Espaço Banach

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Espaço vetorial nórdico completo

Na matemática, mais especificamente na análise funcional, um espaço de Banach (pronuncia-se [ˈbanax]) é um espaço vetorial normado completo. Assim, um espaço de Banach é um espaço vetorial com uma métrica que permite o cálculo do comprimento vetorial e da distância entre vetores e é completo no sentido de que uma sequência de vetores de Cauchy sempre converge para um limite bem definido que está dentro do espaço.

Os espaços de Banach recebem o nome do matemático polonês Stefan Banach, que introduziu esse conceito e o estudou sistematicamente em 1920–1922 junto com Hans Hahn e Eduard Helly. Maurice René Fréchet foi o primeiro a usar o termo "espaço de Banach" e Banach, por sua vez, cunhou o termo "Fréchet space." Os espaços de Banach surgiram originalmente do estudo dos espaços funcionais de Hilbert, Fréchet e Riesz no início do século. Os espaços de Banach desempenham um papel central na análise funcional. Em outras áreas de análise, os espaços em estudo são frequentemente espaços de Banach.

Definição

A Espaço de Banach é um espaço completo e normalizado ${displaystyle (X,|cdot |).}$ Um espaço normal é um par $(X,|cdot |)$ consistindo de um espaço vetorial $X$ sobre um campo escalar $mathbb {K}$ (onde) $mathbb {K}$ é comumente $mathbb {R}$ ou $mathbb{C}$ ) em conjunto com uma distinção normas ${displaystyle |cdot |:Xto mathbb {R}.}$ Como todas as normas, esta norma induz uma tradução invariante função de distância, chamado de canônico ou (norm) métrica induzida, definida por

{displaystyle d(x,y):=|y-x|=|x-y|}

{displaystyle x,yin X.}

X

{displaystyle (X,d).}

{displaystyle x_{bullet }=left(x_{n}right)_{n=1}^{infty }}

$d$ -Cauchy.Cauchy em $(X,d)$ $|cdot |$ -Cauchy.

0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R>0,Não. 0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ee1bdad381ab757caae14bc628dd1f9005fa5f" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.956ex; height:2.509ex;"/>

N

<math alttext="{displaystyle dleft(x_{n},x_{m}right)=left|x_{n}-x_{m}right|D(xn,xm)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =‖xn- Sim. - Sim. xm‖<R{displaystyle dleft(x_{n},x_{m}right)=left|x_{n}-x_{m}right|<r}<img alt="{displaystyle dleft(x_{n},x_{m}right)=left|x_{n}-x_{m}right|

m

n

{displaystyle N.}

d

métrica completa

(X,d)

espaço métrico completo

d

-Sequência de casulos

{displaystyle x_{bullet }=left(x_{n}right)_{n=1}^{infty }}

{displaystyle (X,d),}

xin X

{displaystyle lim _{nto infty }left|x_{n}-xright|=0}

{displaystyle left|x_{n}-xright|=dleft(x_{n},xright),}

x

{displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=x;{text{ in }}(X,d).}

Produto L-semi-interno

Para qualquer espaço normalizado ${displaystyle (X,|cdot |),}$ existe um produto L-semi-inner $langle cdotcdot rangle$ sobre $X$ tal que ${textstyle |x|={sqrt {langle x,xrangle }}}$ para todos $xin X$ ; em geral, pode haver infinitamente muitos produtos L-semi-inner que satisfazem esta condição. Os produtos L-semi-inner são uma generalização de produtos internos, que são o que distingue fundamentalmente os espaços de Hilbert de todos os outros espaços de Banach. Isso mostra que todos os espaços normáticos (e, portanto, todos os espaços de Banach) podem ser considerados como generalizações de espaços (pré-)Hilbert.

Caracterização em termos de séries

A estrutura do espaço vetorial permite relacionar o comportamento de seqüências de Cauchy com a de converging série de vetores. Um espaço normal $X$ é um espaço Banach se e somente se cada série absolutamente convergente em $X$ converge em $X,$

<math alttext="{displaystyle sum _{n=1}^{infty }|v_{n}|Gerenciamento Gerenciamento n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ ‖ ‖ vn‖ ‖ <∞ ∞ implica queGerenciamento Gerenciamento n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ vnconverge emX.{displaystyle sum _{n=1}^{infty }|v_{n}|<infty quad {text{ implica que }}quad sum _{n=1}^{infty }v_{n} {text{ converge em }} X.}<img alt="{displaystyle sum _{n=1}^{infty }|v_{n}|

Topologia

A métrica canônica $d$ de um espaço normalizado $(X, |cdot|)$ induz a topologia métrica usual ${displaystyle tau _{d}}$ sobre $X,$ que é referido como o canônico ou topologia induzida por norma. Cada espaço normal é automaticamente assumido para transportar esta topologia Hausdorff, a menos que indicado de outra forma. Com esta topologia, cada espaço de Banach é um espaço de Baire, embora existam espaços normáticos que são Baire, mas não Banach. A norma ${displaystyle |,cdot ,|:left(X,tau _{d}right)to mathbb {R} }$ é sempre uma função contínua em relação à topologia que induz.

As bolas abertas e fechadas do raio $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R>0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>$ centrado em um ponto $xin X$ são, respectivamente, os conjuntos

<math alttext="{displaystyle B_{r}(x):={zin X:|z-x|BR(x)?(zangão.∈ ∈ X:‖ ‖ zangão.- Sim. - Sim. x‖ ‖ <R?eCR(x)?(zangão.∈ ∈ X:‖ ‖ zangão.- Sim. - Sim. x‖ ‖ ≤ ≤ R?.(x):={zin X:|z-x|<r}qquad {text{ e }}qquad C_{r}(x):={zin X:|z-x|leq r}.}<img alt="{displaystyle B_{r}(x):={zin X:|z-x|

X,

X

x_{0}

sneq 0

{displaystyle x_{0}+sB_{r}(x)=B_{|s|r}left(x_{0}+sxright)qquad {text{ and }}qquad x_{0}+sC_{r}(x)=C_{|s|r}left(x_{0}+sxright).}

{displaystyle s:=1}

xin X

{displaystyle Ssubseteq X,}

S

X

{displaystyle x+S:={x+s:sin S}.}

0right},qquad left{C_{r}(0):r>0right},qquad left{B_{r_{n}}(0):nin mathbb {N} right},qquad {text{ or }}qquad left{C_{r_{n}}(0):nin mathbb {N} right}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">(BR(0):R>0?,(CR(0):R>0?,(BRn(0):n∈ ∈ N?,ou(CRn(0):n∈ ∈ N?{displaystyle left{B_{r}(0):r>0right},qquad left{C_{r}(0):r>0right},qquad left{B_{r_{n}}(0):nin mathbbn {N} right,qquad {text{ ou }}qquad left{C_{r_{n}}(0)0right},qquad left{C_{r}(0):r>0right},qquad left{B_{r_{n}}(0):nin mathbb {N} right},qquad {text{ or }}qquad left{C_{r_{n}}(0):nin mathbb {N} right}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac72d9a24a82aefe3282e6fefb1632798dfd700a" style="vertical-align: -0.838ex; width:90.524ex; height:2.843ex;"/>

{displaystyle r_{1},r_{2},ldots }

{displaystyle 0}

mathbb {R}

{displaystyle r_{n}:=1/n}

{displaystyle r_{n}:=1/2^{n}}

U

X

{displaystyle U=bigcup _{xin I}B_{r_{x}}(x)=bigcup _{xin I}x+B_{r_{x}}(0)=bigcup _{xin I}x+r_{x}B_{1}(0)}

{displaystyle Isubseteq U,}

r_{x}

{displaystyle r_{x}={tfrac {1}{n_{x}}}}

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">nx>0- Sim. 0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65bea62058b4dbf392d184c2ba7e32c50f88b182" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.828ex; height:2.509ex;"/>

I

r_{x}

I

X

espaço separador

X

{textstyle prod _{iin mathbb {N} }mathbb {R} }

mathbb {R}

ell

² espaço de sequência

{displaystyle ell ^{2}(mathbb {N})}

{displaystyle |cdot |_{2},}

{displaystyle ell ^{2}(mathbb {N})}

{displaystyle left{xin ell ^{2}(mathbb {N}):|x|_{2}=1right}.}

Subconjuntos compactos e convexos

Há um subconjunto compacto $S$ de ${displaystyle ell ^{2}(mathbb {N})}$ cujo casco convexo ${displaystyle operatorname {co} (S)}$ o não fechado e assim também não compacto (veja esta nota de rodapé por exemplo). No entanto, como em todos os espaços de Banach, o casco convexo fechado ${displaystyle {overline {operatorname {co} }}S}$ deste (e cada outro) subconjunto compacto será compacto. Mas se um espaço normed não está completo, então é em geral não garantido ${displaystyle {overline {operatorname {co} }}S}$ será compacto sempre $S$ é; um exemplo pode até ser encontrado em um (não-completo) pré-Hilbert subespaço vetorial de ${displaystyle ell ^{2}(mathbb {N}).}$

Como espaços vetoriais topológicos

Esta topologia induzida por norma também faz ${displaystyle left(X,tau _{d}right)}$ para o que é conhecido como um espaço vetorial topológico (TVS), que por definição é um espaço vetorial dotado de uma topologia tornando as operações de adição e multiplicação escalar contínua. É enfatizado que o TVS ${displaystyle left(X,tau _{d}right)}$ o apenas um espaço vetorial junto com um certo tipo de topologia; isto é, quando considerado como TVS, é não associado com qualquer um norma particular ou métrica (ambos são "forgotten"). Este Hausdorff TVS ${displaystyle left(X,tau _{d}right)}$ é mesmo localmente convexo porque o conjunto de todas as bolas abertas centradas na origem forma uma base de vizinhança na origem que consiste em conjuntos abertos equilibrados convexo. Este TVS também é Norma, que por definição refere-se a qualquer TVS cuja topologia é induzida por alguns (possivelmente desconhecido) norma. Normable TVSs são caracterizados por ser Hausdorff e ter um bairro convexo limitado da origem.

