Função contínua

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Função matemática sem alterações súbitas

Em matemática, uma função contínua é uma função tal que uma variação contínua (ou seja, uma mudança sem salto) do argumento induz uma variação contínua do valor de a função. Isso significa que não há mudanças bruscas de valor, conhecidas como descontinuidades. Mais precisamente, uma função é contínua se mudanças arbitrariamente pequenas em seu valor podem ser asseguradas pela restrição a mudanças suficientemente pequenas em seu argumento. Uma função descontínua é uma função que não é contínua. Até o século 19, os matemáticos confiavam amplamente em noções intuitivas de continuidade e consideravam apenas funções contínuas. A definição epsilon-delta de um limite foi introduzida para formalizar a definição de continuidade.

A continuidade é um dos conceitos centrais do cálculo e da análise matemática, onde os argumentos e valores das funções são números reais e complexos. O conceito foi generalizado para funções entre espaços métricos e entre espaços topológicos. Estas últimas são as funções contínuas mais gerais, e sua definição é a base da topologia.

Uma forma mais forte de continuidade é a continuidade uniforme. Na teoria da ordem, especialmente na teoria dos domínios, um conceito relacionado de continuidade é a continuidade de Scott.

Como exemplo, a função $H (t)$ que denota a altura de uma flor crescendo no tempo $t$ seria considerado contínuo. Em contraste, a função $M (t)$ que denota a quantia de dinheiro em uma conta bancária no momento $t$ seria considerado descontínuo, pois "pula" em cada momento em que o dinheiro é depositado ou retirado.

História

Uma forma da definição de continuidade epsilon-delta foi dada pela primeira vez por Bernard Bolzano em 1817. Augustin-Louis Cauchy definiu a continuidade $y=f(x)$ como segue: um incremento infinitamente pequeno $alpha$ da variável independente x sempre produz uma mudança infinitamente pequena $f(x+alpha)-f(x)$ da variável dependente Sim. (veja por exemplo. Correios de Analyse, p. 34). Cauchy definiu infinitamente pequenas quantidades em termos de quantidades variáveis, e sua definição de continuidade estreitamente paralelo à definição infinitesimal usada hoje (ver microcontinuidade). A definição formal e a distinção entre a continuidade pontual e a continuidade uniforme foram dados pela primeira vez por Bolzano na década de 1830, mas o trabalho não foi publicado até a década de 1930. Como Bolzano, Karl Weierstrass negou a continuidade de uma função em um ponto c a menos que fosse definido em e em ambos os lados c, mas Édouard Goursat permitiu que a função fosse definida apenas em e de um lado c, e Camille Jordan permitiu mesmo que a função fosse definida apenas em c. Todas as três dessas definições não equivalentes de continuidade pontual ainda estão em uso. Eduard Heine forneceu a primeira definição publicada de continuidade uniforme em 1872, mas baseou essas ideias em palestras dadas por Peter Gustav Lejeune Dirichlet em 1854.

Funções reais

Definição

A função

{displaystyle f(x)={tfrac {1}{x}}}

é contínuo em seu domínio (

{displaystyle mathbb {R} setminus {0}}

), mas descontinuado (não contínuo ou singularidade) em

x=0

. No entanto, o valor principal Cauchy pode ser definido. Por outro lado, em análise complexa (

mathbb {C}

, especialmente

widehat{mathbb{C}}

.), este ponto (x=0) não é considerado como "indefinido" e é chamado de singularidade, porque ao pensar em

x

como uma variável complexa, este ponto é um pólo da ordem um, e então a série Laurent com na maioria das partes principais finitas pode ser definida em torno dos pontos singulares. Além disso, a esfera de Riemann é frequentemente usada como modelo para estudar funções como o exemplo.

Uma função real, ou seja, uma função de números reais para números reais, pode ser representada por um gráfico no plano cartesiano; tal função é contínua se, grosso modo, o gráfico é uma única curva ininterrupta cujo domínio é toda a linha real. Uma definição mais matematicamente rigorosa é dada abaixo.

A continuidade das funções reais é geralmente definida em termos de limites. Uma função $f$ com variável $x$ o contínuo em o número real $c$ , se o limite de $f(x),$ como $x$ tende a $c$ , é igual a ${displaystyle f(c).}$

Existem várias definições diferentes de continuidade (global) de uma função, que dependem da natureza do seu domínio.

Uma função é contínua em um intervalo aberto se o intervalo estiver contido no domínio da função, e a função é contínua em cada ponto do intervalo. Uma função contínua no intervalo ${displaystyle (-infty+infty)}$ (toda a linha real) é frequentemente chamada simplesmente uma função contínua; diz-se também que tal função é contínuo em todos os lugares. Por exemplo, todas as funções polinomiais são contínuas em todos os lugares.

Uma função é contínua em um intervalo semi-aberto ou fechado, se o intervalo estiver contido no domínio da função, a função é contínua em cada ponto interior do intervalo, e o valor da função em cada ponto final que pertence ao intervalo é o limite dos valores da função quando a variável tende ao ponto final do interior do intervalo. Por exemplo, a função $f(x)={sqrt {x}}$ é contínuo em todo o seu domínio, que é o intervalo fechado ${displaystyle [0,+infty).}$

Muitas funções comumente encontradas são funções parciais que têm um domínio formado por todos os números reais, exceto alguns pontos isolados. Exemplos são as funções ${textstyle xmapsto {frac {1}{x}}}$ e ${displaystyle xmapsto tan x.}$ Quando eles são contínuos em seu domínio, diz-se, em alguns contextos, que eles são contínuos, embora eles não são contínuos em todos os lugares. Em outros contextos, principalmente quando se está interessado com seu comportamento perto dos pontos excepcionais, diz-se que eles são descontinuados.

Uma função parcial é descontinuação em um ponto, se o ponto pertence ao fechamento topológico de seu domínio, e ou o ponto não pertence ao domínio da função, ou a função não é contínua no ponto. Por exemplo, as funções ${textstyle xmapsto {frac {1}{x}}}$ e ${textstyle xmapsto sin({frac {1}{x}})}$ são descontinuados em $0$ , e permanecer descontínuo qualquer valor é escolhido para defini-los em $0$ . Um ponto onde uma função é descontinuada é chamado de descontinuidade.

Usando a notação matemática, existem várias maneiras de definir funções contínuas em cada um dos três sentidos mencionados acima.

Deixe

{displaystyle f:Dto mathbb {R} }

D

mathbb {R}

Este subconjunto $D$ é o domínio de $f$ . Algumas escolhas possíveis incluem

${displaystyle D=mathbb {R} }$ : i.e., $D$ é todo o conjunto de números reais), ou, para $um$ e $b)$ números reais,
${displaystyle D=[a,b]={xin mathbb {R} mid aleq xleq b}}$ : $D$ é um intervalo fechado, ou
$<math alttext="{displaystyle D=(a,b)={xin mathbb {R} mid a<x D= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(um,b))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(x\in \in R∣ ∣ um<x<b)?{displaystyle D=(a,b)={xin mathbb {R} mid a<x<b}} <img alt="{displaystyle D=(a,b)={xin mathbb {R} mid a<x$ : $D$ é um intervalo aberto.

Em caso de domínio $D$ sendo definido como um intervalo aberto, $a$ e $b$ não pertencem a $D$ , e os valores de $f(a)$ e $f(b)$ não importa para a continuidade em $D$ .

