordem inteira $n$ , a função é definida tomando o limite como um não inteiro $α$ tende a $n$ :

{displaystyle Y_{n}(x)=lim _{alpha to n}Y_{alpha }(x).}

Se $n$ for um inteiro não negativo, temos a série

{displaystyle Y_{n}(z)=-{frac {left({frac {z}{2}}right)^{-n}}{pi }}sum _{k=0}^{n-1}{frac {(n-k-1)!}{k!}}left({frac {z^{2}}{4}}right)^{k}+{frac {2}{pi }}J_{n}(z)ln {frac {z}{2}}-{frac {left({frac {z}{2}}right)^{n}}{pi }}sum _{k=0}^{infty }(psi (k+1)+psi (n+k+1)){frac {left(-{frac {z^{2}}{4}}right)^{k}}{k!(n+k)!}}}

Lote de Bessel função do segundo tipo,

Y α (x)

, para pedidos inteiros

α = 0, 1, 2

Onde? $psi (z)$ é a função de punção, o derivado logarítmico da função gama.

Há também uma fórmula integral correspondente (para $Re(x) > 0$ ):

{displaystyle Y_{n}(x)={frac {1}{pi }}int _{0}^{pi }sin(xsin theta -ntheta),dtheta -{frac {1}{pi }}int _{0}^{infty }left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}right)e^{-xsinh t},dt.}

No caso em que $n = 0$ ,

{displaystyle Y_{0}left(xright)={frac {4}{pi ^{2}}}int _{0}^{{frac {1}{2}}pi }cos left(xcos theta right)left(e+ln left(2xsin ^{2}theta right)right),dtheta.}

$Y α (x)$ é necessário como a segunda solução linearmente independente de a equação de Bessel quando $α$ é um número inteiro. Mas $Y α (x)$ tem mais significado do que isso. Pode ser considerado como um "natural" parceiro de $J α (x)$ . Veja também a subseção sobre funções de Hankel abaixo.

Além disso, quando $α$ é um inteiro, como foi o caso das funções do primeiro tipo, a seguinte relação é válido:

{displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}

Ambos $J α (x)$ e $Y α (x)$ são funções holomórficas de $x$ no plano complexo cortado ao longo do eixo real negativo. Quando $α$ é um número inteiro, as funções de Bessel $J$ são funções inteiras de $x$ . Se $x$ for mantido fixo em um valor diferente de zero, então as funções de Bessel são funções inteiras de $α$ .

As funções de Bessel do segundo tipo quando $α$ é um inteiro é um exemplo do segundo tipo de solução em Fuchs&# 39; teorema de s.

Funções de Hankel: H(1)α, H(2)α

Lote da função Hankel do primeiro tipo

H. H. H. (1) n (x)

com

n -5.

no plano complexo de

- 2-2i

para

2+2i

com cores criadas com o Mathematica 13.1 função ComplexPlot3D

Lote da função Hankel do segundo tipo

H. H. H. (2) n (x)

com

n -5.

no plano complexo de

- 2-2i

para

2+2i

com cores criadas com o Mathematica 13.1 função ComplexPlot3D

Outra formulação importante das duas soluções linearmente independentes para a equação de Bessel são as funções de Hankel de primeiro e segundo tipo, $H (1) α (x)$ e $H (2) α (x)$ , definido como

{displaystyle {begin{aligned}H_{alpha }^{(1)}(x)&=J_{alpha }(x)+iY_{alpha }(x),\H_{alpha }^{(2)}(x)&=J_{alpha }(x)-iY_{alpha }(x),end{aligned}}}

onde $i$ é a unidade imaginária. Essas combinações lineares também são conhecidas como funções de Bessel do terceiro tipo; são duas soluções linearmente independentes da equação diferencial de Bessel. Eles são nomeados após Hermann Hankel.

Estas formas de combinação linear satisfazem inúmeras propriedades simples, como fórmulas assintóticas ou representações integrais. Aqui, "simples" significa uma aparência de um fator da forma $e Eu... f (x)$ . A sério. $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x>0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;"/>$ Onde? $J_{alpha }(x)$ , ${displaystyle Y_{alpha }(x)}$ são reais, as funções de Bessel do primeiro e segundo tipo são as partes reais e imaginárias, respectivamente, da primeira função Hankel e as partes imaginárias reais e negativas da segunda função Hankel. Assim, as fórmulas acima são análogos da fórmula de Euler, substituindo $H. H. H. (1) α (x)$ , $H. H. H. (2) α (x)$ para ${displaystyle e^{pm ix}}$ e $J_{alpha }(x)$ , ${displaystyle Y_{alpha }(x)}$ para $cos(x)$ , $sin(x)$ , como mostrado explicitamente na expansão assintótica.

As funções de Hankel são usadas para expressar soluções de onda cilíndrica de propagação para fora e para dentro da equação de onda cilíndrica, respectivamente (ou vice-versa, dependendo da convenção de sinal para a frequência).

Usando as relações anteriores, elas podem ser expressas como

{displaystyle {begin{aligned}H_{alpha }^{(1)}(x)&={frac {J_{-alpha }(x)-e^{-alpha pi i}J_{alpha }(x)}{isin alpha pi }},\H_{alpha }^{(2)}(x)&={frac {J_{-alpha }(x)-e^{alpha pi i}J_{alpha }(x)}{-isin alpha pi }}.end{aligned}}}

Se $α$ for um número inteiro, o limite deve ser calculado. As seguintes relações são válidas, quer $α$ seja um número inteiro ou não:

{displaystyle {begin{aligned}H_{-alpha }^{(1)}(x)&=e^{alpha pi i}H_{alpha }^{(1)}(x),\H_{-alpha }^{(2)}(x)&=e^{-alpha pi i}H_{alpha }^{(2)}(x).end{aligned}}}

Em particular, se $α = m + 1 / 2$ com $m$ um inteiro não negativo, as relações acima implicam diretamente que

{displaystyle {begin{aligned}J_{-(m+{frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{frac {1}{2}}}(x),\Y_{-(m+{frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{frac {1}{2}}}(x).end{aligned}}}

Eles são úteis no desenvolvimento das funções esféricas de Bessel (veja abaixo).

As funções de Hankel admitem as seguintes representações integrais para $Re(x) > 0$ :

{displaystyle {begin{aligned}H_{alpha }^{(1)}(x)&={frac {1}{pi i}}int _{-infty }^{+infty +pi i}e^{xsinh t-alpha t},dt,\H_{alpha }^{(2)}(x)&=-{frac {1}{pi i}}int _{-infty }^{+infty -pi i}e^{xsinh t-alpha t},dt,end{aligned}}}

- Não.