Comparação de topologias vetoriais metrizáveis completas

O teorema de mapeamento aberto implica que se ${displaystyle tau {text{ and }}tau _{2}}$ são topologias em $X$ que fazem os dois $(X, tau)$ e ${displaystyle left(X,tau _{2}right)}$ em TVS metrizable completo (por exemplo, Banach ou Fréchet espaços) e se uma topologia é mais fina ou mais grosseira do que a outra, então eles devem ser iguais (ou seja, se ${displaystyle tau subseteq tau _{2}{text{ or }}tau _{2}subseteq tau {text{ then }}tau =tau _{2}}$ ). Por exemplo, se ${displaystyle (X,p){text{ and }}(X,q)}$ são espaços de Banach com topologia ${displaystyle tau _{p}{text{ and }}tau _{q}}$ e se um desses espaços tem alguma bola aberta que também é um subconjunto aberto do outro espaço (ou equivalentemente, se um de ${displaystyle p:left(X,tau _{q}right)to mathbb {R} }$ ou ${displaystyle q:left(X,tau _{p}right)to mathbb {R} }$ é contínuo) então suas topologias são idênticas e suas normas são equivalentes.

Integridade

Normas completas e normas equivalentes

Duas normas, $p$ e $q,$ em um espaço vetorial dizem ser equivalente se eles induzirem a mesma topologia, isso acontece se e somente se houver números reais positivos $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">c,C>0{displaystyle c,C>0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/162c3821972f14a29ea8156f42fda96fac3822d7" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.068ex; height:2.509ex;"/>$ tal que ${textstyle cq(x)leq p(x)leq Cq(x)}$ para todos ${displaystyle xin X.}$ Se $p$ e $q$ são duas normas equivalentes em um espaço vetorial $X$ então ${displaystyle (X,p)}$ é um espaço Banach se e somente se ${displaystyle (X,q)}$ é um espaço Banach. Veja esta nota de rodapé para um exemplo de uma norma contínua em um espaço Banach que é não equivalente à norma do espaço Banach. Todas as normas em um espaço vetorial finito-dimensional são equivalentes e cada espaço normático de dimensão finita é um espaço Banach.

Normas completas x métricas completas

Uma métrica $D$ em um espaço vetorial $X$ é induzida por uma norma $X$ se e somente se $D$ é a tradução invariante e absolutamente homogêneo, o que significa que ${displaystyle D(sx,sy)=|s|D(x,y)}$ para todos os escalares $s$ e todos ${displaystyle x,yin X,}$ em que caso a função ${displaystyle |x|:=D(x,0)}$ define uma norma $X$ e a métrica canônica induzida por $|cdot |$ é igual a $D.$

Suponha que $(X, |cdot|)$ é um espaço normal e isso $tau$ é a topologia norma induzida em $X.$ Suponha que $D$ o qualquer um métrica em $X$ tal que a topologia que $D$ induz em $X$ é igual a $tau.$ Se $D$ é a tradução invariante então $(X, |cdot|)$ é um espaço Banach se e somente se ${displaystyle (X,D)}$ é um espaço métrico completo. Se $D$ o não tradução invariante, então pode ser possível para $(X, |cdot|)$ para ser um espaço Banach, mas para ${displaystyle (X,D)}$ para não ser um espaço métrico completo (veja esta nota de rodapé por exemplo). Em contraste, um teorema de Klee, que também se aplica a todos os espaços vetoriais topológicos metrizáveis, implica que se existe qualquer um métrica completa $D$ sobre $X$ que induz a topologia norma $tau$ sobre $X,$ então $(X, |cdot|)$ é um espaço Banach.

Um espaço Fréchet é um espaço vetorial topológico localmente convexo, cuja topologia é induzida por alguma métrica completa invariante de tradução. Cada espaço Banach é um espaço Fréchet, mas não inversamente; de fato, existem mesmo espaços Fréchet em que nenhuma norma é uma função contínua (como o espaço de sequências reais) ${textstyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }=prod _{iin mathbb {N} }mathbb {R} }$ com a topologia do produto). No entanto, a topologia de cada espaço Fréchet é induzida por alguma família contável de mapas reais (necessariamente contínuos) chamados seminormas, que são generalizações de normas. É mesmo possível para um espaço Fréchet ter uma topologia que é induzida por uma família contável de normas (as normas seriam necessariamente contínuas) mas não ser um espaço Banach/normável porque sua topologia não pode ser definida por qualquer único Norm. Um exemplo desse espaço é o espaço Fréchet ${displaystyle C^{infty }(K),}$ cuja definição pode ser encontrada no artigo sobre espaços de funções de teste e distribuições.

Normas completas vs espaços vetoriais topológicos completos

Há outra noção de plenitude além da completa métrica e essa é a noção de um espaço vetorial topológico completo (TVS) ou TVS-completude, que usa a teoria dos espaços uniformes. Especificamente, a noção de TVS-completude usa uma uniformidade invariante de tradução única, chamada de uniformidade canônica, que depende apenas na subtração vetorial e na topologia $tau$ que o espaço vetorial é dotado com, e assim, em particular, esta noção de plenitude TVS é independente de qualquer norma induzida a topologia $tau$ (e mesmo se aplica a TVSs que são não mesmo metrizável). Cada espaço Banach é um TVS completo. Além disso, um espaço normático é um espaço Banach (ou seja, sua métrica induzida por norma é completa) se e somente se estiver completo como um espaço vetorial topológico. Se $(X, tau)$ é um espaço de vetor topológico metrizável (como qualquer topologia induzida por norma, por exemplo), então $(X, tau)$ é um TVS completo se e somente se for um sequencialmente TVS completo, o que significa que é o suficiente para verificar que cada Cauda sequência em $(X, tau)$ converge em $(X, tau)$ a algum ponto de $X$ (ou seja, não há necessidade de considerar a noção mais geral de redes de Cauchy arbitrárias).

Se $(X, tau)$ é um espaço vetorial topológico cuja topologia é induzida por alguns (possivelmente desconhecido) norma (tais espaços são chamados Norma), então $(X, tau)$ é um espaço de vetor topológico completo se e somente se $X$ pode ser atribuído uma norma $|cdot |$ que induz em $X$ a topologia $tau$ e também faz $(X, |cdot|)$ num espaço de Banach. A Hausdorff localmente convex topological vector space $X$ é normativo se e somente se seu espaço dual forte ${displaystyle X_{b}^{prime }}$ é normativo, em que caso ${displaystyle X_{b}^{prime }}$ é um espaço Banach ( ${displaystyle X_{b}^{prime }}$ denota o forte espaço dual de $X,$ cuja topologia é uma generalização da topologia induzida por norma dupla no espaço duplo contínuo ${displaystyle X^{prime }}$ ; veja esta nota de rodapé para mais detalhes). Se $X$ é um TVS convexo local metrizável, então $X$ é normativo se e somente se ${displaystyle X_{b}^{prime }}$ é um espaço Fréchet-Urysohn. Isso mostra que na categoria de TVSs convexas localmente, os espaços Banach são exatamente aqueles espaços completos que são metrizáveis e têm espaços duplos fortes metrizáveis.

Conclusões

Todo espaço normado pode ser isometricamente embutido em um subespaço vetorial denso de algum espaço de Banach, onde esse espaço de Banach é chamado de completação do espaço normado. Esta conclusão de Hausdorff é única até o isomorfismo isométrico.

