Filtro (matemática)

A rede de powerset do conjunto (1,2,3,4?,{displaystyle {1,2,3,4},} com o conjunto superior ↑ ↑ (1,4?{displaystyle uparrow {1,4}} verde escuro colorido. É um filtro de filtroe até mesmo um filtro principal. Não é um ultrafiltro, como pode ser estendido para o filtro não trivial maior ↑ ↑ (1?,{displaystyle uparrow {1},} incluindo também os elementos verdes claros. Desde então ↑ ↑ (1?{displaystyle uparrow {1}} não pode ser estendido mais, é um ultrafiltro.

Em matemática, um filtro ou filtro de ordem é um subconjunto especial de um conjunto parcialmente ordenado (poset). Os filtros aparecem na ordem e na teoria da rede, mas também podem ser encontrados na topologia, da qual se originam. A noção dual de um filtro é um ideal de ordem.

Os filtros em conjuntos foram introduzidos por Henri Cartan em 1937 e, conforme descrito no artigo dedicado aos filtros em topologia, foram posteriormente utilizados por Nicolas Bourbaki em seu livro Topologie Générale como uma alternativa aos relacionados noção de rede desenvolvida em 1922 por E. H. Moore e Herman L. Smith. Os filtros de ordem são generalizações dessa noção de conjuntos para a configuração mais geral de conjuntos parcialmente ordenados. Para obter informações sobre filtros de ordem no caso especial em que a pose consiste no conjunto de potência ordenado por inclusão de conjunto, consulte o artigo Filtro (teoria dos conjuntos).

Motivação

1. Intuitivamente, um filtro em um conjunto parcialmente ordenado (- Sim.), P,- Sim. é um subconjunto de PNão. P. que inclui como membros os elementos que são grandes o suficiente para satisfazer algum determinado critério. Por exemplo, se xNão. é um elemento da poset, então o conjunto de elementos que estão acima xNão. é um filtro, chamado o filtro principal em x.Sim. (Se) xNão. e Sim.- Sim. são elementos incomparáveis do poset, então nenhum dos principais filtros em xNão. e Sim.- Sim. está contido no outro, e inversamente.)

Da mesma forma, um filtro em um conjunto contém esses subconjuntos suficientemente grandes para conter alguns dados coisa. Por exemplo, se o conjunto é a linha real e xNão. é um de seus pontos, então a família de conjuntos que incluem xNão. em seu interior é um filtro, chamado o filtro de bairros de x.Sim. O coisa neste caso é ligeiramente maior do que x,- Sim. mas ainda não contém qualquer outro ponto específico da linha.

As interpretações acima explicam as condições 1 e 3 na seção Definição geral: Claramente o conjunto vazio não é "grande o suficiente", e claramente a coleção de "grande o suficiente" as coisas devem ser "fechadas para cima". No entanto, eles realmente não explicam, sem elaboração, a condição 2 da definição geral. Pois, por que dois "grandes o suficiente" coisas contêm um comum "grande o suficiente" coisa?

2. Alternativamente, um filtro pode ser visto como um "esquema de localização": Ao tentar localizar algo (um ponto ou um subconjunto) no espaço X,Não. X, chamar um filtro a coleção de subconjuntos de X- Sim. que pode conter "o que é procurado". Então este "filtro" deve possuir a seguinte estrutura natural:

1. Um esquema de localização deve ser não vazio para ser de qualquer uso.
2. Se dois subconjuntos, ENão. e F,Não. F, ambos podem conter "o que é procurado", então assim pode sua interseção. Assim, o filtro deve ser fechado em relação à interseção finita.
3. Se um conjunto ENão. pode conter "o que é procurado", assim como cada superconjunto dele. Assim, o filtro é fechado para cima.

Um ultrafiltro pode ser visto como um "esquema de localização perfeito" onde cada um subconjunto ENão. do espaço X- Sim. pode ser usado para decidir se "o que é procurado" pode estar emE.Não. E.

A partir dessa interpretação, a compacidade (veja a caracterização matemática abaixo) pode ser vista como a propriedade de que "nenhum esquema de localização pode acabar sem nada", ou, para colocá-lo de outra forma, "sempre algo será encontrado".

A noção matemática de filtro fornece uma linguagem precisa para tratar essas situações de forma rigorosa e geral, o que é útil em análise, topologia geral e lógica.

