Fórmula de soma
Na matemática, a fórmula de Euler-Maclaurin é uma fórmula para a diferença entre uma integral e uma soma intimamente relacionada. Ele pode ser usado para aproximar integrais por somas finitas ou, inversamente, para avaliar somas finitas e séries infinitas usando integrais e a maquinaria do cálculo. Por exemplo, muitas expansões assintóticas são derivadas da fórmula, e a fórmula de Faulhaber para a soma de potências é uma consequência imediata.
A fórmula foi descoberta independentemente por Leonhard Euler e Colin Maclaurin por volta de 1735. Euler precisava dela para calcular séries infinitas de convergência lenta, enquanto Maclaurin a usava para calcular integrais. Posteriormente, foi generalizado para a fórmula de Darboux.
A fórmula
Se m e n são números naturais e f(x) é uma função contínua de valor real ou complexo para números reais x no intervalo [m,n], então a integral
Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ mnf(x)Dx{displaystyle I=int _{m}^{n}f(x),dx}
![{displaystyle I=int _{m}^{n}f(x),dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e141c457f8f6be4e46dd83587301e84a9f6a65a9)
S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(m+1)+⋯ ⋯ +f(n- Sim. - Sim. 1)+f(n){displaystyle S=f(m+1)+cdots +f(n-1)+f(n)}
![{displaystyle S=f(m+1)+cdots +f(n-1)+f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7db1946c1f11385530a2feb9ce86a018b9abcf7)
f(k)(x)x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = mx = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = nExplicitamente, p um inteiro positivo e uma função f(x) é isso. p vezes continuamente diferenciável no intervalo Não.m,n]nós temos
S- Sim. - Sim. Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1pBkk!(f(k- Sim. - Sim. 1)(n)- Sim. - Sim. f(k- Sim. - Sim. 1)(m))+Rp,Não. S-I=sum _{k=1}^{p}{{frac {B_{k}}{k!}}left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m)right)}+R_{p},}
![{displaystyle S-I=sum _{k=1}^{p}{{frac {B_{k}}{k!}}left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m)right)}+R_{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/788d5c25d959855050bb04131a4930dd3636ac8b)
BkkB1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1/2RpnmpfpA fórmula é frequentemente escrita com o subescrito tomando apenas valores pares, uma vez que os números de Bernoulli ímpar são zero exceto para B1. Neste caso temos
Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =mnf(Eu...)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ mnf(x)Dx+f(n)+f(m)2+Gerenciamento Gerenciamento k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1?p2Gerenciamento de contasB2k(2k)!(f(2k- Sim. - Sim. 1)(n)- Sim. - Sim. f(2k- Sim. - Sim. 1)(m))+Rp,{displaystyle sum _{i=m}^{n}f(i)=int _{m}^{n}f(x),dx+{frac {f(n)+f(m)}{2}}+sum _{k=1}^{leftlfloor {frac {p}{2}}rightrfloor }{frac {B_{2k}}{(2k)!}}left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)right)+R_{p},}
![{displaystyle sum _{i=m}^{n}f(i)=int _{m}^{n}f(x),dx+{frac {f(n)+f(m)}{2}}+sum _{k=1}^{leftlfloor {frac {p}{2}}rightrfloor }{frac {B_{2k}}{(2k)!}}left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)right)+R_{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388c8680f5ad57c2d91f380e7b2e4d01b31b9854)
Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =m+1nf(Eu...)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ mnf(x)Dx+f(n)- Sim. - Sim. f(m)2+Gerenciamento Gerenciamento k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1?p2Gerenciamento de contasB2k(2k)!(f(2k- Sim. - Sim. 1)(n)- Sim. - Sim. f(2k- Sim. - Sim. 1)(m))+Rp.{displaystyle sum _{i=m+1}^{n}f(i)=int _{m}^{n}f(x),dx+{frac {f(n)-f(m)}{2}}+sum _{k=1}^{leftlfloor {frac {p}{2}}rightrfloor }{frac {B_{2k}}{(2k)!}}left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)right)+R_{p}.}
![{displaystyle sum _{i=m+1}^{n}f(i)=int _{m}^{n}f(x),dx+{frac {f(n)-f(m)}{2}}+sum _{k=1}^{leftlfloor {frac {p}{2}}rightrfloor }{frac {B_{2k}}{(2k)!}}left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)right)+R_{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642d81624a38b08075ea5cebef7ff15083d12640)
O termo restante
O termo restante surge porque a integral geralmente não é exatamente igual à soma. A fórmula pode ser derivada aplicando a integração repetida por partes em intervalos sucessivos Não.R, R + 1] para R = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = m, m + 1,..., n - 1. Os termos de limite nessas integrações levam aos principais termos da fórmula, e as integrais de sobra formam o termo restante.