Mais precisamente, para cada espaço normalizado $X,$ existe um espaço de Banach $Y$ e um mapeamento ${displaystyle T:Xto Y}$ tal que $T$ é um mapeamento isométrico e $T(X)$ é densa em $Y.$ Se $Z$ é outro espaço de Banach tal que há um isomorfismo isométrico de $X$ em um subconjunto denso de $Z,$ então $Z$ isometicamente isomorfo $Y.$ Este espaço de Banach $Y$ é a conclusão Hausdorff do espaço normal $X.$ O espaço métrico subjacente para $Y$ é o mesmo que a conclusão métrica de $X,$ com as operações de espaço vetorial estendidas $X$ para $Y.$ A conclusão $X$ é por vezes denotado por ${displaystyle {widehat {X}}.}$

Teoria geral

Operadores lineares, isomorfismos

Se $X$ e $Y$ são espaços normáticos sobre o mesmo campo terrestre ${displaystyle mathbb {K}}$ o conjunto de todos os contínuos $mathbb {K}$ - mapas lineares ${displaystyle T:Xto Y}$ é denotado por ${displaystyle B(X,Y).}$ Em espaços de dimensão infinita, nem todos os mapas lineares são contínuos. Um mapeamento linear de um espaço normalizado $X$ para outro espaço normalizado é contínuo se e somente se for limitado na esfera de unidade fechada de $X.$ Assim, o espaço vetorial ${displaystyle B(X,Y)}$ pode ser dada a norma do operador

{displaystyle |T|=sup left{|Tx|_{Y}mid xin X, |x|_{X}leq 1right}.}

Para $Y$ um espaço Banach, o espaço ${displaystyle B(X,Y)}$ é um espaço Banach com respeito a esta norma. Em contextos categógicos, às vezes é conveniente restringir o espaço de função entre dois espaços Banach para apenas os mapas curtos; nesse caso, o espaço ${displaystyle B(X,Y)}$ reaparece como um bifuntor natural.

Se $X$ é um espaço Banach, o espaço ${displaystyle B(X)=B(X,X)}$ forma uma álgebra Banach unital; a operação de multiplicação é dada pela composição de mapas lineares.

Se $X$ e $Y$ são espaços normáticos, eles são espaços normáticos isomorfos se existe uma bijeção linear ${displaystyle T:Xto Y}$ tal que $T$ e seu inverso $T^{-1}$ são contínuos. Se um dos dois espaços $X$ ou $Y$ é completo (ou reflexivo, separável, etc) então assim é o outro espaço. Dois espaços normáticos $X$ e $Y$ são isomorfose se além disso, $T$ é uma isometria, ou seja, ${displaystyle |T(x)|=|x|}$ para todos $x$ em $X.$ A distância de Banach–Mazur $d(X, Y)$ entre dois espaços isomorfo mas não isométricos $X$ e $Y$ dá uma medida de quanto os dois espaços $X$ e $Y$ diferem.

Funções lineares contínuas e limitadas e seminormas

Cada operador linear contínuo é um operador linear limitado e se lidar apenas com espaços normáticos, então o converso também é verdadeiro. Ou seja, um operador linear entre dois espaços normalizados é limitado se e somente se for uma função contínua. Então, em particular, porque o campo escalar (que é $mathbb {R}$ ou $mathbb{C}$ ) é um espaço normático, um funcional linear em um espaço normático é um funcional linear limitado se e somente se for um funcional linear contínuo. Isso permite que os resultados relacionados à continuidade (como os abaixo) sejam aplicados aos espaços Banach. Embora o limite seja o mesmo que a continuidade de mapas lineares entre espaços normed, o termo "bounded" é mais comumente usado quando se trata principalmente de espaços Banach.

Se ${displaystyle f:Xto mathbb {R} }$ é uma função subadditiva (como uma norma, uma função sublinear ou funcional linear real), então $f$ é contínua na origem se e somente se $f$ é uniformemente contínuo em todos os $X$ ; e se em adição $f(0)=0$ então $f$ é contínuo se e somente se seu valor absoluto ${displaystyle |f|:Xto [0,infty)}$ é contínuo, o que acontece se e somente se $<math alttext="{displaystyle {xin X:|f(x)|(x\in \in X:|f(x)|<1?{displaystyle {xin X:|f(x)|<1}} <img alt="{displaystyle {xin X:|f(x)|$ é um subconjunto aberto de $X.$ E muito importante para aplicar o teorema de Hahn-Banach, um funcional linear $f$ é contínuo se e somente se isso for verdade de sua parte real ${displaystyle operatorname {Re} f}$ e além disso, ${displaystyle |operatorname {Re} f|=|f|}$ e a parte real ${displaystyle operatorname {Re} f}$ determina completamente $f,$ é por isso que o teorema de Hahn-Banach é frequentemente declarado apenas para funcionais reais lineares. Além disso, um funcional linear $f$ sobre $X$ é contínuo se e somente se o seminorm $|f|$ é contínuo, o que acontece se e somente se houver um seminormado contínuo ${displaystyle p:Xto mathbb {R} }$ tal que ${displaystyle |f|leq p}$ ; esta última declaração envolvendo o funcional linear $f$ e seminorm $p$ é encontrado em muitas versões do teorema de Hahn-Banach.

Noções básicas

O produto cartesiano $Xtimes Y$ de dois espaços normáticos não é canonicamente equipado com uma norma. No entanto, várias normas equivalentes são comumente usadas, como

{displaystyle |(x,y)|_{1}=|x|+|y|,qquad |(x,y)|_{infty }=max(|x|,|y|)}

Xtimes Y

{displaystyle Xoplus Y}

Se $M$ é um subespaço linear fechado de um espaço normal $X,$ há uma norma natural no espaço quociente ${displaystyle X/M,}$

{displaystyle |x+M|=inf limits _{min M}|x+m|.}

O quociente ${displaystyle X/M}$ é um espaço de Banach quando $X$ está completo. O mapa de citações a partir de $X$ sobre ${displaystyle X/M,}$ envio $xin X$ à sua classe ${displaystyle x+M,}$ é linear, sobre e tem norma $1,$ excepto quando ${displaystyle M=X,}$ em que caso o quociente é o espaço nulo.

O subespaço linear fechado $M$ de $X$ é dito ser um subespaço complementado de $X$ se $M$ é a gama de uma projeção linear limitada surjetiva ${displaystyle P:Xto M.}$ Neste caso, o espaço $X$ isomorfo para a soma direta de $M$ e ${displaystyle ker P,}$ o kernel da projeção $P.$

Suponha que $X$ e $Y$ são espaços de Banach e que ${displaystyle Tin B(X,Y).}$ Existe uma fatoração canônica de $T$ como

{displaystyle T=T_{1}circ pi T:X {overset {pi }{longrightarrow }} X/ker(T) {overset {T_{1}}{longrightarrow }} Y}

pi

T_{1}

{displaystyle x+ker T}

T(x)

{displaystyle Y.,}

T_{1}

{displaystyle X/ker T}

{displaystyle T(X),}

Espaços clássicos

Exemplos básicos de espaços de Banach incluem: os espaços Lp $L^{p}$ e seus casos especiais, os espaços de sequência $ell ^{p}$ que consistem em sequências escalares indexadas por números naturais $mathbb {N}$ ; entre eles, o espaço $ell ^{1}$ de sequências absolutamente sumamáveis e o espaço $ell ^{2}$ de sequências sonoras quadradas; o espaço $c_{0}$ de sequências tendendo a zero e o espaço ${displaystyle ell ^{infty }}$ de sequências limitadas; o espaço $C(K)$ de funções escalares contínuas em um espaço compacto Hausdorff $K,$ equipado com a norma máxima,

{displaystyle |f|_{C(K)}=max{|f(x)|:xin K},quad fin C(K).}

De acordo com o teorema de Banach-Mazur, cada espaço de Banach é isometicamente isomorfo para um subespaço de alguns ${displaystyle C(K).}$ Para cada espaço de Banach separável $X,$ há um subespaço fechado $M$ de $ell ^{1}$ tal que ${displaystyle X:=ell ^{1}/M.}$

Qualquer espaço de Hilbert serve como um exemplo de um espaço de Banach. Um espaço de Hilbert $H$ sobre ${displaystyle mathbb {K} =mathbb {R}mathbb {C} }$ é completo para uma norma da forma

{displaystyle |x|_{H}={sqrt {langle x,xrangle }},}

{displaystyle langle cdotcdot rangle:Htimes Hto mathbb {K} }

{displaystyle {begin{aligned}langle y,xrangle &={overline {langle x,yrangle }},quad {text{ for all }}x,yin H\langle x,xrangle &geq 0,quad {text{ for all }}xin H\langle x,xrangle =0{text{ if and only if }}x&=0.end{aligned}}}

Por exemplo, o espaço $L^{2}$ é um espaço de Hilbert.

Os espaços Hardy, os espaços Sobolev são exemplos de espaços Banach que estão relacionados com $L^{p}$ espaços e têm estrutura adicional. Eles são importantes em diferentes ramos de análise, análise harmônica e equações diferenciais parciais entre outros.

