Fractal

O conjunto Mandelbrot: seu limite é uma curva fractal com a dimensão Hausdorff 2

Mandelbrot conjunto com 12 encirclements.

Zoomando no limite do conjunto Mandelbrot

Na matemática, um fractal é uma forma geométrica contendo estrutura detalhada em escalas arbitrariamente pequenas, geralmente com uma dimensão fractal estritamente excedendo a dimensão topológica. Muitos fractais parecem semelhantes em várias escalas, como ilustrado em ampliações sucessivas do conjunto de Mandelbrot. Essa exibição de padrões semelhantes em escalas cada vez menores é chamada de autossimilaridade, também conhecida como simetria em expansão ou simetria em desdobramento; se essa replicação for exatamente a mesma em todas as escalas, como na esponja de Menger, a forma é chamada de autossimilar afim. A geometria fractal está dentro do ramo matemático da teoria da medida.

Uma maneira pela qual os fractais são diferentes das figuras geométricas finitas é como eles são dimensionados. Dobrar os comprimentos das arestas de um polígono preenchido multiplica sua área por quatro, que é dois (a razão entre o novo e o antigo comprimento lateral) elevado à potência de dois (a dimensão convencional do polígono preenchido). Da mesma forma, se o raio de uma esfera preenchida for dobrado, seu volume aumentará em oito, que é dois (a razão entre o novo e o antigo raio) elevado a três (a dimensão convencional da esfera preenchida). No entanto, se os comprimentos unidimensionais de um fractal forem todos dobrados, o conteúdo espacial das escalas fractais por uma potência que não é necessariamente um número inteiro e é em geral maior que sua dimensão convencional. Esse poder é chamado de dimensão fractal do objeto geométrico, para distingui-lo da dimensão convencional (que é formalmente chamada de dimensão topológica).

Analiticamente, muitos fractais não são diferenciáveis em nenhum lugar. Uma curva fractal infinita pode ser concebida como serpenteando pelo espaço de maneira diferente de uma linha comum - embora ainda seja topologicamente unidimensional, sua dimensão fractal indica que ela preenche localmente o espaço com mais eficiência do que uma linha comum.

Tapete Sierpinski (ao nível 6), um fractal com uma dimensão topológica de 1 e uma dimensão Hausdorff de 1.893

Um segmento de linha é semelhante a uma parte adequada de si mesmo, mas dificilmente um fractal.

Começando no século 17 com noções de recursão, os fractais passaram por um tratamento matemático cada vez mais rigoroso para o estudo de funções contínuas, mas não diferenciáveis no século 19 pelo trabalho seminal de Bernard Bolzano, Bernhard Riemann e Karl Weierstrass, e para a cunhagem da palavra fractal no século 20 com um subsequente crescimento do interesse em fractais e modelagem baseada em computador no século 20.

Existe alguma discordância entre os matemáticos sobre como o conceito de fractal deve ser formalmente definido. O próprio Mandelbrot o resumiu como "bonito, muito difícil, cada vez mais útil". Isso são fractais." Mais formalmente, em 1982, Mandelbrot definiu fractal da seguinte forma: "Um fractal é, por definição, um conjunto para o qual a dimensão Hausdorff-Besicovitch excede estritamente a dimensão topológica." Mais tarde, vendo isso como muito restritivo, ele simplificou e expandiu a definição para: "Um fractal é uma forma geométrica irregular ou fragmentada que pode ser dividida em partes, cada uma das quais é (pelo menos aproximadamente) um tamanho reduzido cópia do todo." Ainda mais tarde, Mandelbrot propôs "usar fractal sem uma definição pedante, usar dimensão fractal como um termo genérico aplicável a todos os variantes".

O consenso entre os matemáticos é que os fractais teóricos são construções matemáticas iteradas e detalhadas infinitamente autossimilares, das quais muitos exemplos foram formulados e estudados. Os fractais não se limitam a padrões geométricos, mas também podem descrever processos no tempo. Padrões fractais com vários graus de auto-semelhança foram reproduzidos ou estudados em mídia visual, física e auditiva e encontrados na natureza, tecnologia, arte, arquitetura e direito. Os fractais são de particular relevância no campo da teoria do caos porque aparecem nas representações geométricas da maioria dos processos caóticos (normalmente como atratores ou como limites entre bacias de atração).

