Função aritmética

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Função cujo domínio é os inteiros positivos

Na teoria dos números, uma função aritmética, aritmética ou teórica dos números é para a maioria dos autores qualquer função f(n) cujo domínio são os inteiros positivos e cuja imagem é um subconjunto dos números complexos. Resistente & Wright incluem em sua definição a exigência de que uma função aritmética "expresse alguma propriedade aritmética de n".

Um exemplo de função aritmética é a função divisor cujo valor em um inteiro positivo n é igual ao número de divisores de n.

Existe uma classe maior de funções teóricas de números que não se encaixam na definição acima, por exemplo, as funções de contagem de números primos. Este artigo fornece links para funções de ambas as classes.

As funções aritméticas costumam ser extremamente irregulares (consulte a tabela), mas algumas delas têm expansões em série em termos da soma de Ramanujan.

Funções multiplicativas e aditivas

Uma função aritmética a é

completamente aditivo se um(Mn.) = um(m) + um(n) para todos os números naturais m e n;
completamente multiplicador se um(Mn.) = um(m)um(n) para todos os números naturais m e n;

Dois números inteiros m e n são chamados coprimos se seu máximo divisor comum for 1, ou seja, se não houver nenhum número primo que os divida.

Então uma função aritmética a é

aditivo se um(Mn.) = um(m) + um(n) para todos os números naturais de coprime m e n;
multiplicador se um(Mn.) = um(m)um(n) para todos os números naturais de coprime m e n.

Notação

Neste artigo, ${textstyle sum _{p}f(p)}$ e ${textstyle prod _{p}f(p)}$ significa que a soma ou produto é sobre todos os números primos:

{displaystyle sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+cdots }

{displaystyle prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)cdots.}

{textstyle sum _{p^{k}}f(p^{k})}

{textstyle prod _{p^{k}}f(p^{k})}

k = 0

0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+cdots.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Gerenciamento Gerenciamento pkf(pk)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento pGerenciamento Gerenciamento k>0f(pk)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+⋯ ⋯ ._{p^{k}}f(p^{k})=sum _{p}sum _{k>0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(7)+f(8)+f(9)+cdots.}0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+cdots.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82fc04f836894daa1405721b69e7bb955d46556" style="vertical-align: -3.838ex; width:81.508ex; height:6.343ex;"/>

As notações ${textstyle sum _{dmid n}f(d)}$ e ${textstyle prod _{dmid n}f(d)}$ significa que a soma ou produto é sobre todos os divisores positivos n, incluindo 1 e n. Por exemplo, se $n = 12$ , então

{displaystyle prod _{dmid 12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12).}

As notações podem ser combinadas: ${textstyle sum _{pmid n}f(p)}$ e ${textstyle prod _{pmid n}f(p)}$ significa que a soma ou produto é sobre todos os principais divisores de n. Por exemplo, se n = 18, então

{displaystyle sum _{pmid 18}f(p)=f(2)+f(3),}

{textstyle sum _{p^{k}mid n}f(p^{k})}

{textstyle prod _{p^{k}mid n}f(p^{k})}

{displaystyle prod _{p^{k}mid 24}f(p^{k})=f(2)f(3)f(4)f(8).}

Ω(n), ω(n), νp(n) – decomposição de energia primária

O teorema fundamental da aritmética afirma que qualquer inteiro positivo n pode ser representado exclusivamente como um produto de poderes de primos: $n=p_{1}^{{a_{1}}}cdots p_{k}^{{a_{k}}}$ Onde? p₁ < p₂ <... p_k são primos e os um_JJ são inteiros positivos. (1 é dado pelo produto vazio.)

Muitas vezes é conveniente escrever isso como um produto infinito sobre todos os primos, onde todos, exceto um número finito, têm um expoente zero. Defina a valoração p-ádica ν_p(n) como o expoente da maior potência do primo p que divide n. Isto é, se p é um dos p_i então ν_p(n) = a_i, caso contrário é zero. Então

{displaystyle n=prod _{p}p^{nu _{p}(n)}.}

Em termos do exposto acima, as funções ômega primárias ω e Ω são definidas por

ω(n) = k,

Ω(n) = um₁ + um₂ +... + um_k.

Para evitar repetições, sempre que possível, as fórmulas para as funções listadas neste artigo são dadas em termos de n e o correspondente p_i, a_i, ω e Ω.

Funções multiplicativas

Σk(n), τ(n), d(n) – somas de divisores

σk(n) é a soma das késimas potências dos divisores positivos de n, incluindo 1 e n , onde k é um número complexo.

σ₁(n), a soma dos divisores (positivos) de n, geralmente é denotado por σ(n).

Como um número positivo elevado a zero é um, σ₀(n) é, portanto, o número de divisores (positivos) de n; geralmente é denotado por d(n) ou τ(n) (para o alemão Teiler = divisores).

{displaystyle sigma _{k}(n)=prod _{i=1}^{omega (n)}{frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=prod _{i=1}^{omega (n)}left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+cdots +p_{i}^{a_{i}k}right).}

Definir k = 0 no segundo produto dá

{displaystyle tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})cdots (1+a_{omega (n)}).}

Φ(n) – Função totiente de Euler

φ(n), a função totiente de Euler, é o número de inteiros positivos não maiores que n que são primos primos de n.

{displaystyle varphi (n)=nprod _{pmid n}left(1-{frac {1}{p}}right)=nleft({frac {p_{1}-1}{p_{1}}}right)left({frac {p_{2}-1}{p_{2}}}right)cdots left({frac {p_{omega (n)}-1}{p_{omega (n)}}}right).}

Jk(n) – Função tociente de Jordan

Jk(n), a função totiente de Jordan, é o número de k-tuplas de inteiros positivos, todos menores ou iguais a n que formam uma tupla coprima (k + 1) junto com n. É uma generalização do totiente de Euler, $φ(n) = J 1 (n)$ .