Álgebras de Banach

A Álgebra de Banach é um espaço de Banach $A$ sobre ${displaystyle mathbb {K} =mathbb {R} }$ ou ${displaystyle mathbb {C}}$ em conjunto com uma estrutura de álgebra sobre $mathbb {K}$ , tal que o mapa do produto ${displaystyle Atimes Ani (a,b)mapsto abin A}$ é contínuo. Uma norma equivalente sobre $A$ pode ser encontrado para ${displaystyle |ab|leq |a||b|}$ para todos ${displaystyle a,bin A.}$

Exemplos

O espaço de Banach $C(K)$ com o produto pontual, é uma álgebra de Banach.
A álgebra de disco ${displaystyle A(mathbf {D})}$ consiste em funções holomorphic no disco da unidade aberta ${displaystyle Dsubseteq mathbb {C} }$ e contínuo em seu fechamento: ${displaystyle {overline {mathbf {D} }}.}$ Equipado com a norma máx. ${displaystyle {overline {mathbf {D} }},}$ a álgebra de disco ${displaystyle A(mathbf {D})}$ é uma subalgebra fechada de ${displaystyle Cleft({overline {mathbf {D} }}right).}$
A álgebra de Wiener ${displaystyle A(mathbf {T})}$ é a álgebra das funções no círculo da unidade $mathbf {T}$ com série absolutamente convergente Fourier. Através do mapa associando uma função em $mathbf {T}$ para a sequência de seus coeficientes Fourier, esta álgebra é isomorfo para a álgebra de Banach ${displaystyle ell ^{1}(Z),}$ onde o produto é a convolução de sequências.
Para cada espaço de Banach $X,$ o espaço ${displaystyle B(X)}$ de operadores lineares limitados em $X,$ com a composição de mapas como produto, é uma álgebra de Banach.
A C*-algebra é uma álgebra complexa de Banach $A$ com uma involução antilinear $amapsto a^{*}$ tal que ${displaystyle left|a^{*}aright|=|a|^{2}.}$ O espaço $B(H)$ de operadores lineares limitados em um espaço de Hilbert $H$ é um exemplo fundamental da C*-algebra. O teorema de Gelfand-Naimark afirma que cada C*-algebra é isometicamente isomorfo para uma C*-subalgebra de alguns ${displaystyle B(H).}$ O espaço $C(K)$ de funções contínuas complexas em um espaço compacto Hausdorff $K$ é um exemplo de C*-algebra comutativa, onde a involução associa a cada função $f$ sua conjugação complexa ${displaystyle {overline {f}}.}$

Espaço duplo

Se $X$ é um espaço normal e $mathbb {K}$ o campo subjacente (sendo os números reais ou complexos), o espaço dual contínuo é o espaço de mapas lineares contínuos de $X$ para dentro ${displaystyle mathbb {K}}$ ou funcionais lineares contínuas. A notação para a dupla contínua é ${displaystyle X^{prime }=B(X,mathbb {K})}$ neste artigo. Desde então $mathbb {K}$ é um espaço Banach (usando o valor absoluto como norma), o dual ${displaystyle X^{prime }}$ é um espaço Banach, para cada espaço normalizado $X.$

A principal ferramenta para provar a existência de funcionais lineares contínuos é o teorema de Hahn–Banach.

Teorema de Hahn–Banach—Vamos. $X$ ser um espaço vetorial sobre o campo ${displaystyle mathbb {K} =mathbb {R}mathbb {C}.}$ Deixe mais

$Y subseteq X$ ser um subespaço linear,
${displaystyle p:Xto mathbb {R} }$ ser uma função sublinear e
${displaystyle f:Yto mathbb {K} }$ ser um funcional linear para que ${displaystyle operatorname {Re} (f(y))leq p(y)}$ para todos ${displaystyle yin Y.}$

Então, existe um funcional linear ${displaystyle F:Xto mathbb {K} }$ assim

{displaystyle F{big vert }_{Y}=f,quad {text{ and }}quad {text{ for all }}xin X, operatorname {Re} (F(x))leq p(x).}

Em particular, cada funcional linear contínuo em um subespaço de um espaço normático pode ser continuamente estendido para todo o espaço, sem aumentar a norma do funcional. Um caso especial importante é o seguinte: para cada vetor $x$ em um espaço normalizado $X,$ existe um funcional linear contínuo $f$ sobre $X$ tal que

{displaystyle f(x)=|x|_{X},quad |f|_{X^{prime }}leq 1.}

Quando $x$ não é igual ao $mathbf {0}$ vector, o funcional $f$ deve ter uma norma, e é chamado de norming funcional para $x.$

O teorema da separação de Hahn-Banach afirma que dois conjuntos convexos não vazios disjuntos em um espaço de Banach real, um deles aberto, podem ser separados por um hiperplano afim fechado. O conjunto convexo aberto fica estritamente em um lado do hiperplano, o segundo conjunto convexo fica do outro lado, mas pode tocar o hiperplano.

Um subconjunto $S$ em um espaço de Banach $X$ o total se a extensão linear de $S$ é densa em $X.$ O subconjunto $S$ é total em $X$ se e somente se o único funcional linear contínuo que desaparece $S$ é o $mathbf {0}$ funcional: esta equivalência segue do teorema de Hahn-Banach.

Se $X$ é a soma direta de dois subespaços lineares fechados $M$ e $N,$ então o dual ${displaystyle X^{prime }}$ de $X$ é isomorfo para a soma direta das duplas $M$ e ${displaystyle N.}$ Se $M$ é um subespaço linear fechado em $X,$ um pode associar o ortogonal de $M$ no dual,

{displaystyle M^{bot}=left{x^{prime }in X:x^{prime }(m)=0, {text{ for all }}min Mright}.}

O ortogonal ${displaystyle M^{bot }}$ é um subespaço linear fechado da dupla. A dupla de $M$ isometicamente isomorfo ${displaystyle X'/M^{bot }.}$ A dupla de ${displaystyle X/M}$ isometicamente isomorfo ${displaystyle M^{bot }.}$

O dual de um espaço de Banach separável não precisa ser separável, mas:

Teorem—Vamos. $X$ ser um espaço normal. Se $X'$ é separável, então $X$ é separável.

Quando $X'$ é separável, o critério acima para a totalidade pode ser usado para provar a existência de um subconjunto total contável em $X.$

Topologias fracas

O topologia fraca em um espaço de Banach $X$ é a topologia mais grosseira em $X$ para o qual todos os elementos ${displaystyle x^{prime }}$ no espaço duplo contínuo ${displaystyle X^{prime }}$ são contínuos. A topologia da norma é, portanto, mais fina do que a topologia fraca. Ele segue do teorema de separação Hahn-Banach que a topologia fraca é Hausdorff, e que um subconjunto convexo fechado de norma de um espaço Banach também é fracamente fechado. Um mapa linear contínuo de normas entre dois espaços Banach $X$ e $Y$ também fracamente contínuo, isto é, contínuo da topologia fraca de $X$ para o de $Y.$

Se $X$ é infinita-dimensional, existem mapas lineares que não são contínuos. O espaço $X^{*}$ de todos os mapas lineares de $X$ para o campo subjacente $mathbb {K}$ (este espaço $X^{*}$ é chamado de espaço duplo algébrica, para distingui-lo ${displaystyle X^{prime }}$ também induz uma topologia em $X$ que é mais fino do que a topologia fraca, e muito menos usado na análise funcional.

Em um espaço duplo ${displaystyle X^{prime },}$ há uma topologia mais fraca do que a topologia fraca de ${displaystyle X^{prime },}$ chamada topologia fraca*. É a topologia mais grosseira em ${displaystyle X^{prime }}$ para o qual todos os mapas de avaliação ${displaystyle x^{prime }in X^{prime }mapsto x^{prime }(x),}$ Onde? $x$ escalas sobre $X,$ são contínuos. Sua importância vem do teorema de Banach-Alaoglu.

Banach–Alaoglu teorema—Vamos. $X$ ser um espaço vetorial normal. Então a bola de unidade fechada ${displaystyle B=left{xin X:|x|leq 1right}}$ do espaço duplo é compacto na topologia fraca*.

O teorema de Banach-Alaoglu pode ser provado usando o teorema de Tychonoff sobre produtos infinitos de espaços Hausdorff compactos. Quando $X$ é separável, a bola da unidade $B^{{prime }}$ do dual é um compacto metrizável na topologia fraca*.

Exemplos de espaços duplos

A dupla de $c_{0}$ isometicamente isomorfo $ell ^{1}$ : para cada funcional linear limitado $f$ sobre ${displaystyle c_{0},}$ há um elemento único ${displaystyle y=left{y_{n}right}in ell ^{1}}$ tal que

{displaystyle f(x)=sum _{nin mathbb {N} }x_{n}y_{n},qquad x={x_{n}}in c_{0}, {text{and}} |f|_{(c_{0})'}=|y|_{ell _{1}}.}

A dupla de $ell ^{1}$ isometicamente isomorfo ${displaystyle ell ^{infty }}$ . O dual de espaço de Lebesgue ${displaystyle L^{p}([0,1])}$ isometicamente isomorfo ${displaystyle L^{q}([0,1])}$ quando $<math alttext="{displaystyle 1leq p1\leq \leq p<\infty \infty {displaystyle 1leq p<infty } <img alt="1 leq p$ e ${displaystyle {frac {1}{p}}+{frac {1}{q}}=1.}$

Para cada vetor $y$ em um espaço de Hilbert $H,$ o mapeamento

{displaystyle xin Hto f_{y}(x)=langle x,yrangle }

define um funcional linear contínuo $f_y$ sobre $H.$ O teorema da representação de Riesz afirma que todo funcional linear contínuo em $H$ é da forma $f_y$ para um vetor único definido $y$ em $H.$ O mapeamento ${displaystyle yin Hto f_{y}}$ é uma bijeção isométrica antilinear de $H$ para a sua dupla ${displaystyle H'.}$ Quando os escalares são reais, este mapa é um isomorfismo isométrico.

