Força centrípeta

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Força dirigida ao centro de rotação

Uma partícula é perturbada de seu movimento linear uniforme por uma série de chutes curtos (1, 2,...), dando à sua trajetória uma forma quase circular. A força é chamada de força centrípeta no limite de uma força de ação contínua direcionada para o centro da curvatura do caminho.

Uma força centrípeta (do latim centrum, "centro" e petere, "buscar&# 34;) é uma força que faz um corpo seguir uma trajetória curva. A direção da força centrípeta é sempre ortogonal ao movimento do corpo e em direção ao ponto fixo do centro instantâneo de curvatura da trajetória. Isaac Newton a descreveu como "uma força pela qual os corpos são atraídos ou impelidos, ou de alguma forma tendem, em direção a um ponto como um centro". Na teoria da mecânica newtoniana, a gravidade fornece a força centrípeta que causa as órbitas astronômicas.

Um exemplo comum envolvendo força centrípeta é o caso em que um corpo se move com velocidade uniforme ao longo de uma trajetória circular. A força centrípeta é direcionada perpendicularmente ao movimento e também ao longo do raio em direção ao centro do caminho circular. A descrição matemática foi derivada em 1659 pelo físico holandês Christiaan Huygens.

Fórmula

Da cinemática do movimento curvo, sabe-se que um objeto que se move com velocidade tangencial v ao longo de uma trajetória com raio de curvatura r acelera em direção ao centro de curvatura a uma avaliar

{displaystyle {textbf {a}}_{c}=lim _{Delta tto 0}{frac {|Delta {textbf {v}}|}{Delta t}},quad a_{c}={frac {v^{2}}{r}}}

a_c

{displaystyle Delta {textbf {v}}}

{displaystyle t+Delta {t}}

t

Pela segunda lei de Newton, a causa da aceleração é uma força resultante agindo sobre o objeto, que é proporcional à sua massa m e à sua aceleração. A força, geralmente referida como uma força centrípeta, tem uma magnitude

{displaystyle F_{c}=ma_{c}=m{frac {v^{2}}{r}}}

Derivação

A aceleração centrípeta pode ser inferida a partir do diagrama dos vetores de velocidade em duas instâncias. No caso de movimento circular uniforme as velocidades têm magnitude constante. Como cada um é perpendicular ao seu respectivo vetor de posição, a subtração vetorial simples implica dois triângulos isosceles semelhantes com ângulos congruentes – um que compreende uma base de ${displaystyle Delta {textbf {v}}}$ e um comprimento da perna $v$ e o outro uma base de ${displaystyle Delta {textbf {r}}}$ (diferença do vetor de posição) e um comprimento da perna $r$ :

{displaystyle {frac {|Delta {textbf {v}}|}{v}}={frac {|Delta {textbf {r}}|}{r}}}

{displaystyle |Delta {textbf {v}}|={frac {v}{r}}|Delta {textbf {r}}|}

{displaystyle |Delta {textbf {v}}|}

{displaystyle {frac {v}{r}}|Delta {textbf {r}}|}

{displaystyle a_{c}=lim _{Delta tto 0}{frac {|Delta {textbf {v}}|}{Delta t}}={frac {v}{r}}lim _{Delta tto 0}{frac {|Delta {textbf {r}}|}{Delta t}}=omega lim _{Delta tto 0}{frac {|Delta {textbf {r}}|}{Delta t}}=vomega ={frac {v^{2}}{r}}}

Esta força também é às vezes escrita em termos da velocidade angular ω do objeto sobre o centro do círculo, relacionada à velocidade tangencial pela fórmula

{displaystyle v=omega r}

{displaystyle F_{c}=mromega ^{2},.}

Expresso usando o período orbital T para uma revolução do círculo,

{displaystyle omega ={frac {2pi }{T}}}

{displaystyle F_{c}=mrleft({frac {2pi }{T}}right)^{2}.}

Em aceleradores de partículas, a velocidade pode ser muito alta (próxima da velocidade da luz no vácuo), então a mesma massa de repouso agora exerce maior inércia (massa relativística), exigindo assim maior força para a mesma aceleração centrípeta, então a equação se torna:

{displaystyle F_{c}={frac {gamma mv^{2}}{r}}}

{displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

Assim, a força centrípeta é dada por:

{displaystyle F_{c}=gamma mvomega }

{displaystyle gamma mv}

Análise de vários casos

Abaixo estão três exemplos de complexidade crescente, com derivações das fórmulas que governam a velocidade e a aceleração.

Notas e referências

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^ Nota: ao contrário dos vetores da unidade cartesiana ${displaystyle {hat {mathbf {i} }}}$ e ${displaystyle {hat {mathbf {j} }}}$ , que são constantes, em coordenadas polares a direção dos vetores unitários u_R e u_θ depender θ, e assim em geral têm derivados de tempo não zero.
^ Embora o sistema de coordenadas polares se mova com a partícula, o observador não. A descrição do movimento de partículas permanece uma descrição do ponto de vista do observador estacionário.
^ Observe que este sistema de coordenadas local não é autônomo; por exemplo, sua rotação no tempo é ditada pela trajetória traçada pela partícula. O vetor radial R()) não representa o raio da curvatura do caminho.
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^ O observador do movimento ao longo da curva está usando essas coordenadas locais para descrever o movimento do observador quadro de referência, isto é, de um ponto de vista estacionário. Em outras palavras, embora o sistema de coordenadas local se mova com a partícula, o observador não. Uma mudança no sistema de coordenadas utilizado pelo observador é apenas uma mudança no seu descrição de observações, e não significa que o observador mudou seu estado de movimento, e vice-versa.
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