Etimologia

O termo "fractal" foi cunhado pelo matemático Benoît Mandelbrot em 1975. Mandelbrot baseou-se no latim frāctus, que significa " quebrado" ou "fraturado", e o usou para estender o conceito de dimensões fracionárias teóricas a padrões geométricos na natureza.

Introdução

Uma árvore fractal simples

Uma árvore fractal para onze iterações

A palavra "fractal" muitas vezes tem conotações diferentes para o público leigo em oposição aos matemáticos, onde é mais provável que o público esteja familiarizado com a arte fractal do que com o conceito matemático. O conceito matemático é difícil de definir formalmente, mesmo para matemáticos, mas as principais características podem ser compreendidas com um pouco de conhecimento matemático.

O recurso de "autossimilaridade", por exemplo, é facilmente entendido por analogia com o zoom com uma lente ou outro dispositivo que amplia as imagens digitais para revelar uma nova estrutura mais refinada e anteriormente invisível. Se isso for feito em fractais, no entanto, nenhum novo detalhe aparecerá; nada muda e o mesmo padrão se repete continuamente, ou para alguns fractais, quase o mesmo padrão reaparece continuamente. A auto-semelhança em si não é necessariamente contra-intuitiva (por exemplo, as pessoas ponderaram a auto-semelhança informalmente, como na regressão infinita em espelhos paralelos ou no homúnculo, o homenzinho dentro da cabeça do homenzinho dentro da cabeça...). A diferença para os fractais é que o padrão reproduzido deve ser detalhado.

Essa ideia de ser detalhado está relacionada a outra característica que pode ser entendida sem muito conhecimento matemático: ter uma dimensão fractal maior que sua dimensão topológica, por exemplo, refere-se a como um fractal escala em comparação com a forma como as formas geométricas são geralmente percebidas. Uma linha reta, por exemplo, é convencionalmente entendida como unidimensional; se tal figura for recolocada em pedaços cada um com 1/3 do comprimento do original, então sempre haverá três pedaços iguais. Um quadrado sólido é entendido como bidimensional; se tal figura for dividida em peças, cada uma reduzida por um fator de 1/3 em ambas as dimensões, haverá um total de 3² = 9 peças.

Vemos que, para objetos autossimilares comuns, ser n-dimensional significa que, quando ele é dividido em pedaços, cada um reduzido por um fator de escala de 1/r, há um total de rⁿ peças. Agora, considere a curva de Koch. Ele pode ser dividido em quatro subcópias, cada uma reduzida por um fator de escala de 1/3. Então, estritamente por analogia, podemos considerar a "dimensão" da curva de Koch como sendo o único número real D que satisfaz 3^D = 4. Esse número é chamado de dimensão fractal da curva de Koch; não é a dimensão convencionalmente percebida de uma curva. Em geral, uma propriedade chave dos fractais é que a dimensão fractal difere da dimensão compreendida convencionalmente (formalmente chamada de dimensão topológica).

computador 3D gerado fractal

Isso também leva à compreensão de uma terceira característica, que os fractais como equações matemáticas são "em nenhum lugar diferenciáveis". Em um sentido concreto, isso significa que os fractais não podem ser medidos de maneira tradicional. Para elaborar, ao tentar encontrar o comprimento de uma curva não fractal ondulada, pode-se encontrar segmentos retos de alguma ferramenta de medição pequena o suficiente para colocar ponta a ponta sobre as ondas, onde as peças podem ficar pequenas o suficiente para serem consideradas em conformidade com a curva da maneira normal de medir com uma fita métrica. Mas, ao medir uma escala infinitamente "ondulada" curva fractal como o floco de neve de Koch, nunca se encontraria um segmento reto pequeno o suficiente para se adequar à curva, porque o padrão irregular sempre reapareceria, em escalas arbitrariamente pequenas, essencialmente puxando um pouco mais da fita métrica para o total comprimento medido cada vez que se tentava ajustá-lo cada vez mais apertado à curva. O resultado é que é preciso uma fita infinita para cobrir perfeitamente toda a curva, ou seja, o floco de neve tem um perímetro infinito.

História

Um floco de neve Koch é um fractal que começa com um triângulo equilátero e, em seguida, substitui o terço médio de cada segmento de linha com um par de segmentos de linha que formam uma colisão equilateral

Conjunto de Cantor (ternário).

