Extensão algébrica

Em matemática, uma extensão algébrica é uma extensão de campo L/K como que cada elemento do campo maior L é algébrico sobre o campo menor K; isto é, se cada elemento de L for uma raiz de um polinômio diferente de zero com coeficientes em K. Uma extensão de corpo que não é algébrica é dita transcendental e deve conter elementos transcendentais, ou seja, elementos que não são algébricos.

As extensões algébricas do campo Q{displaystyle mathbb {Q} } } dos números racionais são chamados de campos de número algébrica e são os principais objetos de estudo da teoria dos números algébricas. Outro exemplo de uma extensão algébrica comum é a extensão C/R{displaystyle mathbb {C} /mathbb Não. dos números reais pelos números complexos.

Algumas propriedades

Todas as extensões transcendentais são de grau infinito. Isso, por sua vez, implica que todas as extensões finitas são algébricas. Entretanto, o inverso não é verdadeiro: existem extensões infinitas que são algébricas. Por exemplo, o corpo de todos os números algébricos é uma extensão algébrica infinita dos números racionais.

Vamos. E ser um campo de extensão de KKe um ∈ E. O menor subcampo de E que contém KK e um é comumente denotado KK(um).{displaystyle K(a).} Se um é algébrica KK, então os elementos de KK(um) pode ser expresso como polinômios em um com coeficientes em KK; isto é, KK(um) é também o anel mais pequeno que contém KK e um. Neste caso, KK(um)(A)} é uma extensão finita de KK (é uma dimensão finita KK- espaço do vetor), e todos os seus elementos são algébricas sobre KK. Essas propriedades não possuem se um não é algébrica. Por exemplo, Q(D D )≠ ≠ QNão.D D ],{displaystyle mathbb {Q} (pi)neq mathbb {Q} [pi ],} e eles são ambos infinitos espaços vetoriais dimensional sobre Q.{displaystyle mathbb {Q}.}

Um corpo fechado algebricamente F não tem extensões algébricas próprias, isto é, nenhuma extensão algébrica E com F < E. Um exemplo é o campo dos números complexos. Todo corpo tem uma extensão algébrica que é algebricamente fechada (chamada de fechamento algébrico), mas provar isso em geral requer alguma forma do axioma da escolha.

Uma extensão L/K é algébrica se e somente se toda sub-álgebra K de L é um campo.

Propriedades

As três propriedades a seguir são válidas:

1. Se E é uma extensão algébrica de F e F é uma extensão algébrica de KK então E é uma extensão algébrica de KK.
2. Se E e F são extensões algébricas de KK em um campo externo comum C, então o compositum EF é uma extensão algébrica de KK.
3. Se E é uma extensão algébrica de F e E > KK > F então E é uma extensão algébrica de KK.

Esses resultados finitários podem ser generalizados usando indução transfinita:

Este fato, juntamente com o lema de Zorn (aplicado a um poset escolhido apropriadamente), estabelece a existência de fechamentos algébricos.

Generalizações

A teoria dos modelos generaliza a noção de extensão algébrica para teorias arbitrárias: uma incorporação de M em N é chamada de extensão algébrica se para cada x em N existe uma fórmula p com parâmetros em M, tal que p(x) é verdadeiro e o conjunto

(Sim.∈ ∈ N∣ ∣ p(Sim.)?{displaystyle left{yin Nmid p(y)right}}

é finito. Acontece que aplicar essa definição à teoria dos corpos fornece a definição usual de extensão algébrica. O grupo de Galois de N sobre M pode novamente ser definido como o grupo de automorfismos, e verifica-se que a maior parte da teoria dos grupos de Galois pode ser desenvolvida para o caso geral.

Fechamentos algébricos relativos

Dado um campo k e um campo K contendo k, define-se o fechamento algébrico relativo de k em K para ser o subcampo de K que consiste em todos os elementos de K que são algébricos sobre k , ou seja, todos os elementos de K que são uma raiz de algum polinômio diferente de zero com coeficientes em k.