Definição em termos de limites de funções

A função $f$ o contínua em algum ponto $c$ de seu domínio se o limite de $f(x),$ como x abordagens c através do domínio de f, existe e é igual a ${displaystyle f(c).}$ Na notação matemática, isso é escrito como

{displaystyle lim _{xto c}{f(x)}=f(c).}

$f$ $c$ $c$ $f$ ${displaystyle f(c).}$
(Aqui, assumimos que o domínio de f não possui nenhum ponto isolado.)
Definição em termos de bairros
Um bairro de um ponto c é um conjunto que contém, pelo menos, todos os pontos dentro de alguma distância fixa c. Intuitivamente, uma função é contínua em um ponto c se a gama de f sobre o bairro de c diminui para um único ponto $f(c)$ como a largura do bairro ao redor c diminui para zero. Mais precisamente, uma função f é contínuo em um ponto c de seu domínio se, para qualquer bairro $N_{1}(f(c))$ há um bairro $N_{2}(c)$ em seu domínio tal que ${displaystyle f(x)in N_{1}(f(c))}$ sempre ${displaystyle xin N_{2}(c).}$
Esta definição requer apenas que o domínio e o contradomínio sejam espaços topológicos e, portanto, é a definição mais geral. Segue desta definição que uma função f é automaticamente contínua em cada ponto isolado de seu domínio. Como um exemplo específico, toda função com valor real no conjunto de números inteiros é contínua.
Definição em termos de limites de sequências

A sequência $exp (1) n)$ converge para $exp(0) = 1$
Um pode, em vez disso, exigir isso para qualquer sequência ${displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N} }}$ de pontos no domínio que convergem para c, a sequência correspondente ${displaystyle left(f(x_{n})right)_{nin mathbb {N} }}$ converge para ${displaystyle f(c).}$ Na notação matemática,
${displaystyle forall (x_{n})_{nin mathbb {N} }subset D:lim _{nto infty }x_{n}=cRightarrow lim _{nto infty }f(x_{n})=f(c),.}$
Definições de Weierstrass e Jordan (épsilon-delta) de funções contínuas

Ilustração do $ε$ - Não. $δ$ -definição: em $x = 2$ , qualquer valor $δ \leq 0,5$ satisfaz a condição da definição para $ε = 0,5$ .
Provavelmente, incluindo a definição do limite de uma função, obtemos uma definição auto-suficiente: Dada uma função ${displaystyle f:Dto mathbb {R} }$ como acima e um elemento $x_{0}$ do domínio $D$ , $f$ é dito ser contínuo no ponto $x_{0}$ quando o seguinte é válido: Para qualquer número real positivo $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0,{displaystyle varepsilon >0,} 0," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d780d8dff4b26013c7d5d0efbc1acb92b60645b" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.991ex; height:2.509ex;"/>$ no entanto pequeno, existe algum número real positivo $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ >0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ tal que para todos $x$ no domínio de $f$ com $<math alttext="{displaystyle x_{0}-delta <xx0- Sim. - Sim. δ δ <x<x0+δ δ ,{displaystyle x_{0}-delta <x<x_{0}+delta}<img alt="{displaystyle x_{0}-delta <x$ o valor de $f(x)$ satisfaz
$<math alttext="{displaystyle fleft(x_{0}right)-varepsilon <f(x)f(x0)- Sim. - Sim. ε ε <f(x)<f(x0)+ε ε .{displaystyle fleft(x_{0}right)-varepsilon <f(x)<f(x_{0})+varepsilon.}<img alt="{displaystyle fleft(x_{0}right)-varepsilon <f(x)$
Alternativamente escrito, continuidade de ${displaystyle f:Dto mathbb {R} }$ em $x_0 in D$ significa que para cada $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0,{displaystyle varepsilon >0,} 0," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d780d8dff4b26013c7d5d0efbc1acb92b60645b" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.991ex; height:2.509ex;"/>$ existe uma $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ >0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ tal que para todos $xin D$ :
$<math alttext="{displaystyle left|x-x_{0}right|<delta ~~{text{ implies }}~~|f(x)-f(x_{0})||x- Sim. - Sim. x0|<δ δ implica|f(x)- Sim. - Sim. f(x0)|<ε ε .{displaystyle left|x-x_{0}right|<delta ~~{text{ implica }}~~|f(x)-f(x_{0})|<varepsilon.}<img alt="{displaystyle left|x-x_{0}right|<delta ~~{text{ implies }}~~|f(x)-f(x_{0})|$
Mais intuitivamente, podemos dizer que se quisermos obter todo o $f(x)$ valores para ficar em algum bairro pequeno ao redor ${displaystyle fleft(x_{0}right),}$ nós simplesmente precisamos escolher um pequeno bairro suficiente para o $x$ valores ao redor $x_{0}.$ Se pudermos fazer isso não importa quão pequeno seja o $f(x_{0})$ bairro é, então $f$ é contínuo em $x_{0}.$
Em termos modernos, isso é generalizado pela definição de continuidade de uma função em relação a uma base para a topologia, aqui a topologia métrica.
Weierstrass precisava que o intervalo $<math alttext="{displaystyle x_{0}-delta <xx0- Sim. - Sim. δ δ <x<x0+δ δ {displaystyle x_{0}-delta <x<x_{0}+delta ?<img alt="{displaystyle x_{0}-delta <x$ estar inteiramente dentro do domínio $D$ , mas Jordan removeu essa restrição.
Definição em termos de controle do restante
Em provas e análise numérica, muitas vezes precisamos saber como os limites rápidos estão convergindo, ou em outras palavras, o controle do restante. Podemos formalizar isto a uma definição de continuidade. Uma função ${displaystyle C:[0,infty)to [0,infty ]}$ é chamado de função de controle se
C é não crescente
$0}C(delta)=0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">infδ δ >0C(δ δ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0{displaystyle inf _{delta >0}C(delta)=0}0}C(delta)=0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5fd21047e64de2fd6d90a3538f7a1359d516d7" style="vertical-align: -2.171ex; width:12.114ex; height:4.176ex;"/>$
Uma função ${displaystyle f:Dto R}$ o C-continuação $x_{0}$ se existe tal bairro ${textstyle N(x_{0})}$ que
${displaystyle |f(x)-f(x_{0})|leq Cleft(left|x-x_{0}right|right){text{ for all }}xin Dcap N(x_{0})}$
Uma função é contínua em $x_{0}$ se for C-continua para alguma função de controle C.
Esta abordagem leva naturalmente a redefinir a noção de continuidade, restringindo o conjunto de funções de controle admissíveis. Para um determinado conjunto de funções de controle ${mathcal {C}}$ uma função é ${mathcal {C}}$ - contínuo se for $C$ - contínuo para alguns $C in mathcal{C}.$ Por exemplo, as funções contínuas de Lipschitz e Hölder de expoente $α$ abaixo são definidos pelo conjunto de funções de controle
$0}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">CLEu...pSchEu...)zangão.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(C:C(δ δ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =KK|δ δ |,KK>0?{displaystyle {mathcal {C}}_{mathrm Não. }={C:C(delta)=K|delta |, K>0}}0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71802614729e3ea3574506d7aa13a9f4f875a11e" style="vertical-align: -1.005ex; width:37.174ex; height:3.009ex;"/>$ $0}.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">CHölder- Sim. - Sim. α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(C:C(δ δ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =KK|δ δ |α α ,KK>0?.{displaystyle {mathcal {C}}_{{text{Hölder}}-alpha }={C:C(delta)=K|delta |^{alpha }, K>0}0}.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0ca68ec68ce84a2b335a7b8d5f4e4aa18619bd" style="vertical-align: -1.505ex; width:39.898ex; height:3.676ex;"/>$
Definição usando oscilação