3. Um uso comum para um filtro é definir propriedades que são satisfeitas por elementos "quase todos" de algum espaço topológico X.Sim. Todo o espaço X- Sim. definitivamente contém quase todos os elementos nele; se alguns E⊆ ⊆ XNão. Esubseteq X} contém quase todos os elementos de X,Não. X, então qualquer superset dele definitivamente faz; e se dois subsets, ENão. e F,Não. F, contém quase todos os elementos de X,Não. X, então também a sua interseção. Em termos teóricos, o significado de "ENão. contém quase todos os elementos de X- Sim." é que a medida de X∖ ∖ ENão. Xsmallsetminus E} é 0.

Definição geral: filtrar em um conjunto parcialmente ordenado

Um subconjunto FNão. de um conjunto parcialmente ordenado (P,≤ ≤ )(P,leq)} é um filtro de ordem ou dual ideal se as seguintes condições segurem:

1. FNão. não é vazio.
2. FNão. o para baixo dirigido: Para cada x,Sim.∈ ∈ F,{displaystyle x,yin F,} há alguns zangão.∈ ∈ F{displaystyle zin F} tal que zangão.≤ ≤ x- Sim. e zangão.≤ ≤ Sim..- Sim.
3. FNão. é um conjunto superior ou fechado para cima: Para cada x∈ ∈ F{displaystyle xin F} e p∈ ∈ P,{displaystyle pin P,} x≤ ≤ p{displaystyle xleq p} implica que p∈ ∈ F.{displaystyle pin F.}

FNão. é dito ser um filtro adequado se em adição FNão. não é igual ao conjunto inteiro P.Não. P. Dependendo do autor, o filtro de termo é um sinônimo de filtro de ordem ou então se refere a um apropriado filtro de ordem. Este artigo usa o filtro de termo para significar filtro de ordem.

Embora a definição acima seja a maneira mais geral de definir um filtro para posets arbitrários, ele foi originalmente definido apenas para trenós. Neste caso, a definição acima pode ser caracterizada pela seguinte declaração equivalente: Um subconjunto FNão. de uma treliça (P,≤ ≤ )(P,leq)} é um filtro, se e somente se é um conjunto superior não vazio que é fechado sob infima finito (ou se encontra), isto é, para todos x,Sim.∈ ∈ F,{displaystyle x,yin F,} é também o caso de x∧ ∧ Sim.∈ ∈ F.{displaystyle xwedge yin F.} Um subconjunto SNão. S. de FNão. é um base de filtro se o conjunto superior gerado por SNão. S. é tudo F.Não. Note que cada filtro é sua própria base.

O menor filtro que contém um dado elemento p∈ ∈ P{displaystyle pin P} é um filtro principal e pNão. é um elemento principal nesta situação. O filtro principal para pNão. é apenas dada pelo conjunto (x∈ ∈ P:p≤ ≤ x?{displaystyle {xin P:pleq x}} e é denotado por prefixo pNão. com uma seta para cima: ↑ ↑ p.{displaystyle uparrow p.}

A noção dupla de um filtro, ou seja, o conceito obtido revertendo tudo ≤ ≤ {displaystyle ,leq ,} e troca ∧ ∧ {displaystyle ,wedge ,} com ∨ ∨ ,{displaystyle ,vee} o ideal. Devido a essa dualidade, a discussão de filtros geralmente se resume à discussão de ideais. Assim, a maioria das informações adicionais sobre este tópico (incluindo a definição de filtros maximais e filtros primos) deve ser encontrado no artigo sobre ideais. Há um artigo separado sobre ultrafiltros.

Aplicando estas definições ao caso em que X- Sim. é um espaço vetorial e PNão. P. é o conjunto de todos os subespaços vetoriais de X- Sim. ordenada pela inclusão ⊆ ⊆ {displaystyle ,subseteq ,} dá origem à noção de filtros lineares e ultrafiltros lineares. Explicitamente, filtro linear em um espaço vetorial X- Sim. é uma família B{displaystyle {mathcal {B}}} de subespaços vetoriais de X- Sim. tal que se A,B∈ ∈ B{displaystyle A,Bin {mathcal {B}}} e se CNão. C. é um subespaço vetorial de X- Sim. que contém A,Não. A, então A─ ─ B,C∈ ∈ B.Não. Acap B, Cin {mathcal {B}}} Um filtro linear é chamado apropriado se não contiver (0?;Não. * um ultrafiltro linear sobre X- Sim. é um filtro linear maximal adequado em X.Sim.