Quando $K$ é um espaço topológico Hausdorff compacto, o dual ${displaystyle M(K)}$ de $C(K)$ é o espaço de medidas Radon no sentido de Bourbaki. O subconjunto ${displaystyle P(K)}$ de ${displaystyle M(K)}$ consistindo em medidas não negativas de massa 1 (medidas de probabilidade) é um subconjunto de convexo w*-fechado da esfera unitária de ${displaystyle M(K).}$ Os pontos extremos de ${displaystyle P(K)}$ são as medidas de Dirac $K.$ O conjunto de medidas de Dirac $K,$ equipado com w*-topologia, é homeomorphic a $K.$

Banach–Stone Teorem—Se $K$ e $L$ são espaços Hausdorff compactos e se $C(K)$ e ${displaystyle C(L)}$ são isometralmente isomorfos, então os espaços topológicos $K$ e $L$ são homeomorfos.

O resultado foi estendido por Amir e Cambern para o caso quando a distância multiplicativa de Banach-Mazur entre $C(K)$ e ${displaystyle C(L)}$ o $<math alttext="{displaystyle <2.Não. <2. <img alt="{displaystyle$ O teorema não é mais verdadeiro quando a distância é ${displaystyle =2.}$

Na álgebra de Banach comutativa ${displaystyle C(K),}$ os ideais máximos são precisamente núcleos de medidas de Dirac sobre $K,$

{displaystyle I_{x}=ker delta _{x}={fin C(K):f(x)=0},quad xin K.}

Mais geralmente, pelo teorema de Gelfand-Mazur, os ideais máximos de uma álgebra de Banach comutativa unitária podem ser identificados com seus personagens - não apenas como conjuntos, mas como espaços topológicos: o primeiro com a topologia do casco e o último com a topologia w*. Nesta identificação, o espaço ideal máximo pode ser visto como um subconjunto W*-compact da bola unitária na dupla ${displaystyle A'.}$

Teorem—Se $K$ é um espaço Hausdorff compacto, então o espaço ideal máximo $Xi$ da álgebra de Banach $C(K)$ é homeomorfo para $K.$

Nem toda álgebra de Banach comutativa unitária é da forma $C(K)$ para algum espaço Hausdorff compacto $K.$ No entanto, esta declaração afirma se um lugar $C(K)$ na categoria menor de C*-algebras comutativas. O teorema de representação de Gelfand para C*-algebras comutativas afirma que cada unidade comutativa C*-algebra $A$ isometicamente isomorfose para um $C(K)$ espaço. O espaço compacto Hausdorff $K$ aqui é novamente o espaço ideal máximo, também chamado de espectro de $A$ no contexto C*-algebra.

Bidual

Se $X$ é um espaço normal, o (contínuo) dual $X''$ da dupla $X'$ é chamado lanceou segunda dupla de $X.$ Para cada espaço normalizado $X,$ há um mapa natural,

{displaystyle {begin{cases}F_{X}:Xto X''\F_{X}(x)(f)=f(x)&{text{ for all }}xin X,{text{ and for all }}fin X'end{cases}}}

Isso define $F_X(x)$ como um funcional linear contínuo ${displaystyle X^{prime },}$ isto é, um elemento de ${displaystyle X^{prime prime }.}$ O mapa ${displaystyle F_{X}:xto F_{X}(x)}$ é um mapa linear de $X$ para ${displaystyle X^{prime prime }.}$ Como consequência da existência de uma norma funcional $f$ para todos ${displaystyle xin X,}$ este mapa $F_{X}$ isométrico, assim injetável.

Por exemplo, o dual de ${displaystyle X=c_{0}}$ é identificado com ${displaystyle ell ^{1},}$ e o dual de $ell ^{1}$ é identificado com ${displaystyle ell ^{infty },}$ o espaço de sequências escalares limitadas. Sob estas identificações, $F_{X}$ é o mapa de inclusão de $c_{0}$ para ${displaystyle ell ^{infty }.}$ É de fato isométrico, mas não sobre.

Se $F_{X}$ é surjetivo, então o espaço normed $X$ é chamado reflexivo (veja abaixo). Sendo o dual de um espaço normático, o lance $X''$ é completo, portanto, cada espaço reflexivo e normático é um espaço Banach.

Usando a incorporação isométrica ${displaystyle F_{X},}$ é habitual considerar um espaço normal $X$ como um subconjunto do seu lance. Quando $X$ é um espaço Banach, é visto como um subespaço linear fechado ${displaystyle X^{prime prime }.}$ Se $X$ não é reflexivo, a bola unitária de $X$ é um subconjunto adequado da bola da unidade ${displaystyle X^{prime prime }.}$ O teorema de Goldstine afirma que a esfera unitária de um espaço normático é fracamente*-dense na esfera unitária do bidual. Em outras palavras, para cada $x''$ no bidual, existe uma rede ${displaystyle left(x_{i}right)_{iin I}}$ em $X$ assim

{displaystyle sup _{iin I}left|x_{i}right|leq |x''|, x''(f)=lim _{i}fleft(x_{i}right),quad fin X'.}

A rede pode ser substituída por uma sequência fracamente*-convergente quando a dupla $X'$ é separável. Por outro lado, elementos do lance de $ell ^{1}$ que não estão dentro $ell ^{1}$ não pode ser fraco*-limite de sequências em ${displaystyle ell ^{1},}$ desde então $ell ^{1}$ é fracamente sequencialmente completo.

Teoremas de Banach

Aqui estão os principais resultados gerais sobre os espaços de Banach que remontam à época do livro de Banach (Banach (1932)) e estão relacionados ao teorema da categoria de Baire. De acordo com este teorema, um espaço métrico completo (como um espaço de Banach, um espaço de Fréchet ou um espaço F) não pode ser igual a uma união de muitos subconjuntos contáveis fechados com interiores vazios. Portanto, um espaço de Banach não pode ser a união de muitos subespaços fechados contáveis, a menos que já seja igual a um deles; um espaço de Banach com uma base de Hamel contável é de dimensão finita.

Banach–Steinhaus Teorem—Vamos. $X$ ser um espaço Banach e $Y$ ser um espaço vetorial normal. Suponha que $F$ é uma coleção de operadores lineares contínuos de $X$ para $Y.$ O princípio uniforme de amarração afirma que, se para todos $x$ em $X$ nós temos $<math alttext="{displaystyle sup _{Tin F}|T(x)|_{Y}Vamos.T∈ ∈ F‖ ‖ T(x)‖ ‖ Y<∞ ∞ ,{displaystyle sup _{Tin F}|T(x)|_{Y}<infty}<img alt="{displaystyle sup _{Tin F}|T(x)|_{Y}$ então $<math alttext="{displaystyle sup _{Tin F}|T|_{Y}Vamos.T∈ ∈ F‖ ‖ T‖ ‖ Y<∞ ∞ .{displaystyle sup _{Tin F}|T|_{Y}<infty.}<img alt="{displaystyle sup _{Tin F}|T|_{Y}$

O teorema de Banach–Steinhaus não se limita aos espaços de Banach. Pode ser alargado, por exemplo, ao caso em que $X$ é um espaço Fréchet, desde que a conclusão seja modificada da seguinte forma: sob a mesma hipótese, existe um bairro $U$ de $mathbf {0}$ em $X$ tal que tudo $T$ em $F$ estão uniformemente ligados ${displaystyle U,}$

<math alttext="{displaystyle sup _{Tin F}sup _{xin U};|T(x)|_{Y}Vamos.T∈ ∈ FVamos.x∈ ∈ U‖ ‖ T(x)‖ ‖ Y<∞ ∞ .{displaystyle sup _{Tin F}sup _{xin U};|T(x)|_{Y}<infty.}<img alt="{displaystyle sup _{Tin F}sup _{xin U};|T(x)|_{Y}

O Teorema de Mapeamento Aberto—Vamos. $X$ e $Y$ ser espaços de Banach e ${displaystyle T:Xto Y}$ ser um operador linear contínuo subjetivo, então $T$ é um mapa aberto.

Colocação—Cada operador linear unidirecionado de um espaço Banach em um espaço Banach é um isomorfismo.

O primeiro teorema do Isomorfismo para espaços de Banach—Suponha que $X$ e $Y$ são espaços de Banach e que ${displaystyle Tin B(X,Y).}$ Suponha mais que o intervalo de $T$ está fechado $Y.$ Então... ${displaystyle X/ker T}$ isomorfo para ${displaystyle T(X).}$

Este resultado é uma consequência direta do teorema do isomorfismo de Banach anterior e da fatoração canônica de mapas lineares limitados.

Colocação—Se um espaço de Banach $X$ é a soma direta interna de subespaços fechados ${displaystyle M_{1},ldotsM_{n},}$ então $X$ isomorfo para ${displaystyle M_{1}oplus cdots oplus M_{n}.}$

Esta é outra consequência do teorema do isomorfismo de Banach, aplicado à bijeção contínua de ${displaystyle M_{1}oplus cdots oplus M_{n}}$ sobre $X$ envio ${displaystyle m_{1},cdotsm_{n}}$ para a soma ${displaystyle m_{1}+cdots +m_{n}.}$

O teorema do gráfico fechado—Vamos. ${displaystyle T:Xto Y}$ ser um mapeamento linear entre espaços Banach. O gráfico de $T$ está fechado $Xtimes Y$ se e somente se $T$ é contínuo.

