Fração irredutível

Uma fração irredutível (ou fração nos termos mais baixos, forma mais simples ou fração reduzida) é uma fração em que o numerador e o denominador são inteiros que não possuem outros divisores comuns além de 1 (e -1, quando números negativos são considerados). Em outras palavras, uma fração a /b é irredutível se e somente se a e b são primos primos, isto é, se a e b têm um máximo divisor comum igual a 1. Em matemática avançada, "fração irredutível" também pode se referir a frações racionais de modo que o numerador e o denominador sejam polinômios primos. Todo número racional positivo pode ser representado como uma fração irredutível exatamente de uma maneira.

Uma definição equivalente às vezes é útil: se a e b são inteiros, então a fração a/b é irredutível se e somente se não houver outra fração igual c/d tal que |c| < |a| ou |d| < |b|, onde |a| significa o valor absoluto de a. (Duas frações a/b e c/d são iguais ou equivalentes se e somente se ad = bc.)

Por exemplo, 1/4, 5/6, e - 101/100 são todas frações irredutíveis. Por outro lado, 2/4 é redutível, pois é igual em valor a 1 /2 e o numerador de 1/2 é menor que o numerador de 2/4.

Uma fração que é redutível pode ser reduzida dividindo o numerador e o denominador por um fator comum. Pode ser totalmente reduzido aos termos mais baixos se ambos forem divididos por seu máximo divisor comum. Para encontrar o máximo divisor comum, pode-se usar o algoritmo euclidiano ou fatoração prima. O algoritmo euclidiano é comumente preferido porque permite reduzir frações com numeradores e denominadores muito grandes para serem facilmente fatorados.

Exemplos

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Na primeira etapa, ambos os números foram divididos por 10, que é um fator comum a 120 e 90. Na segunda etapa, eles foram divididos por 3. O resultado final, 4/3, é uma fração irredutível porque 4 e 3 não têm fatores comuns além de 1.

A fração original também poderia ter sido reduzida em uma única etapa usando o máximo divisor comum de 90 e 120, que é 30. Como 120 ÷ 30 = 4, e 90 ÷ 30 = 3, obtém-se

12090= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =43{displaystyle {frac {120}{90}}={frac - Não.

Qual método é mais rápido "à mão" depende da fração e da facilidade com que os fatores comuns são identificados. No caso de um denominador e numerador permanecerem muito grandes para garantir que sejam primos por inspeção, um cálculo do máximo divisor comum é necessário de qualquer maneira para garantir que a fração seja realmente irredutível.

Singularidade

Cada número racional tem uma representação única como uma fração irredutível com um denominador positivo (no entanto, 2 /3 = -2/-3 embora ambos são irredutíveis). A unicidade é uma consequência da fatoração única de inteiros primos, pois a/b = c/d implica ad = bc e, portanto, ambos os lados do último devem compartilhar a mesma fatoração primária, mas a e b não compartilham fatores primos, então o conjunto de fatores primos de a (com multiplicidade) é um subconjunto de os de c e vice-versa, significando a = c e pelo mesmo argumento b = d .

Aplicativos

O fato de qualquer número racional ter uma representação única como uma fração irredutível é utilizado em várias provas da irracionalidade da raiz quadrada de 2 e de outros números irracionais. Por exemplo, uma prova observa que se √2 pode ser representado como uma razão de números inteiros, então teria em particular a representação totalmente reduzida a/b onde a e b são os menores possíveis; mas dado que a/</b é igual a √2, assim como 2b − a/a − b (desde a multiplicação cruzada com a/b mostra que eles são iguais). Desde a > b (porque √2 é maior do que 1), o último é uma razão de dois inteiros menores. Isso é uma contradição, então a premissa de que a raiz quadrada de dois tem uma representação como a razão de dois números inteiros é falsa.

Generalização

A noção de fração irredutível se generaliza para o corpo de frações de qualquer domínio de fatoração único: qualquer elemento de tal corpo pode ser escrito como uma fração em que denominador e numerador são primos, dividindo-se ambos por seu maior divisor comum. Isso se aplica principalmente a expressões racionais sobre um corpo. A fração irredutível para um dado elemento é única até a multiplicação do denominador e numerador pelo mesmo elemento invertível. No caso dos números racionais, isso significa que qualquer número tem duas frações irredutíveis, relacionadas por uma mudança de sinal tanto no numerador quanto no denominador; essa ambigüidade pode ser removida exigindo que o denominador seja positivo. No caso de funções racionais, o denominador pode ser exigido de forma semelhante para ser um polinômio mônico.