{displaystyle J_{k}(n)=n^{k}prod _{pmid n}left(1-{frac {1}{p^{k}}}right)=n^{k}left({frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}right)left({frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}right)cdots left({frac {p_{omega (n)}^{k}-1}{p_{omega (n)}^{k}}}right).}

Μ(n) – Função Möbius

μ(n), a função de Möbius, é importante por causa da fórmula de inversão de Möbius. Veja a convolução de Dirichlet, abaixo.

{displaystyle mu (n)={begin{cases}(-1)^{omega (n)}=(-1)^{Omega (n)}&{text{if }};omega (n)=Omega (n)\0&{text{if }};omega (n)neq Omega (n).end{cases}}}

Isso implica que μ(1) = 1. (Porque Ω(1) = ω(1) = 0.)

Τ(n) – função tau de Ramanujan

τ(n), a função Ramanujan tau, é definida por sua identidade de função geradora:

{displaystyle sum _{ngeq 1}tau (n)q^{n}=qprod _{ngeq 1}(1-q^{n})^{24}.}

Embora seja difícil dizer exatamente o que "propriedade aritmética de n" ele "expressa", (τ(n) é (2π)⁻¹² vezes o no coeficiente de Fourier na q-expansão da função discriminante modular) está incluído entre as funções aritméticas porque é multiplicativo e ocorre em identidades envolvendo certos σ_k (n) e funções r_k(n) (porque também são coeficientes na expansão de formas modulares).

Cq(n) – soma de Ramanujan

cq(n), a soma de Ramanujan, é a soma das nésimas potências das qésimas raízes primitivas de unidade:

{displaystyle c_{q}(n)=sum _{stackrel {1leq aleq q}{gcd(a,q)=1}}e^{2pi i{tfrac {a}{q}}n}.}

Apesar de ser definido como uma soma de números complexos (irracionais para a maioria dos valores de q), é um número inteiro. Para um valor fixo de n é multiplicativo em q:

Se q e R são coprime, então

{displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}

Ψ(n) - Função psi de Dedekind

A função psi de Dedekind, usada na teoria das funções modulares, é definida pela fórmula

{displaystyle psi (n)=nprod _{p|n}left(1+{frac {1}{p}}right).}

Funções completamente multiplicativas

Λ(n) – Função de Liouville

λ(n), a função de Liouville, é definida por

{displaystyle lambda (n)=(-1)^{Omega (n)}.}

Χ(n) – caracteres

Todos os caracteres de Dirichlet χ(n) são completamente multiplicativos. Dois caracteres têm notações especiais:

O caractere principal (mod n) é denotado por χ₀(a) (ou χ₁(a)). É definido como

{displaystyle chi _{0}(a)={begin{cases}1&{text{if }}gcd(a,n)=1,\0&{text{if }}gcd(a,n)neq 1.end{cases}}}

O caractere quadrático (mod n) é denotado pelo símbolo de Jacobi para ímpar n (não é definido para par n):

{displaystyle left({frac {a}{n}}right)=left({frac {a}{p_{1}}}right)^{a_{1}}left({frac {a}{p_{2}}}right)^{a_{2}}cdots left({frac {a}{p_{omega (n)}}}right)^{a_{omega (n)}}.}

Nesta fórmula $(tfrac{a}{p})$ é o símbolo Legendre, definido para todos os inteiros um e todos os primos ímpares p por

{displaystyle left({frac {a}{p}}right)={begin{cases};;,0&{text{if }}aequiv 0{pmod {p}},\+1&{text{if }}anot equiv 0{pmod {p}}{text{ and for some integer }}x,;aequiv x^{2}{pmod {p}}\-1&{text{if there is no such }}x.end{cases}}}

Seguindo a convenção normal para o produto vazio, $left(frac{a}{1}right) = 1.$

Funções aditivas

Ω(n) – divisores primos distintos

ω(n), definido acima como o número de primos distintos que dividem n, é aditivo (consulte a função Prime omega).

Funções completamente aditivas

Ω(n) – divisores primos

Ω(n), definido acima como o número de fatores primos de n contados com multiplicidades, é completamente aditivo (consulte Função ômega primária).

Νp(n) – avaliação p-ádica de um inteiro n

Para um primo fixo p, ν_p(n), definido acima como o expoente da maior potência de p dividindo n, é completamente aditivo.

Derivada logarítmica

${displaystyle operatorname {ld} (n)={frac {D(n)}{n}}=sum _{stackrel {pmid n}{p{text{ prime}}}}{frac {v_{p}(n)}{p}}}$ , onde $D(n)$ é o derivado aritmético.

Nem multiplicativo nem aditivo

Π(x), Π(x), θ(x), ψ(x) – funções de contagem de primos

Essas funções importantes (que não são funções aritméticas) são definidas para argumentos reais não negativos e são usadas em várias declarações e provas do teorema dos números primos. São funções de soma (veja a seção principal logo abaixo) de funções aritméticas que não são nem multiplicativas nem aditivas.

π(x), a função de contagem de primos, é o número de primos que não excede x. É a função somatória da função característica dos números primos.

{displaystyle pi (x)=sum _{pleq x}1}

Uma função relacionada conta potências de primos com peso 1 para primos, 1/2 para seus quadrados, 1/3 para cubos,... É a função somatória da função aritmética que assume o valor 1/k em inteiros que são a k-ésima potência de algum número primo e o valor 0 em outros inteiros.

{displaystyle Pi (x)=sum _{p^{k}leq x}{frac {1}{k}}.}

θ(x) e ψ(x), as funções de Chebyshev, são definidas como somas de os logaritmos naturais dos primos não excedendo x.

{displaystyle vartheta (x)=sum _{pleq x}log p,}

{displaystyle psi (x)=sum _{p^{k}leq x}log p.}

A função de Chebyshev ψ(x) é a função somatória da função de von Mangoldt logo abaixo.