Reflexividade

O espaço normal $X$ é chamado reflexivo quando o mapa natural

{displaystyle {begin{cases}F_{X}:Xto X''\F_{X}(x)(f)=f(x)&{text{ for all }}xin X,{text{ and for all }}fin X'end{cases}}}

Teorem—Se $X$ é um espaço de Banach reflexivo, cada subespaço fechado de $X$ e cada espaço quociente $X$ são reflexivos.

Esta é uma consequência do teorema de Hahn-Banach. Além disso, pelo teorema de mapeamento aberto, se houver um operador linear limitado do espaço Banach $X$ para o espaço de Banach $Y,$ então $Y$ é reflexivo.

Teorem—Se $X$ é um espaço Banach, então $X$ é reflexivo se e somente se ${displaystyle X^{prime }}$ é reflexivo.

Colocação—Vamos. $X$ ser um espaço de Banach reflexivo. Então... $X$ é separável se e somente se ${displaystyle X^{prime }}$ é separável.

De facto, se a dupla ${displaystyle Y^{prime }}$ de um espaço de Banach $Y$ é separável, então $Y$ é separável. Se $X$ é reflexivo e separável, então o dual de ${displaystyle X^{prime }}$ é separável, assim ${displaystyle X^{prime }}$ é separável.

Teorem—Suponha que $X_1, ldots, X_n$ são espaços normalizados e que ${displaystyle X=X_{1}oplus cdots oplus X_{n}.}$ Então... $X$ é reflexivo se e somente se cada $X_{j}$ é reflexivo.

Os espaços de Hilbert são reflexivos. O $L^{p}$ espaços são reflexivos quando $<math alttext="{displaystyle 1<p1<p<\infty \infty .{displaystyle 1<p<infty.} <img alt="{displaystyle 1<p$ Mais geralmente, espaços convexos uniformemente são reflexivos, pelo teorema de Milman–Pettis. Os espaços ${displaystyle c_{0},ell ^{1},L^{1}([0,1]),C([0,1])}$ não são reflexivos. Nestes exemplos de espaços não-reflexivos $X,$ o lance $X''$ é "muito maior" do que $X.$ Nomeadamente, sob a incorporação isométrica natural de $X$ para dentro $X''$ dada pelo teorema de Hahn-Banach, o quociente ${displaystyle X^{prime prime }/X}$ é infinita-dimensional, e até mesmo não separável. No entanto, Robert C. James construiu um exemplo de um espaço não-reflexivo, geralmente chamado de "o espaço de James" e denotado por ${displaystyle J,}$ tal que o quociente ${displaystyle J^{prime prime }/J}$ é unidimensional. Além disso, este espaço $J$ isometicamente isomorfo para o seu lance.

Teorem—Um espaço de Banach $X$ é reflexivo se e somente se sua bola unitária é compacta na topologia fraca.

Quando $X$ é reflexivo, segue-se que todos os subconjuntos convexos fechados e limitados de $X$ são fracamente compactos. Em um espaço de Hilbert $H,$ a compactação fraca da bola da unidade é muito frequentemente usada da seguinte maneira: cada sequência limitada em $H$ tem subsequências fracamente convergentes.

A compactação fraca da bola unitária fornece uma ferramenta para encontrar soluções em espaços reflexivos para certos problemas de otimização. Por exemplo, cada função contínua convexa na bola da unidade $B$ de um espaço reflexivo atinge seu mínimo em algum ponto em $B.$

Como um caso especial do resultado precedente, quando $X$ é um espaço reflexivo sobre ${displaystyle mathbb {R}}$ cada funcional linear contínuo $f$ em ${displaystyle X^{prime }}$ atinge seu máximo ${displaystyle |f|}$ na bola da unidade $X.$ O seguinte teorema de Robert C. James fornece uma declaração conversa.

James Theorem—Para um espaço Banach as duas propriedades seguintes são equivalentes:

$X$ é reflexivo.
para todos $f$ em ${displaystyle X^{prime }}$ existe $xin X$ com ${displaystyle |x|leq 1,}$ assim ${displaystyle f(x)=|f|.}$

O teorema pode ser estendido para dar uma caracterização de conjuntos convexos fracamente compactos.

Em cada espaço de Banach não-reflexivo $X,$ existem funcionais lineares contínuas que não são manutenção da norma. No entanto, o teorema Bishop-Phelps afirma que os funcionais de manutenção da norma são densos na dupla ${displaystyle X^{prime }}$ de $X.$

Fraca convergência de sequências

Uma sequência ${displaystyle left{x_{n}right}}$ em um espaço de Banach $X$ o fracamente convergente para um vetor $xin X$ se ${displaystyle left{fleft(x_{n}right)right}}$ converge para $f(x)$ para cada funcional linear contínuo $f$ na dupla ${displaystyle X^{prime }.}$ A sequência ${displaystyle left{x_{n}right}}$ é um sequência fracamente Cauchy se ${displaystyle left{fleft(x_{n}right)right}}$ converge para um limite escalar ${displaystyle L(f),,}$ para todos $f$ em ${displaystyle X^{prime }.}$ Uma sequência ${displaystyle left{f_{n}right}}$ na dupla ${displaystyle X^{prime }}$ o fraco* convergente a um funcional ${displaystyle fin X^{prime }}$ se $f_{n}(x)$ converge para $f(x)$ para todos $x$ em $X.$ Fracamente seqüências de Cauchy, fracamente convergentes e fracamente* seqüências convergentes são normas limitadas, como consequência do teorema de Banach–Steinhaus.

Quando a sequência ${displaystyle left{x_{n}right}}$ em $X$ é uma sequência fracamente Cauchy, o limite $L$ acima define um funcional linear limitado no dual ${displaystyle X^{prime },}$ isto é, um elemento $L$ do lance de $X,$ e $L$ é o limite de ${displaystyle left{x_{n}right}}$ no fraco*-topologia do lance. O espaço de Banach $X$ o fracamente sequencialmente completo se cada sequência fracamente Cauchy é fracamente convergente em $X.$ Resulta da discussão anterior que os espaços reflexivos são fracamente sequencialmente completos.

Teorem —Para cada medida $mu$ o espaço $L^1(mu)$ é fracamente sequencialmente completo.

Uma sequência ortonormal em um espaço de Hilbert é um exemplo simples de uma sequência fracamente convergente, com limite igual ao $mathbf {0}$ vector. A base vetorial da unidade $ell ^{p}$ para $<math alttext="{displaystyle 1<p1<p<\infty \infty ,{displaystyle 1<p<infty} <img alt="{displaystyle 1<p$ ou de ${displaystyle c_{0},}$ é outro exemplo de um sequência fracamente nula, isto é, uma sequência que converge fracamente para ${displaystyle mathbf {0}.}$ Para cada sequência fracamente nula em um espaço de Banach, existe uma sequência de combinações convexas de vetores da dada sequência que é norma-convergente para ${displaystyle mathbf {0}.}$

A base vetorial da unidade $ell ^{1}$ não é fracamente Cauchy. Fracamente seqüências de Cauchy em $ell ^{1}$ são fracamente convergentes, uma vez que $L^{1}$ - Os espaços são fracamente sequencialmente completos. Na verdade, seqüências fracamente convergentes em $ell ^{1}$ são normas convergentes. Isso significa que $ell ^{1}$ satisfaz a propriedade de Schur.

Resultados envolvendo o ℓ 1 {displaystyle ell ^{1}} base

Fracamente seqüências Cauchy e o $ell ^{1}$ base são os casos opostos da dicotomia estabelecida no seguinte resultado profundo de H. P. Rosenthal.

Teorem—Vamos. ${displaystyle left{x_{n}right}_{nin mathbb {N} }}$ ser uma sequência limitada em um espaço Banach. Ou ${displaystyle left{x_{n}right}_{nin mathbb {N} }}$ tem uma subsequência fracamente Cauchy, ou admite uma subseqüência equivalente à base vetorial unitária padrão ${displaystyle ell ^{1}.}$

Um complemento a esse resultado se deve a Odell e Rosenthal (1975).

