Espaço euclidiano

Um ponto no espaço euclidiano tridimensional pode ser localizado por três coordenadas.

O espaço euclidiano é o espaço fundamental da geometria, destinado a representar o espaço físico. Originalmente, isto é, nos Elementos de Euclides, era o espaço tridimensional da geometria euclidiana, mas na matemática moderna existem espaços euclidianos de qualquer dimensão inteira positiva n, que são chamados Euclidianos n-espaços quando se deseja especificar sua dimensão. Para n igual a um ou dois, eles são comumente chamados respectivamente de linhas euclidianas e planos euclidianos. O qualificador "Euclidiano" é usado para distinguir os espaços euclidianos de outros espaços que foram posteriormente considerados na física e na matemática moderna.

Os antigos geômetras gregos introduziram o espaço euclidiano para modelar o espaço físico. Seu trabalho foi reunido pelo antigo matemático grego Euclides em seus Elementos, com a grande inovação de provar todas as propriedades do espaço como teoremas, partindo de algumas propriedades fundamentais, chamados postulados, que ou eram considerados evidentes (por exemplo, há exatamente uma reta passando por dois pontos), ou pareciam impossíveis de provar (postulado paralelo).

Após a introdução no final do século XIX de geometrias não-euclidianas, os antigos postulados foram reformulados para definir os espaços euclidianos através da teoria axiomática. Outra definição de espaços euclidianos por meio de espaços vetoriais e álgebra linear mostrou-se equivalente à definição axiomática. É essa definição que é mais comumente usada na matemática moderna e detalhada neste artigo. Em todas as definições, os espaços euclidianos consistem em pontos, que são definidos apenas pelas propriedades que devem ter para formar um espaço euclidiano.

Há essencialmente apenas um espaço euclidiano de cada dimensão; isto é, todos os espaços euclidianos de uma determinada dimensão são isomorfos. Portanto, em muitos casos, é possível trabalhar com um espaço euclidiano específico, que é geralmente o verdadeiro n-espaço Rn,{displaystyle mathbb {R} ^{n},} equipado com o produto do ponto. Um isomorfismo de um espaço euclidiano Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} associa-se a cada ponto um n-tuple de números reais que localizar esse ponto no espaço euclidiano e são chamados de Coordenadas cartesianas desse ponto.

Definição

Histórico da definição

O espaço euclidiano foi introduzido pelos antigos gregos como uma abstração do nosso espaço físico. Sua grande inovação, aparecendo nos Elementos de Euclides, foi construir e provar toda a geometria partindo de algumas propriedades muito básicas, que são abstraídas do mundo físico e não podem ser provadas matematicamente por causa de a falta de ferramentas mais básicas. Essas propriedades são chamadas de postulados ou axiomas na linguagem moderna. Essa forma de definir o espaço euclidiano ainda é usada sob o nome de geometria sintética.

Em 1637, René Descartes introduziu as coordenadas cartesianas e mostrou que elas permitiam reduzir problemas geométricos a cálculos algébricos com números. Essa redução da geometria à álgebra foi uma grande mudança de ponto de vista, pois, até então, os números reais eram definidos em termos de comprimentos e distâncias.

A geometria euclidiana não foi aplicada em espaços de dimensão superior a três até o século XIX. Ludwig Schläfli generalizou a geometria euclidiana para espaços de dimensão n, usando métodos sintéticos e algébricos, e descobriu todos os politopos regulares (maiores análogos tridimensionais dos sólidos platônicos) que existem em espaços euclidianos de qualquer dimensão.

Apesar do amplo uso da teoria de Descartes, abordagem, que foi chamada de geometria analítica, a definição do espaço euclidiano permaneceu inalterada até o final do século XIX. A introdução de espaços vetoriais abstratos permitiu seu uso na definição de espaços euclidianos com uma definição puramente algébrica. Esta nova definição mostrou-se equivalente à definição clássica em termos de axiomas geométricos. É essa definição algébrica que agora é usada com mais frequência para introduzir espaços euclidianos.

Motivação da definição moderna

Uma maneira de pensar no plano euclidiano é como um conjunto de pontos que satisfazem certas relações, expressas em termos de distância e ângulos. Por exemplo, existem duas operações fundamentais (referidas como movimentos) no plano. Uma é a translação, que significa um deslocamento do plano de modo que cada ponto seja deslocado na mesma direção e pela mesma distância. A outra é a rotação em torno de um ponto fixo no plano, em que todos os pontos do plano giram em torno desse ponto fixo no mesmo ângulo. Um dos princípios básicos da geometria euclidiana é que duas figuras (geralmente consideradas como subconjuntos) do plano devem ser consideradas equivalentes (congruentes) se uma puder ser transformada na outra por alguma sequência de translações, rotações e reflexões (veja abaixo).

Para tornar tudo isso matematicamente preciso, a teoria deve definir claramente o que é um espaço euclidiano e as noções relacionadas de distância, ângulo, translação e rotação. Mesmo quando usado em teorias físicas, o espaço euclidiano é uma abstração separada de locais físicos reais, estruturas de referência específicas, instrumentos de medição e assim por diante. Uma definição puramente matemática do espaço euclidiano também ignora questões de unidades de comprimento e outras dimensões físicas: a distância em uma escala "matemática" o espaço é um número, não algo expresso em polegadas ou metros.

A maneira padrão de definir matematicamente um espaço euclidiano, conforme realizado no restante deste artigo, é como um conjunto de pontos nos quais um espaço vetorial real atua, o espaço de translações que é equipado com um produto interno. A ação das translações torna o espaço um espaço afim, e isso permite definir linhas, planos, subespaços, dimensão e paralelismo. O produto interno permite definir distâncias e ângulos.