Λ(n) – função de von Mangoldt

Λ(n), a função de von Mangoldt, é 0 a menos que o argumento n seja uma potência prima $p k$ , caso em que é o logaritmo natural do primo p:

{displaystyle Lambda (n)={begin{cases}log p&{text{if }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,ldots =p^{k}{text{ is a prime power}}\0&{text{if }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,dots ;;;;{text{ is not a prime power}}.end{cases}}}

P(n) – função de partição

p(n), a função de partição, é o número de maneiras de representar n como uma soma de inteiros positivos, onde duas representações com a mesma soma em um ordens diferentes não são contadas como sendo diferentes:

<math alttext="{displaystyle p(n)=left|left{(a_{1},a_{2},dots a_{k}):0p(n)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|((um1,um2,...... umk):0<um1≤ ≤ um2≤ ≤ ⋯ ⋯ ≤ ≤ umk∧ ∧ n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um1+um2+⋯ ⋯ +umk?|.{displaystyle p(n)=left|left{(a_{1},a_{2},dots a_{k}):0<a_{1}leq a_{2}leq cdots leq a_{k};land ;n=a_{1}+a_{2}+cdots +a_{k}right}right|.}<img alt="{displaystyle p(n)=left|left{(a_{1},a_{2},dots a_{k}):0

Λ(n) – Função Carmichael

λ(n), a função Carmichael, é o menor número positivo tal que $a^{lambda(n)}equiv 1 pmod{n}$ para todos um coprime para n. Equivalentemente, é o múltiplo menos comum das ordens dos elementos do grupo multiplicador de inteiros modulo n.

Para potências de primos ímpares e para 2 e 4, λ(n) é igual à função totiente de Euler de n; para potências de 2 maiores que 4 é igual a metade da função totiente de Euler de n:

{displaystyle lambda (n)={begin{cases};;phi (n)&{text{if }}n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,dots \{tfrac {1}{2}}phi (n)&{text{if }}n=8,16,32,64,dots end{cases}}}

{displaystyle lambda (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}dots p_{omega (n)}^{a_{omega (n)}})=operatorname {lcm} [lambda (p_{1}^{a_{1}}),;lambda (p_{2}^{a_{2}}),dotslambda (p_{omega (n)}^{a_{omega (n)}})].}

H(n) – Número da turma

h(n), a função número de classe, é a ordem do grupo de classe ideal de uma extensão algébrica dos racionais com discriminante n. A notação é ambígua, pois em geral existem muitas extensões com o mesmo discriminante. Veja campo quadrático e campo ciclotômico para exemplos clássicos.

Rk(n) – Soma de k quadrados

rk(n) é o número de maneiras que n pode ser representado como a soma de k quadrados, onde representações que diferem apenas em a ordem das somas ou nos sinais das raízes quadradas são contadas como diferentes.

{displaystyle r_{k}(n)=left|left{(a_{1},a_{2},dotsa_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+cdots +a_{k}^{2}right}right|}

D(n) – Derivada aritmética

Usando a notação de Heaviside para a derivada, a derivada aritmética D(n) é uma função tal que

${displaystyle D(n)=1}$ se n e
${displaystyle D(mn)=mD(n)+D(m)n}$ (a regra do produto)

Funções de soma

Dada uma função aritmética a(n), sua função de soma A(x) é definido por

{displaystyle A(x):=sum _{nleq x}a(n).}

AmAmxmumm

Uma vez que tais funções são frequentemente representadas por séries e integrais, para alcançar a convergência pontual, é comum definir o valor nas descontinuidades como a média dos valores à esquerda e à direita:

<math alttext="{displaystyle A_{0}(m):={frac {1}{2}}left(sum _{nA0(m)?12(Gerenciamento Gerenciamento n<mum(n)+Gerenciamento Gerenciamento n≤ ≤ mum(n))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =A(m)- Sim. - Sim. 12um(m).(m):={frac {1}{2}}left(sum _{n<m}a(n)+sum _{nleq m}a(n)right)=A(m)-{frac {1}{2}}a(m).}<img alt="{displaystyle A_{0}(m):={frac {1}{2}}left(sum _{n

Valores individuais de funções aritméticas podem flutuar muito – como na maioria dos exemplos acima. Funções de soma "suavizar" essas flutuações. Em alguns casos, pode ser possível encontrar um comportamento assintótico para a função de soma para x grande.

Um exemplo clássico desse fenômeno é dado pela função somatória do divisor, a função somatória de d(n), o número de divisores de n:

{displaystyle liminf _{nto infty }d(n)=2}

{displaystyle limsup _{nto infty }{frac {log d(n)log log n}{log n}}=log 2}

{displaystyle lim _{nto infty }{frac {d(1)+d(2)+cdots +d(n)}{log(1)+log(2)+cdots +log(n)}}=1.}

Uma ordem média de uma função aritmética é alguma função mais simples ou melhor compreendida que tem a mesma função de soma assintoticamente e, portanto, assume os mesmos valores "em média". Dizemos que g é uma ordem média de f se

{displaystyle sum _{nleq x}f(n)sim sum _{nleq x}g(n)}

como x tende ao infinito. O exemplo acima mostra que d(n) tem o log médio de pedido(n).

Convolução de Dirichlet

Dada uma função aritmética a(n), seja F_a (s), para s complexo, seja a função definida pela série de Dirichlet correspondente (onde converge):

{displaystyle F_{a}(s):=sum _{n=1}^{infty }{frac {a(n)}{n^{s}}}.}

F_umSumnumnn?S

A função geradora da função de Möbius é o inverso da função zeta:

0.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ζ ζ (S)Gerenciamento Gerenciamento n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ μ μ (n)nS= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1,R R S>0.{displaystyle zeta (s),sum _{n=1}^{infty }{frac {mu (n)}{n^{s}}}=1,;; Re s>0.0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f46d19465876319bbf74d801e15ae54545c99b1" style="vertical-align: -3.005ex; width:28.461ex; height:6.843ex;"/>

Considere duas funções aritméticas a e b e suas respectivas funções geradoras F_a(s) e F_b(s). O produto F_a(s)F_b(s) pode ser calculado da seguinte forma:

{displaystyle F_{a}(s)F_{b}(s)=left(sum _{m=1}^{infty }{frac {a(m)}{m^{s}}}right)left(sum _{n=1}^{infty }{frac {b(n)}{n^{s}}}right).}

É um exercício direto mostrar que se c(n) é definido por

{displaystyle c(n):=sum _{ij=n}a(i)b(j)=sum _{imid n}a(i)bleft({frac {n}{i}}right),}

{displaystyle F_{c}(s)=F_{a}(s)F_{b}(s).}

Esta função c é chamado de convolução Dirichlet de um e b), e é denotado por $a*b$ .