Teorem—Vamos. $X$ ser um espaço Banach separável. Os seguintes são equivalentes:

O espaço $X$ não contém uma isomorfose subespacial fechada a ${displaystyle ell ^{1}.}$
Cada elemento do lance $X''$ é o limite fraco* de uma sequência ${displaystyle left{x_{n}right}}$ em $X.$

Pelo teorema Goldstine, cada elemento da bola unitária $B^{{prime prime }}$ de ${displaystyle X^{prime prime }}$ é fraco*-limite de uma rede na bola unitária de $X.$ Quando $X$ não contém ${displaystyle ell ^{1},}$ cada elemento de $B^{{prime prime }}$ é fraco*-limite de um sequência na bola da unidade $X.$

Quando o espaço de Banach $X$ é separável, a bola da unidade da dupla ${displaystyle X^{prime },}$ equipado com o fraco*-topologia, é um espaço compacto metrizável $K,$ e cada elemento ${displaystyle x^{prime prime }}$ no lance ${displaystyle X^{prime prime }}$ define uma função limitada em $K$ :

{displaystyle x'in Kmapsto x''(x'),quad left|x''(x')right|leq left|x''right|.}

Esta função é contínua para a topologia compacta de $K$ se e somente se ${displaystyle x^{prime prime }}$ na verdade $X,$ considerado como subconjunto de ${displaystyle X^{prime prime }.}$ Assuma além do resto do parágrafo que $X$ não contém ${displaystyle ell ^{1}.}$ Pelo resultado anterior de Odell e Rosenthal, a função ${displaystyle x^{prime prime }}$ é o limite pontual em $K$ de uma sequência ${displaystyle left{x_{n}right}subseteq X}$ de funções contínuas em $K,$ é, portanto, uma primeira função de classe Baire em $K.$ A bola unitária do bidual é um subconjunto compacto pontual da primeira classe Baire em $K.$

Sequências, compactação fraca e fraca*

Quando $X$ é separável, a bola unitária do dual é fraca*-compacto pelo teorema de Banach-Alaoglu e metrizável para a topologia fraca*, daí que cada sequência limitada no dual tem subsequências convergentes fracamente*. Isso se aplica a espaços reflexivos separáveis, mas mais é verdade neste caso, como indicado abaixo.

A topologia fraca de um espaço de Banach $X$ é metrizável se e somente se $X$ é finito-dimensional. Se o dual $X'$ é separável, a topologia fraca da bola unitária de $X$ é metrizável. Isto aplica-se em particular aos espaços de Banach reflexivos separáveis. Embora a topologia fraca da bola unitária não seja metrizável em geral, pode-se caracterizar a compactação fraca usando sequências.

Teorema de Eberlein–Šmulian—Um conjunto $A$ em um espaço Banach é relativamente fracamente compacto se e somente se cada sequência ${displaystyle left{a_{n}right}}$ em $A$ tem uma subsequência fracamente convergente.

Um espaço de Banach $X$ é reflexivo se e somente se cada sequência limitada em $X$ tem uma subsequência fracamente convergente.

Um subconjunto fracamente compacto $A$ em $ell ^{1}$ é normal. Na verdade, cada sequência em $A$ tem subsequências fracamente convergentes por Eberlein–Šmulian, que são norma convergente pela propriedade Schur de ${displaystyle ell ^{1}.}$

Bases de Schauder

A Base de Schauder em um espaço de Banach $X$ é uma sequência ${displaystyle left{e_{n}right}_{ngeq 0}}$ de vetores em $X$ com a propriedade que para cada vetor ${displaystyle xin X,}$ existe únicamente escalares definidos ${displaystyle left{x_{n}right}_{ngeq 0}}$ dependendo $x,$ tal que

{displaystyle x=sum _{n=0}^{infty }x_{n}e_{n},quad {textit {i.e.,}}quad x=lim _{n}P_{n}(x), P_{n}(x):=sum _{k=0}^{n}x_{k}e_{k}.}

Espaços de Banach com uma base de Schauder são necessariamente separáveis, porque o conjunto contável de combinações lineares finitas com coeficientes racionais (digamos) é denso.

Segue do teorema de Banach-Steinhaus que os mapeamentos lineares ${displaystyle left{P_{n}right}}$ são uniformemente limitados por alguma constante ${displaystyle C.}$ Vamos. ${displaystyle left{e_{n}^{*}right}}$ denote as funções de coordenadas que atribuem a cada $x$ em $X$ a coordenada $x_{n}$ de $x$ na expansão acima. Eles são chamados funcionais biorthogonais. Quando os vetores de base têm norma $1,$ as funções de coordenadas ${displaystyle left{e_{n}^{*}right}}$ tem norma ${displaystyle ,leq 2C}$ na dupla de $X.$

A maioria dos espaços separáveis clássicos têm bases explícitas. O sistema Haar ${displaystyle left{h_{n}right}}$ é uma base para $<math alttext="{displaystyle L^{p}([0,1]),1leq pLp(Não.0,1]),1≤ ≤ p<∞ ∞ .([0,1]),1leq p<infty.}<img alt="{displaystyle L^{p}([0,1]),1leq p$ O sistema trigonométrico é uma base em ${displaystyle L^{p}(mathbf {T})}$ quando $<math alttext="{displaystyle 1<p1<p<\infty \infty .{displaystyle 1<p<infty.} <img alt="{displaystyle 1<p$ O sistema Schauder é uma base no espaço ${displaystyle C([0,1]).}$ A questão de se a álgebra de disco ${displaystyle A(mathbf {D})}$ tem uma base permaneceu aberta por mais de quarenta anos, até Bočkarev mostrou em 1974 que ${displaystyle A(mathbf {D})}$ admite uma base construída a partir do sistema Franklin.

Desde cada vector $x$ em um espaço de Banach $X$ com uma base é o limite de ${displaystyle P_{n}(x),}$ com $P_{n}$ de posição finita e uniformemente limitado, o espaço $X$ satisfaz a propriedade de aproximação limitada. O primeiro exemplo de Enflo de um espaço que falha na propriedade de aproximação foi ao mesmo tempo o primeiro exemplo de um espaço Banach separável sem uma base Schauder.

Robert C. James caracterizou a reflexividade em espaços de Banach com uma base: o espaço $X$ com uma base de Schauder é reflexiva se e somente se a base estiver encolher e limitadomente completo. Neste caso, as funções biorthogonais formam uma base do dual de $X.$

Produto tensor

Vamos. $X$ e $Y$ ser dois $mathbb {K}$ - Espaços de vencedores. O produto tensor $Xotimes Y$ de $X$ e $Y$ é um $mathbb {K}$ - Espaço de receptor $Z$ com um mapeamento bilinear ${displaystyle T:Xtimes Yto Z}$ que tem a seguinte propriedade universal:

{displaystyle T_{1}:Xtimes Yto Z_{1}}

é qualquer mapeamento bilinear em um

mathbb {K}

- Espaço de receptor

{displaystyle Z_{1},}

então existe um mapeamento linear único

{displaystyle f:Zto Z_{1}}

tal que

{displaystyle T_{1}=fcirc T.}

A imagem abaixo $T$ de um casal $(x,y)$ em $Xtimes Y$ é denotado por ${displaystyle xotimes y,}$ e chamado de Tensor simples. Cada elemento $z$ em $Xotimes Y$ é uma soma finita de tais tensores simples.

Existem várias normas que podem ser colocadas no produto tensorial dos espaços vetoriais subjacentes, entre outras a norma cruzada projetiva e a norma cruzada injetiva introduzidas por A. Grothendieck em 1955.

Em geral, o produto tensor de espaços completos não está completo novamente. Ao trabalhar com espaços Banach, é costume dizer que o produto tensor projetivo de dois espaços de Banach $X$ e $Y$ é o conclusão $X{widehat {otimes }}_{pi }Y$ do produto tensor algébrica $Xotimes Y$ equipado com a norma tensor projetiva, e igualmente para o produto tensor injetável ${displaystyle X{widehat {otimes }}_{varepsilon }Y.}$ Grothendieck provou em particular que

{displaystyle {begin{aligned}C(K){widehat {otimes }}_{varepsilon }Y&simeq C(K,Y),\L^{1}([0,1]){widehat {otimes }}_{pi }Y&simeq L^{1}([0,1],Y),end{aligned}}}

K

{displaystyle C(K,Y)}

K

Y

{displaystyle L^{1}([0,1],Y)}

[0,1]

Y,

{displaystyle fotimes y}

{displaystyle sin Kto f(s)yin Y.}

Produtos tensoriais e a propriedade de aproximação

Vamos. $X$ ser um espaço Banach. O produto tensor $X'{widehat {otimes }}_{varepsilon }X$ é identificado isometricamente com o fechamento em ${displaystyle B(X)}$ do conjunto de operadores de classificação finitas. Quando $X$ tem a propriedade de aproximação, este fechamento coincide com o espaço de operadores compactos em $X.$

Para cada espaço de Banach $Y,$ há uma norma natural $1$ mapa linear

{displaystyle Y{widehat {otimes }}_{pi }Xto Y{widehat {otimes }}_{varepsilon }X}

Y

X.

X,

{displaystyle X'{widehat {otimes }}_{pi }X longrightarrow X'{widehat {otimes }}_{varepsilon }X}

X

Grothendieck conjecturou que $X{widehat {otimes }}_{pi }Y$ e $X{widehat {otimes }}_{varepsilon }Y$ deve ser diferente sempre que $X$ e $Y$ são espaços Banach de dimensão infinita. Isso foi reprovado por Gilles Pisier em 1983. Pisier construiu um espaço Banach de dimensão infinita $X$ tal que $X{widehat {otimes }}_{pi }X$ e $X{widehat {otimes }}_{varepsilon }X$ são iguais. Além disso, assim como o exemplo de Enflo, este espaço $X$ é um espaço "hand-made" que não tem a propriedade de aproximação. Por outro lado, Szankowski provou que o espaço clássico ${displaystyle Bleft(ell ^{2}right)}$ não tem a propriedade de aproximação.