O termo restante tem uma expressão exata em termos das funções periodizadas de Bernoulli Pk(x). Os polinômios Bernoulli podem ser definidos recursivamente por B0(x) = 1 e, para k ≥ 1,
Bk?(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =kBk- Sim. - Sim. 1(x),∫ ∫ 01Bk(x)Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0.{displaystyle {begin{aligned}B_{k}'(x)&=kB_{k-1}(x),\int _{0}^{1}B_{k}(x),dx&=0.end{aligned}}}
![{displaystyle {begin{aligned}B_{k}'(x)&=kB_{k-1}(x),\int _{0}^{1}B_{k}(x),dx&=0.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb22027f90cf4a4608216924ea20bb730d66e30a)
Pk(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Bk(x- Sim. - Sim. ? ? xGerenciamento de contas Gerenciamento de contas ),(x)=B_{k}{bigl (}x-lfloor xrfloor {bigr)},}
![{displaystyle P_{k}(x)=B_{k}{bigl (}x-lfloor xrfloor {bigr)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37080cac8021e83cda4a41c6a2440738f0896b4)
?xGerenciamento de contasxx - ?xGerenciamento de contas[0,1]Com esta notação, o termo restante Rp iguais
Rp= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(- Sim. - Sim. 1)p+1∫ ∫ mnf(p)(x)Pp(x)p!Dx.{displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}int _{m}^{n}f^{(p)}(x){frac {P_{p}(x)}{p!}},dx.}
![{displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}int _{m}^{n}f^{(p)}(x){frac {P_{p}(x)}{p!}},dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a3a4abf7604b581a495cf4543605e399b6f3d83)
Quando k > 0, pode ser mostrado que
|Bk(x)|≤ ≤ 2)) k!(2D D )kζ ζ (k),{displaystyle {bigl |}B_{k}(x){bigr |}leq {frac {2cdot k!}{(2pi)^{k}}}zeta (k),}
![{displaystyle {bigl |}B_{k}(x){bigr |}leq {frac {2cdot k!}{(2pi)^{k}}}zeta (k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1de162f8a61d1bbc9252c87002fae7ce7e1fa13)
ζBk(x)kxζ(k)k|Rp|≤ ≤ 2ζ ζ (p)(2D D )p∫ ∫ mn|f(p)(x)|Dx.{displaystyle left|R_{p}right|leq {frac {2zeta (p)}{(2pi)^{p}}}int _{m}^{n}left|f^{(p)}(x)right|,dx.}
![{displaystyle left|R_{p}right|leq {frac {2zeta (p)}{(2pi)^{p}}}int _{m}^{n}left|f^{(p)}(x)right|,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e7c28ae6b984396f863cc5236de81067f0f794)
Casos de baixa ordem
Os números Bernoulli de B1 para B7 são 1/2, 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, 0. Portanto, os casos de baixa ordem da fórmula Euler-Maclaurin são:
Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =mnf(Eu...)- Sim. - Sim. ∫ ∫ mnf(x)Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(m)+f(n)2+∫ ∫ mnf?(x)P1(x)Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(m)+f(n)2+16f?(n)- Sim. - Sim. f?(m)2!- Sim. - Sim. ∫ ∫ mnf"(x)P2(x)2!Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(m)+f(n)2+16f?(n)- Sim. - Sim. f?(m)2!+∫ ∫ mnf′′′′′′(x)P3(x)3!Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(m)+f(n)2+16f?(n)- Sim. - Sim. f?(m)2!- Sim. - Sim. 130f′′′′′′(n)- Sim. - Sim. f′′′′′′(m)4!