\pm πi

\pm πi

+\infty \pm πi

Funções de Bessel modificadas: Iα, Kα

As funções de Bessel são válidas mesmo para argumentos complexos $x$ , e um caso especial importante é o de um argumento puramente imaginário. Neste caso, as soluções para a equação de Bessel são chamadas de funções de Bessel modificadas (ou ocasionalmente funções de Bessel hiperbólicas) de primeiro e segundo tipo e são definidos como

{displaystyle {begin{aligned}I_{alpha }(x)&=i^{-alpha }J_{alpha }(ix)=sum _{m=0}^{infty }{frac {1}{m!,Gamma (m+alpha +1)}}left({frac {x}{2}}right)^{2m+alpha },\K_{alpha }(x)&={frac {pi }{2}}{frac {I_{-alpha }(x)-I_{alpha }(x)}{sin alpha pi }},end{aligned}}}

α

α

x

Eu... α (x)

JJ α (x)

(-1) m

${displaystyle K_{alpha }}$ pode ser expressa em termos de funções Hankel:

<math alttext="{displaystyle K_{alpha }(x)={begin{cases}{frac {pi }{2}}i^{alpha +1}H_{alpha }^{(1)}(ix)&-pi <arg xleq {frac {pi }{2}}\{frac {pi }{2}}(-i)^{alpha +1}H_{alpha }^{(2)}(-ix)&-{frac {pi }{2}}KKα α (x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(D D 2Eu...α α +1H. H. H.α α (1)(Eu...x)- Sim. - Sim. D D <Arg⁡ ⁡ x≤ ≤ D D 2D D 2(- Sim. - Sim. Eu...)α α +1H. H. H.α α (2)(- Sim. - Sim. Eu...x)- Sim. - Sim. D D 2<Arg⁡ ⁡ x≤ ≤ D D [displaystyle K_{alpha }(x)={begin{cases}{frac }{2}}i^{alpha +1}H_{alpha }^{(1)}(ix)&-pi <arg xleq {frac }{2}}\\\# }{2}}(-i)^{alpha +1}H_{alpha }^{(2)}(-ix)&-{frac }{2}}<arg xleq pi end{cases}}}<img alt="{displaystyle K_{alpha }(x)={begin{cases}{frac {pi }{2}}i^{alpha +1}H_{alpha }^{(1)}(ix)&-pi <arg xleq {frac {pi }{2}}\{frac {pi }{2}}(-i)^{alpha +1}H_{alpha }^{(2)}(-ix)&-{frac {pi }{2}}

Usando estas duas fórmulas o resultado a ${displaystyle J_{alpha }^{2}(z)}$ + ${displaystyle Y_{alpha }^{2}(z)}$ , comumente conhecido como integral de Nicholson ou fórmula de Nicholson, pode ser obtido para dar o seguinte

{displaystyle J_{alpha }^{2}(x)+Y_{alpha }^{2}(x)={frac {8}{pi ^{2}}}int _{0}^{infty }cosh(2alpha t)K_{0}(2xsinh t),dt,}

dado que a condição $Re(x) > 0$ é atendido. Também pode ser mostrado que

{displaystyle J_{alpha }^{2}(x)+Y_{alpha }^{2}(x)={frac {8cos(alpha pi)}{pi ^{2}}}int _{0}^{infty }K_{2alpha }(2xsinh t),dt,}

somente quando | $Re(α)$ | < $1 / 2$ e $Re(x) \geq 0$ mas não quando $x = 0$ .

Podemos expressar a primeira e a segunda funções de Bessel em termos das funções de Bessel modificadas (estas são válidas se $- π < arg z \leq π / 2$ ):

{displaystyle {begin{aligned}J_{alpha }(iz)&=e^{frac {alpha pi i}{2}}I_{alpha }(z),\Y_{alpha }(iz)&=e^{frac {(alpha +1)pi i}{2}}I_{alpha }(z)-{frac {2}{pi }}e^{-{frac {alpha pi i}{2}}}K_{alpha }(z).end{aligned}}}

$I α (x)$ e $K α (x)$ são as duas soluções linearmente independentes para a equação de Bessel modificada:

{displaystyle x^{2}{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{frac {dy}{dx}}-left(x^{2}+alpha ^{2}right)y=0.}

Ao contrário das funções comuns de Bessel, que oscilam como funções de um argumento real, $I α$ e $K α$ são funções de crescimento e decaimento exponencial, respectivamente. Como a função comum de Bessel $J α$ , a função $I α$ vai para zero em $x = 0$ para $α > 0$ e é finito em $x = 0$ para $α = 0$ . Analogamente, $K α$ diverge em $x = 0$ com a singularidade sendo do tipo logarítmico para $K 0$ , e $1 / 2 Γ(| α |)(2/ x) | α |$ caso contrário.

Funções de mexilhão modificados do primeiro tipo,

Eu... α (x)

, para

α = 0, 1, 2, 3

Funções do mexilhão modificado do segundo tipo,

KK α (x)

, para

α = 0, 1, 2, 3

Duas fórmulas integrais para as funções de Bessel modificadas são (para $Re(x) > 0$ ):

{displaystyle {begin{aligned}I_{alpha }(x)&={frac {1}{pi }}int _{0}^{pi }e^{xcos theta }cos alpha theta ,dtheta -{frac {sin alpha pi }{pi }}int _{0}^{infty }e^{-xcosh t-alpha t},dt,\K_{alpha }(x)&=int _{0}^{infty }e^{-xcosh t}cosh alpha t,dt.end{aligned}}}

As funções de Bessel podem ser descritas como transformadas de Fourier de potências de funções quadráticas. Por exemplo (para $Re(ω) > 0$ ):

{displaystyle 2,K_{0}(omega)=int _{-infty }^{infty }{frac {e^{iomega t}}{sqrt {t^{2}+1}}},dt.}

Isso pode ser provado mostrando a igualdade com a definição integral acima para $K 0$ . Isso é feito integrando uma curva fechada no primeiro quadrante do plano complexo.