Filtro em um conjunto

Famílias F{displaystyle {mathcal {F}}} de conjuntos sobre Ω Ω Não. - Sim. v ) e
É necessariamente verdade F:: {displaystyle {mathcal {F}}colon } ou, F{displaystyle {mathcal {F}}} fechado sob:	Dirigido por ⊇ ⊇ {displaystyle ,supseteq }	A─ ─ BNão. Acap B}	ATelecomunicações Telecomunicações BNão. Acup B}	B∖ ∖ ANão. Bsetminus A}	Ω Ω ∖ ∖ ANão. Omega setminus A}	A1─ ─ A2─ ─ ⋯ ⋯ {displaystyle A_{1}cap A_{2}cap cdots }	A1Telecomunicações Telecomunicações A2Telecomunicações Telecomunicações ⋯ ⋯ {displaystyle A_{1}cup A_{2}cup cdots }	Ω Ω ∈ ∈ FNão. Omega in {mathcal {F}}}	∅ ∅ ∈ ∈ F{displaystyle varnothing in {mathcal {F}}}	F.I.P.
Sistema π
Semi-reboque										Nunca
Semialgebra (Semifield)										Nunca
Classe Monotone						só se AEu...↘ ↘ Não. A_{i}searrow }	só se AEu...↗ ↗ Não. A_{i}nearrow }
λ-system (Sistema de Dynkin)				só se A⊆ ⊆ BNão. A Subseteq B			só se AEu...↗ ↗ Não. A_{i}nearrow } ou eles são disjuntos			Nunca
Anel (teoria da ordem)
Ring (Teoria de medição)										Nunca
δ-Ring										Nunca
σ-Ring										Nunca
Algebra (Field)										Nunca
σ-Algebra (σ-Field)										Nunca
Dual ideal
Filtro				Nunca	Nunca				∅ ∅ ∉F{displaystyle varnothing not in {mathcal {F}}}
Prefiltro (base de filtro)				Nunca	Nunca				∅ ∅ ∉F{displaystyle varnothing not in {mathcal {F}}}
Filtro subbase				Nunca	Nunca				∅ ∅ ∉F{displaystyle varnothing not in {mathcal {F}}}
Topologia aberta							(mesmo arbitrário Telecomunicações Telecomunicações - Sim.)			Nunca
Topologia fechada						(mesmo arbitrário ─ ─ - Sim.)				Nunca
É necessariamente verdade F:: {displaystyle {mathcal {F}}colon } ou, F{displaystyle {mathcal {F}}} fechado sob:	Direcções	finito interseções	finito sindicatos	relativo complementos	complementos em Ω Ω Não. - Sim.	Contável interseções	Contável sindicatos	contém Ω Ω Não. - Sim.	contém ∅ ∅ - Sim.	Intersecção Fina Propriedade
Além disso, um semi-revestimento é um sistema π onde cada complemento B∖ ∖ ANão. Bsetminus A} é igual a uma união disjunta finita de conjuntos em F.{displaystyle {mathcal {F}}} A semialgebra é um semiring que contém Ω Ω .- Sim. A,B,A1,A2,...... Não. A,B,A_{1},A_{2},ldots } são elementos arbitrários de F{displaystyle {mathcal {F}}} e é assumido que F≠ ≠ ∅ ∅ .{displaystyle {mathcal {F}}neq varnothing.}

Definição de um filtro

Existem duas definições concorrentes de um "filtro em um conjunto", ambas exigindo que um filtro seja um ideal dual. Uma definição define "filtro" como sinônimo de "duplo ideal" enquanto o outro define "filtro" para significar um ideal dual que também é próprio.

Aviso: Recomenda-se que os leitores verifiquem sempre como "filtro" é definido ao ler literatura matemática.