- Sim. - Sim. ∫ ∫ mnf(4)(x)P4(x)4!Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(m)+f(n)2+16f?(n)- Sim. - Sim. f?(m)2!- Sim. - Sim. 130f′′′′′′(n)- Sim. - Sim. f′′′′′′(m)4!+∫ ∫ mnf(5)(x)P5(x)5!Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(m)+f(n)2+16f?(n)- Sim. - Sim. f?(m)2!- Sim. - Sim. 130f′′′′′′(n)- Sim. - Sim. f′′′′′′(m)4!+142f(5)(n)- Sim. - Sim. f(5)(m)6!- Sim. - Sim. ∫ ∫ mnf(6)(x)P6(x)6!Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(m)+f(n)2+16f?(n)- Sim. - Sim. f?(m)2!- Sim. - Sim. 130f′′′′′′(n)- Sim. - Sim. f′′′′′′(m)4!+142f(5)(n)- Sim. - Sim. f(5)(m)6!+∫ ∫ mnf(7)(x)P7(x)7!Dx.{displaystyle {begin{aligned}sum Não.
![{displaystyle {begin{aligned}sum _{i=m}^{n}f(i)-int _{m}^{n}f(x),dx&={frac {f(m)+f(n)}{2}}+int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x),dx\&={frac {f(m)+f(n)}{2}}+{frac {1}{6}}{frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-int _{m}^{n}f''(x){frac {P_{2}(x)}{2!}},dx\&={frac {f(m)+f(n)}{2}}+{frac {1}{6}}{frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+int _{m}^{n}f'''(x){frac {P_{3}(x)}{3!}},dx\&={frac {f(m)+f(n)}{2}}+{frac {1}{6}}{frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{frac {1}{30}}{frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-int _{m}^{n}f^{(4)}(x){frac {P_{4}(x)}{4!}},dx\&={frac {f(m)+f(n)}{2}}+{frac {1}{6}}{frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{frac {1}{30}}{frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+int _{m}^{n}f^{(5)}(x){frac {P_{5}(x)}{5!}},dx\&={frac {f(m)+f(n)}{2}}+{frac {1}{6}}{frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{frac {1}{30}}{frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{frac {1}{42}}{frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-int _{m}^{n}f^{(6)}(x){frac {P_{6}(x)}{6!}},dx\&={frac {f(m)+f(n)}{2}}+{frac {1}{6}}{frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{frac {1}{30}}{frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{frac {1}{42}}{frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+int _{m}^{n}f^{(7)}(x){frac {P_{7}(x)}{7!}},dx.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa9cf7cfa73b9579d25f3f72919e9df1b281f2f)
Aplicações
O problema de Basileia
O problema de Basileia é determinar a soma
1+14+19+116.+125+⋯ ⋯ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ 1n2.{displaystyle 1+{frac {1}{4}+{frac {1}{9}+{frac {1}{16}+{frac {1}{25}}+cdots =sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}
![{displaystyle 1+{frac {1}{4}}+{frac {1}{9}}+{frac {1}{16}}+{frac {1}{25}}+cdots =sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c78a1f2fb594dfe67841b595213d4f69c07394)
Euler computou esta soma para 20 lugares decimais com apenas alguns termos da fórmula Euler-Maclaurin em 1735. Isto provavelmente convenceu-o de que a soma é igual D2/6, que ele provou no mesmo ano.
