Fórmula de Euler

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Exponencial complexo em termos de sine e cosseno

Fórmula de Euler, em homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemática em análise complexa que estabelece a relação fundamental entre as funções trigonométricas e a função exponencial complexa. A fórmula de Euler afirma que, para qualquer número real $x$ :

{displaystyle e^{ix}=cos x+isin x,}

e

Eu...

e

pecado

Cis x

cEu...S

x

A fórmula de Euler é onipresente em matemática, física e engenharia. O físico Richard Feynman chamou a equação de "nossa joia" e "a fórmula mais notável da matemática".

Quando $x = π$ , a fórmula de Euler pode ser reescrita como $e iπ + 1 = 0$ ou $e iπ = -1$ , que é conhecido como identidade de Euler.

História

Em 1714, o matemático inglês Roger Cotes apresentou um argumento geométrico que pode ser interpretado (depois de corrigir um fator perdido de ${sqrt {-1}}$ ) como:

{displaystyle ix=ln(cos x+isin x).}

2 πi

Por volta de 1740, Leonhard Euler voltou sua atenção para a função exponencial e derivou a equação que leva seu nome, comparando as expansões em série das expressões exponenciais e trigonométricas. A fórmula foi publicada pela primeira vez em 1748 em seu trabalho fundamental Introductio in analysin infinitorum.

Johann Bernoulli descobriu que

{displaystyle {frac {1}{1+x^{2}}}={frac {1}{2}}left({frac {1}{1-ix}}+{frac {1}{1+ix}}right).}

E desde

{displaystyle int {frac {dx}{1+ax}}={frac {1}{a}}ln(1+ax)+C,}

A correspondência de Bernoulli com Euler (que também conhecia a equação acima) mostra que Bernoulli não entendia completamente os logaritmos complexos. Euler também sugeriu que logaritmos complexos podem ter infinitos valores.

A visão dos números complexos como pontos no plano complexo foi descrita cerca de 50 anos depois por Caspar Wessel.

Definições de exponenciação complexa

A função exponencial $e x$ para valores reais de $x$ pode ser definido de algumas maneiras diferentes equivalentes (ver Caracterizações da função exponencial). Vários desses métodos podem ser estendidos diretamente para fornecer definições de $e z$ para valores complexos de $z$ simplesmente substituindo $z$ no lugar de $x$ e usando as operações algébricas complexas. Em particular, podemos usar qualquer uma das três definições a seguir, que são equivalentes. De uma perspectiva mais avançada, cada uma dessas definições pode ser interpretada como dando a continuação analítica única de $e x$ para o plano complexo.

Definição da equação diferencial

A função exponencial ${displaystyle f(z)=e^{z}}$ é a função diferencial única de uma variável complexa para a qual o derivado é igual à função

{displaystyle {frac {df}{dz}}=f}

{displaystyle f(0)=1.}

Definição de série de potência

Para $z$ complexo

{displaystyle e^{z}=1+{frac {z}{1!}}+{frac {z^{2}}{2!}}+{frac {z^{3}}{3!}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {z^{n}}{n!}}.}

Usando o teste da razão, é possível mostrar que esta série de potências tem um raio infinito de convergência e assim define $e z$ para todos os complexos $z$ .

Definição de limite

Para $z$ complexo

{displaystyle e^{z}=lim _{nto infty }left(1+{frac {z}{n}}right)^{n}.}

Aqui, $n$ é restrito a números inteiros positivos, então não há dúvida sobre qual é a potência com o expoente $n$ significa.

Provas

Várias provas da fórmula são possíveis.

Usando diferenciação

Esta prova mostra que o quociente das expressões trigonométricas e exponenciais é a função constante um, então elas devem ser iguais (a função exponencial nunca é zero, então isso é permitido).

Considere a função $f (θ)$

{displaystyle f(theta)={frac {cos theta +isin theta }{e^{itheta }}}=e^{-itheta }left(cos theta +isin theta right)}

θ

{displaystyle f'(theta)=e^{-itheta }left(icos theta -sin theta right)-ie^{-itheta }left(cos theta +isin theta right)=0}

f (θ)

f (0) = 1

f (θ) = 1

θ

{displaystyle e^{itheta }=cos theta +isin theta.}

Usando séries de potência

Aqui está uma prova da fórmula de Euler usando expansões de séries de potências, bem como fatos básicos sobre as potências de $i$ :

{displaystyle {begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\&vdots &&vdots &&vdots &&vdots end{aligned}}}

Usando agora a definição de série de potências acima, vemos que para valores reais de $x$