Funções de Bessel modificadas $K 1/3$ e $K 2/3$ pode ser representado em termos de integrais rapidamente convergentes

{displaystyle {begin{aligned}K_{frac {1}{3}}(xi)&={sqrt {3}}int _{0}^{infty }exp left(-xi left(1+{frac {4x^{2}}{3}}right){sqrt {1+{frac {x^{2}}{3}}}}right),dx,\K_{frac {2}{3}}(xi)&={frac {1}{sqrt {3}}}int _{0}^{infty }{frac {3+2x^{2}}{sqrt {1+{frac {x^{2}}{3}}}}}exp left(-xi left(1+{frac {4x^{2}}{3}}right){sqrt {1+{frac {x^{2}}{3}}}}right),dx.end{aligned}}}

A função Bessel modificada ${displaystyle K_{frac {1}{2}}(xi)=(2xi /pi)^{-1/2}exp(-xi)}$ é útil para representar a distribuição Laplace como uma mistura de escala Exponential de distribuições normais.

A função de Bessel modificada do segundo tipo também foi chamada pelos seguintes nomes (agora raros):

Função de basset depois Alfred Barnard Basset
Função de mexilhão modificado do terceiro tipo
Função de Hankel modificada
Função de Macdonald após Hector Munro Macdonald

Funções esféricas de Bessel: jn, yn

Lote da função esférica de Bessel do primeiro tipo $JJ n (zangão.)$ com $n = 0,5$ no plano complexo de $- 2-2i$ para $2+2i$ com cores criadas com o Mathematica 13.1 função ComplexPlot3D

Lote da função esférica de Bessel do segundo tipo $Sim. n (zangão.)$ com $n = 0,5$ no plano complexo de $- 2-2i$ para $2+2i$ com cores criadas com o Mathematica 13.1 função ComplexPlot3D

Funções de borla esféricas do primeiro tipo, $JJ n (x)$ , para $n = 0, 1, 2$

Funções de mexilhão esférico do segundo tipo, $Sim. n (x)$ , para $n = 0, 1, 2$

Ao resolver a equação de Helmholtz em coordenadas esféricas por separação de variáveis, a equação radial tem a forma

{displaystyle x^{2}{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{frac {dy}{dx}}+left(x^{2}-n(n+1)right)y=0.}

As duas soluções linearmente independentes para esta equação são chamadas de funções esféricas de Bessel $j n$ e $y n$ , e estão relacionados às funções comuns de Bessel $J n$ e $S n$ por

{displaystyle {begin{aligned}j_{n}(x)&={sqrt {frac {pi }{2x}}}J_{n+{frac {1}{2}}}(x),\y_{n}(x)&={sqrt {frac {pi }{2x}}}Y_{n+{frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{sqrt {frac {pi }{2x}}}J_{-n-{frac {1}{2}}}(x).end{aligned}}}

$y n$ também é denotado $n n$ ou $η n; alguns autores chamam essas funções de funções esféricas de Neumann .$

Das relações com as funções ordinárias de Bessel, vê-se diretamente que:

${displaystyle {begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)end{aligned}}}$

As funções esféricas de Bessel também podem ser escritas como (fórmulas de Rayleigh)

{displaystyle {begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}left({frac {1}{x}}{frac {d}{dx}}right)^{n}{frac {sin x}{x}},\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}left({frac {1}{x}}{frac {d}{dx}}right)^{n}{frac {cos x}{x}}.end{aligned}}}

A função esférica zero de Bessel $j 0 (x)$ também é conhecida como a função sinc (não normalizada). As primeiras funções esféricas de Bessel são:

{displaystyle {begin{aligned}j_{0}(x)&={frac {sin x}{x}}.\j_{1}(x)&={frac {sin x}{x^{2}}}-{frac {cos x}{x}},\j_{2}(x)&=left({frac {3}{x^{2}}}-1right){frac {sin x}{x}}-{frac {3cos x}{x^{2}}},\j_{3}(x)&=left({frac {15}{x^{3}}}-{frac {6}{x}}right){frac {sin x}{x}}-left({frac {15}{x^{2}}}-1right){frac {cos x}{x}}end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{frac {cos x}{x}},\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{frac {cos x}{x^{2}}}-{frac {sin x}{x}},\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=left(-{frac {3}{x^{2}}}+1right){frac {cos x}{x}}-{frac {3sin x}{x^{2}}},\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=left(-{frac {15}{x^{3}}}+{frac {6}{x}}right){frac {cos x}{x}}-left({frac {15}{x^{2}}}-1right){frac {sin x}{x}}.end{aligned}}}

Função de geração

As funções esféricas de Bessel têm as funções geradoras

{displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{z}}cos left({sqrt {z^{2}-2zt}}right)&=sum _{n=0}^{infty }{frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\{frac {1}{z}}sin left({sqrt {z^{2}-2zt}}right)&=sum _{n=0}^{infty }{frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).end{aligned}}}

Relações diferenciais

A seguir, $f n$ é qualquer um dos $j n$ , $y n$ , $h (1) n$ , $h (2) n$ para $n = 0, \pm1, \pm2, \dots$

{displaystyle {begin{aligned}left({frac {1}{z}}{frac {d}{dz}}right)^{m}left(z^{n+1}f_{n}(z)right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\left({frac {1}{z}}{frac {d}{dz}}right)^{m}left(z^{-n}f_{n}(z)right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).end{aligned}}}

Funções esféricas de Hankel: h(1)n, h(2)n

Lote da função esférica Hankel do primeiro tipo $h (1) n (x)$ com $n -5.$ no plano complexo de $- 2-2i$ para $2+2i$ com cores criadas com o Mathematica 13.1 função ComplexPlot3D

Lote da função esférica Hankel do segundo tipo $h (2) n (x)$ com $n -5.$ no plano complexo de $- 2-2i$ para $2+2i$ com cores criadas com o Mathematica 13.1 função ComplexPlot3D

Também existem análogos esféricos das funções de Hankel:

{displaystyle {begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).end{aligned}}}

Na verdade, existem expressões simples de forma fechada para as funções de Bessel de ordem semi-inteira em termos das funções trigonométricas padrão e, portanto, para as funções esféricas de Bessel. Em particular, para inteiros não negativos $n$ :

{displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{frac {e^{ix}}{x}}sum _{m=0}^{n}{frac {i^{m}}{m!,(2x)^{m}}}{frac {(n+m)!}{(n-m)!}},}

e $h (2) n$ é o complexo -conjugado disso (de verdade $x$ ). Segue-se, por exemplo, que $j 0 (x) = sin x / x$ e $y 0 (x) = - cos x / x$ e assim por diante.