O conjunto Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} de n-tuples de números reais equipados com o produto do ponto é um espaço euclidiano de dimensão n. Por outro lado, a escolha de um ponto chamado o origem e uma base ortonormal do espaço de traduções é equivalente à definição de um isomorfismo entre um espaço euclidiano de dimensão n e Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} visto como um espaço euclidiano.

Segue-se que tudo o que pode ser dito sobre um espaço euclidiano também pode ser dito sobre Rn.{displaystyle mathbb {R} ^{n}.} Portanto, muitos autores, especialmente a nível elementar, chamam Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} o espaço Euclidiano padrão de dimensão nou simplesmente o Espaço euclidiano de dimensão n.

Uma razão para introduzir tal definição abstrata de espaços euclidianos, e para trabalhar com ele em vez de Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} é que muitas vezes é preferível trabalhar em um sem coordenadas e sem origem maneira (isto é, sem escolher uma base preferida e uma origem preferida). Outra razão é que não há origem nem qualquer base no mundo físico.

Definição técnica

Um espaço vetorial euclidiano é um espaço de produto interno de dimensão finita sobre os números reais.

Um espaço euclidiano é um espaço afim sobre os reais tal que o espaço vetorial associado é um espaço vetorial euclidiano. Os espaços euclidianos às vezes são chamados de espaços afins euclidianos para distingui-los dos espaços vetoriais euclidianos.

Se E é um espaço euclidiano, seu espaço vetorial associado (espaço vetorial euclidiano) é frequentemente denotado E→ → .- Não. Não. O dimensão de um espaço euclidiano é a dimensão do seu espaço vetorial associado.

Os elementos de E são chamados pontos e são comumente denotados por letras maiúsculas. Os elementos de E→ → {displaystyle {overrightarrow {E}}} são chamados Vetores euclidianos ou vetores gratuitos. Eles também são chamados traduções, embora, propriamente falando, uma tradução é a transformação geométrica resultante da ação de um vetor euclidiano no espaço euclidiano.

A ação de uma tradução v em um ponto P fornece um ponto que é denotado P + v. Esta ação satisfaz

P+(v+O quê?)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(P+v)+O quê?.(v+w)=(P+v)+w.}

Nota: O segundo + no lado esquerdo é uma adição de vetor; todos os outros + denotam uma ação de um vetor em um ponto. Esta notação não é ambígua, pois, para distinguir entre os dois significados de +, basta observar a natureza de seu argumento esquerdo.

O fato de que a ação é livre e transitiva significa que para cada par de pontos (P, Q) há exatamente um vetor de deslocamento v tal que P + v = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Q. Este vetor v é denotado Q - Sim. P ou PQ→ → .{displaystyle {overrightarrow {PQ}}}

Como explicado anteriormente, algumas das propriedades básicas dos espaços euclidianos resultam da estrutura do espaço afim. Eles são descritos em § Estrutura afim e suas subseções. As propriedades resultantes do produto interno são explicadas em § Estrutura métrica e suas subseções.

Exemplos prototípicos

Para qualquer espaço vetorial, a adição atua livre e transitivamente no próprio espaço vetorial. Assim, um espaço vetorial euclidiano pode ser visto como um espaço euclidiano que tem a si mesmo como espaço vetorial associado.

Um caso típico do espaço vetorial Euclidean é Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} visto como um espaço vetorial equipado com o produto do ponto como um produto interno. A importância deste exemplo particular do espaço euclidiano reside no fato de que cada espaço euclidiano é isomorfo para ele. Mais precisamente, dado um espaço euclidiano E de dimensão n, a escolha de um ponto, chamado um origem e uma base ortonormal de E→ → {displaystyle {overrightarrow {E}}} define um isomorfismo de espaços euclidianos E para Rn.{displaystyle mathbb {R} ^{n}.}

Como todo espaço euclidiano de dimensão n é isomorfo para ele, o espaço euclidiano Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} é às vezes chamado de espaço Euclidiano padrão de dimensão n.

Estrutura afim

Algumas propriedades básicas dos espaços euclidianos dependem apenas do fato de que um espaço euclidiano é um espaço afim. Elas são chamadas de propriedades afins e incluem os conceitos de linhas, subespaços e paralelismo, que são detalhados nas próximas subseções.

Subespaços

Vamos. E ser um espaço euclidiano e E→ → {displaystyle {overrightarrow {E}}} seu espaço vetorial associado.

Um plano, subespaço euclidiano ou subespaço afim de E é um subconjunto F de E tal que

F→ → = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(PQ→ → ∣ ∣ P∈ ∈ F,Q∈ ∈ F?{displaystyle {overrightarrow {F}}=left{{overrightarrow {PQ}}mid Pin F, Qin Fright}}

como o espaço vetorial associado de F é um subespaço linear (subespaço de vetor) de E→ → .- Não. Não. Um subespaço Euclidean F é um espaço euclidiano com F→ → {displaystyle {overrightarrow {F}}} como o espaço vetorial associado. Este subespaço linear F→ → {displaystyle {overrightarrow {F}}} é também chamado de Direcção de F.

Se P é um ponto de F então

F= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(P+v∣ ∣ v∈ ∈ F→ → ?.{displaystyle F=left{P+vmid vin {overrightarrow {F}}right}.}

Por outro lado, se P é um ponto de E e V→ → - Não. (V) é um subespaço linear de E→ → ,{displaystyle {overrightarrow {E}},} então

P+V= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(P+v∣ ∣ v∈ ∈ V?Não. P+V=left{P+vmid vin Vright}}

é um subespaço Euclidean de direção V→ → - Não. (V). (O espaço vetorial associado deste subespaço é V→ → - Não. (V).)