Um caso particularmente importante é a convolução com a função constante a(n) = 1 para todo n, correspondendo à multiplicação da função geradora pela função zeta:

{displaystyle g(n)=sum _{dmid n}f(d).}

A multiplicação pelo inverso da função zeta fornece a fórmula de inversão de Möbius:

{displaystyle f(n)=sum _{dmid n}mu left({frac {n}{d}}right)g(d).}

Se f é multiplicativo, então g também é. Se f é completamente multiplicativo, então g é multiplicativo, mas pode ou não ser completamente multiplicativo.

Relações entre as funções

Existem muitas fórmulas conectando funções aritméticas entre si e com as funções de análise, especialmente potências, raízes e as funções exponenciais e logarítmicas. As identidades da soma do divisor da página contêm muitos exemplos mais generalizados e relacionados de identidades envolvendo funções aritméticas.

Aqui estão alguns exemplos:

Convoluções de Dirichlet

{displaystyle sum _{delta mid n}mu (delta)=sum _{delta mid n}lambda left({frac {n}{delta }}right)|mu (delta)|={begin{cases}1&{text{if }}n=1\0&{text{if }}nneq 1end{cases}}}

Onde? λ é a função Liouville.

{displaystyle sum _{delta mid n}varphi (delta)=n.}

varphi(n) =sum_{deltamid n}muleft(frac{n}{delta}right)delta =nsum_{deltamid n}frac{mu(delta)}{delta}.

Inversão de Möbius

{displaystyle sum _{dmid n}J_{k}(d)=n^{k}.}

J_k(n) =sum_{deltamid n}muleft(frac{n}{delta}right)delta^k =n^ksum_{deltamid n}frac{mu(delta)}{delta^k}.

Inversão de Möbius

{displaystyle sum _{delta mid n}delta ^{s}J_{r}(delta)J_{s}left({frac {n}{delta }}right)=J_{r+s}(n)}

{displaystyle sum _{delta mid n}varphi (delta)dleft({frac {n}{delta }}right)=sigma (n).}

{displaystyle sum _{delta mid n}|mu (delta)|=2^{omega (n)}.}

{displaystyle |mu (n)|=sum _{delta mid n}mu left({frac {n}{delta }}right)2^{omega (delta)}.}

Inversão de Möbius

{displaystyle sum _{delta mid n}2^{omega (delta)}=d(n^{2}).}

{displaystyle 2^{omega (n)}=sum _{delta mid n}mu left({frac {n}{delta }}right)d(delta ^{2}).}

Inversão de Möbius

{displaystyle sum _{delta mid n}d(delta ^{2})=d^{2}(n).}

{displaystyle d(n^{2})=sum _{delta mid n}mu left({frac {n}{delta }}right)d^{2}(delta).}

Inversão de Möbius

{displaystyle sum _{delta mid n}dleft({frac {n}{delta }}right)2^{omega (delta)}=d^{2}(n).}

{displaystyle sum _{delta mid n}lambda (delta)={begin{cases}&1{text{ if }}n{text{ is a square }}\&0{text{ if }}n{text{ is not square.}}end{cases}}}

onde λ é a função Liouville.

{displaystyle sum _{delta mid n}Lambda (delta)=log n.}

{displaystyle Lambda (n)=sum _{delta mid n}mu left({frac {n}{delta }}right)log(delta).}

Inversão de Möbius

Somas de quadrados

Para todos $0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">k≥ ≥ 4,Rk(n)>0.{displaystyle kgeq 4,;;r_{k}(n)>0.}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269ac99fb630e3d8788c4b686e91a191945264fa" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.691ex; height:2.843ex;"/>$ (Teorema de quatro quadras do Lagrange).

{displaystyle r_{2}(n)=4sum _{dmid n}left({frac {-4}{d}}right),}

onde o símbolo Kronecker tem os valores

{displaystyle left({frac {-4}{n}}right)={begin{cases}+1&{text{if }}nequiv 1{pmod {4}}\-1&{text{if }}nequiv 3{pmod {4}}\;;;0&{text{if }}n{text{ is even}}.\end{cases}}}

Existe uma fórmula para r₃ na seção de números de classe abaixo.

{displaystyle r_{4}(n)=8sum _{stackrel {dmid n}{4,nmid ,d}}d=8(2+(-1)^{n})sum _{stackrel {dmid n}{2,nmid ,d}}d={begin{cases}8sigma (n)&{text{if }}n{text{ is odd }}\24sigma left({frac {n}{2^{nu }}}right)&{text{if }}n{text{ is even }}end{cases}},}

Processo = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Processo 2 (n)

{displaystyle r_{6}(n)=16sum _{dmid n}chi left({frac {n}{d}}right)d^{2}-4sum _{dmid n}chi (d)d^{2},}

{displaystyle chi (n)=left({frac {-4}{n}}right).}

Defina a função $σ k * (n)$ como

{displaystyle sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}sum _{dmid n}(-1)^{d}d^{k}={begin{cases}sum _{dmid n}d^{k}=sigma _{k}(n)&{text{if }}n{text{ is odd }}\sum _{stackrel {dmid n}{2,mid ,d}}d^{k}-sum _{stackrel {dmid n}{2,nmid ,d}}d^{k}&{text{if }}n{text{ is even}}.end{cases}}}

Isto é, se n for ímpar, $σ k * (n)$ é a soma das késimas potências dos divisores de n, que é, $σ k (n),$ e se n é par é a soma das késimas potências dos divisores pares de n menos a soma das k i>ésimas potências dos divisores ímpares de n.