A história dos fractais traça um caminho desde estudos principalmente teóricos até aplicações modernas em computação gráfica, com várias pessoas notáveis contribuindo com formas fractais canônicas ao longo do caminho. Um tema comum na arquitetura tradicional africana é o uso da escala fractal, em que pequenas partes da estrutura tendem a parecer semelhantes a partes maiores, como uma vila circular feita de casas circulares. De acordo com Pickover, a matemática por trás dos fractais começou a tomar forma no século 17, quando o matemático e filósofo Gottfried Leibniz ponderou a autossimilaridade recursiva (embora ele tenha cometido o erro de pensar que apenas a linha reta era autossimilar nesse sentido).

Em seus escritos, Leibniz usou o termo "expoentes fracionários", mas lamentou que "Geometria" ainda não os conhecia. De fato, de acordo com vários relatos históricos, depois desse ponto poucos matemáticos abordaram as questões e o trabalho daqueles que o fizeram permaneceu obscuro em grande parte devido à resistência a tais conceitos emergentes desconhecidos, que às vezes eram referidos como "monstros" matemáticos.. Assim, não foi até que dois séculos se passaram que em 18 de julho de 1872 Karl Weierstrass apresentou a primeira definição de uma função com um gráfico que hoje seria considerado um fractal, tendo a propriedade não intuitiva de ser contínua em todos os lugares, mas em nenhum lugar diferenciável em Academia Real Prussiana de Ciências.

Além disso, a diferença do quociente torna-se arbitrariamente grande à medida que o índice de soma aumenta. Não muito depois disso, em 1883, Georg Cantor, que assistiu às palestras de Weierstrass, publicou exemplos de subconjuntos da reta real conhecidos como conjuntos de Cantor, que tinham propriedades incomuns e agora são reconhecidos como fractais. Também na última parte daquele século, Felix Klein e Henri Poincaré introduziram uma categoria de fractal que veio a ser chamada de "auto-inverso" fractais.

Um conjunto de Julia, um fractal relacionado com o conjunto Mandelbrot

Uma junta Sierpinski pode ser gerada por uma árvore fractal.

Um dos próximos marcos ocorreu em 1904, quando Helge von Koch, ampliando as ideias de Poincaré e insatisfeito com a definição abstrata e analítica de Weierstrass, deu uma definição mais geométrica incluindo imagens desenhadas à mão de uma função semelhante, que agora é chamado de floco de neve Koch. Outro marco veio uma década depois, em 1915, quando Wacław Sierpiński construiu seu famoso triângulo e, um ano depois, seu tapete. Em 1918, dois matemáticos franceses, Pierre Fatou e Gaston Julia, embora trabalhando de forma independente, chegaram essencialmente simultaneamente a resultados que descrevem o que agora é visto como comportamento fractal associado ao mapeamento de números complexos e funções iterativas e levando a novas ideias sobre atratores e repulsores (ou seja, pontos que atraem ou repelem outros pontos), que se tornaram muito importantes no estudo dos fractais.

Pouco depois que o trabalho foi submetido, em março de 1918, Felix Hausdorff expandiu a definição de "dimensão", significativamente para a evolução da definição de fractais, para permitir conjuntos com dimensões não inteiras. A ideia de curvas autossimilares foi levada adiante por Paul Lévy, que, em seu artigo de 1938 Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole, descreveu uma nova curva fractal, a Lévy C curva.

Um estranho atrator que exibe escalas multifratais

Triângulo de centro de massa uniforme fractal

2x 120 graus recursivo IFS

Diferentes pesquisadores postularam que, sem a ajuda da computação gráfica moderna, os primeiros investigadores estavam limitados ao que podiam representar em desenhos manuais, por isso não tinham os meios para visualizar a beleza e apreciar algumas das implicações de muitos dos padrões que tinham descoberto (o conjunto Julia, por exemplo, só pode ser visualizado através de algumas iterações como desenhos muito simples). Isso mudou, no entanto, na década de 1960, quando Benoit Mandelbrot começou a escrever sobre autossimilaridade em artigos como How Long Is the Coast of Britain? Auto-semelhança estatística e dimensão fracionária, que se baseou em trabalhos anteriores de Lewis Fry Richardson.