As funções esféricas de Hankel aparecem em problemas envolvendo propagação de ondas esféricas, por exemplo na expansão multipolar do campo eletromagnético.

Funções de Riccati–Bessel: Sn, Cn, ξn, ζn

As funções de Riccati–Bessel diferem apenas ligeiramente das funções esféricas de Bessel:

{displaystyle {begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={sqrt {frac {pi x}{2}}}J_{n+{frac {1}{2}}}(x)\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{sqrt {frac {pi x}{2}}}Y_{n+{frac {1}{2}}}(x)\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={sqrt {frac {pi x}{2}}}H_{n+{frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={sqrt {frac {pi x}{2}}}H_{n+{frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)end{aligned}}}

Funções de Riccati–Bessel Terreno complexo Sn de -2-2i para 2+2i

Eles satisfazem a equação diferencial

{displaystyle x^{2}{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+left(x^{2}-n(n+1)right)y=0.}

Por exemplo, esse tipo de equação diferencial aparece na mecânica quântica ao resolver o componente radial da equação de Schrödinger com hipotética barreira cilíndrica de potencial infinito. Essa equação diferencial e as soluções de Riccati-Bessel também surgem no problema de espalhamento de ondas eletromagnéticas por uma esfera, conhecido como espalhamento de Mie após a primeira solução publicada por Mie (1908). Veja, por exemplo, Du (2004) para desenvolvimentos e referências recentes.

Seguindo Debye (1909), a notação $ψ n$ , $χ n$ às vezes é usado em vez de $S n$ , $C n$ .

Formas assintóticas

As funções de Bessel têm as seguintes formas assintóticas. Para pequenos argumentos $<math alttext="{displaystyle 00<zangão.≪ ≪ α α +1{displaystyle 0<zll {displaystyle 0} ll {displaystyle 0} }, {displaystyle {displaystyle 0} }, {displaystyle {displaystyle 0}, {displaystyle 0}, {displaystyle {displaystyle 0}, {displaystyle {displaystyle 0}, {displaystyle 0}, {displaystyle 0},, {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle 0} } } } },},},}, {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle 0} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }, {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle - Sim. <img alt="{displaystyle 0$ , um obtém, quando $alpha$ não é um inteiro negativo:

{displaystyle J_{alpha }(z)sim {frac {1}{Gamma (alpha +1)}}left({frac {z}{2}}right)^{alpha }.}

Quando $α$ é um inteiro negativo, temos

{displaystyle J_{alpha }(z)sim {frac {(-1)^{alpha }}{(-alpha)!}}left({frac {2}{z}}right)^{alpha }.}

Para a função de Bessel do segundo tipo temos três casos:

{displaystyle Y_{alpha }(z)sim {begin{cases}{dfrac {2}{pi }}left(ln left({dfrac {z}{2}}right)+gamma right)&{text{if }}alpha =0\-{dfrac {Gamma (alpha)}{pi }}left({dfrac {2}{z}}right)^{alpha }+{dfrac {1}{Gamma (alpha +1)}}left({dfrac {z}{2}}right)^{alpha }cot(alpha pi)&{text{if }}alpha {text{ is not a non-positive integer (one term dominates unless }}alpha {text{ is imaginary)}},\-{dfrac {(-1)^{alpha }Gamma (-alpha)}{pi }}left({dfrac {z}{2}}right)^{alpha }&{text{if }}alpha {text{ is a negative integer,}}end{cases}}}