Somas envolvendo um polinomial
Se f é um polinômio e p é grande o suficiente, então o termo restante desaparece. Por exemplo, se f(x) = x3, podemos escolher p = 2 para obter, após simplificação,
Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0nEu...3= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(n(n+1)2)2.{displaystyle sum _{i=0}^{n}i^{3}=left({frac {n+1)}{2}}right)^{2}.}
![{displaystyle sum _{i=0}^{n}i^{3}=left({frac {n(n+1)}{2}}right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc533816b8375ff84a88a8f550b23c66a2b2b37)
Aproximação de integrais
A fórmula fornece um meio de aproximar uma integral finita. Vamos. um < b) ser os pontos finais do intervalo de integração. Fixação N, o número de pontos a utilizar na aproximação e denota o tamanho da etapa correspondente h = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b) - Sim. um/N - 1. Conjunto xEu... = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = um +Eu... - 1)h, para que x1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = um e xN = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b). Então:
Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ umb)f(x)Dx∼ ∼ h(f(x1)2+f(x2)+⋯ ⋯ +f(xN- Sim. - Sim. 1)+f(xN)2)+h212Não.f?(x1)- Sim. - Sim. f?(xN)]- Sim. - Sim. h4720Não.f′′′′′′(x1)- Sim. - Sim. f′′′′′′(xN)]+⋯ ⋯ {displaystyle {begin{aligned}I&=int _{a}^{b}f(x),dx&sim hleft({frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+cdots +f(x_{N-1})+{frac {f(x_{N})}{2}}right)+{frac {h^{2}}{12}}{bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}){bigr}-{frac {h^{4}}{720}}{bigl [}f'''(x_{1})-f'''(x_{N}){bigr}+cdots end{aligned}}}
![{displaystyle {begin{aligned}I&=int _{a}^{b}f(x),dx\&sim hleft({frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+cdots +f(x_{N-1})+{frac {f(x_{N})}{2}}right)+{frac {h^{2}}{12}}{bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}){bigr ]}-{frac {h^{4}}{720}}{bigl [}f'''(x_{1})-f'''(x_{N}){bigr ]}+cdots end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ab63e78c5bf0d85e4d0d7391883d5457025978)
Isso pode ser visto como uma extensão da regra trapezóide pela inclusão de termos de correção. Note que esta expansão assintótica geralmente não é convergente; há alguns p, dependendo f e h, tal que os termos ordem passado p aumentar rapidamente. Assim, o termo restante geralmente exige muita atenção.
A fórmula Euler-Maclaurin também é usada para análise detalhada de erros em quadratura numérica. Ele explica o desempenho superior da regra trapezoidal em funções periódicas lisas e é usado em certos métodos de extrapolação. A quadratura Clenshaw-Curtis é essencialmente uma mudança de variáveis para lançar uma integral arbitrária em termos de integrais de funções periódicas onde a abordagem Euler-Maclaurin é muito precisa (neste caso, a fórmula Euler-Maclaurin assume a forma de uma discreta transformação cosina). Esta técnica é conhecida como uma transformação periodizante.
Expansão assintótica de somas
No contexto da computação expansões assintóticas de somas e séries, geralmente a forma mais útil da fórmula Euler-Maclaurin é
Gerenciamento Gerenciamento n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =umb)f(n)∼ ∼ ∫ ∫ umb)f(x)Dx+f(b))+f(um)2+Gerenciamento Gerenciamento k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ B2k(2k)!(f(2k- Sim. - Sim. 1)(b))- Sim. - Sim. f(2k- Sim. - Sim. 1)(um)),{displaystyle sum _{n=a}^{b}f(n)sim int _{a}^{b}f(x),dx+{frac {f(b)+f(a)}{2}}+sum _{k=1}^{infty },{frac {B_{2k}}{(2k)}left(f^{(2k-1)}
![{displaystyle sum _{n=a}^{b}f(n)sim int _{a}^{b}f(x),dx+{frac {f(b)+f(a)}{2}}+sum _{k=1}^{infty },{frac {B_{2k}}{(2k)!}}left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00170176b00beb378e5db75457b89dafedb6b6c)
