Fechamento algébrico

Na matemática, particularmente na álgebra abstrata, um fechamento algébrico de um corpo K é uma extensão algébrica de K que é algebricamente fechado. É um dos muitos fechamentos em matemática.

Usando o lema de Zorn ou o lema do ultrafiltro mais fraco, pode ser mostrado que todo corpo tem um fechamento algébrico, e que o fechamento algébrico de um corpo K é único até um isomorfismo que corrige cada membro de K. Por causa dessa singularidade essencial, frequentemente falamos de o fechamento algébrico de K, em vez de um fechamento algébrico de K.

O fechamento algébrico de um corpo K pode ser pensado como a maior extensão algébrica de K. Para ver isso, observe que se L é qualquer extensão algébrica de K, então o fechamento algébrico de L também é um fechamento algébrico de K, e assim L está contido no fechamento algébrico de K. O fechamento algébrico de K é também o menor campo fechado algebricamente contendo K, porque se M é qualquer campo algebricamente fechado contendo K, então os elementos de M que são algébricos sobre K formam um fechamento algébrico de K.

O fechamento algébrico de um corpo K tem a mesma cardinalidade que K se K for infinito e é infinito contável se K é finito.

Exemplos

• O teorema fundamental da álgebra afirma que o fechamento algébrico do campo de números reais é o campo de números complexos.
• O fechamento algébrico do campo dos números racionais é o campo dos números algébricas.
• Há muitos campos algébricamente contáveis fechados dentro dos números complexos, e estritamente contendo o campo de números algébricas; estes são os fechamentos algébricas de extensões transcendentais dos números racionais, por exemplo, o fechamento algébrica de Q(π).
• Para um campo finito de ordem de poder primo q, o fechamento algébrico é um campo contável infinito que contém uma cópia do campo da ordem qⁿ para cada inteiro positivo n (e na verdade é a união dessas cópias).

Existência de fechamento algébrico e divisão de campos

Vamos. S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(fλ λ |λ λ ∈ ∈ :: ?Não. S01E01E06 }|lambda in Lambda }} ser o conjunto de todos os polinômios monicos irredutíveis em KKNão.x]. Para cada fλ λ ∈ ∈ S{displaystyle f_{lambda }in S}, introduzir novas variáveis uλ λ ,1,...... ,uλ λ ,D{displaystyle u_{lambda1},ldotsu_{lambdad}} Onde? D= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =DegRee(fλ λ )(f_{lambda })}. Vamos. R ser o anel polinomial sobre KK gerado por uλ λ ,Eu...O que é isso? para todos λ λ ∈ ∈ :: {displaystyle lambda in Lambda } e todos Eu...≤ ≤ DegRee(fλ λ )(f_{lambda })}. Escrever

fλ λ - Sim. - Sim. ? ? Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1D(x- Sim. - Sim. uλ λ ,Eu...)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0D- Sim. - Sim. 1Rλ λ ,JJ)) xJJ∈ ∈ RNão.x]Não. ? _{i=1}^{d}(x-u_{lambdai})=sum _{j=0}^{d-1}r_{lambdaj}cdot x^{j}in R[x]}

com Rλ λ ,JJ∈ ∈ RNão. r_{lambdaj}in R.. Vamos. Eu... ser o ideal em R gerado pelo Rλ λ ,JJ{displaystyle r_{lambdaj}}. Desde então Eu... é estritamente menor do que R, O lema de Zorn implica que existe um ideal máximo M em R que contém Eu.... O campo KK₁= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =R/M tem a propriedade que cada polinomial fλ λ {displaystyle f_{lambda }} com coeficientes em KK divide-se como produto de x- Sim. - Sim. (uλ λ ,Eu...+M),(u_{lambdai}+M),} e, portanto, tem todas as raízes em KK₁. Da mesma forma, uma extensão KK₂ de KK₁ pode ser construído, etc. A união de todas essas extensões é o fechamento algébrico de KK, porque qualquer polinomial com coeficientes neste novo campo tem seus coeficientes em alguns KK_n com suficientemente grande n, e então suas raízes estão em KK_Não., e, portanto, na própria união.

Pode ser mostrado da mesma forma que para qualquer subconjunto S de K[x], existe um campo de divisão de S sobre K.

Fechamento separável

Um fecho algébrico K^alg de K contém uma extensão separável única K^sep de K contendo todas as extensões (algébricas) separáveis de K dentro de K^alg. Esta subextensão é chamada de fechamento separável de K. Como uma extensão separável de uma extensão separável é novamente separável, não há extensões separáveis finitas de K^sep, de grau > 1. Dito de outra forma, K está contido em um campo de extensão algébrica separavelmente fechado. É único (até o isomorfismo).

O fechamento separável é o fechamento algébrico completo se e somente se KK é um campo perfeito. Por exemplo, se KK é um campo de característica p e se X é transcendental sobre KK, KK(X)(Xp)⊃ ⊃ KK(X){displaystyle K(X)({sqrt[{p}]{X}})supset K(X)} é uma extensão de campo algébrica não separável.

Em geral, o grupo de Galois absoluto de K é o grupo de Galois de K^sep sobre K.