Em 1975, Mandelbrot solidificou centenas de anos de pensamento e desenvolvimento matemático ao cunhar a palavra "fractal" e ilustrou sua definição matemática com impressionantes visualizações construídas por computador. Essas imagens, como a de seu conjunto canônico de Mandelbrot, capturaram a imaginação popular; muitos deles foram baseados em recursão, levando ao significado popular do termo "fractal".

Em 1980, Loren Carpenter fez uma apresentação no SIGGRAPH, onde apresentou seu software para gerar e renderizar paisagens geradas fractalmente.

Definição e características

Uma descrição frequentemente citada que Mandelbrot publicou para descrever fractais geométricos é "uma forma geométrica irregular ou fragmentada que pode ser dividida em partes, cada uma das quais é (pelo menos aproximadamente) uma cópia em tamanho reduzido do todo&# 34;; isso geralmente é útil, mas limitado. Os autores discordam sobre a definição exata de fractal, mas geralmente elaboram as ideias básicas de autossimilaridade e a relação incomum que os fractais têm com o espaço em que estão inseridos.

Um ponto aceito é que os padrões fractais são caracterizados por dimensões fractais, mas enquanto esses números quantificam a complexidade (ou seja, alterando detalhes com mudança de escala), eles não descrevem nem especificam detalhes de como construir padrões fractais específicos. Em 1975, quando Mandelbrot cunhou a palavra fractal, ele o fez para denotar um objeto cuja dimensão Hausdorff-Besicovitch é maior que sua dimensão topológica. No entanto, esse requisito não é atendido por curvas de preenchimento de espaço, como a curva de Hilbert.

Devido ao problema envolvido em encontrar uma definição para fractais, alguns argumentam que os fractais não devem ser estritamente definidos. De acordo com Falconer, os fractais devem ser apenas geralmente caracterizados por uma gestalt das seguintes características;

• Auto-similaridade, que pode incluir:

• Auto-similaridade exata: idêntico em todas as escalas, como o floco de neve Koch
• A auto-similaridade de Quasi: aproxima o mesmo padrão em diferentes escalas; pode conter pequenas cópias de todo o fractal em formas distorcidas e degeneradas; por exemplo, os satélites do conjunto Mandelbrot são aproximações de todo o conjunto, mas não cópias exatas.
• Auto-similaridade estatística: repete um padrão estocástico de modo medidas numéricas ou estatísticas são preservadas em escalas; por exemplo, fractais gerados aleatoriamente como o exemplo bem conhecido da costa da Grã-Bretanha para o qual não se esperaria encontrar um segmento dimensionado e repetido tão ordenadamente como a unidade repetida que define fractais como o floco de neve Koch.
• Auto-similaridade qualitativa: como em uma série de tempo
• Escalação multifratal: caracterizada por mais de uma dimensão fractal ou regra de escala

• Estrutura fina ou detalhada em escalas arbitrariamente pequenas. Uma consequência desta estrutura é fractais podem ter propriedades emergentes (relacionadas ao próximo critério nesta lista).
• Irregularidade local e globalmente que não pode ser facilmente descrita na linguagem da geometria euclidiana tradicional, diferente do limite de uma sequência de fases definida recursivamente. Para imagens de padrões fractais, isso foi expresso por frases como "smoothly piling up surfaces" e "swirls upon swirls";ver Técnicas comuns para gerar fractais.

Como um grupo, esses critérios formam diretrizes para excluir certos casos, como aqueles que podem ser autossimilares sem ter outras características tipicamente fractais. Uma linha reta, por exemplo, é auto-semelhante, mas não fractal porque carece de detalhes e é facilmente descrita na linguagem euclidiana sem necessidade de recursão.

Técnicas comuns para gerar fractais

Padrão de ramificação auto-similar modelado em silico usando princípios L-systems

Imagens de fractais podem ser criadas por programas geradores de fractais. Por causa do efeito borboleta, uma pequena mudança em uma única variável pode ter um resultado imprevisível.