A falha de uma função a ser contínua em um ponto é quantificada por sua oscilação.
A continuidade também pode ser definida em termos de oscilação: uma função f é contínuo em um ponto $x_{0}$ se e somente se sua oscilação nesse ponto é zero; em símbolos, $omega _{f}(x_{0})=0.$ Um benefício desta definição é que quantificações descontinuidade: a oscilação dá como Muito. a função é interrompida em um ponto.
Esta definição é útil na teoria de conjuntos descritivo para estudar o conjunto de descontinuidades e pontos contínuos – os pontos contínuos são a interseção dos conjuntos onde a oscilação é menor que $varepsilon$ (daí $G_{{delta }}$ conjunto) – e dá uma prova muito rápida de uma direção da condição de integrabilidade Lebesgue.
A oscilação é equivalente ao ${displaystyle varepsilon -delta }$ definição por uma simples reorganização, e usando um limite (lim sup, lim inf) para definir oscilação: se (em um determinado ponto) para um dado $varepsilon _{0}$ não há $delta$ que satisfaz o ${displaystyle varepsilon -delta }$ definição, então a oscilação é pelo menos ${displaystyle varepsilon _{0},}$ e inversamente se para cada $varepsilon$ há um desejado $delta$ a oscilação é 0. A definição de oscilação pode ser naturalmente generalizada para mapas de um espaço topológico para um espaço métrico.
Definição usando os hiper-reais
Cauchy definiu a continuidade de uma função nos seguintes termos intuitivos: uma mudança infinitesimal na variável independente corresponde a uma mudança infinitesimal na variável dependente (ver Cours d'analyse, página 34). A análise não padronizada é uma maneira de tornar isso matematicamente rigoroso. A linha real é aumentada pela adição de números infinitos e infinitesimais para formar os números hiper-reais. Na análise não padronizada, a continuidade pode ser definida da seguinte forma.
Uma função de valor real $f$ é contínuo em $x$ se sua extensão natural para os hiperreais tem a propriedade que para todos os infinitesimal $Dx$ , ${displaystyle f(x+dx)-f(x)}$ é infinito
(ver microcontinuidade). Em outras palavras, um incremento infinitesimal da variável independente sempre produz uma mudança infinitesimal da variável dependente, dando uma expressão moderna à definição de continuidade de Augustin-Louis Cauchy.
Construção de funções contínuas

O gráfico de uma função cúbico não tem saltos ou buracos. A função é contínua.
A verificação da continuidade de uma determinada função pode ser simplificada verificando uma das propriedades de definição acima para os blocos de construção da função especificada. É fácil mostrar que a soma de duas funções, contínuas em algum domínio, também é contínua neste domínio. Dado
${displaystyle f,gcolon Dto mathbb {R}}$ soma de funções contínuas ${displaystyle s=f+g}$ ${displaystyle s(x)=f(x)+g(x)}$ $xin D$ $D.$
O mesmo vale para o produto de funções contínuas,
${displaystyle p=fcdot g}$ ${displaystyle p(x)=f(x)cdot g(x)}$ $xin D$ $D.$
Combinando as preservaçãos acima da continuidade e a continuidade das funções constantes e da função de identidade ${displaystyle I(x)=x}$ sobre $mathbb {R}$ , um chega à continuidade de todas as funções polinomiais sobre $mathbb {R}$ , como
${displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}$

O gráfico de uma função racional contínua. A função não é definida para ${displaystyle x=-2.}$ As linhas verticais e horizontais são assintotos.
Da mesma forma, pode-se mostrar que o recíproco de uma função contínua
${displaystyle r=1/f}$ ${displaystyle r(x)=1/f(x)}$ $xin D$ $f(x)neq 0$ ${displaystyle Dsetminus {x:f(x)=0}.}$
Isto implica que, excluindo as raízes ${displaystyle g,}$ o quociente de funções contínuas
${displaystyle q=f/g}$ ${displaystyle q(x)=f(x)/g(x)}$ $xin D$ ${displaystyle g(x)neq 0}$ ${displaystyle Dsetminus {x:g(x)=0}}$
Por exemplo, a função (foto)
${displaystyle y(x)={frac {2x-1}{x+2}}}$ ${displaystyle xneq -2}$ $x=-2$ $x=-2$ $y.$ ${displaystyle F:mathbb {R} to mathbb {R} }$ $y(x)$ ${displaystyle xneq -2.}$

O sinc e as funções cos
Como a função sine é contínua em todos os reais, a função sinc ${displaystyle G(x)=sin(x)/x,}$ é definido e contínuo para todos os reais ${displaystyle xneq 0.}$ No entanto, ao contrário do exemplo anterior, G pode ser ser estendida a uma função contínua em Todos números reais, por definição o valor ${displaystyle G(0)}$ para ser 1, que é o limite de ${displaystyle G(x),}$ quando x abordagens 0, i.e.,
${displaystyle G(0)=lim _{xto 0}{frac {sin x}{x}}=1.}$
Assim, ao definir
$G(x)={begin{cases}{frac {sin(x)}{x}}&{text{ if }}xneq 0\1&{text{ if }}x=0,end{cases}}$
a função sinc torna-se uma função contínua em todos os números reais. O termo singularidade removível é usado nesses casos, quando (re)definir valores de uma função para coincidir com os limites apropriados torna uma função contínua em pontos específicos.
Uma construção mais complicada de funções contínuas é a composição de funções. Dadas duas funções contínuas
${displaystyle g:D_{g}subseteq mathbb {R} to R_{g}subseteq mathbb {R} quad {text{ and }}quad f:D_{f}subseteq mathbb {R} to R_{f}subseteq D_{g},}$ ${displaystyle c=gcirc f:D_{f}to mathbb {R}}$ ${displaystyle c(x)=g(f(x)),}$
Esta construção permite afirmar, por exemplo, que
${displaystyle e^{sin(ln x)}}$ $0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x>0.{displaystyle x>0.}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50210c9623c7550667b44516d146cc3c2859c664" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.237ex; height:2.176ex;"/>$
Exemplos de funções descontínuas

Lote da função de sinal. Mostra que ${displaystyle lim _{nto infty }operatorname {sgn} left({tfrac {1}{n}}right)neq operatorname {sgn} left(lim _{nto infty }{tfrac {1}{n}}right)}$ . Assim, a função de sinalização é descontinuada em 0 (ver secção 2.1.3).
Um exemplo de uma função descontínua é a função passo Heaviside $H$ , definido por
$<math alttext="{displaystyle H(x)={begin{cases}1&{text{ if }}xgeq 0\0&{text{ if }}xH. H. H.(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(1sex≥ ≥ 00sex<0{displaystyle H(x)={begin{cases}1&{text{ if }}xgeq 0&{text{ if }}x<0end{cases}}}<img alt="{displaystyle H(x)={begin{cases}1&{text{ if }}xgeq 0\0&{text{ if }}x$
Escolha por exemplo ${displaystyle varepsilon =1/2}$ . Então não há $delta$ - vizinhança ao redor $x=0$ , ou seja, sem intervalo aberto ${displaystyle (-delta;delta)}$ com $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ >0,{displaystyle delta >0,}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f776a7a2322f7eb139801d00d029887455b081" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.956ex; height:2.676ex;"/>$ que forçará toda a $H(x)$ valores para estar dentro do $varepsilon$ - vizinhança de ${displaystyle H(0)}$ , i.e. dentro ${displaystyle (1/2,;3/2)}$ . Intuitivamente podemos pensar neste tipo de descontinuidade como um salto repentino em valores de função.
Da mesma forma, o signum ou função sign
$0\;; 0&{text{ if }}x=0\-1&{text{ if }}xSgn⁡ ⁡ (x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(1sex>00sex= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0- Sim. - Sim. 1sex<0{displaystyle operatorname {sgn}(x)={begin{cases};; 1&{text{ if }}x>0\;; 0&{text{ if }}x=0-1&{text{ if }}x<0end{cases}}}0\;; 0&{text{ if }}x=0\-1&{text{ if }}x$ $x=0$ ${displaystyle f(x)={begin{cases}sin left(x^{-2}right)&{text{ if }}xneq 0\0&{text{ if }}x=0end{cases}}}$ $x=0$