Um espaço vetorial Euclidean E→ → {displaystyle {overrightarrow {E}}} (isto é, um espaço euclidiano que é igual a E→ → {displaystyle {overrightarrow {E}}}) tem dois tipos de subespaços: seus subespaços Euclidianos e seus subespaços lineares. Os subespaços lineares são subespaços euclidianos e um subespaço euclidiano é um subespaço linear se e somente se ele contém o vetor zero.

Linhas e segmentos

Em um espaço euclidiano, uma linha é um subespaço euclidiano de dimensão um. Como um espaço vetorial de dimensão um é gerado por qualquer vetor diferente de zero, uma linha é um conjunto da forma

(P+λ λ PQ→ → ∣ ∣ λ λ ∈ ∈ R?,{displaystyle left{P+lambda {overrightarrow {PQ}}mid lambda in mathbb {R} right},}

onde P e Q são dois pontos distintos do espaço euclidiano como parte da linha.

Segue-se que existe exatamente uma reta que passa por (contém) dois pontos distintos. Isso implica que duas retas distintas se interceptam em no máximo um ponto.

Uma representação mais simétrica da linha que passa por P e Q é

(O+(1- Sim. - Sim. λ λ )OP→ → +λ λ OQ→ → ∣ ∣ λ λ ∈ ∈ R?,{displaystyle left{O+(1-lambda){overrightarrow {OP}}+lambda {overrightarrow {OQ}}mid lambda in mathbb {R} right},}

onde O é um ponto arbitrário (não necessário na linha).

Em um espaço vetorial euclidiano, o vetor zero é geralmente escolhido para O; isso permite simplificar a fórmula anterior em

((1- Sim. - Sim. λ λ )P+λ λ Q∣ ∣ λ λ ∈ ∈ R?.{displaystyle left{(1-lambda)P+lambda Qmid lambda in mathbb {R} right}.}

Uma convenção padrão permite usar esta fórmula em todo espaço euclidiano, consulte Espaço afim § Combinações afins e baricentro.

O segmento de linha, ou simplesmente segmento, unindo os pontos P e Q é o subconjunto de pontos tal que 0 ≤ 𝜆 ≤ 1 nas fórmulas anteriores. É denotado PQ ou QP; aquilo é

PQ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =QP= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(P+λ λ PQ→ → ∣ ∣ 0≤ ≤ λ λ ≤ ≤ 1?.Não. PQ=QP=left{P+lambda {overrightarrow {PQ}}mid 0leq lambda leq 1right}.}

Paralelismo

Dois subespaços S e T da mesma dimensão em um espaço euclidiano são paralelos se tiverem a mesma direção (ou seja, o mesmo espaço vetorial associado). Equivalentemente, eles são paralelos, se houver um vetor de tradução v que mapeia um para o outro:

T= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =S+v.Não. T=S+v.

Dado um ponto P e um subespaço S, existe exatamente um subespaço que contém P e é paralelo a S, que é P+S→ → .{displaystyle P+{overrightarrowarrow Não. No caso em que S é uma linha (subespaço de dimensão um), esta propriedade é o axioma de Playfair.

Segue-se que em um plano euclidiano, duas linhas se encontram em um ponto ou são paralelas.

O conceito de subespaços paralelos foi estendido a subespaços de diferentes dimensões: dois subespaços são paralelos se a direção de um deles estiver contida na direção do outro.

Estrutura métrica

O espaço vetorial E→ → {displaystyle {overrightarrow {E}}} associado a um espaço euclidiano E é um espaço interno do produto. Isso implica uma forma bilinear simétrica

E→ → × × E→ → → → R(x,Sim.)↦ ↦ ⟨ ⟨ x,Sim.)) Não é verdade. {E}}times {overrightarrow {E}}&to mathbb {R} \(x,y)&mapsto langle x,yrangle end{aligned}}}

que é definido positivo (isto é ⟨ ⟨ x,x)) {displaystyle langle x,xrangle } é sempre positivo para x ≠ 0).

O produto interno de um espaço euclidiano é frequentemente chamado produto do ponto de vista e denotado x) Sim.. Este é especialmente o caso quando um sistema de coordenadas cartesianas foi escolhido, como, neste caso, o produto interno de dois vetores é o produto do ponto de seus vetores de coordenadas. Por esta razão, e por razões históricas, a notação do ponto é mais comumente usada do que a notação do suporte para o produto interno dos espaços euclidianos. Este artigo seguirá esse uso; isto é ⟨ ⟨ x,Sim.)) {displaystyle langle x,yrangle } será denunciado x) Sim. no restante deste artigo.

A norma euclidiana de um vetor x é

‖ ‖ x‖ ‖ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x)) x.{displaystyle |x|={sqrt {xcdot x}}.}

O produto interno e a norma permite expressar e provar propriedades métricas e topológicas da geometria euclidiana. A próxima subseção descreve as mais fundamentais. Nestas subseções, E denota um espaço euclidiano arbitrário, e E→ → {displaystyle {overrightarrow {E}}} denota seu espaço vetorial de traduções.

Distância e comprimento

A distância (mais precisamente a distância euclidiana) entre dois pontos de um espaço euclidiano é a norma do vetor de translação que mapeia um ponto ao outro; aquilo é

D(P,Q)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =‖PQ→ → |‖.{displaystyle d(P,Q)={ Bigl |} {PQ}} Não. Bigr |}.}

O comprimento de um segmento PQ é a distância D(P, Q) entre seus pontos finais P e Q. Muitas vezes é denotado |PQ||PQ|}.

