Euclides

Euclides (Grego: Εὐκλείδης; fl. 300 aC) foi um antigo matemático grego ativo como geômetra e lógico. Considerado o "pai da geometria", ele é conhecido principalmente pelo tratado Elementos, que estabeleceu os fundamentos da geometria que dominaram amplamente o campo até o início do século XIX. Seu sistema, agora conhecido como geometria euclidiana, envolveu novas inovações em combinação com uma síntese de teorias de antigos matemáticos gregos, incluindo Eudoxo de Cnido, Hipócrates de Quios, Tales e Teeteto. Com Arquimedes e Apolônio de Perga, Euclides é geralmente considerado um dos maiores matemáticos da antiguidade e um dos mais influentes na história da matemática.

Muito pouco se sabe sobre a vida de Euclides, e a maioria das informações vem dos filósofos Proclus e Pappus de Alexandria, muitos séculos depois. Até o início do Renascimento, ele era frequentemente confundido com o filósofo anterior Euclides de Megara, fazendo com que sua biografia fosse substancialmente revisada. É geralmente aceito que ele passou sua carreira sob Ptolomeu I em Alexandria e viveu por volta de 300 aC, depois de Platão e antes de Arquimedes. Há alguma especulação de que Euclides foi aluno da Academia Platônica e mais tarde lecionou no Musaeum. Euclides é frequentemente considerado como uma ponte entre a tradição platônica anterior em Atenas e a tradição posterior de Alexandria.

Nos Elementos, Euclides deduziu os teoremas de um pequeno conjunto de axiomas. Ele também escreveu trabalhos sobre perspectiva, seções cônicas, geometria esférica, teoria dos números e rigor matemático. Além dos Elementos, Euclides escreveu um texto inicial central no campo da ótica, Optics, e trabalhos menos conhecidos, incluindo Data e Fenômenos. A autoria de Euclides de dois outros textos—On Divisions of Figures, Catoptrics—foi questionada. Acredita-se que ele tenha escrito muitas obras agora perdidas.

Vida

Narrativa tradicional

Detalhe da impressão de Raphael de Euclid, ensinando estudantes em A Escola de Atenas (1509–1511)

O nome em inglês 'Euclid' é a versão anglicizada do nome grego antigo Εὐκλείδης. É derivado de 'eu-' (εὖ; 'bem') e 'klês' (-κλῆς; 'fama'), que significa "renomado, glorioso". A palavra 'Euclides' menos comumente também significa "uma cópia do mesmo", e às vezes é sinônimo de 'geometria'.

Como muitos antigos matemáticos gregos, a vida de Euclides é praticamente desconhecida. Ele é aceito como o autor de quatro tratados quase existentes—os Elementos, Óptica, Dados, Phaenomena—mas além disso, não há nada conhecido com certeza sobre ele. O historiador Carl Benjamin Boyer notou a ironia de que "Considerando a fama do autor e de seu best-seller [os Elementos], notavelmente pouco se sabe sobre Euclides". A narrativa tradicional segue principalmente o relato do século V dC por Proclus em seu Comentário sobre o Primeiro Livro dos Elementos de Euclides, bem como algumas anedotas de Pappus de Alexandria no início do século IV. De acordo com Proclo, Euclides viveu depois do filósofo Platão (m. 347 aC) e antes do matemático Arquimedes (c. 287 – c. 212 AC); especificamente, Proclo colocou Euclides durante o reinado de Ptolomeu I (r. 305/304–282 AC). Em sua Coleção, Pappus indica que Euclides era ativo em Alexandria, onde fundou uma tradição matemática. Assim, o esboço tradicional - descrito pelo historiador Michalis Sialaros como a "visão dominante" - sustenta que Euclides viveu por volta de 300 aC em Alexandria enquanto Ptolomeu I reinava.

A data de nascimento de Euclides é desconhecida; alguns estudiosos estimam em torno de 330 ou 325 aC, mas outras fontes evitam especular uma data inteiramente. Presume-se que ele era descendente de gregos, mas seu local de nascimento é desconhecido. Proclus sustentou que Euclides seguiu a tradição platônica, mas não há confirmação definitiva para isso. É improvável que ele tenha sido contemporâneo de Platão, então muitas vezes se presume que ele foi educado pelos discípulos de Platão na Academia Platônica em Atenas. O historiador Thomas Heath apoiou essa teoria observando que os geômetras mais capazes viviam em Atenas, que incluía muitos dos matemáticos cujo trabalho Euclides mais tarde desenvolveu. A precisão dessas afirmações foi questionada por Sialaros, que afirmou que a teoria de Heath "deve ser tratada meramente como uma conjectura". Independentemente de sua presença real na academia platônica, o conteúdo de seu trabalho posterior certamente sugere que ele estava familiarizado com a tradição da geometria platônica, embora também demonstrem nenhuma influência observável de Aristóteles.