Lote de ponto da função de Thomae no intervalo (0,1). O ponto mais alto no meio mostra f(1/2) = 1/2.
Além das continuidades e descontinuidades plausíveis como acima, também existem funções com um comportamento, muitas vezes chamado de patológico, por exemplo, a função de Thomae,
${displaystyle f(x)={begin{cases}1&{text{ if }}x=0\{frac {1}{q}}&{text{ if }}x={frac {p}{q}}{text{(in lowest terms) is a rational number}}\0&{text{ if }}x{text{ is irrational}}.end{cases}}}$ ${displaystyle D(x)={begin{cases}0&{text{ if }}x{text{ is irrational }}(in mathbb {R} setminus mathbb {Q})\1&{text{ if }}x{text{ is rational }}(in mathbb {Q})end{cases}}}$
Propriedades
Um lema útil
Vamos. $f(x)$ ser uma função que é contínua em um ponto $x_0,$ e $y_{0}$ ser um valor tal ${displaystyle fleft(x_{0}right)neq y_{0}.}$ Então... ${displaystyle f(x)neq y_{0}}$ em algum bairro de $x_{0}.$
Prova: Pela definição de continuidade, tome $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|Sim.0- Sim. - Sim. f(x0)|2>0{displaystyle varepsilon ={frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}>0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a77ab76950a87ad1bdd26afabb5c0e5b48b683f6" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.078ex; height:5.676ex;"/>$ então existe $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ >0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ tal que
$<math alttext="{displaystyle left|f(x)-f(x_{0})right|<{frac {left|y_{0}-f(x_{0})right|}{2}}quad {text{ whenever }}quad |x-x_{0}||f(x)- Sim. - Sim. f(x0)|<|Sim.0- Sim. - Sim. f(x0)|2sempre|x- Sim. - Sim. x0|<δ δ {displaystyle left|f(x)-f(x_{0})right|<{frac {left|y_{0}-f(x_{0})right|}{2}}quad {text{ always }}quad |x-x_{0}|<delta }<img alt="{displaystyle left|f(x)-f(x_{0})right|<{frac {left|y_{0}-f(x_{0})right|}{2}}quad {text{ whenever }}quad |x-x_{0}|$ $<math alttext="{displaystyle |x-x_{0}||x- Sim. - Sim. x0|<δ δ Não. |x-x_{0}|<delta }<img alt="|x-x_{0}|$ ${displaystyle f(x)=y_{0};}$ $<math alttext="{displaystyle left|f(x_{0})-y_{0}right||f(x0)- Sim. - Sim. Sim.0|<|f(x0)- Sim. - Sim. Sim.0|2.{displaystyle left|f(x_{0})-y_{0}right|<{frac {left|f(x_{0})-y_{0}right|}{2}}.}<img alt="{displaystyle left|f(x_{0})-y_{0}right|$
Teorema do valor intermediário
O teorema do valor intermediário é um teorema de existência, baseado na propriedade de completude do número real, e afirma:
Se a função real-valorizada f é contínuo no intervalo fechado $[a, b],$ e k é um número entre $f(a)$ e ${displaystyle f(b),}$ então há algum número ${displaystyle cin [a,b],}$ tal que ${displaystyle f(c)=k.}$
Por exemplo, se uma criança cresce de 1 m para 1,5 m entre as idades de dois e seis anos, então, em algum momento entre dois e seis anos de idade, a altura da criança deve ser de 1,25 m.
Como consequência, se f é contínuo em $[a,b]$ e $f(a)$ e $f(b)$ diferem em sinal, então, em algum ponto ${displaystyle cin [a,b],}$ $f(c)$ deve ser igual a zero.
Teorema do valor extremo
O teorema de valor extremo afirma que se uma função f é definido em um intervalo fechado $[a,b]$ (ou qualquer conjunto fechado e limitado) e é contínuo lá, então a função atinge seu máximo, ou seja, existe ${displaystyle cin [a,b]}$ com ${displaystyle f(c)geq f(x)}$ para todos ${displaystyle xin [a,b].}$ O mesmo se aplica ao mínimo de f. Estas declarações não são, em geral, verdadeiras se a função é definida em um intervalo aberto $(a,b)$ (ou qualquer conjunto que não seja fechado e limitado), como, por exemplo, a função contínua ${displaystyle f(x)={frac {1}{x}},}$ definido no intervalo aberto (0,1), não atinge um máximo, sendo unbounded acima.
Relação com diferenciabilidade e integrabilidade
Toda função diferenciável
${displaystyle f:(a,b)to mathbb {R} }$
$<math alttext="{displaystyle f(x)=|x|={begin{cases};; x&{text{ if }}xgeq 0\-x&{text{ if }}xf(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|x|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(xsex≥ ≥ 0- Sim. - Sim. xsex<0{displaystyle f(x)=|x|={begin{cases};; x&{text{ if }}xgeq 0-x&{text{ if }}x<0end{cases}}}<img alt="{displaystyle f(x)=|x|={begin{cases};; x&{text{ if }}xgeq 0\-x&{text{ if }}x$
é em todo lugar contínuo. No entanto, não é diferenciável em $x=0$ (mas é assim em todo o lado). A função de Weierstrass também é em todo lugar contínua, mas em nenhum lugar diferente.
O derivado F.(x) de uma função diferencial f(x) não precisa ser contínuo. Se F.(x) é contínuo, f(x) é dito ser continuamente diferenciada. O conjunto de tais funções é denotado ${displaystyle C^{1}((a,b)).}$ Mais geralmente, o conjunto de funções
${displaystyle f:Omega to mathbb {R} }$ $mathbb {R}$ $Omega$ f $n$ $n$ f ${displaystyle C^{n}(Omega).}$ ${displaystyle C^{0},C^{1},C^{2}}$ $G^{0}$ ${displaystyle G^{1}}$ ${displaystyle G^{2}}$
Toda função contínua
${displaystyle f:[a,b]to mathbb {R} }$
Limites pontuais e uniformes