A distância é uma métrica, pois é positiva definida, simétrica e satisfaz a desigualdade triangular

D(P,Q)≤ ≤ D(P,R)+D(R,Q).{displaystyle d(P,Q)leq d(P,R)+d(R,Q).}

Além disso, a igualdade é verdadeira se e somente se um ponto R pertencer ao segmento <span class="texhtml" PQ. Essa desigualdade significa que o comprimento de qualquer aresta de um triângulo é menor que a soma dos comprimentos das outras arestas. Esta é a origem do termo desigualdade triangular.

Com a distância euclidiana, todo espaço euclidiano é um espaço métrico completo.

Ortogonalidade

Dois vetores nonzero u e v de E→ → {displaystyle {overrightarrow {E}}} (o espaço vetorial associado de um espaço euclidiano E) são perpendicular ou ortogonal se seu produto interno é zero:

u)) v= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0- Sim.

Dois subespaços lineares de E→ → {displaystyle {overrightarrow {E}}} são ortogonais se cada vetor nonzero do primeiro é perpendicular a cada vetor nonzero do segundo. Isso implica que a interseção dos subespaços lineares é reduzida ao vetor zero.

Duas linhas, e mais geralmente dois subespaços euclidianos (uma linha pode ser considerada como um subespaço euclidiano.) são ortogonais se suas direções (os espaços vetoriais associados dos subespaços euclidianos) são ortogonais. Duas linhas ortogonais que se cruzam são ditas perpendiculares.

Dois segmentos AB e ACÇÃO que compartilham um ponto final comum A são perpendicular ou formar um ângulo reto se os vetores AB→ → {displaystyle {overrightarrow {AB}}} e AC→ → {displaystyle {overrightarrow {AC}}} são ortogonais.

Se AB e AC formam um ângulo reto, um tem

|BC|2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|AB|2+|AC|2.Não. |BC|^{2}=|AB|^{2}+|AC|^{2}.}

Este é o teorema de Pitágoras. Sua prova é fácil neste contexto, pois, expressando isso em termos do produto interno, tem-se, usando bilinearidade e simetria do produto interno:

|BC|2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =BC→ → )) BC→ → = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(BA→ → +AC→ → ))) (BA→ → +AC→ → )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =BA→ → )) BA→ → +AC→ → )) AC→ → - Sim. - Sim. 2AB→ → )) AC→ → = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =AB→ → )) AB→ → +AC→ → )) AC→ → = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|AB|2+|AC|2.{displaystyle {begin{aligned}|BC|^{2}&={overrightarrow {BC}}cdot {overrightarrow {BC}}\&=left({overrightarrow {BA}}+{overrightarrow {AC}}rightarrow)cdot left({overrightarrow {BA}}+{overrightarrow {AC}}rightarrow {AC}}&={overrightarrow {BA}}cdot {overrightarrow {BA}}+{overrightarrow {AC}}cdot {overrightarrow {AC}}-2{overrightarrow {AB}}overrightarrow {AC}}overrightarrow {AC}}overrightarrow {AC}}overrightarrow {AC}}

Toma. AB→ → )) AC→ → = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0{displaystyle {overrightarrow {AB}}cdot {overrightarrow {AC}}=0} é usado desde que estes dois vetores são ortogonais.

Ângulo

ângulos positivos e negativos no plano orientado

O (não orientado) ângulo θ entre dois vetores nonzero x e Sim. em E→ → {displaystyle {overrightarrow {E}}} o

θ θ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Arcos⁡ ⁡ (x)) Sim.‖x‖‖Sim.‖){displaystyle theta =arccos left({frac {xcdot) y}{left|xright|left|yright|}}right)}

onde arccos é o valor principal da função arccosine. Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, o argumento do arco cosseno está no intervalo [−1, 1]. Portanto θ é real, e 0 ≤ θ ≤ π (ou 0 ≤ θ ≤ 180 se os ângulos forem medidos em graus).

Os ângulos não são úteis em uma linha euclidiana, pois podem ser apenas 0 ou π.

Em um plano euclidiano orientado, pode-se definir o ângulo orientado de dois vetores. O ângulo orientado de dois vetores x e y é então o oposto do ângulo orientado de y e x. Neste caso, o ângulo de dois vetores pode ter qualquer valor módulo um inteiro múltiplo de 2π. Em particular, um ângulo de reflexo π < θ < 2π é igual ao ângulo negativo −π < θ − 2π < 0.

O ângulo de dois vetores não muda se eles forem multiplicados por números positivos. Mais precisamente, se x e y são dois vetores, e λ e μ são números reais, então

ângulo⁡ ⁡ (λ λ x,μ μ Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(ângulo⁡ ⁡ (x,Sim.)seλ λ eμ μ tem o mesmo sinalD D - Sim. - Sim. ângulo⁡ ⁡ (x,Sim.)caso contrário.{displaystyle operatorname {angle} (lambda x,mu y)={begin{cases}operatorname {angle} (x,y)qquad qquad {text{if }}lambda {text{ and }}mu {text{ have the same sign}}pi -operatorname {angle} (x,y)qquad {text{otherwise}}). end{cases}}}

Se A, Be C são três pontos em um espaço euclidiano, o ângulo dos segmentos AB e ACÇÃO é o ângulo dos vetores AB→ → {displaystyle {overrightarrow {AB}}} e AC→ → .{displaystyle {overrightarrow {AC}}} Como a multiplicação de vetores por números positivos não muda o ângulo, o ângulo de duas meias linhas com ponto inicial A pode ser definido: é o ângulo dos segmentos AB e ACÇÃO, onde B e C são pontos arbitrários, um em cada meia linha. Embora isso seja menos usado, pode-se definir de forma semelhante o ângulo de segmentos ou meias linhas que não compartilham um ponto inicial.