{displaystyle r_{8}(n)=16sigma _{3}^{*}(n).}

Adote a convenção de que $τ (x) = 0$ de Ramanujan se x não é um número inteiro.

r_{24}(n) = frac{16}{691}sigma_{11}^*(n) + frac{128}{691}left{ (-1)^{n-1}259tau(n)-512tauleft(frac{n}{2}right)right}

Convoluções da soma do divisor

Aqui "convolução" não significa "convolução de Dirichlet" mas, em vez disso, refere-se à fórmula dos coeficientes do produto de duas séries de potências:

left(sum_{n=0}^infty a_n x^nright)left(sum_{n=0}^infty b_n x^nright) = sum_{i=0}^infty sum_{j=0}^infty a_i b_j x^{i+j} = sum_{n=0}^infty left(sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}right) x^n = sum_{n=0}^infty c_n x^n .

A sequência ${displaystyle c_{n}=sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ é chamado de convolução ou o produto Cauchy das sequências um_n e b)_n.
Estas fórmulas podem ser comprovadas analíticamente (ver série Eisenstein) ou por métodos elementares.

<math alttext="{displaystyle sigma _{3}(n)={frac {1}{5}}left{6nsigma _{1}(n)-sigma _{1}(n)+12sum _{0<kσ σ 3(n)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =15(6nσ σ 1(n)- Sim. - Sim. σ σ 1(n)+12Gerenciamento Gerenciamento 0<k<nσ σ 1(k)σ σ 1(n- Sim. - Sim. k)?.{displaystyle sigma _{3}(n)={frac {1}{5}}left{6nsigma _{1}(n)-sigma _{1}(n)+12sum _{0<k<n}sigma _{1}(k)sigma _{1}(n-k)right}}.}<img alt="{displaystyle sigma _{3}(n)={frac {1}{5}}left{6nsigma _{1}(n)-sigma _{1}(n)+12sum _{0<k

<math alttext="{displaystyle sigma _{5}(n)={frac {1}{21}}left{10(3n-1)sigma _{3}(n)+sigma _{1}(n)+240sum _{0<kσ σ 5(n)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =121(10.(3n- Sim. - Sim. 1)σ σ 3(n)+σ σ 1(n)+240Gerenciamento Gerenciamento 0<k<nσ σ 1(k)σ σ 3(n- Sim. - Sim. k)?.{displaystyle sigma _{5}(n)={frac {1}{21}}left{10(3n-1)sigma _{3}(n)+sigma _{1}(n)+240sum _{0<k<n}sigma _{1}(k)sigma _{3}(n-k)right}}}}.}<img alt="{displaystyle sigma _{5}(n)={frac {1}{21}}left{10(3n-1)sigma _{3}(n)+sigma _{1}(n)+240sum _{0<k

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}sigma _{7}(n)&={frac {1}{20}}left{21(2n-1)sigma _{5}(n)-sigma _{1}(n)+504sum _{0<k<n}sigma _{1}(k)sigma _{5}(n-k)right}\&=sigma _{3}(n)+120sum _{0<kσ σ 7(n)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =120.(21(2n- Sim. - Sim. 1)σ σ 5(n)- Sim. - Sim. σ σ 1(n)+504Gerenciamento Gerenciamento 0<k<nσ σ 1(k)σ σ 5(n- Sim. - Sim. k)?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =σ σ 3(n)+120Gerenciamento Gerenciamento 0<k<nσ σ 3(k)σ σ 3(n- Sim. - Sim. k).{displaystyle {begin{aligned}sigma _{7}(n)&={frac {1}{20}}left{21(2n-1)sigma _{5}(n)-sigma _{1}(n)+504sum _{0<k<n}sigma _{1}(k)sigma _{5}(n-kright<img alt=" begin{align} sigma_7(n) &=frac{1}{20}left{21(2n-1)sigma_5(n)-sigma_1(n) + 504sum_{0<k<n}sigma_1(k)sigma_5(n-k)right}\ &=sigma_3(n) + 120sum_{0<k

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}sigma _{9}(n)&={frac {1}{11}}left{10(3n-2)sigma _{7}(n)+sigma _{1}(n)+480sum _{0<k<n}sigma _{1}(k)sigma _{7}(n-k)right}\&={frac {1}{11}}left{21sigma _{5}(n)-10sigma _{3}(n)+5040sum _{0<kσ σ 9(n)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =111(10.(3n- Sim. - Sim. 2)σ σ 7(n)+σ σ 1(n)+480Gerenciamento Gerenciamento 0<k<nσ σ 1(k)σ σ 7(n- Sim. - Sim. k)?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =111(21σ σ 5(n)- Sim. - Sim. 10.σ σ 3(n)+5040Gerenciamento Gerenciamento 0<k<nσ σ 3(k)σ σ 5(n- Sim. - Sim. k)?.,,,, }, }, },, <, }, }, }, }, }, }, } }, }, }, }, }, },, }, },, }, }, },<img alt="{displaystyle {begin{aligned}sigma _{9}(n)&={frac {1}{11}}left{10(3n-2)sigma _{7}(n)+sigma _{1}(n)+480sum _{0<k<n}sigma _{1}(k)sigma _{7}(n-k)right}\&={frac {1}{11}}left{21sigma _{5}(n)-10sigma _{3}(n)+5040sum _{0<k

<math alttext="{displaystyle tau (n)={frac {65}{756}}sigma _{11}(n)+{frac {691}{756}}sigma _{5}(n)-{frac {691}{3}}sum _{0<k? ? (n)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =65756σ σ 11(n)+691756σ σ 5(n)- Sim. - Sim. 6913Gerenciamento Gerenciamento 0<k<nσ σ 5(k)σ σ 5(n- Sim. - Sim. k),{displaystyle tau (n)={frac {65}{756}}sigma _{11}(n)+{frac {691}{756}}sigma _{5}(n)-{frac {691}{3}}sum _{0<k<n}sigma _{5}(k)sigma _{5}(n-k),}<img alt="{displaystyle tau (n)={frac {65}{756}}sigma _{11}(n)+{frac {691}{756}}sigma _{5}(n)-{frac {691}{3}}sum _{0<k

Onde? ?(n) é a função de Ramanujan.