$γ$
Para grandes argumentos reais $z ≫ | α 2 - 1 / 4 |$ , não se pode escrever uma forma assintótica verdadeira para as funções de Bessel do primeiro e segundo tipo (a menos que $α$ seja meio inteiro) porque eles têm zeros até o infinito, o que teria que ser correspondido exatamente por qualquer expansão assintótica. No entanto, para um determinado valor de $arg z$ pode-se escrever uma equação contendo um termo de ordem $| z | -1$ :
$<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}J_{alpha }(z)&={sqrt {frac {2}{pi z}}}left(cos left(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)+e^{left|operatorname {Im} (z)right|}{mathcal {O}}left(|z|^{-1}right)right)&&{text{for }}left|arg zright|<pi\Y_{alpha }(z)&={sqrt {frac {2}{pi z}}}left(sin left(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)+e^{left|operatorname {Im} (z)right|}{mathcal {O}}left(|z|^{-1}right)right)&&{text{for }}left|arg zright|JJα α (zangão.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2D D zangão.(e⁡ ⁡ (zangão.- Sim. - Sim. α α D D 2- Sim. - Sim. D D 4)+e|Eu...⁡ ⁡ (zangão.)|O(|zangão.|- Sim. - Sim. 1))para|Arg⁡ ⁡ zangão.|<D D ,Yα α (zangão.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2D D zangão.(pecado⁡ ⁡ (zangão.- Sim. - Sim. α α D D 2- Sim. - Sim. D D 4)+e|Eu...⁡ ⁡ (zangão.)|O(|zangão.|- Sim. - Sim. 1))para|Arg⁡ ⁡ zangão.|<D D .{displaystyle {begin{aligned}J_{alpha }(z)&={sqrt {frac {2}{pi z}}}left(cos left(z-{frac - Sim. }{2}}. }{4}}right)+e^{left|operatorname {Im} (z)right|}{mathcal {O}}left(|z|^{-1}right)right)&&{text{for }}left|arg zright|<piY_{alpha }(z)&={sqrt {frac {2}{pi z}}}left(sin left(z-{frac - Sim. }{2}}. }{4}}right)+e^{left|operatorname {Im} (z)right|}{mathcal {O}}left(|z|^{-1}right)right)&&{text{for }}left|arg zright|<pi.end{aligned}}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}J_{alpha }(z)&={sqrt {frac {2}{pi z}}}left(cos left(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)+e^{left|operatorname {Im} (z)right|}{mathcal {O}}left(|z|^{-1}right)right)&&{text{for }}left|arg zright|<pi\Y_{alpha }(z)&={sqrt {frac {2}{pi z}}}left(sin left(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)+e^{left|operatorname {Im} (z)right|}{mathcal {O}}left(|z|^{-1}right)right)&&{text{for }}left|arg zright|$
(Para $α = 1 / 2$ os últimos termos dessas fórmulas desaparecem completamente; veja as funções esféricas de Bessel acima.) Mesmo que essas equações sejam verdadeiras, aproximações melhores podem estar disponíveis para $z$ complexos. Por exemplo, $J 0 (z)$ quando $z$ está próximo da linha real negativa é melhor aproximado por
${displaystyle J_{0}(z)approx {sqrt {frac {-2}{pi z}}}cos left(z+{frac {pi }{4}}right)}$ ${displaystyle J_{0}(z)approx {sqrt {frac {2}{pi z}}}cos left(z-{frac {pi }{4}}right).}$
As formas assintóticas para as funções de Hankel são:
$<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}H_{alpha }^{(1)}(z)&sim {sqrt {frac {2}{pi z}}}e^{ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)}&&{text{for }}-pi <arg z<2pi\H_{alpha }^{(2)}(z)&sim {sqrt {frac {2}{pi z}}}e^{-ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)}&&{text{for }}-2pi <arg zH. H. H.α α (1)(zangão.)∼ ∼ 2D D zangão.eEu...(zangão.- Sim. - Sim. α α D D 2- Sim. - Sim. D D 4)para- Sim. - Sim. D D <Arg⁡ ⁡ zangão.<2D D ,H. H. H.α α (2)(zangão.)∼ ∼ 2D D zangão.e- Sim. - Sim. Eu...(zangão.- Sim. - Sim. α α D D 2- Sim. - Sim. D D 4)para- Sim. - Sim. 2D D <Arg⁡ ⁡ zangão.<D D .{displaystyle {begin{aligned}H_{alpha }^{(1)}(z)&sim {sqrt {frac {2}{pi z}}}e^{ileft(z-{frac - Sim. }{2}}. }{4}}right)}&&{text{for }}-pi <arg z<2piH_{alpha }^{(2)}(z)&sim {sqrt {frac {2}{pi z}}}e^{-ileft(z-{frac - Sim. }{2}}. }{4}}right)}&&{text{for }}-2pi <arg z<pi.end{aligned}}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}H_{alpha }^{(1)}(z)&sim {sqrt {frac {2}{pi z}}}e^{ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)}&&{text{for }}-pi <arg z<2pi\H_{alpha }^{(2)}(z)&sim {sqrt {frac {2}{pi z}}}e^{-ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)}&&{text{for }}-2pi <arg z$
Eles podem ser estendidos para outros valores de $arg z$ usando equações relacionadas a $H (1) α (ze im π)$ e $H (2) α (ze im π)$ para $H (1) α (z)$ e $H (2) α (z)$ .
É interessante que, embora a função de Bessel do primeiro tipo seja a média das duas funções de Hankel, $J α (z)$ não é assintótico para a média dessas duas formas assintóticas quando $z$ é negativo (porque um ou outro não estará correto aí, dependendo do $arg z$ usado). Mas as formas assintóticas para as funções de Hankel nos permitem escrever formas assintóticas para as funções de Bessel de primeiro e segundo tipos para complexo (não real) $z$ desde que $| z |$ vai para o infinito em um ângulo de fase constante $arg z$ (usando a raiz quadrada tendo parte real positiva):