Uma sequência de funções contínuas $f_{n}(x)$ cuja função limite (ponto) $f(x)$ é descontínuo. A convergência não é uniforme.
Dada uma sequência
${displaystyle f_{1},f_{2},dotsc:Ito mathbb {R} }$ ${displaystyle f(x):=lim _{nto infty }f_{n}(x)}$ ${displaystyle xin D,}$ $f(x)$ ${displaystyle left(f_{n}right)_{nin N}.}$ $f_{n}$ f $f_{n}$
Direcional e semicontinuidade
Uma função contínua direita
Uma função contínua esquerda
Funções descontínuas podem ser descontinuas de forma restrita, dando origem ao conceito de continuidade direcional (ou funções contínuas direita e esquerda) e semi-continuidade. Roughly falando, uma função é direito contínuo se nenhum salto ocorrer quando o ponto limite é abordado da direita. Formalmente, f é dito para ser de direito contínuo no ponto c se o seguinte for válido: Para qualquer número $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ no entanto pequeno, existe algum número $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ >0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ tal que para todos x no domínio com $<math alttext="{displaystyle c<xc<x<c+δ δ ,{displaystyle c<x<c+delta} <img alt="{displaystyle c<x$ o valor de $f(x)$ irá satisfazer
$<math alttext="{displaystyle |f(x)-f(c)||f(x)- Sim. - Sim. f(c)|<ε ε .|f(x)-f(c)|<varepsilon.} <img alt="{displaystyle |f(x)-f(c)|$
Esta é a mesma condição que para funções contínuas, exceto que é necessário segurar para x estritamente maior do que c Só. Requirindo-o em vez de tudo x com $<math alttext="{displaystyle c-delta <xc- Sim. - Sim. δ δ <x<c<x<c) <img alt="{displaystyle c-delta <x$ produz a noção de esquerda contínua funções. Uma função é contínua se e somente se é contínua e esquerda contínua.
Uma função f o semi-contínuo inferior se, aproximadamente, quaisquer saltos que podem ocorrer apenas descer, mas não para cima. Isso é, para qualquer $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0,{displaystyle varepsilon >0,} 0," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d780d8dff4b26013c7d5d0efbc1acb92b60645b" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.991ex; height:2.509ex;"/>$ existe algum número $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ >0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ tal que para todos x no domínio com $<math alttext="{displaystyle |x-c||x- Sim. - Sim. c|<δ δ ,|x-c|<delta} <img alt="{displaystyle |x-c|$ o valor de $f(x)$ satisfaz
${displaystyle f(x)geq f(c)-epsilon.}$ semi-continuidade superior
Funções contínuas entre espaços métricos

O conceito de funções reais contínuas pode ser generalizado para funções entre espaços métricos. Um espaço métrico é um conjunto $X$ equipado com uma função (chamada métrica) ${displaystyle d_{X},}$ que pode ser pensado como uma medição da distância de qualquer dois elementos em X. Formalmente, a métrica é uma função
${displaystyle d_{X}:Xtimes Xto mathbb {R} }$ ${displaystyle left(X,d_{X}right)}$ ${displaystyle left(Y,d_{Y}right)}$ ${displaystyle f:Xto Y}$ $f$ ${displaystyle cin X}$ $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0,{displaystyle varepsilon >0,} 0," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d780d8dff4b26013c7d5d0efbc1acb92b60645b" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.991ex; height:2.509ex;"/>$ $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ >0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ $xin X$ $<math alttext="{displaystyle d_{X}(x,c)DX(x,c)<δ δ (x,c)<delta ?<img alt="{displaystyle d_{X}(x,c)$ $<math alttext="{displaystyle d_{Y}(f(x),f(c))DY(f(x),f(c))<ε ε .(f(x),f(c)))<varepsilon.}<img alt="{displaystyle d_{Y}(f(x),f(c))$ ${displaystyle left(x_{n}right)}$ $X$ ${displaystyle lim x_{n}=c,}$ ${displaystyle lim fleft(x_{n}right)=f(c).}$ $f$ $c$ ${displaystyle left(x_{n}right)}$ $X$ $c$ ${displaystyle left(fleft(x_{n}right)right)}$ $c$ $f$
O conjunto de pontos em que uma função entre espaços métricos é contínua é $G_{{delta }}$ conjunto– isto segue do ${displaystyle varepsilon -delta }$ definição de continuidade.
Esta noção de continuidade é aplicada, por exemplo, na análise funcional. Uma declaração-chave nesta área diz que um operador linear
${displaystyle T:Vto W}$ $V$ $W$ $|x|$ $K$ ${displaystyle |T(x)|leq K|x|}$ ${displaystyle xin V.}$
Continuidade Uniforme, Hölder e Lipschitz

Para uma função contínua de Lipschitz, há um cone duplo (mostrado em branco) cujo vértice pode ser traduzido ao longo do gráfico, de modo que o grafo permanece sempre inteiramente fora do cone.
O conceito de continuidade para funções entre espaços métricos pode ser reforçado de várias maneiras, limitando o caminho $delta$ depende $varepsilon$ e c na definição acima. Intuitivamente, uma função f como acima é uniformemente contínuo se o $delta$ faz não depender do ponto c. Mais precisamente, é necessário que para cada número real $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ existe $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ >0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ tal que para cada ${displaystyle c,bin X}$ com $<math alttext="{displaystyle d_{X}(b,c)DX(b),c)<δ δ ,(b,c)<delta}<img alt="{displaystyle d_{X}(b,c)$ nós temos $<math alttext="{displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))DY(f(b)),f(c))<ε ε .(f(b),f(c)))<varepsilon.}<img alt="{displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))$ Assim, qualquer função uniformemente contínua é contínua. O converso não possui em geral, mas mantém quando o espaço de domínio X é compacto. Mapas uniformemente contínuos podem ser definidos na situação mais geral de espaços uniformes.
Uma função é Hölder contínua com exponente α (um número real) se houver uma constante KK tal que para todos ${displaystyle b,cin X,}$ a desigualdade
${displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))leq Kcdot (d_{X}(b,c))^{alpha }}$ $alpha =1$ KK ${displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))leq Kcdot d_{X}(b,c)}$ ${displaystyle b,cin X.}$
Funções contínuas entre espaços topológicos
Outra noção de continuidade, mais abstrata, é a continuidade de funções entre espaços topológicos em que geralmente não há noção formal de distância, como no caso dos espaços métricos. Um espaço topológico é um conjunto X junto com uma topologia em X, que é um conjunto de subconjuntos de X satisfazendo alguns requisitos com relação a suas uniões e interseções que generalizam as propriedades das bolas abertas em espaços métricos enquanto ainda permitem falar sobre as vizinhanças de um determinado ponto. Os elementos de uma topologia são chamados de subconjuntos abertos de X (em relação à topologia).
Uma função
${displaystyle f:Xto Y}$ XY ${displaystyle Vsubseteq Y,}$ ${displaystyle f^{-1}(V)={xin X;|;f(x)in V}}$ XfXY ${displaystyle T_{X}}$ fXY
Isso equivale à condição de que as pré-imagens dos conjuntos fechados (que são os complementos dos subconjuntos abertos) em Y sejam fechadas em X.
Um exemplo extremo: se um conjunto X recebe a topologia discreta (na qual cada subconjunto é aberto), todas as funções
${displaystyle f:Xto T}$ TXXT
Continuidade em um ponto