Onde? um e b) são inteiros. Muitas vezes a expansão permanece válida mesmo depois de tomar os limites um → ou b) → + ∞ ou ambos. Em muitos casos, a integral no lado direito pode ser avaliada em forma fechada em termos de funções elementares, mesmo que a soma no lado esquerdo não possa. Em seguida, todos os termos da série assintótica podem ser expressos em termos de funções elementares. Por exemplo,
Gerenciamento Gerenciamento k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0∞ ∞ 1(zangão.+k)2∼ ∼ ∫ ∫ 0∞ ∞ 1(zangão.+k)2Dk? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1zangão.+12zangão.2+Gerenciamento Gerenciamento )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ B2)zangão.2)+1.{displaystyle sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{(z+k)^{2}}}sim underbrace {int _{0}^{infty }{frac {1}{(z+k)^{2}}},dk} _{={dfrac - Sim. {1}{2z^{2}}}+sum _{t=1}^{infty }{frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.}
![{displaystyle sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{(z+k)^{2}}}sim underbrace {int _{0}^{infty }{frac {1}{(z+k)^{2}}},dk} _{={dfrac {1}{z}}}+{frac {1}{2z^{2}}}+sum _{t=1}^{infty }{frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b845609c05db976e7757306be5733895b01f5f)
Aqui o lado esquerdo é igual a ?(1)(zangão.), nomeadamente a função poligama de primeira ordem definida por
- ? ? (1)(zangão.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =D2Dzangão.2log )) (zangão.);{displaystyle psi ^{(1)}(z)={frac {d^{2}}{dz^{2}}}log Gamma (z);}
![{displaystyle psi ^{(1)}(z)={frac {d^{2}}{dz^{2}}}log Gamma (z);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0132933e1f6cdbf57414bdae964a6f3d45935a8b)
a função gama )zangão.) é igual a (zangão. - 1)! quando zangão. é um inteiro positivo. Isso resulta em uma expansão assintótica para ?(1)(zangão.). Essa expansão, por sua vez, serve como ponto de partida para uma das derivações de estimativas precisas de erro para a aproximação de Stirling da função fatorial.
Exemplos
Se S é um inteiro maior que 1 temos:
Gerenciamento Gerenciamento k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n1kS? ? 1S- Sim. - Sim. 1+12- Sim. - Sim. 1(S- Sim. - Sim. 1)nS- Sim. - Sim. 1+12nS+Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1B2Eu...(2Eu...)!Não.(S+2Eu...- Sim. - Sim. 2)!(S- Sim. - Sim. 1)!- Sim. - Sim. (S+2Eu...- Sim. - Sim. 2)!(S- Sim. - Sim. 1)!nS+2Eu...- Sim. - Sim. 1].{displaystyle sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k^{s}}}approx - Sim. {1}{2}}-{frac {1}{(s-1)n^{s- 1}+ {1}{2n^{s}}}+sum _{i=1}{frac {B_{2i}}{(2i)!}}left[{frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!}}-{frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}right].}
![{displaystyle sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k^{s}}}approx {frac {1}{s-1}}+{frac {1}{2}}-{frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{frac {1}{2n^{s}}}+sum _{i=1}{frac {B_{2i}}{(2i)!}}left[{frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!}}-{frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a74bba0fefc07c90b9eb752cb72358f54b1ad3b2)
Coletar as constantes em um valor da função zeta de Riemann, podemos escrever uma expansão assintótica:
Gerenciamento Gerenciamento k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n1kS∼ ∼ ζ ζ (S)- Sim. - Sim. 1(S- Sim. - Sim. 1)nS- Sim. - Sim. 1+12nS- Sim. - Sim. Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1B2Eu...(2Eu...)!(S+2Eu...- Sim. - Sim. 2)!(S- Sim. - Sim. 1)!nS+2Eu...- Sim. - Sim. 1.{displaystyle sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k^{s}}}sim zeta (s)-{frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{frac {1}{2n^{s}}}-sum _{i=1}{frac {B_{2i}}{(2i)!}}{frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}.}
![{displaystyle sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k^{s}}}sim zeta (s)-{frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{frac {1}{2n^{s}}}-sum _{i=1}{frac {B_{2i}}{(2i)!}}{frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6362f0fa78fdc9e21d1684d1519a7d45ffb1e3)