• Sistemas de função Iterated (IFS) – usar regras de substituição geométrica fixas; pode ser estocástica ou determinística; por exemplo, floco de neve Koch, conjunto Cantor, tapete Haferman, tapete Sierpinski, junta Sierpinski, curva Peano, curva de dragão Harter-Heighway, T-quadrado, esponja Menger
• Atratores estranhos – use iterações de um mapa ou soluções de um sistema de diferenciais de valor inicial ou equações de diferença que exibam o caos (por exemplo, veja imagem multifratal ou o mapa logístico)
• L-sistemas – usar a reescrita de cordas; pode assemelhar-se a padrões de ramificação, tais como em plantas, células biológicas (por exemplo, neurônios e células do sistema imunológico), vasos sanguíneos, estrutura pulmonar, etc ou padrões gráficos de tartaruga, tais como curvas de enchimento do espaço e tilings
• fractais de tempo de fuga – use uma relação de fórmula ou recidiva em cada ponto em um espaço (como o plano complexo); geralmente quasi-self-similar; também conhecido como fractais "orbit"; por exemplo, o conjunto Mandelbrot, Julia set, Burning Ship fractal, Nova fractal e Lyapunov fractal. Os campos vetoriais 2d que são gerados por uma ou duas iterações de fórmulas de tempo de fuga também dão origem a uma forma fractal quando os pontos (ou dados de pixel) são passados por este campo repetidamente.
• fractais aleatórios – usar regras estocásticas; por exemplo, Voo Lévy, clusters de percolação, auto-evitando caminhadas, paisagens fractais, trajetórias de movimento browniano e a árvore browniana (ou seja, fractais dendritic gerados por modelagem de agregação limitada à difusão ou aglomerados de agregação limitada à reação).

Um fractal gerado por uma regra de subdivisão finita para um link alternado

• Regras de subdivisão Fina – usar um algoritmo topológico recursivo para refinar tilings e eles são semelhantes ao processo de divisão celular. Os processos iterativos utilizados na criação do conjunto Cantor e o tapete Sierpinski são exemplos de regras de subdivisão finitas, como é subdivisão baricêntrica.

Aplicativos

Fractais simulados

Os padrões fractais foram modelados extensivamente, embora dentro de uma gama de escalas em vez de infinitamente, devido aos limites práticos do tempo e espaço físicos. Os modelos podem simular fractais teóricos ou fenômenos naturais com características fractais. As saídas do processo de modelagem podem ser renderizações altamente artísticas, saídas para investigação ou referências para análise fractal. Algumas aplicações específicas dos fractais à tecnologia estão listadas em outro lugar. Imagens e outras saídas de modelagem são normalmente chamadas de "fractais" mesmo que não tenham características estritamente fractais, como quando é possível ampliar uma região da imagem fractal que não apresenta nenhuma propriedade fractal. Além disso, eles podem incluir artefatos de cálculo ou exibição que não são característicos de fractais verdadeiros.

Os fractais modelados podem ser sons, imagens digitais, padrões eletroquímicos, ritmos circadianos, etc. Padrões fractais foram reconstruídos no espaço físico tridimensional e virtualmente, muitas vezes chamados de "in silico" modelagem. Modelos de fractais são geralmente criados usando software gerador de fractais que implementa técnicas como as descritas acima. Como uma ilustração, árvores, samambaias, células do sistema nervoso, sangue e vasculatura pulmonar e outros padrões de ramificação na natureza podem ser modelados em um computador usando algoritmos recursivos e técnicas de sistemas L.

A natureza recursiva de alguns padrões é óbvia em certos exemplos - um galho de uma árvore ou uma folhagem de uma samambaia é uma réplica em miniatura do todo: não idêntico, mas de natureza semelhante. Da mesma forma, fractais aleatórios têm sido usados para descrever/criar muitos objetos altamente irregulares do mundo real. Uma limitação da modelagem de fractais é que a semelhança de um modelo fractal com um fenômeno natural não prova que o fenômeno que está sendo modelado é formado por um processo semelhante aos algoritmos de modelagem.

Fenômenos naturais com características fractais

Fractais aproximados encontrados na natureza exibem autossimilaridade em faixas de escala estendidas, mas finitas. A conexão entre fractais e folhas, por exemplo, está sendo usada atualmente para determinar quanto carbono está contido nas árvores. Fenômenos conhecidos por terem características fractais incluem:

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  Cristais de geada que ocorrem naturalmente na forma de vidro frio padrões fractais

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  Limite da bacia fractal em um sistema óptico geométrico

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  Um fractal é formado ao retirar duas folhas acrílicas cobertas por cola

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  Distribuição de alta tensão dentro de um bloco de vidro acrílico de 4 polegadas (100 mm) cria uma figura fractal Lichtenberg

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  brócolis românicos, mostrando forma auto-similar aproximando um fractal natural

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  Padrões de descongelar, Marte polar. Os padrões são formados por sublimação de CO congelado₂. A largura da imagem é de cerca de um quilômetro.