A dual ideal em um conjunto SNão. S. é um subconjunto não vazio FNão. de ℘ ℘ (S)(S)} com as seguintes propriedades:

1. FNão. o fechado sob interseções finitas: Se A,B∈ ∈ F,{displaystyle A,Bin F,} então também é a interseção deles.
   • Esta propriedade implica que se ∅ ∅ ∉F{displaystyle varnothing not in F} então FNão. tem a propriedade de interseção finita.
2. FNão. o para cima fechado/O que é?: Se A∈ ∈ FNão. Ain F) e A⊆ ⊆ B,Não. A Subseteq B, então B∈ ∈ F,Não. Bin F, para todos os subconjuntos B⊆ ⊆ S.Não. Bsubseteq S.
   • Esta propriedade implica que S∈ ∈ FNão. Sin F) (desde FNão. é um subconjunto não vazio de ℘ ℘ (S)(S)}).

Dado um conjunto S,Não. S, uma ordem parcial canônica ⊆ ⊆ {displaystyle ,subseteq ,} pode ser definido no powerset ℘ ℘ (S)(S)} por inclusão subconjunto, girando (℘ ℘ (S),⊆ ⊆ )(wp (S),subseteq)} para uma treliça. Um "ideal dual" é apenas um filtro com relação a esta ordenação parcial. Note que se S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∅ ∅ Não. S = varnothing então há exatamente um dual ideal em S,Não. S, que ℘ ℘ (S)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(∅ ∅ ?.{displaystyle wp (S)={varnothing }.}

Um filtro em um conjunto pode ser pensado como representando uma "coleção de grandes subconjuntos".

Definições de filtro

O artigo usa a seguinte definição de "filtro em um conjunto".

Definição como um ideal dual: A filtro de filtro em um conjunto SNão. S. é um dual ideal em S.Não. S. Equivalentemente, um filtro em SNão. S. é apenas um filtro com respeito ao pedido parcial canônico (℘ ℘ (S),⊆ ⊆ )(wp (S),subseteq)} descrito acima.

A outra definição de "filtro em um conjunto" é a definição original de um "filtro" dado por Henri Cartan, que exigia que um filtro em um conjunto fosse um ideal dual que não contém o conjunto vazio.

Definição original/alternativa como um apropriado dual ideal: A filtro de filtro em um conjunto SNão. S. é um dual ideal em SNão. S. com a seguinte propriedade adicional:

3. FNão. o apropriado/não degenerado: O conjunto vazio não está dentro FNão. (i.e. ∅ ∅ ∉F{displaystyle varnothing not in F}).

Nota: Este artigo faz não exigem que um filtro seja adequado.

O único filtro não apropriado em SNão. S. o ℘ ℘ (S).(S).} Muito literatura matemática, especialmente relacionada à topologia, define "filtro" para significar um não degenerado dual ideal.

Filtrar bases, subbases e comparação

Filtrar bases e subbases

Um subconjunto BNão. de ℘ ℘ (S)(S)} é chamado de prefiltro, base de filtroou base de filtro se BNão. é não vazio e a interseção de quaisquer dois membros de BNão. é um superset de algum membro(s) de B.Não. B. Se o conjunto vazio não é um membro de B,Não. B, nós dizemos BNão. é um base de filtro adequada.

Dada uma base de filtro B,Não. B, o filtro gerado ou espancado BNão. é definido como o filtro mínimo contendo B.Não. B. É a família de todos aqueles subconjuntos de SNão. S. que são supersets de algum membro(s) de B.Não. B. Cada filtro também é uma base de filtro, de modo que o processo de passar da base de filtro para o filtro pode ser visto como uma espécie de conclusão.

Para cada subconjunto TNão. T. de ℘ ℘ (S)(S)} há um filtro menor (possivelmente não apropriado) FNão. contendo T,Não. T, chamado de filtro gerado ou espancado por T.Não. T.Da mesma forma como para um filtro percorrido por um base de filtro, um filtro abrangedo por um subconjunto TNão. T. é o filtro mínimo contendo T.Não. T.É construído tomando todas as interseções finitas de T,Não. T, que então formam uma base de filtro para F.Não. Este filtro é apropriado se e somente se cada interseção finita de elementos de TNão. T. não é vazio, e nesse caso dizemos que TNão. T. é um filtro subbase.