Desde σ_k(n) (para número natural k) e τ(n) são inteiros, as fórmulas acima podem ser usadas para provar congruências para as funções. Veja a função tau de Ramanujan para alguns exemplos.

Estenda o domínio da função de partição definindo $p (0) = 1.$

p(n)=frac{1}{n}sum_{1le kle n}sigma(k)p(n-k).

Esta recorrência pode ser usada para computar p(n).

Relacionado ao número da turma

Peter Gustav Lejeune Dirichlet descobriu fórmulas que relacionam o número de classe h de campos de números quadráticos ao símbolo de Jacobi.

Um inteiro D é chamado de discriminante fundamental se for o discriminante de um campo numérico quadrático. Isso é equivalente a D ≠ 1 e a) D é livre de quadrados e D ≡ 1 (mod 4) ou b) D ≡ 0 (mod 4), D/4 é livre de quadrados e D/4 ≡ 2 ou 3 (mod 4).

Estenda o símbolo de Jacobi para aceitar números pares no "denominador" definindo o símbolo Kronecker:

{displaystyle left({frac {a}{2}}right)={begin{cases};;,0&{text{ if }}a{text{ is even}}\(-1)^{frac {a^{2}-1}{8}}&{text{ if }}a{text{ is odd. }}end{cases}}}

Então, se D < −4 é um discriminante fundamental

{displaystyle {begin{aligned}h(D)&={frac {1}{D}}sum _{r=1}^{|D|}rleft({frac {D}{r}}right)\&={frac {1}{2-left({tfrac {D}{2}}right)}}sum _{r=1}^{|D|/2}left({frac {D}{r}}right).end{aligned}}}

Existe também uma fórmula relacionando r₃ e h. Novamente, seja D um discriminante fundamental, D < −4. Então

{displaystyle r_{3}(|D|)=12left(1-left({frac {D}{2}}right)right)h(D).}

Relacionado à contagem primária

Vamos. ${displaystyle H_{n}=1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+cdots +{frac {1}{n}}}$ ser o nO número harmónico. Então...

sigma(n) le H_n + e^{H_n}log H_n

é verdade para cada número natural n se e somente se a hipótese de Riemann for verdadeira.

A hipótese de Riemann também é equivalente à afirmação de que, para todo n > 5040,

<math alttext="{displaystyle sigma (n)σ σ (n)<eγ γ nlog⁡ ⁡ log⁡ ⁡ n{displaystyle sigma (n)<e^{gamma }nlog log n<img alt="{displaystyle sigma (n)

{displaystyle sum _{p}nu _{p}(n)=Omega (n).}

{displaystyle psi (x)=sum _{nleq x}Lambda (n).}

{displaystyle Pi (x)=sum _{nleq x}{frac {Lambda (n)}{log n}}.}

{displaystyle e^{theta (x)}=prod _{pleq x}p.}

{displaystyle e^{psi (x)}=operatorname {lcm} [1,2,dotslfloor xrfloor ].}

Identidade de Menon

Em 1965, P Kesava Menon provou

{displaystyle sum _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,n)=1}}gcd(k-1,n)=varphi (n)d(n).}

Isso foi generalizado por vários matemáticos. Por exemplo,

B. Sury ${displaystyle sum _{stackrel {1leq k_{1},k_{2},dotsk_{s}leq n}{gcd(k_{1},n)=1}}gcd(k_{1}-1,k_{2},dotsk_{s},n)=varphi (n)sigma _{s-1}(n).}$
N. Rao ${displaystyle sum _{stackrel {1leq k_{1},k_{2},dotsk_{s}leq n}{gcd(k_{1},k_{2},dotsk_{s},n)=1}}gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},dotsk_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),}$ Onde? um₁, um₂, um_S são inteiros, gcd(um₁, um₂, um_S, n) = 1.
László Fejes Tóth ${displaystyle sum _{stackrel {1leq kleq m}{gcd(k,m)=1}}gcd(k^{2}-1,m_{1})gcd(k^{2}-1,m_{2})=varphi (n)sum _{stackrel {d_{1}mid m_{1}}{d_{2}mid m_{2}}}varphi (gcd(d_{1},d_{2}))2^{omega (operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},}$ Onde? m₁ e m₂ são estranhos, m = lcm(m₁, m₂).

Na verdade, se f for qualquer função aritmética

{displaystyle sum _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,n)=1}}f(gcd(k-1,n))=varphi (n)sum _{dmid n}{frac {(mu *f)(d)}{varphi (d)}},}

*

Diversos

Seja m e n distintos, ímpares e positivos. Então o símbolo de Jacobi satisfaz a lei da reciprocidade quadrática:

{displaystyle left({frac {m}{n}}right)left({frac {n}{m}}right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}.}

Seja D(n) a derivada aritmética. Então a derivada logarítmica

{displaystyle {frac {D(n)}{n}}=sum _{stackrel {pmid n}{p{text{ prime}}}}{frac {v_{p}(n)}{p}}.}

Seja λ(n) a função de Liouville. Então

|lambda(n)|mu(n) =lambda(n)|mu(n)| = mu(n),

lambda(n)mu(n) = |mu(n)| =mu^2(n).

Seja λ(n) a função de Carmichael. Então

lambda(n)mid phi(n).