O ângulo de duas linhas é definido da seguinte forma. Se θ for o ângulo de dois segmentos, um em cada linha, o ângulo de quaisquer outros dois segmentos, um em cada linha, é θ ou π − θ. Um desses ângulos está no intervalo [0, π/2], e o outro está no intervalo [π/2, π]. O ângulo não orientado das duas linhas é aquele no intervalo [0, π/2]. Em um plano euclidiano orientado, o ângulo orientado de duas retas pertence ao intervalo [−π/2, π/2].

Coordenadas cartesianas

Cada espaço vetorial euclidiano tem uma base ortonormal (na verdade, infinitamente muitos em dimensão superior a um, e dois em dimensão um), que é uma base (e1,...... ,en)(e_{1},dotse_{n})} de vetores unitários (‖ ‖ eEu...‖ ‖ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1Não. |e_{i}|=1}) que são pares ortogonais (eEu...)) eJJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Não. e_{i}cdot e_{j}=0} para Eu... ≠ JJ). Mais precisamente, dada qualquer base (b)1,...... ,b)n),(b_{1},dotsb_{n}),} o processo Gram-Schmidt computa uma base ortonormal tal que, para cada Eu..., as extensões lineares de (e1,...... ,eEu...)(e_{1},dotse_{i})} e (b)1,...... ,b)Eu...)(b_{1},dotsb_{i})} são iguais.

Dado um espaço euclidiano E, a Quadro cartesiano é um conjunto de dados que consistem em uma base ortonormal de E→ → ,{displaystyle {overrightarrow {E}},} e um ponto de E, chamado de origem e muitas vezes denotado O. Um quadro cartesiano (O,e1,...... ,en)(O,e_{1},dotse_{n})} permite definir coordenadas cartesianas para ambos E e E→ → {displaystyle {overrightarrow {E}}} da seguinte maneira.

As coordenadas cartesianas de um vetor v de E→ → {displaystyle {overrightarrow {E}}} são os coeficientes de v na base ortonormal e1,...... ,en.Não. e_{1},dotse_{n}.} Por exemplo, as coordenadas cartesianas de um vetor vNão. em uma base ortonormal (e1,e2,e3)(e_{1},e_{2},e_{3})} (que pode ser nomeado como (x,Sim.,zangão.)(x,y,z)} como convenção) em um espaço Euclidiano tridimensional é (α α 1,α α 2,α α 3)(alpha _{1},alpha _{2},alpha _{3} se v= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =α α 1e1+α α 2e2+α α 3e3{displaystyle v=alpha _{1}e_{1}+alpha _{2}e_{2}+alpha _{3}e_{3}}. Como a base é ortonormal, o Eu...-o coeficiente α α Eu...{displaystyle alpha _{i}} é igual ao produto do ponto v)) eEu....{displaystyle vcdot e_{i}.}

As coordenadas cartesianas de um ponto P de E são as coordenadas cartesianas do vetor OP→ → .{displaystyle {overrightarrow {OP}}}

Outras coordenadas

Coordenadas tridimensionais do esqueleto

Como um espaço euclidiano é um espaço afim, pode-se considerar um referencial afim nele, que é o mesmo que um referencial euclidiano, exceto que a base não precisa ser ortonormal. Isso define as coordenadas afins, às vezes chamadas de coordenadas enviesadas para enfatizar que os vetores de base não são ortogonais aos pares.

Uma base afim de um espaço euclidiano de dimensão n é um conjunto de n + 1 pontos que não estão contidos em um hiperplano. Uma base afim define as coordenadas baricêntricas para cada ponto.

Muitos outros sistemas de coordenadas podem ser definidos em um espaço euclidiano E de dimensão n, da seguinte forma. Vamos. f ser um homeomorfismo (ou, mais frequentemente, um diffeomorphism) de um subconjunto aberto denso E para um subconjunto aberto de Rn.{displaystyle mathbb {R} ^{n}.} O coordenadas de um ponto x de E são os componentes de f(x). O sistema de coordenadas polares (dimensão 2) e os sistemas de coordenadas esféricas e cilíndricas (dimensão 3) são definidos desta forma.

Para pontos que estão fora do domínio de f, às vezes as coordenadas podem ser definidas como o limite de coordenadas de pontos vizinhos, mas essas coordenadas podem não ser definidas exclusivamente e podem não ser contínuas na vizinhança do ponto. Por exemplo, para o sistema de coordenadas esféricas, a longitude não é definida no polo, e no antimeridiano, a longitude passa descontinuamente de –180° a +180°.

Esta forma de definir coordenadas estende-se facilmente a outras estruturas matemáticas e, em particular, a variedades.

Isometrias

Uma isometria entre dois espaços métricos é uma bijeção que preserva a distância, ou seja

D(f(x),f(Sim.))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =D(x,Sim.).(f(x),f(y)=d(x,y). ?