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  Molde de emagrecimento Brefeldia maxima crescendo fractally em madeira

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  Dendritos de Psilomelane no Limestone Solnhofen

Fractais em biologia celular

Os fractais geralmente aparecem no reino dos organismos vivos, onde surgem por meio de processos de ramificação e outras formações de padrões complexos. Ian Wong e colegas de trabalho mostraram que as células migratórias podem formar fractais por agrupamento e ramificação. As células nervosas funcionam por meio de processos na superfície da célula, com fenômenos que são aprimorados pelo grande aumento da relação entre a superfície e o volume. Como consequência, as células nervosas frequentemente se formam em padrões fractais. Esses processos são cruciais na fisiologia celular e em diferentes patologias.

Múltiplas estruturas subcelulares também são encontradas reunidas em fractais. Diego Krapf mostrou que, por meio de processos de ramificação, os filamentos de actina nas células humanas se agrupam em padrões fractais. Da mesma forma, Matthias Weiss mostrou que o retículo endoplasmático exibe características fractais. O entendimento atual é que os fractais são onipresentes na biologia celular, de proteínas a organelas e células inteiras.

Em trabalhos criativos

Desde 1999, vários grupos científicos realizaram análises fractais em mais de 50 pinturas criadas por Jackson Pollock, derramando tinta diretamente em telas horizontais.

Recentemente, a análise fractal tem sido usada para alcançar uma taxa de sucesso de 93% em distinguir Pollocks reais de imitações. Neurocientistas cognitivos mostraram que os fractais de Pollock induzem a mesma redução de estresse em observadores que os fractais gerados por computador e os fractais da Natureza.

A decalcomania, uma técnica usada por artistas como Max Ernst, pode produzir padrões semelhantes a fractais. Envolve pressionar tinta entre duas superfícies e separá-las.

O ciberneticista Ron Eglash sugeriu que a geometria fractal e a matemática prevalecem na arte, nos jogos, na adivinhação, no comércio e na arquitetura africana. Casas circulares aparecem em círculos de círculos, casas retangulares em retângulos de retângulos e assim por diante. Esses padrões de escala também podem ser encontrados em têxteis africanos, esculturas e até penteados trançados. Hokky Situngkir também sugeriu propriedades semelhantes na arte tradicional indonésia, batik e ornamentos encontrados em casas tradicionais.

O etnomatemático Ron Eglash discutiu o layout planejado da cidade de Benin usando fractais como base, não apenas na própria cidade e nas aldeias, mas também nos cômodos das casas. Ele comentou que "Quando os europeus chegaram pela primeira vez à África, eles consideravam a arquitetura muito desorganizada e, portanto, primitiva. Nunca lhes ocorreu que os africanos poderiam estar usando uma forma de matemática que ainda não haviam descoberto”.

Em uma entrevista de 1996 com Michael Silverblatt, David Foster Wallace admitiu que a estrutura do primeiro rascunho de Infinite Jest que ele deu a seu editor Michael Pietsch foi inspirada por fractais, especificamente o triângulo de Sierpinski (também conhecido como triângulo de Sierpinski). Junta de Sierpinski), mas que o romance editado é "mais como uma Junta de Sierpinsky torta".

Algumas obras do artista holandês M. C. Escher, como Circle Limit III, contêm formas repetidas ao infinito que se tornam cada vez menores à medida que se aproximam das bordas, em um padrão que sempre pareceria o mesmo se ampliado.

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  Um fractal que modela a superfície de uma montanha (animação)

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  Imagem recursiva 3D

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  Imagem de borboleta fractal recursiva

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  Uma chama fractal

Respostas fisiológicas

Os humanos parecem estar especialmente bem adaptados para processar padrões fractais com valores D entre 1,3 e 1,5. Quando os humanos visualizam padrões fractais com valores D entre 1,3 e 1,5, isso tende a reduzir o estresse fisiológico.

Aplicações em tecnologia