Mais adiante,

{displaystyle lambda (n)=phi (n){text{ if and only if }}n={begin{cases}1,2,4;\3,5,7,9,11,ldots {text{ (that is, }}p^{k}{text{, where }}p{text{ is an odd prime)}};\6,10,14,18,ldots {text{ (that is, }}2p^{k}{text{, where }}p{text{ is an odd prime)}}.end{cases}}}

Consulte Grupo multiplicativo de inteiros módulo n e Raiz primitiva módulo n.

{displaystyle 2^{omega (n)}leq d(n)leq 2^{Omega (n)}.}

<math alttext="{displaystyle {frac {6}{pi ^{2}}}<{frac {phi (n)sigma (n)}{n^{2}}}6D D 2<φ φ (n)σ σ (n)n2<1.{displaystyle {frac {6}{pi ^{2}}}<{frac {phi (n)sigma (n)}{n^{2}}}<1.}<img alt="{displaystyle {frac {6}{pi ^{2}}}<{frac {phi (n)sigma (n)}{n^{2}}}

{displaystyle {begin{aligned}c_{q}(n)&={frac {mu left({frac {q}{gcd(q,n)}}right)}{phi left({frac {q}{gcd(q,n)}}right)}}phi (q)\&=sum _{delta mid gcd(q,n)}mu left({frac {q}{delta }}right)delta.end{aligned}}}

Note que

phi (q)=sum _{{delta mid q}}mu left({frac {q}{delta }}right)delta.

{displaystyle c_{q}(1)=mu (q).}

{displaystyle c_{q}(q)=phi (q).}

{displaystyle sum _{delta mid n}d^{3}(delta)=left(sum _{delta mid n}d(delta)right)^{2}.}

Compare isto com

13 + 2 3 + 3 3 +... + n 3 = (1 + 2 + 3 +... + n) 2

{displaystyle d(uv)=sum _{delta mid gcd(u,v)}mu (delta)dleft({frac {u}{delta }}right)dleft({frac {v}{delta }}right).}

{displaystyle sigma _{k}(u)sigma _{k}(v)=sum _{delta mid gcd(u,v)}delta ^{k}sigma _{k}left({frac {uv}{delta ^{2}}}right).}

{displaystyle tau (u)tau (v)=sum _{delta mid gcd(u,v)}delta ^{11}tau left({frac {uv}{delta ^{2}}}right),}

Onde? ?(n) é a função de Ramanujan.