Bases de filtro mais finas/equivalentes

Se BNão. e CNão. C. são duas bases de filtro em S,Não. S, um diz CNão. C. o mais fino do que BNão. (ou CNão. C. é um Refinação de BNão.) se para cada B0∈ ∈ B,{displaystyle B_{0}in B,} há um C0∈ ∈ C{displaystyle C_{0}in C} tal que C0⊆ ⊆ B0.Não. C_{0}subseteq B_{0}. Para bases de filtro A,Não. A, B,Não. B, e C,Não. C, se ANão. A. é mais fino do que BNão. e BNão. é mais fino do que CNão. C. então ANão. A. é mais fino do que C.Não. C. Assim, a relação de refinamento é uma pré-ordem no conjunto de bases de filtro, e a passagem da base de filtro para o filtro é uma instância de passagem de um pré-ordenamento para a ordenação parcial associada.

Se também BNão. é mais fino do que C,Não. C, um diz que eles são bases de filtro equivalentes. Se BNão. e CNão. C. são bases de filtro, então CNão. C. é mais fino do que BNão. se e somente se o filtro for estendido CNão. C. contém o filtro perfurado B.Não. B. Portanto, BNão. e CNão. C. são bases de filtro equivalentes se e somente se eles gerar o mesmo filtro.

Exemplos

Veja a imagem no topo deste artigo para um exemplo simples de filtros em um conjunto finito ℘ ℘ ((1,2,3,4?)({1,2,3,4})} parcialmente encomendado por inclusão definida.

Um filtro em um poset pode ser criado usando o lema Rasiowa–Sikorski, que é frequentemente usado em forçamento. Outros filtros incluem filtros de clube e filtros genéricos.

O conjunto ((N,N+1,N+2,...... ?:N∈ ∈ N?Não. {{N,N+1,N+2,dots }:Nin mathbb Não. é chamado de base de filtro de caudas da sequência de números naturais (1,2,3,...... ).{displaystyle (1,2,3,dots).} Uma base de filtro de caudas pode ser feita de qualquer rede (xα α )α α ∈ ∈ A{displaystyle left(x_{alpha }right)_{alpha in A}} usando a construção ((xα α :α α ∈ ∈ A,α α 0≤ ≤ α α ?:α α 0∈ ∈ A?,{displaystyle left{left{x_{alpha }:alpha in A,alpha _{0}leq alpha right}:alpha _{0}in Aright},} onde o filtro que esta base de filtro gera é chamado de net's filtro de eventualidade. Portanto, todas as redes geram uma base de filtro (e, portanto, um filtro). Como todas as sequências são redes, isso também é válido para sequências.

Vamos. SNão. S. ser um conjunto e CNão. C. ser um subconjunto não vazio de S.Não. S. Então... (C?Não. {C}}é uma base de filtro. O filtro que gera (isto é, a coleção de todos os subconjuntos contendo CNão. C.) é chamado de filtro principal gerado por C.Não. C. Um filtro é dito ser um filtro livre se a interseção de todos os seus membros estiver vazia. Um filtro principal adequado não é livre. Uma vez que a interseção de qualquer número finito de membros de um filtro também é um membro, nenhum filtro adequado em um conjunto finito é livre, e de fato é o filtro principal gerado pela interseção comum de todos os seus membros. Um filtro não principal em um conjunto infinito não é necessariamente livre. O filtro Fréchet em um conjunto infinito SNão. S. é o conjunto de todos os subconjuntos de SNão. S. que têm complemento finito. Um filtro em SNão. S. é livre se e somente se incluir o filtro Fréchet. Mais geralmente, se (X,μ μ )(X,mu)} é um espaço de medida para o qual μ μ (X)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∞ ∞ ,{displaystyle mu (X)=infty} a coleção de todos A⊆ ⊆ XNão. Asubseteq X} tal que <math alttext="{displaystyle mu (Xsmallsetminus A)μ μ (X∖ ∖ A)<∞ ∞ {displaystyle mu (Xsmallsetminus A)<infty }<img alt="{displaystyle mu (Xsmallsetminus A) forma um filtro. O filtro Fréchet é o caso em que X= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =S- Sim. e μ μ - Sim. é a medida de contagem.

Cada estrutura uniforme em um conjunto X- Sim. é um filtro em X× × X.Não. Xtimes X.}

Filtros na teoria do modelo

Para cada filtro FNão. em um conjunto SNão. S. a função definida por

m(A)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(1seA∈ ∈ F0seS∖ ∖ A∈ ∈ Fé indefinidocaso contrário{displaystyle m(A)quad = }}Ain F\0&{text{if }}Ssmallsetminus Ain F\{text{is undefinida}}&{text{otherwise}}end{cases}}}

(x∈ ∈ S:φ φ (x)?∈ ∈ F{displaystyle left{,xin S:varphi (x),right}in F}

φ φ - Sim.