{displaystyle {begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{frac {(ix)^{2}}{2!}}+{frac {(ix)^{3}}{3!}}+{frac {(ix)^{4}}{4!}}+{frac {(ix)^{5}}{5!}}+{frac {(ix)^{6}}{6!}}+{frac {(ix)^{7}}{7!}}+{frac {(ix)^{8}}{8!}}+cdots \[8pt]&=1+ix-{frac {x^{2}}{2!}}-{frac {ix^{3}}{3!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+{frac {ix^{5}}{5!}}-{frac {x^{6}}{6!}}-{frac {ix^{7}}{7!}}+{frac {x^{8}}{8!}}+cdots \[8pt]&=left(1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-{frac {x^{6}}{6!}}+{frac {x^{8}}{8!}}-cdots right)+ileft(x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}+cdots right)\[8pt]&=cos x+isin x,end{aligned}}}

e x

pecado x

Usando coordenadas polares

Outra prova é baseada no fato de que todos os números complexos podem ser expressos em coordenadas polares. Portanto, para alguns $r$ e $θ$ dependendo de $x$ ,

{displaystyle e^{ix}=rleft(cos theta +isin theta right).}

R

θ

e ix

? ix

{displaystyle ie^{ix}=left(cos theta +isin theta right){frac {dr}{dx}}+rleft(-sin theta +icos theta right){frac {dtheta }{dx}}.}

R (cos) θ + Eu... pecado θ)

e ix

Relações públicas / Dx = 0

d) / Dx = 1

R

θ

x + C

C

R (0) = 1

θ (0)

e 0 Eu... = 1

R = 1

θ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x

{displaystyle e^{ix}=1(cos x+isin x)=cos x+isin x.}

Aplicativos

Aplicações na teoria dos números complexos

Fórmula de Euler

e Eu... = cos φ + Eu... pecado φ

ilustrado no plano complexo.

Interpretação da fórmula

Esta fórmula pode ser interpretada como dizendo que a função $e iφ$ é uma número complexo unitário, ou seja, traça o círculo unitário no plano complexo conforme $φ$ percorre os números reais. Aqui $φ$ é o ângulo que uma linha conectando a origem com um ponto no círculo unitário faz com o eixo real positivo, medido no sentido anti-horário e em radianos.

A prova original é baseada nas expansões em série de Taylor da função exponencial $e z$ (onde $z$ é um número complexo) e de $sin x$ e $cos x$ para números reais $x$ (veja abaixo). Na verdade, a mesma prova mostra que a fórmula de Euler é válida até mesmo para todos os números complexos $x.$

Um ponto no plano complexo pode ser representado por um número complexo escrito em coordenadas cartesianas. A fórmula de Euler fornece um meio de conversão entre coordenadas cartesianas e coordenadas polares. A forma polar simplifica a matemática quando usada na multiplicação ou potências de números complexos. Qualquer número complexo $z = x + iy$ e seu conjugado complexo, $z = x - iy$ , pode ser escrito como

{displaystyle {begin{aligned}z&=x+iy=|z|(cos varphi +isin varphi)=re^{ivarphi },\{bar {z}}&=x-iy=|z|(cos varphi -isin varphi)=re^{-ivarphi },end{aligned}}}

$x = Re zangão.$ é a parte real,
$Sim. - Sim. zangão.$ é a parte imaginária,
$R | zangão. |= \sqrt x 2 + Sim. 2$ é a magnitude de $zangão.$ e
$φ = zangão. = atan2(Sim., x)$ .

$φ$ é o argumento de $z$ , ou seja, o ângulo entre o eixo x e o vetor z medido no sentido anti-horário em radianos, que é definido até a adição de $2 π$ . Muitos textos escrevem $φ = tan -1 y / x$ em vez de $φ = atan2(y, x)$ , mas a primeira equação precisa de ajuste quando $x \leq 0$ . Isso ocorre porque, para qualquer $x$ e $y$ , não ambos zero, os ângulos dos vetores $(x, y)$ e $(- x, - y)$ diferem em $π$ radianos, mas têm o valor idêntico de $tan φ = y / x$ .