Primeiros 100 valores de algumas funções aritméticas

n	factorization	𝜙(n)	ω(n)	Ω(n)	𝜆(n)	𝜇(n)	𝜆(n)	$π$ (n)	𝜎₀(n)	𝜎₁(n)	𝜎₂(n)	r₂(n)	r₃(n)	r₄(n)
1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	4	6	8
2	2	1	1	1	−1	−1	0.69	1	2	3	5	4	12	24
3	3	2	1	1	−1	−1	1.10	2	2	4	10	0	8	32
4	2²	2	1	2	1	0	0.69	2	3	7	21	4	6	24
5	5	4	1	1	−1	−1	1.61	3	2	6	26	8	24	48
6	2 · 3	2	2	2	1	1	0	3	4	12	50	0	24	96
7	7	6	1	1	−1	−1	1.95	4	2	8	50	0	0	64
8	2³	4	1	3	−1	0	0.69	4	4	15	85	4	12	24
9	3²	6	1	2	1	0	1.10	4	3	13	91	4	30	104
10	2 · 5	4	2	2	1	1	0	4	4	18	130	8	24	144
11	11	10	1	1	−1	−1	2.40	5	2	12	122	0	24	96
12	2² · 3	4	2	3	−1	0	0	5	6	28	210	0	8	96
13	13	12	1	1	−1	−1	2.56	6	2	14	170	8	24	112
14	2 · 7	6	2	2	1	1	0	6	4	24	250	0	48	192
15	3 · 5	8	2	2	1	1	0	6	4	24	260	0	0	192
16	2⁴	8	1	4	1	0	0.69	6	5	31	341	4	6	24
17	17	16	1	1	−1	−1	2.83	7	2	18	290	8	48	144
18	2 · 3²	6	2	3	−1	0	0	7	6	39	455	4	36	312
19	19	18	1	1	−1	−1	2.94	8	2	20	362	0	24	160
20	2² · 5	8	2	3	−1	0	0	8	6	42	546	8	24	144
21	3 · 7	12	2	2	1	1	0	8	4	32	500	0	48	256
22	2 · 11	10	2	2	1	1	0	8	4	36	610	0	24	288
23	23	22	1	1	−1	−1	3.14	9	2	24	530	0	0	192
24	2³ · 3	8	2	4	1	0	0	9	8	60	850	0	24	96
25	5²	20	1	2	1	0	1.61	9	3	31	651	12	30	248
26	2 · 13	12	2	2	1	1	0	9	4	42	850	8	72	336
27	3³	18	1	3	−1	0	1.10	9	4	40	820	0	32	320
28	2² · 7	12	2	3	−1	0	0	9	6	56	1050	0	0	192
29	29	28	1	1	−1	−1	3.37	10	2	30	842	8	72	240
30	2 · 3 · 5	8	3	3	−1	−1	0	10	8	72	1300	0	48	576
31	31	30	1	1	−1	−1	3.43	11	2	32	962	0	0	256
32	2⁵	16	1	5	−1	0	0.69	11	6	63	1365	4	12	24
33	3 · 11	20	2	2	1	1	0	11	4	48	1220	0	48	384
34	2 · 17	16	2	2	1	1	0	11	4	54	1450	8	48	432
35	5 · 7	24	2	2	1	1	0	11	4	48	1300	0	48	384
36	2² · 3²	12	2	4	1	0	0	11	9	91	1911	4	30	312
37	37	36	1	1	−1	−1	3.61	12	2	38	1370	8	24	304
38	2 · 19	18	2	2	1	1	0	12	4	60	1810	0	72	480
39	3 · 13	24	2	2	1	1	0	12	4	56	1700	0	0	448
40	2³ · 5	16	2	4	1	0	0	12	8	90	2210	8	24	144
41	41	40	1	1	−1	−1	3.71	13	2	42	1682	8	96	336
42	2 · 3 · 7	12	3	3	−1	−1	0	13	8	96	2500	0	48	768
43	43	42	1	1	−1	−1	3.76	14	2	44	1850	0	24	352
44	2² · 11	20	2	3	−1	0	0	14	6	84	2562	0	24	288
45	3² · 5	24	2	3	−1	0	0	14	6	78	2366	8	72	624
46	2 · 23	22	2	2	1	1	0	14	4	72	2650	0	48	576
47	47	46	1	1	−1	−1	3.85	15	2	48	2210	0	0	384
48	2⁴ · 3	16	2	5	−1	0	0	15	10	124	3410	0	8	96
49	7²	42	1	2	1	0	1.95	15	3	57	2451	4	54	456
50	2 · 5²	20	2	3	−1	0	0	15	6	93	3255	12	84	744
51	3 · 17	32	2	2	1	1	0	15	4	72	2900	0	48	576
52	2² · 13	24	2	3	−1	0	0	15	6	98	3570	8	24	336
53	53	52	1	1	−1	−1	3.97	16	2	54	2810	8	72	432
54	2 · 3³	18	2	4	1	0	0	16	8	120	4100	0	96	960
55	5 · 11	40	2	2	1	1	0	16	4	72	3172	0	0	576
56	2³ · 7	24	2	4	1	0	0	16	8	120	4250	0	48	192
57	3 · 19	36	2	2	1	1	0	16	4	80	3620	0	48	640
58	2 · 29	28	2	2	1	1	0	16	4	90	4210	8	24	720
59	59	58	1	1	−1	−1	4.08	17	2	60	3482	0	72	480
60	2² · 3 · 5	16	3	4	1	0	0	17	12	168	5460	0	0	576
61	61	60	1	1	−1	−1	4.11	18	2	62	3722	8	72	496
62	2 · 31	30	2	2	1	1	0	18	4	96	4810	0	96	768
63	3² · 7	36	2	3	−1	0	0	18	6	104	4550	0	0	832
64	2⁶	32	1	6	1	0	0.69	18	7	127	5461	4	6	24
65	5 · 13	48	2	2	1	1	0	18	4	84	4420	16	96	672
66	2 · 3 · 11	20	3	3	−1	−1	0	18	8	144	6100	0	96	1152
67	67	66	1	1	−1	−1	4.20	19	2	68	4490	0	24	544
68	2² · 17	32	2	3	−1	0	0	19	6	126	6090	8	48	432
69	3 · 23	44	2	2	1	1	0	19	4	96	5300	0	96	768
70	2 · 5 · 7	24	3	3	−1	−1	0	19	8	144	6500	0	48	1152
71	71	70	1	1	−1	−1	4.26	20	2	72	5042	0	0	576
72	2³ · 3²	24	2	5	−1	0	0	20	12	195	7735	4	36	312
73	73	72	1	1	−1	−1	4.29	21	2	74	5330	8	48	592
74	2 · 37	36	2	2	1	1	0	21	4	114	6850	8	120	912
75	3 · 5²	40	2	3	−1	0	0	21	6	124	6510	0	56	992
76	2² · 19	36	2	3	−1	0	0	21	6	140	7602	0	24	480
77	7 · 11	60	2	2	1	1	0	21	4	96	6100	0	96	768
78	2 · 3 · 13	24	3	3	−1	−1	0	21	8	168	8500	0	48	1344
79	79	78	1	1	−1	−1	4.37	22	2	80	6242	0	0	640
80	2⁴ · 5	32	2	5	−1	0	0	22	10	186	8866	8	24	144
81	3⁴	54	1	4	1	0	1.10	22	5	121	7381	4	102	968
82	2 · 41	40	2	2	1	1	0	22	4	126	8410	8	48	1008
83	83	82	1	1	−1	−1	4.42	23	2	84	6890	0	72	672
84	2² · 3 · 7	24	3	4	1	0	0	23	12	224	10500	0	48	768
85	5 · 17	64	2	2	1	1	0	23	4	108	7540	16	48	864
86	2 · 43	42	2	2	1	1	0	23	4	132	9250	0	120	1056
87	3 · 29	56	2	2	1	1	0	23	4	120	8420	0	0	960
88	2³ · 11	40	2	4	1	0	0	23	8	180	10370	0	24	288
89	89	88	1	1	−1	−1	4.49	24	2	90	7922	8	144	720
90	2 · 3² · 5	24	3	4	1	0	0	24	12	234	11830	8	120	1872
91	7 · 13	72	2	2	1	1	0	24	4	112	8500	0	48	896
92	2² · 23	44	2	3	−1	0	0	24	6	168	11130	0	0	576
93	3 · 31	60	2	2	1	1	0	24	4	128	9620	0	48	1024
94	2 · 47	46	2	2	1	1	0	24	4	144	11050	0	96	1152
95	5 · 19	72	2	2	1	1	0	24	4	120	9412	0	0	960
96	2⁵ · 3	32	2	6	1	0	0	24	12	252	13650	0	24	96
97	97	96	1	1	−1	−1	4.57	25	2	98	9410	8	48	784
98	2 · 7²	42	2	3	−1	0	0	25	6	171	12255	4	108	1368
99	3² · 11	60	2	3	−1	0	0	25	6	156	11102	0	72	1248
100	2² · 5²	40	2	4	1	0	0	25	9	217	13671	12	30	744
n	factorization	𝜙(n)	ω(n)	Ω(n)	𝜆(n)	𝜇(n)	𝜆(n)	$π$ (n)	𝜎₀(n)	𝜎₁(n)	𝜎₂(n)	r₂(n)	r₃(n)	r₄(n)

Contenido relacionado

Más resultados...