Para S igual a 2 isto simplifica a
Gerenciamento Gerenciamento k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n1k2∼ ∼ ζ ζ (2)- Sim. - Sim. 1n+12n2- Sim. - Sim. Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1B2Eu...n2Eu...+1,{displaystyle sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k^{2}}}sim zeta (2)-{frac {1}{n}+# {1}{2n^{2}}}-sum _{i=1} {B_{2i}}{n^{2i+1}}},}
![{displaystyle sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k^{2}}}sim zeta (2)-{frac {1}{n}}+{frac {1}{2n^{2}}}-sum _{i=1}{frac {B_{2i}}{n^{2i+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a623c4c937b60ef91d4c5be379f83fb16b411f)
Gerenciamento Gerenciamento k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n1k2∼ ∼ D D 26- Sim. - Sim. 1n+12n2- Sim. - Sim. 16n3+130n5- Sim. - Sim. 142n7+⋯ ⋯ .{displaystyle sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k^{2}}}sim Não. ^{2}}{6}}-{frac {1}{n}+# {1}{2n^{2}}}-{frac {1}{6n^{3}}}+{frac {1}{30n^{5}}}-{frac {1}{42n^{7}}}+cdots.}
![{displaystyle sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k^{2}}}sim {frac {pi ^{2}}{6}}-{frac {1}{n}}+{frac {1}{2n^{2}}}-{frac {1}{6n^{3}}}+{frac {1}{30n^{5}}}-{frac {1}{42n^{7}}}+cdots.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62d5881839230a36758a79a7814c2ab073ce917)
Quando S = 1, a técnica correspondente dá uma expansão assintótica para os números harmônicos:
Gerenciamento Gerenciamento k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n1k∼ ∼ γ γ +log n+12n- Sim. - Sim. Gerenciamento Gerenciamento k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ B2k2kn2k,{displaystyle sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}sim gamma +log n+{frac {1}{2n}}-sum _{k=1}^{infty }{frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}},}
![{displaystyle sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}sim gamma +log n+{frac {1}{2n}}-sum _{k=1}^{infty }{frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f4f3c2214ee71ea68cc6fcee066cd8a5f1fdb7)
γ 0,5772...Provas
Derivação por indução matemática
Nós descrevemos o argumento dado no Apostol.
Os polinômios Bernoulli Bn(x) e as funções periódicas Bernoulli Pn(x) para n = 0, 1, 2,... foram introduzidos acima.
Os primeiros vários polinômios Bernoulli são
B0(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1,B1(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x- Sim. - Sim. 12,B2(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x2- Sim. - Sim. x+16,B3(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x3- Sim. - Sim. 32x2+12x,B4(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x4- Sim. - Sim. 2x3+x2- Sim. - Sim. 130,FORMAÇÃO FORMAÇÃO {displaystyle {begin{aligned}B_{0}(x)&=1,B_{1}(x)&=x-{tfrac {1}{2}},B_{2}(x)&=x^{2}-x+{tfrac {1}{6}},B_{3}(x)&=x^{3}-{tfrac {3}{2}}x^{2}+{tfrac {1}{2}}x,B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{tfrac {1}{30}},&,,vdots end{aligned}}}
![{displaystyle {begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\B_{1}(x)&=x-{tfrac {1}{2}},\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{tfrac {1}{6}},\B_{3}(x)&=x^{3}-{tfrac {3}{2}}x^{2}+{tfrac {1}{2}}x,\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{tfrac {1}{30}},\&,,,vdots end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca05e4b1275d64ec89221f42744a7f51f4dbaf7)
Os valores Bn(1) são os números Bernoulli Bn. Observe que n ≠ 1 nós temos
Bn= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Bn(1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Bn(0),Não. B_{n}=B_{n}(1)=B_{n}(0),}
![{displaystyle B_{n}=B_{n}(1)=B_{n}(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b402da94f5cd457f2fe0e4b4c6f4160fbe6855db)
n = 1B1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =B1(1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. B1(0).Não. B_{1}=B_{1}(1)=-B_{1}(0). ?