Uso da fórmula para definir o logaritmo de números complexos

Agora, tomando esta fórmula derivada, podemos usar a fórmula de Euler para definir o logaritmo de um número complexo. Para fazer isso, também usamos a definição do logaritmo (como o operador inverso da exponenciação):

{displaystyle a=e^{ln a},}

{displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b},}

um

b)

{displaystyle z=left|zright|e^{ivarphi }=e^{ln left|zright|}e^{ivarphi }=e^{ln left|zright|+ivarphi }}

zangão. \neq 0

{displaystyle ln z=ln left|zright|+ivarphi}

φ

Finalmente, a outra lei exponencial

{displaystyle left(e^{a}right)^{k}=e^{ak},}

k

Relação com trigonometria

Relação entre a função sine, cosina e exponencial

A fórmula de Euler, as definições das funções trigonométricas e as identidades padrão para exponenciais são suficientes para derivar facilmente a maioria das identidades trigonométricas. Ele fornece uma conexão poderosa entre análise e trigonometria e fornece uma interpretação das funções seno e cosseno como somas ponderadas da função exponencial:

{displaystyle {begin{aligned}cos x&=operatorname {Re} left(e^{ix}right)={frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\sin x&=operatorname {Im} left(e^{ix}right)={frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.end{aligned}}}

As duas equações acima podem ser derivadas adicionando ou subtraindo as fórmulas de Euler:

{displaystyle {begin{aligned}e^{ix}&=cos x+isin x,\e^{-ix}&=cos(-x)+isin(-x)=cos x-isin xend{aligned}}}

Essas fórmulas podem até servir como a definição das funções trigonométricas para argumentos complexos $x$ . Por exemplo, fazendo $x = iy$ , temos:

{displaystyle {begin{aligned}cos iy&={frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=cosh y,\sin iy&={frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}={frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}i=isinh y.end{aligned}}}

Exponenciales complexas podem simplificar a trigonometria, porque são mais fáceis de manipular do que seus componentes senoidais. Uma técnica é simplesmente converter sinusóides em expressões equivalentes em termos de exponenciais. Após as manipulações, o resultado simplificado ainda tem valor real. Por exemplo:

{displaystyle {begin{aligned}cos xcos y&={frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}cdot {frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\&={frac {1}{2}}cdot {frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\&={frac {1}{2}}{bigg (}underbrace {frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{cos(x+y)}+underbrace {frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{cos(x-y)}{bigg)}.end{aligned}}}

Outra técnica é representar as sinusóides em termos da parte real de uma expressão complexa e realizar as manipulações na expressão complexa. Por exemplo:

{displaystyle {begin{aligned}cos nx&=operatorname {Re} left(e^{inx}right)\&=operatorname {Re} left(e^{i(n-1)x}cdot e^{ix}right)\&=operatorname {Re} {Big (}e^{i(n-1)x}cdot {big (}underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2cos x}-e^{-ix}{big)}{Big)}\&=operatorname {Re} left(e^{i(n-1)x}cdot 2cos x-e^{i(n-2)x}right)\&=cos[(n-1)x]cdot [2cos x]-cos[(n-2)x].end{aligned}}}

Esta fórmula é usada para geração recursiva de $cos nx$ para valores inteiros de $n$ e arbitrário $x$ (em radianos).

Interpretação topológica

Na linguagem da topologia, a fórmula de Euler afirma que a função exponencial imaginária ${displaystyle tmapsto e^{it}}$ é um morfismo (surjetivo) de grupos topológicos da linha real $mathbb {R}$ ao círculo da unidade $mathbb S^1$ . Na verdade, estas exposições $mathbb {R}$ como um espaço de cobertura $mathbb S^1$ . Da mesma forma, a identidade de Euler diz que o kernel deste mapa é ${displaystyle tau mathbb {Z} }$ , onde $tau = 2pi$ . Estas observações podem ser combinadas e resumidas no diagrama comutativo abaixo:

Outras aplicações

Em equações diferenciais, a função $e ix$ é frequentemente usada para simplificar soluções, mesmo que a resposta final seja uma função real envolvendo seno e cosseno. A razão para isso é que a função exponencial é a autofunção da operação de diferenciação.

Em engenharia elétrica, processamento de sinal e campos similares, os sinais que variam periodicamente ao longo do tempo são frequentemente descritos como uma combinação de funções senoidais (consulte a análise de Fourier), e estes são mais convenientemente expressos como a soma de funções exponenciais com expoentes imaginários, usando a fórmula de Euler. Além disso, a análise fasorial de circuitos pode incluir a fórmula de Euler para representar a impedância de um capacitor ou indutor.

No espaço quadridimensional dos quaternions, existe uma esfera de unidades imaginárias. Para qualquer ponto $r$ nesta esfera e $x$ um número real, aplica-se a fórmula de Euler:

{displaystyle exp xr=cos x+rsin x,}

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