Continuidade em um ponto: Para cada bairro V de $f(x)$ , há um bairro U de x tal que $f(U)subseteq V$
A tradução na língua dos bairros dos $(varepsilon, delta)$ -definição de continuidade leva à seguinte definição da continuidade em um ponto:
Uma função $f:Xto Y$ é contínuo em um ponto $xin X$ se e somente se para qualquer bairro $V$ de $f(x)$ em $Y$ , há um bairro $U$ de $x$ tal que ${displaystyle f(U)subseteq V.}$
Esta definição é equivalente à mesma declaração com bairros restritos a bairros abertos e pode ser reformulada de várias maneiras usando pré-imagens em vez de imagens.
Além disso, como cada conjunto que contém um bairro também é um bairro, e $f^{{-1}}(V)$ é o maior subconjunto $U$ de $X$ tal que ${displaystyle f(U)subseteq V,}$ Esta definição pode ser simplificada em:
Uma função $f:Xto Y$ é contínuo em um ponto $xin X$ se e somente se $f^{{-1}}(V)$ é um bairro de $x$ para cada bairro $V$ de $f(x)$ em $Y$ .
Como um conjunto aberto é um conjunto que é um bairro de todos os seus pontos, uma função $f:Xto Y$ é contínuo em cada ponto de $X$ se e somente se for uma função contínua.
Se X e Y são espaços métricos, é equivalente a considerar o sistema de bairro de bolas abertas centradas em x e f(x) em vez de todos os bairros. Isso devolve o acima ${displaystyle varepsilon -delta }$ definição de continuidade no contexto dos espaços métricos. Em espaços topológicos gerais, não há noção de proximidade ou distância. Se, no entanto, o espaço-alvo é um espaço Hausdorff, ainda é verdade que f é contínuo em um se e somente se o limite de f como x abordagens um o f(um). Em um ponto isolado, cada função é contínua.
Conduzido ${displaystyle xin X,}$ um mapa $f:Xto Y$ é contínuo em $x$ se e somente se sempre ${mathcal {B}}$ é um filtro em $X$ que converge para $x$ em $X,$ que é expressa por escrito ${displaystyle {mathcal {B}}to x,}$ então, necessariamente ${displaystyle f({mathcal {B}})to f(x)}$ em $Y.$ Se ${mathcal {N}}(x)$ denota o filtro de bairro em $x$ então $f:Xto Y$ é contínuo em $x$ se e somente se ${displaystyle f({mathcal {N}}(x))to f(x)}$ em $Y.$ Além disso, isso acontece se e somente se o prefilter ${displaystyle f({mathcal {N}}(x))}$ é uma base de filtro para o filtro de bairro de $f(x)$ em $Y.$
Definições alternativas
Existem várias definições equivalentes para uma estrutura topológica e, portanto, várias maneiras equivalentes de definir uma função contínua.
Sequências e redes
Em vários contextos, a topologia de um espaço é convenientemente especificada em termos de pontos limite. Em muitos casos, isso é feito especificando quando um ponto é o limite de uma sequência, mas para alguns espaços que são muito grandes em algum sentido, especifica-se também quando um ponto é o limite de conjuntos de pontos mais gerais indexados por um conjunto, conhecido como redes. Uma função é (Heine-)contínua apenas se leva limites de sequências a limites de sequências. No primeiro caso, a preservação dos limites também é suficiente; no último, uma função pode preservar todos os limites das sequências, mas ainda não ser contínua, e a preservação das redes é uma condição necessária e suficiente.
Em detalhe, uma função $f:Xto Y$ o sequencialmente contínuo se sempre que uma sequência ${displaystyle left(x_{n}right)}$ em $X$ converge para um limite $x,$ a sequência ${displaystyle left(fleft(x_{n}right)right)}$ converge para $f(x).$ Assim, funções sequencialmente contínuas "preserve limites sequenciais". Cada função contínua é sequencialmente contínua. Se $X$ é um espaço de primeira contagem e escolha contável detém, então o converso também detém: qualquer função preservando limites sequenciais é contínua. Em particular, se $X$ é um espaço métrico, continuidade sequencial e continuidade são equivalentes. Para espaços não contabilizados, a continuidade sequencial pode ser estritamente mais fraca do que a continuidade. (Os espaços para os quais as duas propriedades são equivalentes são chamados espaços sequenciais.) Isso motiva a consideração de redes em vez de sequências em espaços topológicos gerais. Funções contínuas preservam limites de redes, e de fato esta propriedade caracteriza funções contínuas.
Por exemplo, considere o caso de funções de valores reais de uma variável real:
Teorem—Uma função ${displaystyle f:Asubseteq mathbb {R} to mathbb {R} }$ é contínuo em $x_{0}$ se e somente se for sequencialmente contínuo nesse ponto.
Prova
Prova. Assuma que ${displaystyle f:Asubseteq mathbb {R} to mathbb {R} }$ é contínuo em $x_{0}$ (no sentido de ${displaystyle epsilon -delta }$ continuidade). Vamos. ${displaystyle left(x_{n}right)_{ngeq 1}}$ ser uma sequência convergindo em $x_{0}$ (como uma sequência sempre existe, por exemplo, ${displaystyle x_{n}=x,{text{ for all }}n}$ ); desde $f$ é contínuo em $x_{0}$
$0,exists delta _{epsilon }>0:0<|x-x_{0}|<delta _{epsilon }implies |f(x)-f(x_{0})|Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas ε ε >0Detalhe Detalhe δ δ ε ε >0:0<|x- Sim. - Sim. x0|<δ δ ε ε ? ? |f(x)- Sim. - Sim. f(x0)|<ε ε .(∗ ∗ ){displaystyle forall epsilon >0,exists delta _{epsilon }>0:0<|x-x_{0}|<delta _{epsilon }implies |f(x)-f(x_{0})|<epsilon.quad (*)}0,exists delta _{epsilon }>0:0<|x-x_{0}|<delta _{epsilon }implies |f(x)-f(x_{0})|$ Para tal ${displaystyle delta _{epsilon }}$ nós podemos encontrar um número natural $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Processo Processo ε ε >0- Sim. 0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa81b04bcd646592a4c205d60c223b224abb0bd" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.309ex; height:2.509ex;"/>$ tal que para todos $nu _{epsilon },}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n>Processo Processo ε ε ,- Sim.nu _{epsilon },}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1995ad229db9eb99a33cc074ec4dede59ea1874b" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.188ex; height:2.176ex;"/>$ $<math alttext="{displaystyle |x_{n}-x_{0}||xn- Sim. - Sim. x0|<δ δ ε ε ,Não. |x_{n}-x_{0}|<delta Epsilon!<img alt="{displaystyle |x_{n}-x_{0}|$ desde então ${displaystyle left(x_{n}right)}$ converge para $x_{0}$ ; combinando isso com $(*)$ nós obtemos $0,exists nu _{epsilon }>0:forall n>nu _{epsilon }quad |f(x_{n})-f(x_{0})|Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas ε ε >0Detalhe Detalhe Processo Processo ε ε >0:Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas n>Processo Processo ε ε |f(xn)- Sim. - Sim. f(x0)|<ε ε .{displaystyle forall epsilon >0,exists nu _{epsilon }>0:forall n>nu _{epsilon }quad |f(x_{n})-f(x_{0})|<epsilon.}0,exists nu _{epsilon }>0:forall n>nu _{epsilon }quad |f(x_{n})-f(x_{0})|$ Assuma pelo contrário que $f$ é sequencialmente contínuo e prossegue por contradição: suponha $f$ não é contínuo em $x_{0}$ $0:forall delta _{epsilon }>0,,exists x_{delta _{epsilon }}:0<|x_{delta _{epsilon }}-x_{0}|epsilon }" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Detalhe Detalhe ε ε >0:Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas δ δ ε ε >0,Detalhe Detalhe xδ δ ε ε :0<|xδ δ ε ε - Sim. - Sim. x0|<δ δ ε ε ? ? |f(xδ δ ε ε )- Sim. - Sim. f(x0)|>ε ε {displaystyle existe epsilon >0:forall delta _{epsilon }>0,,exists x_{delta Epsilon. }} <|x_{delta Epsilon. }}-x_{0}|epsilon }0:forall delta _{epsilon }>0,,exists x_{delta _{epsilon }}:0<|x_{delta _{epsilon }}-x_{0}|epsilon }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a04d5654f8e3399b162c7e501660a8a8240d015" style="vertical-align: -0.838ex; width:68.498ex; height:2.843ex;"/>$ então podemos tomar $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ε ε = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1/n,Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas n>0{displaystyle delta _{epsilon }=1/n,,forall n>0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8e54f5a88a652faac11ff7e9e75f3ec2c0edb7" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.12ex; height:2.843ex;"/>$ e chamar o ponto correspondente ${displaystyle x_{delta _{epsilon }}=:x_{n}}$ : desta forma temos definido uma sequência ${displaystyle (x_{n})_{ngeq 1}}$ tal que $0quad |x_{n}-x_{0}|epsilon }" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas n>0|xn- Sim. - Sim. x0|<1n,|f(xn)- Sim. - Sim. f(x0)|>ε ε {displaystyle forall n>0quad |x_{n}-x_{0}|epsilon }0quad |x_{n}-x_{0}|epsilon }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66e370842bd963e623fcbbff89d6fa8f52aea40" style="vertical-align: -1.838ex; width:46.307ex; height:5.176ex;"/>$ por construção ${displaystyle x_{n}to x_{0}}$ mas... ${displaystyle f(x_{n})not to f(x_{0})}$ , que contradiz a hipótese de continuidade sequencial. $blacksquare$