$<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}J_{alpha }(z)&sim {frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)}&&{text{for }}-pi <arg z<0,\J_{alpha }(z)&sim {frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{-ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)}&&{text{for }}0<arg z<pi\Y_{alpha }(z)&sim -i{frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)}&&{text{for }}-pi <arg z<0,\Y_{alpha }(z)&sim i{frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{-ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)}&&{text{for }}0<arg zJJα α (zangão.)∼ ∼ 12D D zangão.eEu...(zangão.- Sim. - Sim. α α D D 2- Sim. - Sim. D D 4)para- Sim. - Sim. D D <Arg⁡ ⁡ zangão.<0,JJα α (zangão.)∼ ∼ 12D D zangão.e- Sim. - Sim. Eu...(zangão.- Sim. - Sim. α α D D 2- Sim. - Sim. D D 4)para0<Arg⁡ ⁡ zangão.<D D ,Yα α (zangão.)∼ ∼ - Sim. - Sim. Eu...12D D zangão.eEu...(zangão.- Sim. - Sim. α α D D 2- Sim. - Sim. D D 4)para- Sim. - Sim. D D <Arg⁡ ⁡ zangão.<0,Yα α (zangão.)∼ ∼ Eu...12D D zangão.e- Sim. - Sim. Eu...(zangão.- Sim. - Sim. α α D D 2- Sim. - Sim. D D 4)para0<Arg⁡ ⁡ zangão.<D D .{displaystyle {begin{aligned}J_{alpha }(z)&sim {frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{ileft(z-{frac - Sim. }{2}}. }{4}}right)}&&{text{for }}-pi <arg z<0,J_{alpha }(z)&sim {frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{-ileft(z-{frac - Sim. }{2}}. }{4}}right)}&&{text{for }}0<arg z<piY_{alpha }(z)&sim -i{frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{ileft(z-{frac - Sim. }{2}}. }{4}}right)}&&{text{for }}-pi <arg z<0,Y_{alpha }(z)&sim i{frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{-ileft(z-{frac - Sim. }{2}}. }{4}}right)}&&{text{for }}0<arg z<pi.end{aligned}}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}J_{alpha }(z)&sim {frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)}&&{text{for }}-pi <arg z<0,\J_{alpha }(z)&sim {frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{-ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)}&&{text{for }}0<arg z<pi\Y_{alpha }(z)&sim -i{frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)}&&{text{for }}-pi <arg z<0,\Y_{alpha }(z)&sim i{frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{-ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}right)}&&{text{for }}0<arg z$
Para as funções de Bessel modificadas, Hankel também desenvolveu expansões assintóticas (argumentos grandes):
$<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}I_{alpha }(z)&sim {frac {e^{z}}{sqrt {2pi z}}}left(1-{frac {4alpha ^{2}-1}{8z}}+{frac {left(4alpha ^{2}-1right)left(4alpha ^{2}-9right)}{2!(8z)^{2}}}-{frac {left(4alpha ^{2}-1right)left(4alpha ^{2}-9right)left(4alpha ^{2}-25right)}{3!(8z)^{3}}}+cdots right)&&{text{for }}left|arg zright|<{frac {pi }{2}},\K_{alpha }(z)&sim {sqrt {frac {pi }{2z}}}e^{-z}left(1+{frac {4alpha ^{2}-1}{8z}}+{frac {left(4alpha ^{2}-1right)left(4alpha ^{2}-9right)}{2!(8z)^{2}}}+{frac {left(4alpha ^{2}-1right)left(4alpha ^{2}-9right)left(4alpha ^{2}-25right)}{3!(8z)^{3}}}+cdots right)&&{text{for }}left|arg zright|Eu...α α (zangão.)∼ ∼ ezangão.2D D zangão.(1- Sim. - Sim. 4α α 2- Sim. - Sim. 18zangão.+(4α α 2- Sim. - Sim. 1)(4α α 2- Sim. - Sim. 9)2!(8zangão.)2- Sim. - Sim. (4α α 2- Sim. - Sim. 1)(4α α 2- Sim. - Sim. 9)(4α α 2- Sim. - Sim. 25)3!(8zangão.)3+⋯ ⋯ )para|Arg⁡ ⁡ zangão.|<D D 2,KKα α (zangão.)∼ ∼ D D 2zangão.e- Sim. - Sim. zangão.(1+4α α 2- Sim. - Sim. 18zangão.+(4α α 2- Sim. - Sim. 1)(4α α 2- Sim. - Sim. 9)2!(8zangão.)2+(4α α 2- Sim. - Sim. 1)(4α α 2- Sim. - Sim. 9)(4α α 2- Sim. - Sim. 25)3!(8zangão.)3+⋯ ⋯ )para|Arg⁡ ⁡ zangão.|<3D D 2.{displaystyle {begin{aligned}I_{alpha }(z)&sim {frac} {e^{z}}{sqrt {2pi z}}}left(1-{frac {4alpha ^{2}-1}{8z}}+{frac {left(4alpha ^{2}-1right)left(4alpha ^{2}-9right)}{2!(8z)^{2}}}-{frac {left(4alpha ^{2}-1right)left(4alpha ^{2}-9right)left(4alpha ^{2} }{2}},K_{alpha }(z)&sim {sqrt {frac {pi }{2z}}}e^{-z}left(1+{frac {4alpha ^{2}-1}{8z}}+{frac {left(4alpha ^{2}-1right)left(4alpha ^{2}-9right)}{2!(8z)^{2}}+{frac {left(4alpha ^{2}-1right)left(4alpha ^{2}-9right)left(4alpha ^{2}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}I_{alpha }(z)&sim {frac {e^{z}}{sqrt {2pi z}}}left(1-{frac {4alpha ^{2}-1}{8z}}+{frac {left(4alpha ^{2}-1right)left(4alpha ^{2}-9right)}{2!(8z)^{2}}}-{frac {left(4alpha ^{2}-1right)left(4alpha ^{2}-9right)left(4alpha ^{2}-25right)}{3!(8z)^{3}}}+cdots right)&&{text{for }}left|arg zright|<{frac {pi }{2}},\K_{alpha }(z)&sim {sqrt {frac {pi }{2z}}}e^{-z}left(1+{frac {4alpha ^{2}-1}{8z}}+{frac {left(4alpha ^{2}-1right)left(4alpha ^{2}-9right)}{2!(8z)^{2}}}+{frac {left(4alpha ^{2}-1right)left(4alpha ^{2}-9right)left(4alpha ^{2}-25right)}{3!(8z)^{3}}}+cdots right)&&{text{for }}left|arg zright|$
Há também a forma assintótica (para grande real $z$ )
${displaystyle {begin{aligned}I_{alpha }(z)={frac {1}{{sqrt {2pi z}}{sqrt[{4}]{1+{frac {alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}exp left(-alpha operatorname {arsinh} left({frac {alpha }{z}}right)+z{sqrt {1+{frac {alpha ^{2}}{z^{2}}}}}right)left(1+{mathcal {O}}left({frac {1}{z{sqrt {1+{frac {alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}right)right).end{aligned}}}$
Quando $α = 1 / 2$ , todos os termos, exceto o primeiro, desaparecem e temos
$<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}I_{frac {1}{2}}(z)&={sqrt {frac {2}{pi z}}}sinh(z)sim {frac {e^{z}}{sqrt {2pi z}}}&&{text{for }}left|arg zright|Eu...12(zangão.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2D D zangão.Pecar!⁡ ⁡ (zangão.)∼ ∼ ezangão.2D D zangão.para|Arg⁡ ⁡ zangão.|<D D 2,KK12(zangão.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =D D 2zangão.e- Sim. - Sim. zangão..{displaystyle {begin{aligned}I_{frac {1}{2}}(z)&={sqrt {frac {2}{pi z}}}sinh(z)sim {frac {e^{z}}{sqrt {2pi z}}}&{text{for }}left|arg zright|<{tfrac }{2}},K_{frac {1}{2}}(z)&={sqrt {frac {pi }{2z}}}e^{-z}.end{aligned}}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}I_{frac {1}{2}}(z)&={sqrt {frac {2}{pi z}}}sinh(z)sim {frac {e^{z}}{sqrt {2pi z}}}&&{text{for }}left|arg zright|$