![{displaystyle B_{1}=B_{1}(1)=-B_{1}(0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3939e511b8a0ef69165c43a94d4e2d12920f3556)
As funções Pn concorda com os polinômios Bernoulli no intervalo [0, 1] e são periódicos com período 1. Além disso, exceto quando n = 1, eles também são contínuos. Assim,
Pn(0)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Pn(1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Bnparan≠ ≠ 1.(0)=P_{n}(1)=B_{n}quad }}nneq 1.}
![{displaystyle P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}quad {text{for }}nneq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b98b5393fc988cce10624cfaf14e16012335c6e)
Vamos. k ser um inteiro, e considerar a integral
∫ ∫ kk+1f(x)Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ kk+1uDv,{displaystyle int _{k}^{k+1}f(x),dx=int _{k}^{k+1}u,dv,}
![{displaystyle int _{k}^{k+1}f(x),dx=int _{k}^{k+1}u,dv,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56aecc740352023241f0b0d480018de101202616)
u= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(x),Du= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f?(x)Dx,Dv= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =P0(x)Dxdesde entãoP0(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1,v= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =P1(x).{displaystyle {begin{aligned}u&=f(x),du&=f'(x),dx,dv&=P_{0}(x),dx&{text{since }}P_{0}(x)&=1,v&=P_{1}(x).end{aligned}}}
![{displaystyle {begin{aligned}u&=f(x),\du&=f'(x),dx,\dv&=P_{0}(x),dx&{text{since }}P_{0}(x)&=1,\v&=P_{1}(x).end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b64bf5a8cfc40de93c7b5700f6b1ddcd8327ca3d)
Integrando por partes, temos
∫ ∫ kk+1f(x)Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.uv]kk+1- Sim. - Sim. ∫ ∫ kk+1vDu= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.f(x)P1(x)]kk+1- Sim. - Sim. ∫ ∫ kk+1f?(x)P1(x)Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =B1(1)f(k+1)- Sim. - Sim. B1(0)f(k)- Sim. - Sim. ∫ ∫ kk+1f?(x)P1(x)Dx.{displaystyle {begin{aligned}int _{k}^{k+1}f(x),dx&={bigl [}uv{bigr - Sim. _{k}^{k+1}v,du&={bigl [}f(x)P_{1}(x){bigr - Sim. _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x),dx&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x),dx.end{aligned}}}}
![{displaystyle {begin{aligned}int _{k}^{k+1}f(x),dx&={bigl [}uv{bigr ]}_{k}^{k+1}-int _{k}^{k+1}v,du\&={bigl [}f(x)P_{1}(x){bigr ]}_{k}^{k+1}-int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x),dx\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x),dx.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8025cd6b9b630485eda98e72fce7c31a2e6245ff)
Usando B1(0) = −1/2, B1(1) 1/2, e resumindo o acima de k = 0 para k = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = n - 1, nós temos
∫ ∫ 0nf(x)Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ 01f(x)Dx+⋯ ⋯ +∫ ∫ n- Sim. - Sim. 1nf(x)Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(0)2+f(1)+⋯ ⋯ +f(n- Sim. - Sim. 1)+f(n)2- Sim. - Sim. ∫ ∫ 0nf?(x)P1(x)Dx.{displaystyle {begin{aligned}int _{0}^{n}f(x),dx&=int _{0}^{1}f(x),dx+cdots +int _{n-1}^{n}f(x),dx&={frac {f(0)}{2}}+f(1)+dotsb +f(n-1)+{frac {f(n)}{2}}-int _{0}^{n}f'(x)
![{displaystyle {begin{aligned}int _{0}^{n}f(x),dx&=int _{0}^{1}f(x),dx+cdots +int _{n-1}^{n}f(x),dx\&={frac {f(0)}{2}}+f(1)+dotsb +f(n-1)+{frac {f(n)}{2}}-int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x),dx.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0f9ca983c42876b550ba2aaa09d59b0f946659)
Adicionando f(n) f(0)/2 para ambos os lados e reorganização, temos