No caso de um espaço vetorial euclidiano, uma isometria que mapeia a origem para a origem preserva a norma

‖ ‖ f(x)‖ ‖ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =‖ ‖ x‖ ‖ ,{displaystyle |f(x)|=|x|,}

uma vez que a norma de um vetor é sua distância do vetor zero. Preserva também o produto interno

f(x))) f(Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x)) Sim.,{displaystyle f(x)cdot f(y)=xcdot y,}

desde

x)) Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12(‖ ‖ x+Sim.‖ ‖ 2- Sim. - Sim. ‖ ‖ x‖ ‖ 2- Sim. - Sim. ‖ ‖ Sim.‖ ‖ 2).{displaystyle xcdot y={frac {1}{2}}left(|x+y|^{2}-|x|^{2}-|y|^{2}right). ?

Uma isometria de espaços vetoriais euclidianos é um isomorfismo linear.

Uma isometria f:: E→ → F{displaystyle fcolon Eto F} de espaços euclidianos define uma isometria f→ → :: E→ → → → F→ → {displaystyle {overrightarrow {f}}colon (E) to (F) dos espaços vetoriais euclidianos associados. Isso implica que dois espaços euclidianos isométricos têm a mesma dimensão. Por outro lado, se E e F são espaços euclidianos, O ∈ E, O? ∈ Fe f→ → :: E→ → → → F→ → {displaystyle {overrightarrow {f}}colon (E) to (F) é uma isometria, então o mapa f:: E→ → F{displaystyle fcolon Eto F} definido por

f(P)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =O?+f→ → (OP→ → ){displaystyle f(P)=O'+{overrightarrow {f}}left({overrightarrow {OP}}rightright)}

é uma isometria de espaços euclidianos.

Segue-se dos resultados anteriores que uma isometria de espaços euclidianos mapeia linhas a linhas e, mais geralmente, subespaços euclidianos a subespaços euclidianos da mesma dimensão, e que a restrição da isometria nesses subespaços são isometrias desses subespaços.

Isometria com exemplos prototípicos

Se E é um espaço euclidiano, seu espaço vetorial associado E→ → {displaystyle {overrightarrow {E}}} pode ser considerado como um espaço euclidiano. Cada ponto O ∈ E define uma isometria de espaços euclidianos

P↦ ↦ OP→ → ,{displaystyle Pmapsto {overrightarrow {OP}},}

que mapeia O para o vetor zero e tem a identidade como mapa linear associado. A isometria inversa é o mapa

v↦ ↦ O+v.{displaystyle vmapsto O+v.}

Um quadro euclidiano (O,e1,...... ,en)(O,e_{1},dotse_{n})} permite definir o mapa

E→ → RnP↦ ↦ (e1)) OP→ → ,...... ,en)) OP→ → ),Não. E&to mathbb {R} ^{n}\P&mapsto left(e_{1}cdot {overrightarrow {OP}},dotse_{n}cdot {overrightarrow {OP}}right),end{aligned}}}

que é uma isometria de espaços euclidianos. A isometria inversa é

Rn→ → E(x1...... ,xn)↦ ↦ (O+x1e1+⋯ ⋯ +xnen).{displaystyle {begin{aligned}mathbb {R} ^{n}&to E(x_{1}dotsx_{n})&mapsto left (O+x_{1}e_{1}+dots +x_{n}e_{n}right).end{aligned}}}

Isso significa que, a menos de um isomorfismo, existe exatamente um espaço euclidiano de uma determinada dimensão.

Isso justifica que muitos autores falam de Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} como o Espaço euclidiano de dimensão n.

Grupo euclidiano

Uma isometria de um espaço euclidiano sobre si mesmo é chamada de isometria euclidiana, transformação euclidiana ou transformação rígida. As transformações rígidas de um espaço euclidiano formam um grupo (em composição), chamado de grupo euclidiano e muitas vezes denotado E(n) de ISO(n).

As transformações euclidianas mais simples são translações

P→ → P+v.Não. Pto P+v.}

Eles estão em correspondência bijetiva com vetores. Esta é uma razão para chamar de espaço de translações o espaço vetorial associado a um espaço euclidiano. As translações formam um subgrupo normal do grupo euclidiano.

Uma isometria euclidiana f de um espaço euclidiano E define uma isometria linear f→ → {displaystyle {overrightarrow {f}}} do espaço vetorial associado (por isometria linear, significa-se uma isometria que também é um mapa linear) da seguinte forma: denotando por Q – P o vetor PQ→ → {displaystyle {overrightarrow {PQ}}}, se O é um ponto arbitrário de E, um tem

f→ → (OP→ → )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(P)- Sim. - Sim. f(O).{displaystyle {overrightarrow {f}}({overrightarrow {OP}})=f(P)-f(O). ?

É fácil provar que este é um mapa linear que não depende da escolha de O.

O mapa f→ → f→ → {displaystyle fto {overrightarrow {f}}} é um grupo homomorfismo do grupo euclidiano no grupo de isometrias lineares, chamado de grupo ortogonal. O núcleo desse homomorfismo é o grupo de tradução, mostrando que é um subgrupo normal do grupo euclidiano.

As isometrias que fixam um determinado ponto P formam o subgrupo estabilizador do grupo euclidiano em relação a P. A restrição a este estabilizador do homomorfismo de grupo acima é um isomorfismo. Assim as isometrias que fixam um dado ponto formam um grupo isomórfico ao grupo ortogonal.

Vamos. P ser um ponto, f uma isometria, e ) a tradução que mapeia P para f(P). A isometria g= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =)- Sim. - Sim. 1∘ ∘ f{displaystyle g=t^{-1}circ f} correções P. Então... f= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =)∘ ∘ g,- Sim. e o grupo Euclidiano é o produto semidireto do grupo de tradução e do grupo ortogonal.