Alexandre, o Grande, fundou Alexandria em 331 aC, onde Euclides mais tarde estaria ativo por volta de 300 aC. O governo de Ptolomeu I de 306 aC em diante deu à cidade uma estabilidade relativamente única no Mediterrâneo, em meio às guerras caóticas pela divisão do império de Alexandre. Ptolomeu iniciou um processo de helenização e encomendou inúmeras construções, construindo a enorme instituição Musaeum, que era um importante centro de educação. Com base em anedotas posteriores, acredita-se que Euclides tenha estado entre os primeiros estudiosos do Museu e tenha fundado a escola alexandrina de matemática lá. De acordo com Pappus, o posterior matemático Apolônio de Perga foi ensinado lá pelos alunos de Euclides. A data da morte de Euclides é desconhecida; estima-se que ele morreu c. 270 aC, presumivelmente em Alexandria.

Identidade e historicidade

Uma pintura da década de 1650 por Domenico Maroli, retratando o filósofo Euclid de Megara. Na época, Euclides, o filósofo e Euclides, o matemático, foram considerados erradamente a mesma pessoa, então esta pintura inclui objetos matemáticos na mesa.

Euclides é frequentemente referido como 'Euclides de Alexandria' para diferenciá-lo do filósofo anterior Euclides de Megara, um aluno de Sócrates que foi incluído nos diálogos de Platão. Historicamente, os estudiosos medievais frequentemente confundiam o matemático e o filósofo, referindo-se erroneamente ao primeiro em latim como 'Megarensis' (lit. 'de Megara&# 39;). Como resultado, as informações biográficas sobre o matemático Euclides foram por muito tempo confundidas com as vidas de Euclides de Alexandria e Euclides de Mégara. O único estudioso da antiguidade conhecido por ter confundido o matemático e o filósofo foi Valerius Maximus. No entanto, essa identificação equivocada foi retransmitida por muitas fontes bizantinas anônimas e pelos estudiosos renascentistas Campanus de Novara e Theodore Metochites, que foi incluída em uma tradução de 1482 deste último por Erhard Ratdolt. Depois que o matemático Bartolomeo Zamberti [fr] (1473–1539) afirmou essa presunção em sua tradução de 1505, todas as publicações subseqüentes passaram esta identificação. Estudiosos da Renascença posteriores, particularmente Peter Ramus, reavaliaram essa afirmação, provando-a falsa por meio de questões de cronologia e contradição em fontes antigas.

Fontes árabes escritas muitos séculos depois de sua morte fornecem grandes quantidades de informações sobre a vida de Euclides, mas são completamente inverificáveis. A maioria dos estudiosos os considera de autenticidade duvidosa; Heath, em particular, afirma que a ficcionalização foi feita para fortalecer a conexão entre um matemático reverenciado e o mundo árabe. Existem também inúmeras histórias anedóticas relativas a Euclides, todas de historicidade incerta, que "retratam-no como um velho bondoso e gentil". O mais conhecido deles é o Proclus' história sobre Ptolomeu perguntando a Euclides se havia um caminho mais rápido para aprender geometria do que ler seus Elementos, que Euclides respondeu com "não há estrada real para a geometria". Essa anedota é questionável, pois uma interação muito semelhante entre Menaechmus e Alexandre, o Grande, é registrada em Stobaeus. Ambos os relatos foram escritos no século 5 dC, nenhum deles indica sua fonte e nenhuma das histórias aparece na literatura grega antiga.

A narrativa tradicional da atividade de Euclides c. 300 não é complicada por nenhum matemático do século IV aC indicando sua existência. Matemáticos do século III, como Arquimedes e Apolônio "assumem que uma parte de seu trabalho seja conhecida"; no entanto, Arquimedes estranhamente usa uma teoria de proporções mais antiga, em vez da de Euclides. Os Elementos são datados como estando em circulação, pelo menos parcialmente, no século III aC. Alguns antigos matemáticos gregos o mencionam pelo nome, mas ele é geralmente referido como "ὁ στοιχειώτης" ("o autor de Elementos"). Na Idade Média, alguns estudiosos afirmaram que Euclides não era um personagem histórico e que seu nome surgiu de uma corrupção de termos matemáticos gregos.

Funciona

Elementos

Um fragmento de papiro de Euclides Elementos datado de C.75–125 AD. Encontrado em Oxyrhynchus, o diagrama acompanha o Livro II, Proposição 5.