Filtros na topologia

Em topologia e análise, os filtros são usados para definir a convergência de forma semelhante ao papel das sequências em um espaço métrico. Ambas as redes e filtros fornecem contextos muito gerais para unificar as várias noções de limite a espaços topológicos arbitrários. Uma sequência é geralmente indexada pelos números naturais N,{displaystyle mathbb {N}} que são um conjunto totalmente ordenado. Os Nets generalizam a noção de uma sequência exigindo que o conjunto de índices seja simplesmente um conjunto direcionado. Se trabalhar apenas com certas categorias de espaços topológicos, como espaços de primeira contagem, por exemplo, seqüências são suficientes para caracterizar a maioria das propriedades topológicas, mas isso não é verdade em geral. No entanto, os filtros (assim como as redes) sempre são suficientes para caracterizar a maioria das propriedades topológicas. Uma vantagem para usar filtros é que eles não envolvem nenhum conjunto diferente de X- Sim. (e seus subconjuntos) enquanto sequências e redes dependem de conjuntos direcionados que podem não estar relacionados X.Sim. Além disso, o conjunto de todos os filtros em X- Sim. é um conjunto enquanto a classe de todas as redes valorizadas em X- Sim. não é (é uma classe adequada).

Bases de bairro

Vamos. Nx{displaystyle {mathcal {N}}_{x}}}} ser o filtro de bairro ponto xNão. em um espaço topológico X.Sim. Isso significa que Nx{displaystyle {mathcal {N}}_{x}}}} é o conjunto de todos os bairros topológicos do ponto x.Sim. Pode ser verificado que Nx{displaystyle {mathcal {N}}_{x}}}} é um filtro. A sistema de vizinhança é outro nome para um filtro de bairro. Uma família N{displaystyle {mathcal {N}}} de bairros de xNão. é um base de bairro em xNão. se N{displaystyle {mathcal {N}}} gera o filtro Nx.{displaystyle {mathcal {N}}_{x}.} Isso significa que cada subconjunto SNão. S. de X- Sim. é um bairro de xNão. se e somente se houver N∈ ∈ NNão. Nin {mathcal {N}}} tal que N⊆ ⊆ S.Não. Nsubseteq S.

Filtros convergentes e pontos de cluster

Nós dizemos que uma base de filtro BNão. convergir a um ponto x,- Sim. escrito por escrito B→ → x,Não. Bto x,} se o filtro de bairro Nx{displaystyle {mathcal {N}}_{x}}}} está contido no filtro FNão. gerado por B;Não. B. isso é, se BNão. é mais fino do que Nx.{displaystyle {mathcal {N}}_{x}.} Em particular, um filtro FNão. (que é uma base de filtro que se gera) converge para xNão. se Nx⊆ ⊆ F.{displaystyle {mathcal {N}}_{x}subseteq} F.Explicitamente, para dizer que uma base de filtro BNão. converge para xNão. significa que para cada bairro UNão. de x,- Sim. há um B0∈ ∈ B{displaystyle B_{0}in B} tal que B0⊆ ⊆ U.Não. B_{0}subseteq U.Se uma base de filtro BNão. converge para um ponto x,- Sim. então xNão. é chamado de limite (ponto) de BNão. e BNão. é chamado de base de filtro convergente.

Uma base de filtro BNão. sobre X- Sim. é dito cluster em xNão. ou xNão. como ponto de cluster) se e somente se cada elemento de BNão. tem interseção não vazia com cada bairro de x.Sim. Cada ponto limite é um ponto de cluster, mas o converso não é verdade em geral. No entanto, cada ponto de cluster de um ultra ultra ultra ultrafiltro é um ponto limite.

Por definição, cada base de bairro N{displaystyle {mathcal {N}}} em um determinado ponto xNão. gera Nx,{displaystyle {mathcal {N}}_{x},} Então... N{displaystyle {mathcal {N}}} converge para x.Sim. Se CNão. C. é uma base de filtro em X- Sim. então C→ → xNão. Cto x} se CNão. C. é mais fino do que qualquer base de bairro x.Sim. Para o filtro de bairro naquele ponto, o converso também detém: qualquer base de um filtro convergente refina o filtro de bairro.