Definições do operador de fechamento e do operador interno
Em termos do operador interior, uma função $f:Xto Y$ entre espaços topológicos é contínuo se e somente se para cada subconjunto ${displaystyle Bsubseteq Y,}$
${displaystyle f^{-1}left(operatorname {int} _{Y}Bright)~subseteq ~operatorname {int} _{X}left(f^{-1}(B)right).}$
Em termos do operador de fechamento, $f:Xto Y$ é contínuo se e somente se para cada subconjunto ${displaystyle Asubseteq X,}$
${displaystyle fleft(operatorname {cl} _{X}Aright)~subseteq ~operatorname {cl} _{Y}(f(A)).}$ $xin X$ ${displaystyle Asubseteq X,}$ $f(x)$ $f(A)$ $Y.$ $x$ perto de $Asubseteq X$ ${displaystyle xin operatorname {cl} _{X}A,}$ $f$ ${displaystyle Asubseteq X,}$ $f$ $A$ ${displaystyle f(A).}$ $f$ $xin X$ $x$ ${displaystyle Asubseteq X,}$ $f(x)$ ${displaystyle f(A).}$
Em vez de especificar espaços topológicos por seus subconjuntos abertos, qualquer topologia em $X$ pode, alternativamente, ser determinado por um operador de fechamento ou por um operador interior. Especificamente, o mapa que envia um subconjunto $A$ de um espaço topológico $X$ ao seu fechamento topológico ${displaystyle operatorname {cl} _{X}A}$ satisfaz os axiomas de fechamento Kuratowski. Por outro lado, para qualquer operador de fechamento ${displaystyle Amapsto operatorname {cl} A}$ existe uma topologia única $tau$ sobre $X$ (especificamente, ${displaystyle tau:={Xsetminus operatorname {cl} A:Asubseteq X}}$ ) tal que para cada subconjunto ${displaystyle Asubseteq X,}$ ${displaystyle operatorname {cl} A}$ é igual ao fechamento topológico ${displaystyle operatorname {cl} _{(X,tau)}A}$ de $A$ em ${displaystyle (X,tau).}$ Se os conjuntos $X$ e $Y$ são cada um associado com operadores de fechamento (ambos denotados por ${displaystyle operatorname {cl} }$ ) então um mapa $f:Xto Y$ é contínuo se e somente se ${displaystyle f(operatorname {cl} A)subseteq operatorname {cl} (f(A))}$ para cada subconjunto ${displaystyle Asubseteq X.}$
Da mesma forma, o mapa que envia um subconjunto $A$ de $X$ ao seu interior topológico ${displaystyle operatorname {int} _{X}A}$ define um operador interior. Por outro lado, qualquer operador interior ${displaystyle Amapsto operatorname {int} A}$ induz uma topologia única $tau$ sobre $X$ (especificamente, ${displaystyle tau:={operatorname {int} A:Asubseteq X}}$ ) tal que para cada ${displaystyle Asubseteq X,}$ ${displaystyle operatorname {int} A}$ é igual ao interior topológico ${displaystyle operatorname {int} _{(X,tau)}A}$ de $A$ em ${displaystyle (X,tau).}$ Se os conjuntos $X$ e $Y$ são cada um associado com operadores de interiores (ambos denotados por $operatorname {int}$ ) então um mapa $f:Xto Y$ é contínuo se e somente se ${displaystyle f^{-1}(operatorname {int} B)subseteq operatorname {int} left(f^{-1}(B)right)}$ para cada subconjunto ${displaystyle Bsubseteq Y.}$
Filtros e pré-filtros
A continuidade também pode ser caracterizada em termos de filtros. Uma função $f:Xto Y$ é contínuo se e somente se sempre que um filtro ${mathcal {B}}$ sobre $X$ converge em $X$ a um ponto ${displaystyle xin X,}$ então o prefilter ${displaystyle f({mathcal {B}})}$ converge em $Y$ para $f(x).$ Esta caracterização permanece verdadeira se a palavra "filtro" é substituída por "pré-filtro".
Propriedades
Se $f:Xto Y$ e $g:Yto Z$ são contínuos, então assim é a composição ${displaystyle gcirc f:Xto Z.}$ Se $f:Xto Y$ é contínuo e
X é compacto, então f(X) é compacto.
X está ligado, então f(X) está ligado.
X é ligado pelo caminho, então f(X) está ligado ao caminho.
X é Lindelöf, então f(X) é Lindelöf.
X é separável, então f(X) é separável.
As possíveis topologias em um conjunto fixo X são parcialmente ordenados: uma topologia $tau _{1}$ é dito ser mais grosseiro do que outra topologia $tau _{2}$ (notação: $tau _{1}subseteq tau _{2}$ ) se cada subconjunto aberto em relação a $tau _{1}$ também está aberto com respeito a $tau _{2}.$ Então, o mapa de identidade
${displaystyle operatorname {id} _{X}:left(X,tau _{2}right)to left(X,tau _{1}right)}$ $tau _{1}subseteq tau _{2}$ ${displaystyle left(X,tau _{X}right)to left(Y,tau _{Y}right)}$ $tau _{Y}$ $tau _{X}$
Homeomorfismos
Symmetric ao conceito de um mapa contínuo é um mapa aberto, para o qual imagens de conjuntos abertos estão abertos. Na verdade, se um mapa aberto f tem uma função inversa, que inversa é contínua, e se um mapa contínuo g tem um inverso, esse inverso está aberto. Dada uma função bijetiva f entre dois espaços topológicos, a função inversa $f^{-1}$ não precisa ser contínuo. Uma função contínua bijetiva com função inversa contínua é chamada de homeomorfismo.
Se uma bijeção contínua tem como domínio um espaço compacto e seu contradomínio é Hausdorff, então é um homeomorfismo.
Definição de topologias via funções contínuas
Dada uma função
${displaystyle f:Xto S,}$ XSSSAS $f^{-1}(A)$ XSfSSfff
Dually, para uma função f de um conjunto S para um espaço topológico X, a topologia inicial em S é definido por designar como um conjunto aberto cada subconjunto A de S tal que ${displaystyle A=f^{-1}(U)}$ para algum subconjunto aberto U de X. Se S tem uma topologia existente, f é contínuo com relação a esta topologia se e somente se a topologia existente é mais fina do que a topologia inicial em S. Assim, a topologia inicial pode ser caracterizada como a topologia mais grosseira em S que faz f contínuo. Se f é injetável, esta topologia é identificada canonicamente com a topologia subespacial de S, visto como um subconjunto de X.
Uma topologia em um conjunto S é exclusivamente determinado pela classe de todas as funções contínuas $Sto X$ em todos os espaços topológicos X. Dually, uma ideia semelhante pode ser aplicada aos mapas ${displaystyle Xto S.}$
Noções relacionadas
Se ${displaystyle f:Sto Y}$ é uma função contínua de algum subconjunto $S$ de um espaço topológico $X$ então um extensão contínua de $f$ para $X$ é qualquer função contínua ${displaystyle F:Xto Y}$ tal que ${displaystyle F(s)=f(s)}$ para todos ${displaystyle sin S,}$ que é uma condição que muitas vezes escrito como ${displaystyle f=F{big vert }_{S}.}$ Em palavras, é qualquer função contínua ${displaystyle F:Xto Y}$ que restringe a $f$ sobre $S.$ Esta noção é usada, por exemplo, no teorema de extensão Tietze e no teorema de Hahn-Banach. Eram ${displaystyle f:Sto Y}$ não contínua, então não poderia ter uma extensão contínua. Se $Y$ é um espaço Hausdorff e $S$ é um subconjunto denso de $X$ então uma extensão contínua de ${displaystyle f:Sto Y}$ para $X,$ se existir, será único. O teorema de Blumberg afirma que se ${displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R} }$ é uma função arbitrária, então existe um subconjunto denso $D$ de $mathbb {R}$ tal que a restrição ${displaystyle f{big vert }_{D}:Dto mathbb {R} }$ é contínuo; em outras palavras, cada função ${displaystyle mathbb {R} to mathbb {R} }$ pode ser restrito a algum subconjunto denso no qual é contínuo.
Vários outros domínios matemáticos usam o conceito de continuidade em diferentes significados, mas relacionados. Por exemplo, na teoria da ordem, uma função de preservação da ordem $f:Xto Y$ entre tipos específicos de conjuntos parcialmente ordenados $X$ e $Y$ é contínuo se para cada subconjunto direcionado $A$ de $X,$ nós temos ${displaystyle sup f(A)=f(sup A).}$ Aqui. ${displaystyle ,sup ,}$ é o supremum com relação aos pedidos em $X$ e $Y,$ respectivamente. Esta noção de continuidade é a mesma que a continuidade topológica quando os conjuntos parcialmente ordenados recebem a topologia Scott.
Na teoria das categorias, um funtor
${displaystyle F:{mathcal {C}}to {mathcal {D}}}$ contínuo ${displaystyle varprojlim _{iin I}F(C_{i})cong Fleft(varprojlim _{iin I}C_{i}right)}$ $I,$ ${mathcal {C}}$
Um espaço de continuidade é uma generalização de espaços métricos e posets, que usa o conceito de quantales, e que pode ser usado para unificar as noções de espaços e domínios métricos.