Euclides é mais conhecido por seu tratado de treze livros, os Elementos (grego: Στοιχεῖα; Stoicheia), considerado seu magnum opus. Muito do seu conteúdo se origina de matemáticos anteriores, incluindo Eudoxo, Hipócrates de Chios, Tales e Teeteto, enquanto outros teoremas são mencionados por Platão e Aristóteles. É difícil diferenciar o trabalho de Euclides daquele de seus predecessores, especialmente porque os Elementos essencialmente substituíram a matemática grega muito anterior e agora perdida. O classicista Markus Asper conclui que "aparentemente a conquista de Euclides consiste em reunir o conhecimento matemático aceito em uma ordem convincente e adicionar novas provas para preencher as lacunas". e a matemática Serafina Cuomo o descreveu como um "reservatório de resultados". Apesar disso, Sialaros afirma que "a estrutura notavelmente rígida dos Elementos revela controle autoral além dos limites de um mero editor".

Os Elementos não discutem exclusivamente a geometria, como às vezes se acredita. É tradicionalmente dividido em três tópicos: geometria plana (livros 1–6), aritmética básica (livros 7–10:) e geometria sólida (livros 11–13)—embora o livro 5 (sobre proporções) e 10 (sobre linhas irracionais) não se encaixam exatamente neste esquema. O coração do texto são os teoremas espalhados por todo o livro. Usando a terminologia de Aristóteles, estes podem ser geralmente separados em duas categorias: "princípios primeiros" e "segundos princípios". O primeiro grupo inclui instruções rotuladas como uma "definição" (Grego: ὅρος ou Grego: ὁρισμός), "postulado" (Grego: αἴτημα‎), ou uma "noção comum" (Grego: κοινὴ ἔννοια); apenas o primeiro livro inclui postulados — mais tarde conhecidos como axiomas — e noções comuns. O segundo grupo consiste em proposições, apresentadas juntamente com demonstrações e diagramas matemáticos. Não se sabe se Euclides pretendia que os Elementos fossem um livro didático, mas seu método de apresentação o torna um ajuste natural. Como um todo, a voz autoral permanece geral e impessoal.

Conteúdo

Livro 1 dos Elementos é fundamental para todo o texto. Começa com uma série de 20 definições de conceitos geométricos básicos, como linhas, ângulos e vários polígonos regulares. Euclides apresenta então 10 pressupostos (ver tabela à direita), agrupados em cinco postulados (axiomas) e cinco noções comuns. Essas suposições destinam-se a fornecer a base lógica para todos os teoremas subsequentes, ou seja, servem como um sistema axiomático. As noções comuns referem-se exclusivamente à comparação de grandezas. Enquanto os postulados de 1 a 4 são relativamente diretos, o 5º é conhecido como o postulado das paralelas e é particularmente famoso. O Livro 1 também inclui 48 proposições, que podem ser vagamente divididas naquelas relativas aos teoremas básicos da geometria plana (1–26); teorias sobre linhas paralelas (27-32); teorias sobre paralelogramos (33-45); e o teorema de Pitágoras (46-48). A última delas inclui a mais antiga prova sobrevivente do teorema de Pitágoras, descrita por Sialaros como "notavelmente delicada".

O Livro 2 é tradicionalmente entendido como relativo à álgebra geométrica, embora essa interpretação tenha sido fortemente debatida desde a década de 1970; os críticos descrevem a caracterização como anacrônica, já que os fundamentos da álgebra nascente ocorreram muitos séculos depois. O segundo livro tem um escopo mais focado e fornece principalmente teoremas algébricos para acompanhar várias formas geométricas. O livro 3 enfoca os círculos, enquanto o quarto discute os polígonos regulares, especialmente o pentágono. O livro 5 está entre as seções mais importantes da obra e apresenta o que se costuma chamar de "teoria geral da proporção". O livro 6 utiliza a "teoria das proporções" no contexto da geometria plana. É construído quase inteiramente de sua primeira proposição: "Triângulos e paralelogramos que estão sob a mesma altura estão entre si como suas bases".

Do livro 7 em diante, o matemático Benno Artmann [de] observa que " Euclides começa de novo. Nada dos livros anteriores é usado'. A teoria dos números é abordada nos livros 7 a 10, o primeiro começando com um conjunto de 22 definições para paridade, números primos e outros conceitos relacionados à aritmética. O livro 7 inclui o algoritmo euclidiano, um método para encontrar o maior divisor comum de dois números. O 8º livro discute progressões geométricas, enquanto o livro 9 inclui uma prova de que há uma quantidade infinita de números primos.

Dos Elementos, o livro 10 é de longe o maior e mais complexo, lidando com números irracionais no contexto de magnitudes.

Os livros 11 a 13 discutem principalmente geometria sólida.

Outras obras

A construção de Euclid de um dodecaedro regular.