O grupo ortogonal especial é o subgrupo normal do grupo ortogonal que preserva a mão. É um subgrupo do índice dois do grupo ortogonal. Sua imagem inversa pelo homomorfismo do grupo f→ → f→ → {displaystyle fto {overrightarrow {f}}} é um subgrupo normal do índice dois do grupo euclidiano, que é chamado de grupo Euclidiano especial ou o grupo de deslocamento. Seus elementos são chamados movimentos rígidos ou deslocamentos.

Movimentos rígidos incluem a identidade, translações, rotações (os movimentos rígidos que fixam pelo menos um ponto) e também movimentos de parafuso.

Exemplos típicos de transformações rígidas que não são movimentos rígidos são reflexões, que são transformações rígidas que fixam um hiperplano e não são a identidade. São também as transformações que consistem em mudar o sinal de uma coordenada sobre algum referencial euclidiano.

Como o grupo euclidiano especial é um subgrupo do índice dois do grupo euclidiano, dada uma reflexão r, toda transformação rígida que não é um movimento rígido é o produto de r e um movimento rígido. Uma reflexão deslizante é um exemplo de uma transformação rígida que não é um movimento rígido ou uma reflexão.

Todos os grupos considerados nesta seção são grupos de Lie e grupos algébricos.

Topologia

A distância euclidiana torna um espaço euclidiano um espaço métrico e, portanto, um espaço topológico. Esta topologia é chamada topologia euclidiana. No caso de Rn,{displaystyle mathbb {R} ^{n},} esta topologia também é a topologia do produto.

Os conjuntos abertos são os subconjuntos que contêm uma bola aberta em torno de cada um de seus pontos. Em outras palavras, bolas abertas formam a base da topologia.

A dimensão topológica de um espaço euclidiano é igual à sua dimensão. Isso implica que os espaços euclidianos de diferentes dimensões não são homeomorfos. Além disso, o teorema da invariância do domínio afirma que um subconjunto de um espaço euclidiano é aberto (para a topologia do subespaço) se e somente se for homeomorfo a um subconjunto aberto de um espaço euclidiano de mesma dimensão.

Os espaços euclidianos são completos e localmente compactos. Ou seja, um subconjunto fechado de um espaço euclidiano é compacto se for limitado (isto é, contido em uma bola). Em particular, as esferas fechadas são compactas.

Definições axiomáticas

A definição de espaços euclidianos descrita neste artigo difere fundamentalmente da de Euclides. Na realidade, Euclides não definiu formalmente o espaço, pois foi pensado como uma descrição do mundo físico que existe independentemente da mente humana. A necessidade de uma definição formal surgiu apenas no final do século XIX, com a introdução das geometrias não euclidianas.

Tem sido usadas duas abordagens diferentes. Felix Klein sugeriu definir geometrias através de suas simetrias. A apresentação dos espaços euclidianos feita neste artigo, é essencialmente decorrente do seu programa Erlangen, com ênfase nos grupos de translações e isometrias.

Por outro lado, David Hilbert propôs um conjunto de axiomas, inspirado nos postulados de Euclides. Eles pertencem à geometria sintética, pois não envolvem nenhuma definição de números reais. Mais tarde, G. D. Birkhoff e Alfred Tarski propuseram conjuntos mais simples de axiomas, que usam números reais (ver axiomas de Birkhoff e axiomas de Tarski).

Em Álgebra geométrica, Emil Artin provou que todas essas definições de um espaço euclidiano são equivalentes. É bastante fácil provar que todas as definições de espaços euclidianos satisfazem os axiomas de Hilbert, e que aqueles envolvendo números reais (incluindo a definição dada acima) são equivalentes. A parte difícil da prova de Artin é a seguinte. Nos axiomas de Hilbert, congruência é uma relação de equivalência em segmentos. Pode-se assim definir o comprimento de um segmento como sua classe de equivalência. Deve-se, portanto, provar que esse comprimento satisfaz propriedades que caracterizam números reais não negativos. Artin provou isso com axiomas equivalentes aos de Hilbert.

Uso

Desde os gregos antigos, o espaço euclidiano é usado para modelar formas no mundo físico. É, portanto, usado em muitas ciências, como física, mecânica e astronomia. Também é amplamente utilizado em todas as áreas técnicas relacionadas a formas, figuras, localização e posição, como arquitetura, geodésia, topografia, navegação, desenho industrial ou desenho técnico.

Espaço de dimensões superiores a três ocorre em várias teorias modernas da física; consulte Dimensão superior. Ocorrem também em espaços de configuração de sistemas físicos.

Além da geometria euclidiana, os espaços euclidianos também são amplamente utilizados em outras áreas da matemática. Espaços tangentes de variedades diferenciáveis são espaços vetoriais euclidianos. Mais geralmente, uma variedade é um espaço que é aproximado localmente por espaços euclidianos. A maioria das geometrias não euclidianas pode ser modelada por uma variedade e inserida em um espaço euclidiano de dimensão superior. Por exemplo, um espaço elíptico pode ser modelado por um elipsóide. É comum representar em um espaço euclidiano objetos matemáticos que não são a priori de natureza geométrica. Um exemplo entre muitos é a representação usual de gráficos.

Outros espaços geométricos

Desde a introdução, no final do século XIX, de geometrias não-euclidianas, muitos tipos de espaços foram considerados, sobre os quais se pode fazer raciocínio geométrico da mesma forma que com os espaços euclidianos. Em geral, eles compartilham algumas propriedades com os espaços euclidianos, mas também podem ter propriedades que podem parecer bastante estranhas. Alguns desses espaços utilizam geometria euclidiana para sua definição, ou podem ser modelados como subespaços de um espaço euclidiano de dimensão superior. Quando tal espaço é definido por axiomas geométricos, inserir o espaço em um espaço euclidiano é uma maneira padrão de provar a consistência de sua definição ou, mais precisamente, de provar que sua teoria é consistente, se a geometria euclidiana for consistente (o que não pode ser provado).