Para pequenos argumentos $<math alttext="{displaystyle 00<|zangão.|≪ ≪ α α +1{displaystyle 0<|z|ll {sqrt {alpha - Sim. <img alt="{displaystyle 0$ nós temos
$0end{cases}}end{aligned}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Eu...α α (zangão.)∼ ∼ 1)) (α α +1)(zangão.2)α α ,KKα α (zangão.)∼ ∼ (- Sim. - Sim. I⁡ ⁡ (zangão.2)- Sim. - Sim. γ γ seα α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0)) (α α )2(2zangão.)α α seα α >0{displaystyle {begin{aligned}I_{alpha }(z)&sim {frac} {1}{Gamma (alpha +1)}}left({frac {z}{2}}right)^{alpha },K_{alpha }(z)&sim {begin{cases}-ln left({dfrac {z}{2}}right)-gamma &{text{if }}alpha =0\{frac {Gamma (alpha)}{2}}left({dfrac {2}{z}}right)^{alpha }&{text{if }}alpha >0end{cases}}end{aligned}}}0end{cases}}end{aligned}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f9e6682f7643b167f20a5775c5291e1a16e3b42" style="vertical-align: -7.716ex; margin-bottom: -0.289ex; width:35.844ex; height:17.176ex;"/>$
Propriedades
Para ordem inteira $α = n$ , $J n$ geralmente é definido por meio de uma série de Laurent para uma função geradora:
${displaystyle e^{left({frac {x}{2}}right)left(t-{frac {1}{t}}right)}=sum _{n=-infty }^{infty }J_{n}(x)t^{n}}$
Uma expansão em série usando funções de Bessel (série Kapteyn) é
${displaystyle {frac {1}{1-z}}=1+2sum _{n=1}^{infty }J_{n}(nz).}$
Outra relação importante para ordens inteiras é a expansão Jacobi–Anger:
${displaystyle e^{izcos phi }=sum _{n=-infty }^{infty }i^{n}J_{n}(z)e^{inphi }}$ ${displaystyle e^{pm izsin phi }=J_{0}(z)+2sum _{n=1}^{infty }J_{2n}(z)cos(2nphi)pm 2isum _{n=0}^{infty }J_{2n+1}(z)sin((2n+1)phi)}$
Em geral, uma série
${displaystyle f(z)=a_{0}^{nu }J_{nu }(z)+2cdot sum _{k=1}^{infty }a_{k}^{nu }J_{nu +k}(z)}$ $f$ $Processo = 0$ ${displaystyle a_{k}^{0}={frac {1}{2pi i}}int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z),dz}$ $O k$
As funções selecionadas admitem a representação especial
${displaystyle f(z)=sum _{k=0}^{infty }a_{k}^{nu }J_{nu +2k}(z)}$ ${displaystyle a_{k}^{nu }=2(nu +2k)int _{0}^{infty }f(z){frac {J_{nu +2k}(z)}{z}},dz}$ ${displaystyle int _{0}^{infty }J_{alpha }(z)J_{beta }(z){frac {dz}{z}}={frac {2}{pi }}{frac {sin left({frac {pi }{2}}(alpha -beta)right)}{alpha ^{2}-beta ^{2}}}}$
De forma mais geral, se $f$ tiver um ponto de ramificação próximo à origem de tal natureza que
${displaystyle f(z)=sum _{k=0}a_{k}J_{nu +k}(z)}$ ${displaystyle {mathcal {L}}left{sum _{k=0}a_{k}J_{nu +k}right}(s)={frac {1}{sqrt {1+s^{2}}}}sum _{k=0}{frac {a_{k}}{left(s+{sqrt {1+s^{2}}}right)^{nu +k}}}}$ ${displaystyle sum _{k=0}a_{k}xi ^{nu +k}={frac {1+xi ^{2}}{2xi }}{mathcal {L}}{f}left({frac {1-xi ^{2}}{2xi }}right)}$ ${displaystyle {mathcal {L}}{f}}$ $f$
Outra forma de definir as funções de Bessel é a fórmula de representação de Poisson e a fórmula de Mehler-Sonine:
${displaystyle {begin{aligned}J_{nu }(z)&={frac {left({frac {z}{2}}right)^{nu }}{Gamma left(nu +{frac {1}{2}}right){sqrt {pi }}}}int _{-1}^{1}e^{izs}left(1-s^{2}right)^{nu -{frac {1}{2}}},ds\[5px]&={frac {2}{{left({frac {z}{2}}right)}^{nu }cdot {sqrt {pi }}cdot Gamma left({frac {1}{2}}-nu right)}}int _{1}^{infty }{frac {sin zu}{left(u^{2}-1right)^{nu +{frac {1}{2}}}}},duend{aligned}}}$ $Proc? 1 / 2$ $zangão. \in C$
Como a equação de Bessel se torna hermitiana (auto-adjunta) se for dividida por $x$ , as soluções devem satisfazem uma relação de ortogonalidade para condições de contorno apropriadas. Em particular, segue-se que:
${displaystyle int _{0}^{1}xJ_{alpha }left(xu_{alpham}right)J_{alpha }left(xu_{alphan}right),dx={frac {delta _{m,n}}{2}}left[J_{alpha +1}left(u_{alpham}right)right]^{2}={frac {delta _{m,n}}{2}}left[J_{alpha }'left(u_{alpham}right)right]^{2}}$ $α > < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < ) > < < < < < < < < < < < < < < < < < < < ) > < < < < < > < < ) >) >) > < < < < < < < < < < < < ) >) >) >) >) > > > > > > > > > > >) >) >) >) > > > <$ $δ m, n$ $u α, m$ $m$ $JJ α (x)$ $JJ α (x u α, m)$ $α$ $m$
Uma relação análoga para as funções esféricas de Bessel segue imediatamente:
${displaystyle int _{0}^{1}x^{2}j_{alpha }left(xu_{alpham}right)j_{alpha }left(xu_{alphan}right),dx={frac {delta _{m,n}}{2}}left[j_{alpha +1}left(u_{alpham}right)right]^{2}}$
Se alguém definir uma função boxcar de $x$ que depende de um pequeno parâmetro $ε$ como:
${displaystyle f_{varepsilon }(x)=varepsilon operatorname {rect} left({frac {x-1}{varepsilon }}right)}$ $rectificação$ $α > 1 / 2$ $g ε (k)$ $JJ α (k)$ $ε$ $k$ $g ε (k)$ $f ε (x)$ ${displaystyle int _{0}^{infty }kJ_{alpha }(kx)g_{varepsilon }(k),dk=f_{varepsilon }(x)}$ $ε$ $δ (x - 1)$ $δ$ ${displaystyle int _{0}^{infty }kJ_{alpha }(kx)J_{alpha }(k),dk=delta (x-1)}$
Uma mudança de variáveis produz a equação de fechamento:
${displaystyle int _{0}^{infty }xJ_{alpha }(ux)J_{alpha }(vx),dx={frac {1}{u}}delta (u-v)}$ $α > 1 / 2$ ${displaystyle int _{0}^{infty }x^{2}j_{alpha }(ux)j_{alpha }(vx),dx={frac {pi }{2u^{2}}}delta (u-v)}$ $α > < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < ) > < < < < < < < < < < < < < < < < < < < ) > < < < < < > < < ) >) >) > < < < < < < < < < < < < ) >) >) >) >) > > > > > > > > > > >) >) >) >) > > > <$