Prova
Prova. Assuma que ${displaystyle f:Asubseteq mathbb {R} to mathbb {R} }$ é contínuo em $x_{0}$ (no sentido de ${displaystyle epsilon -delta }$ continuidade). Vamos. ${displaystyle left(x_{n}right)_{ngeq 1}}$ ser uma sequência convergindo em $x_{0}$ (como uma sequência sempre existe, por exemplo, ${displaystyle x_{n}=x,{text{ for all }}n}$ ); desde $f$ é contínuo em $x_{0}$ $0,exists delta _{epsilon }>0:0<\|x-x_{0}\|<delta _{epsilon }implies \|f(x)-f(x_{0})\|Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas ε ε >0Detalhe Detalhe δ δ ε ε >0:0<\|x- Sim. - Sim. x0\|<δ δ ε ε ? ? \|f(x)- Sim. - Sim. f(x0)\|<ε ε .(∗ ∗ ){displaystyle forall epsilon >0,exists delta _{epsilon }>0:0<\|x-x_{0}\|<delta _{epsilon }implies \|f(x)-f(x_{0})\|<epsilon.quad ()}0,exists delta _{epsilon }>0:0<\|x-x_{0}\|<delta _{epsilon }implies \|f(x)-f(x_{0})\|$ Para tal ${displaystyle delta _{epsilon }}$ nós podemos encontrar um número natural $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Processo Processo ε ε >0- Sim. 0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa81b04bcd646592a4c205d60c223b224abb0bd" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.309ex; height:2.509ex;"/>$ tal que para todos $nu _{epsilon },}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n>Processo Processo ε ε ,- Sim.nu _{epsilon },}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1995ad229db9eb99a33cc074ec4dede59ea1874b" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.188ex; height:2.176ex;"/>$ $<math alttext="{displaystyle \|x_{n}-x_{0}\|\|xn- Sim. - Sim. x0\|<δ δ ε ε ,Não. \|x_{n}-x_{0}\|<delta Epsilon!<img alt="{displaystyle \|x_{n}-x_{0}\|$ desde então ${displaystyle left(x_{n}right)}$ converge para $x_{0}$ ; combinando isso com $()$ nós obtemos $0,exists nu _{epsilon }>0:forall n>nu _{epsilon }quad \|f(x_{n})-f(x_{0})\|Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas ε ε >0Detalhe Detalhe Processo Processo ε ε >0:Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas n>Processo Processo ε ε \|f(xn)- Sim. - Sim. f(x0)\|<ε ε .{displaystyle forall epsilon >0,exists nu _{epsilon }>0:forall n>nu _{epsilon }quad \|f(x_{n})-f(x_{0})\|<epsilon.}0,exists nu _{epsilon }>0:forall n>nu _{epsilon }quad \|f(x_{n})-f(x_{0})\|$ Assuma pelo contrário que $f$ é sequencialmente contínuo e prossegue por contradição: suponha $f$ não é contínuo em $x_{0}$ $0:forall delta _{epsilon }>0,,exists x_{delta _{epsilon }}:0<\|x_{delta _{epsilon }}-x_{0}\|epsilon }" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Detalhe Detalhe ε ε >0:Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas δ δ ε ε >0,Detalhe Detalhe xδ δ ε ε :0<\|xδ δ ε ε - Sim. - Sim. x0\|<δ δ ε ε ? ? \|f(xδ δ ε ε )- Sim. - Sim. f(x0)\|>ε ε {displaystyle existe epsilon >0:forall delta _{epsilon }>0,,exists x_{delta Epsilon. }} <\|x_{delta Epsilon. }}-x_{0}\|epsilon }0:forall delta _{epsilon }>0,,exists x_{delta _{epsilon }}:0<\|x_{delta _{epsilon }}-x_{0}\|epsilon }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a04d5654f8e3399b162c7e501660a8a8240d015" style="vertical-align: -0.838ex; width:68.498ex; height:2.843ex;"/>$ então podemos tomar $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ε ε = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1/n,Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas n>0{displaystyle delta _{epsilon }=1/n,,forall n>0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8e54f5a88a652faac11ff7e9e75f3ec2c0edb7" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.12ex; height:2.843ex;"/>$ e chamar o ponto correspondente ${displaystyle x_{delta _{epsilon }}=:x_{n}}$ : desta forma temos definido uma sequência ${displaystyle (x_{n})_{ngeq 1}}$ tal que $0quad \|x_{n}-x_{0}\|epsilon }" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas n>0\|xn- Sim. - Sim. x0\|<1n,\|f(xn)- Sim. - Sim. f(x0)\|>ε ε {displaystyle forall n>0quad \|x_{n}-x_{0}\|epsilon }0quad \|x_{n}-x_{0}\|epsilon }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66e370842bd963e623fcbbff89d6fa8f52aea40" style="vertical-align: -1.838ex; width:46.307ex; height:5.176ex;"/>$ por construção ${displaystyle x_{n}to x_{0}}$ mas... ${displaystyle f(x_{n})not to f(x_{0})}$ , que contradiz a hipótese de continuidade sequencial. $blacksquare$

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