Espaço afim

Um espaço euclidiano é um espaço afim equipado com uma métrica. Espaços afins têm muitos outros usos em matemática. Em particular, como se definem sobre qualquer campo, permitem fazer geometria em outros contextos.

Assim que questões não lineares são consideradas, geralmente é útil considerar os espaços afins sobre os números complexos como uma extensão dos espaços euclidianos. Por exemplo, um círculo e uma linha têm sempre dois pontos de interseção (possivelmente não distintos) no espaço afim complexo. Portanto, a maior parte da geometria algébrica é construída em espaços afins complexos e espaços afins sobre campos algebricamente fechados. As formas que são estudadas na geometria algébrica nesses espaços afins são, portanto, chamadas de variedades algébricas afins.

Os espaços afins sobre os números racionais e, mais geralmente, sobre os campos de números algébricos fornecem um vínculo entre a geometria (algébrica) e a teoria dos números. Por exemplo, o Último Teorema de Fermat pode ser declarado "uma curva de Fermat de grau maior que dois não tem ponto no plano afim sobre os racionais."

A geometria em espaços afins sobre corpos finitos também tem sido amplamente estudada. Por exemplo, curvas elípticas sobre campos finitos são amplamente usadas em criptografia.

Espaço projetivo

Originalmente, os espaços projetivos foram introduzidos adicionando "pontos no infinito" aos espaços euclidianos e, mais geralmente, aos espaços afins, a fim de tornar verdadeira a afirmação "duas linhas coplanares se encontram em exatamente um ponto". O espaço projetivo compartilha com os espaços euclidianos e afins a propriedade de ser isotrópico, ou seja, não há nenhuma propriedade do espaço que permita distinguir entre dois pontos ou duas linhas. Portanto, comumente se utiliza uma definição mais isotrópica, que consiste em definir um espaço projetivo como o conjunto das retas vetoriais em um espaço vetorial de dimensão um a mais.

Quanto aos espaços afins, os espaços projetivos são definidos sobre qualquer corpo, e são espaços fundamentais da geometria algébrica.

Geometrias não euclidianas

Geometria não euclidiana refere-se geralmente a espaços geométricos onde o postulado das paralelas é falso. Eles incluem geometria elíptica, onde a soma dos ângulos de um triângulo é maior que 180°, e geometria hiperbólica, onde essa soma é menor que 180°. A sua introdução na segunda metade do século XIX, e a prova da consistência da sua teoria (se é que a geometria euclidiana não é contraditória) é um dos paradoxos que está na origem da crise fundacional da matemática do início do século XX, e motivou a sistematização de teorias axiomáticas em matemática.

Espaços curvos

Uma variedade é um espaço que na vizinhança de cada ponto se assemelha a um espaço euclidiano. Em termos técnicos, uma variedade é um espaço topológico, tal que cada ponto tem uma vizinhança que é homeomorfa a um subconjunto aberto de um espaço euclidiano. Variedades podem ser classificadas pelo grau crescente dessa "semelhança" em variedades topológicas, variedades diferenciáveis, variedades suaves e variedades analíticas. No entanto, nenhum desses tipos de "semelhança" respeitar distâncias e ângulos, mesmo que aproximadamente.

Distâncias e ângulos podem ser definidos em uma variedade suave, fornecendo uma métrica euclidiana de variação suave nos espaços tangentes nos pontos da variedade (esses espaços tangentes são, portanto, espaços vetoriais euclidianos). Isso resulta em uma variedade Riemanniana. Geralmente, linhas retas não existem em uma variedade Riemanniana, mas seu papel é desempenhado por geodésicas, que são os "caminhos mais curtos" entre dois pontos. Isso permite definir distâncias, que são medidas ao longo de geodésicas, e ângulos entre geodésicas, que são o ângulo de suas tangentes no espaço tangente em sua interseção. Assim, as variedades riemannianas se comportam localmente como um espaço euclidiano que foi dobrado.

Espaços euclidianos são trivialmente variedades riemannianas. Um exemplo que ilustra bem isso é a superfície de uma esfera. Nesse caso, as geodésicas são arcos de grande circunferência, que são chamados de ortódromos no contexto da navegação. Mais geralmente, os espaços de geometrias não euclidianas podem ser percebidos como variedades riemannianas.

Espaço pseudo-euclidiano

Um produto interno de um espaço vetorial real é uma forma bilinear definida positiva e, portanto, caracterizada por uma forma quadrática definida positiva. Um espaço pseudo-euclidiano é um espaço afim com um espaço vetorial real associado equipado com uma forma quadrática não degenerada (que pode ser indefinida).

Um exemplo fundamental de tal espaço é o espaço de Minkowski, que é o espaço-tempo da relatividade restrita de Einstein. É um espaço quadridimensional, onde a métrica é definida pela forma quadrática

x2+Sim.2+zangão.2- Sim. - Sim. )2,Não. x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},}

onde a última coordenada (t) é temporal, e as outras três (x, y, z) são espaciais.

Para levar a gravidade em consideração, a relatividade geral usa uma variedade pseudo-Riemanniana que tem espaços de Minkowski como espaços tangentes. A curvatura desta variedade em um ponto é uma função do valor do campo gravitacional neste ponto.