Além dos Elementos, pelo menos cinco obras de Euclides sobreviveram até os dias atuais. Eles seguem a mesma estrutura lógica de Elementos, com definições e proposições provadas.

• Catoptrics diz respeito à teoria matemática dos espelhos, particularmente as imagens formadas em espelhos de concave plano e esférico, embora a atribuição seja por vezes questionada.
• O Dados (em grego: Δεδομένα), é um texto um pouco curto que lida com a natureza e implicações da informação "dadada" em problemas geométricos.
• Em divisões (em grego: Dερὶ Διαιρέσεωνος) sobrevive apenas parcialmente na tradução árabe, e diz respeito à divisão de figuras geométricas em duas ou mais partes iguais ou em partes em proporções. Inclui trinta e seis proposições e é semelhante a Apolonius' Conics.
• O Óptica (em grego: ππτικά π π κ κ κ κ κ κτικά κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ) é o primeiro tratado grego sobrevivente na perspectiva. Inclui uma discussão introdutória de óptica geométrica e regras básicas de perspectiva.
• O Phaenomena (em grego: Legislação nacional) é um tratado sobre astronomia esférica, sobrevive em grego; é semelhante a Sobre a Esfera em Movimento por Autolycus de Pitane, que floresceu em torno de 310 BC.

Obras perdidas

Quatro outras obras são atribuídas com credibilidade a Euclides, mas foram perdidas.

• O Conics (em grego: Κωνικά) foi uma pesquisa de quatro livros sobre seções cônicas, que foi posteriormente substituído pelo tratamento mais abrangente do mesmo nome de Apollonius. A existência da obra é conhecida principalmente por Pappus, que afirma que os quatro primeiros livros de Apolonius' Conics são em grande parte baseados no trabalho anterior de Euclid. Doubt foi lançado nesta afirmação pelo historiador Alexander Jones[de], devido a provas esparsas e nenhuma outra corroboração da conta do Pappus.
• O Pseudaria (em grego: PARLAMENTO EUROPEU; aceso.'Fallacies'), foi—de acordo com Proclus em (70.1-18)—um texto em raciocínio geométrico, escrito para aconselhar iniciantes para evitar falácias comuns. Muito pouco se sabe de seu conteúdo específico além de seu escopo e algumas linhas existentes.
• O Porismos (em grego: DURÍDIO; aceso.'Corollaries') foi, baseado em contas de Pappus e Proclus, provavelmente um tratado de três livros com aproximadamente 200 proposições. O termo "porismo" neste contexto não se refere a um corolário, mas a "um terceiro tipo de proposição - um intermediário entre um teorema e um problema - cujo objetivo é descobrir uma característica de uma entidade geométrica existente, por exemplo, encontrar o centro de um círculo". O matemático Michel Chasles especulou que essas proposições agora perdidas incluíam conteúdo relacionado às modernas teorias de transversal e geometria projetiva.
• O Locitação de superfície (em grego: πποι πρός ππιφανείᾳ) é de conteúdo praticamente desconhecido, além da especulação baseada no título do trabalho. Conjectura baseada em contas posteriores sugeriu que discutisse cones e cilindros, entre outros assuntos.

Legado

A página de capa de Oliver Byrne 1847 edição colorida da Elementos

Euclides é geralmente considerado com Arquimedes e Apolônio de Perga como um dos maiores matemáticos da antiguidade. Muitos comentaristas o citam como uma das figuras mais influentes da história da matemática. O sistema geométrico estabelecido pelos Elementos por muito tempo dominou o campo; no entanto, hoje esse sistema é frequentemente referido como 'geometria euclidiana' para distingui-la de outras geometrias não euclidianas descobertas no início do século XIX. Entre os muitos homônimos de Euclides estão a espaçonave Euclides da Agência Espacial Européia (ESA), a cratera lunar Euclides e o planeta menor 4354 Euclides.

Os Elementos é frequentemente considerado depois da Bíblia como o livro mais traduzido, publicado e estudado na história do mundo ocidental. Com a Metafísica de Aristóteles, os Elementos é talvez o texto grego antigo de maior sucesso e foi o livro didático de matemática dominante nos mundos medieval árabe e latino.

A primeira edição em inglês dos Elementos foi publicada em 1570 por Henry Billingsley e John Dee. O matemático Oliver Byrne publicou uma versão bem conhecida dos Elementos em 1847 intitulada Os primeiros seis livros dos elementos de Euclides nos quais diagramas e símbolos coloridos são usados em vez de letras para maior facilidade of Learners, que incluía diagramas coloridos com o objetivo de aumentar seu efeito pedagógico. David Hilbert criou uma axiomatização moderna dos Elementos.