Gerenciamento Gerenciamento k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nf(k)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ 0nf(x)Dx+f(n)- Sim. - Sim. f(0)2+∫ ∫ 0nf?(x)P1(x)Dx.{displaystyle sum _{k=1}^{n}f(k)=int _{0}^{n}f(x),dx+{frac {f(n)-f(0)}{2}}+int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x),dx.}
![{displaystyle sum _{k=1}^{n}f(k)=int _{0}^{n}f(x),dx+{frac {f(n)-f(0)}{2}}+int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x),dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36bb74b6353b22407eb87f59542670e38ee2e059)
Este é o p = 1 caso da fórmula de soma. Para continuar a indução, aplicamos a integração por partes no termo do erro:
∫ ∫ kk+1f?(x)P1(x)Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ kk+1uDv,{displaystyle int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x),dx=int _{k}^{k+1}u,dv,}
![{displaystyle int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x),dx=int _{k}^{k+1}u,dv,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d15a3985e9eb61a2d4757f6e3a5d217c431fad)
u= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f?(x),Du= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f"(x)Dx,Dv= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =P1(x)Dx,v= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12P2(x).{displaystyle {begin{aligned}u&=f'(x),du&=f'(x),dx,dv&=P_{1}(x),dx,v&={tfrac {1}{2}}P_{2}(x).end{aligned}}}
![{displaystyle {begin{aligned}u&=f'(x),\du&=f''(x),dx,\dv&=P_{1}(x),dx,\v&={tfrac {1}{2}}P_{2}(x).end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b245e0b207663918bd7044b77669fd729327e2c1)
O resultado da integração por partes é
Não.uv]kk+1- Sim. - Sim. ∫ ∫ kk+1vDu= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.f?(x)P2(x)2]kk+1- Sim. - Sim. 12∫ ∫ kk+1f"(x)P2(x)Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =B22(f?(k+1)- Sim. - Sim. f?(k))- Sim. - Sim. 12∫ ∫ kk+1f"(x)P2(x)Dx.- Não. Não. - Sim. _{k}^{k+1}v,du&=left[{frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}right]_{k}^{k+1}-{frac {1}{2}}int _{k}^{k+1}f'(x)P_{2}(x),dx&={frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k)))-{frac {1}{2}}int _{k}^{k+1}f'(x)P_{2}ign(x)alend.
![{displaystyle {begin{aligned}{bigl [}uv{bigr ]}_{k}^{k+1}-int _{k}^{k+1}v,du&=left[{frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}right]_{k}^{k+1}-{frac {1}{2}}int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x),dx\&={frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{frac {1}{2}}int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x),dx.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5e2b4c4601927898b969a856ce5f38cfe2c85b)
Invocação de k = 0 para k = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = n - 1 e substituindo isso para o termo de erro de ordem inferior resulta no p = 2 caso da fórmula,
Gerenciamento Gerenciamento k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nf(k)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ 0nf(x)Dx+f(n)+f(0)2+B22(f?(n)- Sim. - Sim. f?(0))- Sim. - Sim. 12∫ ∫ 0nf"(x)P2(x)Dx.{displaystyle sum _{k=1}^{n}f(k)=int _{0}^{n}f(x),dx+{frac {f(n)+f(0)}{2}}+{frac {B_{2}}{2}}{bigl (}f'(n)-f'(0){bigr)}-{frac {1}{2}}int _{0}^{n}f'(x)P_{2}(x),dx.}
![{displaystyle sum _{k=1}^{n}f(k)=int _{0}^{n}f(x),dx+{frac {f(n)+f(0)}{2}}+{frac {B_{2}}{2}}{bigl (}f'(n)-f'(0){bigr)}-{frac {1}{2}}int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x),dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3825ad97b8b42a9c7811f4867b27f0d8662b6ce)
Este processo pode ser iterado. Desta forma, temos uma prova da fórmula de soma Euler-Maclaurin que pode ser formalizada pela indução matemática, na qual a etapa de indução depende da integração por partes e de identidades para funções periódicas Bernoulli.
Más resultados...