Outra propriedade importante das equações de Bessel, que decorre da identidade de Abel, envolve o wronskiano das soluções:
${displaystyle A_{alpha }(x){frac {dB_{alpha }}{dx}}-{frac {dA_{alpha }}{dx}}B_{alpha }(x)={frac {C_{alpha }}{x}}}$ $A α$ $B α$ $C α$ $x$ ${displaystyle J_{alpha }(x){frac {dY_{alpha }}{dx}}-{frac {dJ_{alpha }}{dx}}Y_{alpha }(x)={frac {2}{pi x}}}$ ${displaystyle I_{alpha }(x){frac {dK_{alpha }}{dx}}-{frac {dI_{alpha }}{dx}}K_{alpha }(x)=-{frac {1}{x}},}$ $α > < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < ) > < < < < < < < < < < < < < < < < < < < ) > < < < < < > < < ) >) >) > < < < < < < < < < < < < ) >) >) >) >) > > > > > > > > > > >) >) >) >) > > > <$
Para $α > -1$ , a função inteira par do gênero 1, $x - α J α (x)$ , possui apenas zeros reais. Deixar
$<math alttext="{displaystyle 0<j_{alpha1}<j_{alpha2}<cdots <j_{alphan}0<JJα α ,1<JJα α ,2<⋯ ⋯ <JJα α ,n<⋯ ⋯ {displaystyle 0<j_{alpha1}<j_{alpha2}<cdots <j_{alphan}<cdots }<img alt="{displaystyle 0<j_{alpha1}<j_{alpha2}<cdots <j_{alphan}$ ${displaystyle J_{alpha }(z)={frac {left({frac {z}{2}}right)^{alpha }}{Gamma (alpha +1)}}prod _{n=1}^{infty }left(1-{frac {z^{2}}{j_{alphan}^{2}}}right)}$
(Há um grande número de outras integrais e identidades conhecidas que não são reproduzidas aqui, mas que podem ser encontradas nas referências.)
Relações de recorrência
As funções $J α$ , $Y α$ , $H (1) α$ e $H (2) α$ todos satisfazem as relações de recorrência
${displaystyle {frac {2alpha }{x}}Z_{alpha }(x)=Z_{alpha -1}(x)+Z_{alpha +1}(x)}$ ${displaystyle 2{frac {dZ_{alpha }(x)}{dx}}=Z_{alpha -1}(x)-Z_{alpha +1}(x),}$ $Z.$ $JJ$ $Y$ $H. H. H. (1)$ $H. H. H. (2)$ ${displaystyle {begin{aligned}left({frac {1}{x}}{frac {d}{dx}}right)^{m}left[x^{alpha }Z_{alpha }(x)right]&=x^{alpha -m}Z_{alpha -m}(x),\left({frac {1}{x}}{frac {d}{dx}}right)^{m}left[{frac {Z_{alpha }(x)}{x^{alpha }}}right]&=(-1)^{m}{frac {Z_{alpha +m}(x)}{x^{alpha +m}}}.end{aligned}}}$
As funções de Bessel
Modificadas seguem relações semelhantes:
${displaystyle e^{left({frac {x}{2}}right)left(t+{frac {1}{t}}right)}=sum _{n=-infty }^{infty }I_{n}(x)t^{n}}$ ${displaystyle e^{zcos theta }=I_{0}(z)+2sum _{n=1}^{infty }I_{n}(z)cos ntheta }$ ${displaystyle {frac {1}{2pi }}int _{0}^{2pi }e^{zcos(mtheta)+ycos theta }dtheta =I_{0}(z)I_{0}(y)+2sum _{n=1}^{infty }I_{n}(z)I_{mn}(y).}$
A relação de recorrência lê
${displaystyle {begin{aligned}C_{alpha -1}(x)-C_{alpha +1}(x)&={frac {2alpha }{x}}C_{alpha }(x),\C_{alpha -1}(x)+C_{alpha +1}(x)&=2{frac {dC_{alpha }(x)}{dx}},end{aligned}}}$ $C α$ $Eu... α$ $e αi D KK α$
Transcendência
Em 1929, Carl Ludwig Siegel provou que $J ν (x)$ , $J' ν (x)$ e o quociente $J' ν (x) / J ν (x)$ são números transcendentes quando ν é racional e x é algébrico e diferente de zero. A mesma prova também implica que $K ν (x)$ é transcendental sob as mesmas suposições.
Teorema da multiplicação
As funções de Bessel obedecem a um teorema de multiplicação
${displaystyle lambda ^{-nu }J_{nu }(lambda z)=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{n!}}left({frac {left(1-lambda ^{2}right)z}{2}}right)^{n}J_{nu +n}(z),}$ $λ$ $Processo$ $| λ 2 - 1 | < 1$ $JJ$ $Y$ $| λ 2 - 1 | < 1$ ${displaystyle lambda ^{-nu }I_{nu }(lambda z)=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{n!}}left({frac {left(lambda ^{2}-1right)z}{2}}right)^{n}I_{nu +n}(z)}$ ${displaystyle lambda ^{-nu }K_{nu }(lambda z)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{n!}}left({frac {left(lambda ^{2}-1right)z}{2}}right)^{n}K_{nu +n}(z).}$
Zeros da função de Bessel
Hipótese de Bourget
O próprio Bessel originalmente provou que para inteiros não negativos $n$ , a equação $J n (x) = 0$ tem um número infinito de soluções em $x$ . Quando as funções $J n (x)$ são plotadas no mesmo gráfico, entretanto, nenhum dos zeros parece coincidir para diferentes valores de $n$ exceto para o zero em $x = 0$ . Esse fenômeno é conhecido como hipótese de Bourget em homenagem ao matemático francês do século XIX que estudou as funções de Bessel. Especificamente, afirma que para quaisquer números inteiros $n \geq 0$ e $m \geq 1$ , as funções $J n (x)$ e $J n + m (x)$ não tem zeros comuns diferentes daquele em $x = 0$ . A hipótese foi provada por Carl Ludwig Siegel em 1929.
Transcendência
Siegel provou em 1929 que quando Processo é racional, todas as raízes nonzero de $JJ Processo (x)$ e $JJ' Processo (x)$ são transcendentais, como todas as raízes de $KK Processo (x)$ . Também se sabe que todas as raízes dos derivados mais elevados ${displaystyle J_{nu }^{(n)}(x)}$ para n≤ 18 são transcendentais, exceto os valores especiais ${displaystyle J_{1}^{(3)}(pm {sqrt {3}})=0}$ e ${displaystyle J_{0}^{(4)}(pm {sqrt {3}})=0}$ .
Abordagens numéricas
Para estudos numéricos sobre os zeros da função de Bessel, ver Gil, Segura & Temme (2007), Kravanja et al. (1998) e Moler (2004).
Valores numéricos
O primeiro zero em J₀ (ou seja, j_0,1, j_0,2 e j_0,3) ocorre em argumentos de aproximadamente 2,40483, 5,52008 e 8,65373, respectivamente.

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