Alguns resultados da classificação

Caracterizações do espaço de Hilbert entre os espaços de Banach

Uma condição necessária e suficiente para a norma de um espaço de Banach $X$ estar associado a um produto interno é a identidade do paralelograma:

Identificação do paralelograma—para todos ${displaystyle x,yin X:qquad |x+y|^{2}+|x-y|^{2}=2left(|x|^{2}+|y|^{2}right).}$

Segue-se, por exemplo, que o espaço Lebesgue ${displaystyle L^{p}([0,1])}$ é um espaço de Hilbert apenas quando ${displaystyle p=2.}$ Se esta identidade estiver satisfeita, o produto interno associado é dado pela identidade de polarização. No caso de escalares reais, isso dá:

{displaystyle langle x,yrangle ={tfrac {1}{4}}left(|x+y|^{2}-|x-y|^{2}right).}

Para escalares complexos, definindo o produto interno para ser $mathbb{C}$ -linear em $x,$ anti-linear em $y,$ a identidade de polarização dá:

{displaystyle langle x,yrangle ={tfrac {1}{4}}left(|x+y|^{2}-|x-y|^{2}+ileft(|x+iy|^{2}-|x-iy|^{2}right)right).}

Para ver que a lei do paralelograma é suficiente, observa-se no caso real que $langle x, y rangle$ é simétrico, e no caso complexo, que satisfaz a propriedade da simetria hermitiana e ${displaystyle langle ix,yrangle =ilangle x,yrangle.}$ A lei do paralelograma implica que $langle x, y rangle$ é aditivo em $x.$ Segue-se que é linear sobre as racionais, assim linear por continuidade.

Existem várias caracterizações de espaços isomorfos (em vez de isométricos) para os espaços de Hilbert. A lei do paralelograma pode ser estendida para mais de dois vetores, e enfraquecida pela introdução de uma desigualdade de dois lados com uma constante ${displaystyle cgeq 1}$ : Kwapień provou que se

{displaystyle c^{-2}sum _{k=1}^{n}left|x_{k}right|^{2}leq operatorname {Ave} _{pm }left|sum _{k=1}^{n}pm x_{k}right|^{2}leq c^{2}sum _{k=1}^{n}left|x_{k}right|^{2}}

n

{displaystyle left{x_{1},ldotsx_{n}right}subseteq X,}

X

{displaystyle operatorname {Ave} _{pm }}

2^{n}

{displaystyle pm 1.}

Lindenstrauss e Tzafriri provaram que um espaço de Banach em que cada subespaço linear fechado é complementado (isto é, é a gama de uma projeção linear limitada) é isomorfo para um espaço de Hilbert. A prova repousa sobre o teorema de Dvoretzky sobre seções euclidianas de corpos convexos simétricos centralmente de alta dimensão. Em outras palavras, o teorema de Dvoretzky afirma que para cada inteiro ${displaystyle n,}$ qualquer espaço normal finito-dimensional, com dimensão suficientemente grande em comparação com ${displaystyle n,}$ contém subespaços quase isométricos para o $n$ -dimensional Espaço euclidiano.

O próximo resultado dá a solução do chamado problema de espaço homogêneo. Um espaço Banach de dimensão infinita $X$ é dito para ser homogêneo se for isomorfo para todos os seus subespaços fechados de dimensão infinita. Um espaço de Banach isomorfo para $ell ^{2}$ é homogêneo, e Banach pediu o converso.

Teorem—Um espaço de Banach isomorfo para todos os seus subespaços fechados de dimensão infinita é isomorfo para um espaço de Hilbert separável.

Um espaço Banach de dimensão infinita é indecomponível hereditária quando nenhum subespaço dele pode ser isomorfo para a soma direta de dois espaços de Banach infinita-dimensional. O teorema da dicotomia de Gowers afirma que todo espaço de Banach infinita-dimensional $X$ contém, ou um subespaço $Y$ com base incondicional, ou um subespaço hereditário indecomponível $Z,$ e em particular, $Z$ não é isomorfo para seus hiperplanes fechados. Se $X$ é homogênea, portanto, deve ter uma base incondicional. Segue-se então a partir da solução parcial obtida por Komorowski e Tomczak-Jaegermann, para espaços com base incondicional, que $X$ isomorfo para ${displaystyle ell ^{2}.}$

Classificação de métricas

Se ${displaystyle T:Xto Y}$ é uma isometria do espaço Banach $X$ para o espaço de Banach $Y$ (onde ambos $X$ e $Y$ são espaços vetoriais $mathbb {R}$ ), então o teorema Mazur–Ulam afirma que $T$ deve ser uma transformação affine. Em particular, se ${displaystyle T(0_{X})=0_{Y},}$ Isto é... $T$ mapeia o zero de $X$ para o zero de $Y,$ então $T$ deve ser linear. Este resultado implica que a métrica em espaços de Banach, e mais geralmente em espaços normáticos, capta completamente sua estrutura linear.

Classificação topológica

Os espaços de Banach de dimensão finita são homeomorfos como espaços topológicos, se e somente se tiverem a mesma dimensão que os espaços vetoriais reais.

O teorema de Anderson–Kadec (1965–66) prova que quaisquer dois espaços de Banach separáveis de dimensão infinita são homeomorfos como espaços topológicos. O teorema de Kadec foi estendido por Torunczyk, que provou que quaisquer dois espaços de Banach são homeomorfos se e somente se eles tiverem o mesmo caráter de densidade, a cardinalidade mínima de um subconjunto denso.

Espaços de funções contínuas

Quando dois espaços Hausdorff compactos $K_{1}$ e $K_{2}$ são homeomorfos, os espaços de Banach ${displaystyle Cleft(K_{1}right)}$ e ${displaystyle Cleft(K_{2}right)}$ são isométricos. Por outro lado, quando $K_{1}$ não é homeomorfo para ${displaystyle K_{2},}$ a distância (multiplicativa) Banach–Mazur entre ${displaystyle Cleft(K_{1}right)}$ e ${displaystyle Cleft(K_{2}right)}$ deve ser maior ou igual a ${displaystyle 2,}$ ver acima os resultados de Amir e Cambern. Embora espaços métricos compactos incontáveis possam ter diferentes tipos de homeomorfos, um tem o seguinte resultado devido a Milutin:

Teorem—Vamos. $K$ ser um espaço métrico compacto incontável. Então... $C(K)$ isomorfo para ${displaystyle C([0,1]).}$

A situação é diferente para espaços Hausdorff compactos contáveis. Cada compacto contavelmente infinito $K$ é homeomorfo para algum intervalo fechado de números ordinais

{displaystyle langle 1,alpha rangle ={gamma : 1leq gamma leq alpha }}

alpha

C(K)

C (em inglês) α ⟩)

alphabeta

{displaystyle alpha leq beta}

C (em inglês) α ⟩)

C (em inglês) β ⟩)

β < α ω

{displaystyle C(langle 1,omega rangle), C(langle 1,omega ^{omega }rangle), C(langle 1,omega ^{omega ^{2}}rangle), C(langle 1,omega ^{omega ^{3}}rangle),cdotsC(langle 1,omega ^{omega ^{omega }}rangle),cdots }

Exemplos

Glossário de símbolos da tabela abaixo:

$mathbb {F}$ denota o campo dos números reais $mathbb {R}$ ou números complexos ${displaystyle mathbb {C}.}$
$K$ é um espaço Hausdorff compacto.
${displaystyle p,qin mathbb {R} }$ são números reais com $<math alttext="{displaystyle 1<p,q1<p,q<\infty \infty {displaystyle 1<p,q<infty } <img alt="{displaystyle 1<p,q$ que são Hölder conjuga, o que significa que eles satisfazem ${displaystyle {frac {1}{q}}+{frac {1}{p}}=1}$ e assim também ${displaystyle q={frac {p}{p-1}}.}$
$Sigma$ é um $sigma$ - Álcool de conjuntos.
$Xi$ é uma álgebra de conjuntos (para espaços que exigem apenas aditividade finita, como o espaço ba).
$mu$ é uma medida com variação ${displaystyle |mu |.}$ Uma medida positiva é uma função definida positiva de valor real definida em uma $sigma$ - álgebra que é contável aditivo.

	Dual space	Reflexive	weakly sequentially complete	Norm		Notes
Classical Banach spaces
${mathbb {F}}^{n}$	${mathbb {F}}^{n}$	Yes	Yes	$\|x\|_{2}$	${displaystyle =left(sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}right)^{1/2}}$	Euclidean space
${displaystyle ell _{p}^{n}}$	${displaystyle ell _{q}^{n}}$	Yes	Yes	${displaystyle \|x\|_{p}}$	${displaystyle =left(sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{p}right)^{frac {1}{p}}}$
${displaystyle ell _{infty }^{n}}$	${displaystyle ell _{1}^{n}}$	Yes	Yes	${displaystyle \|x\|_{infty }}$	${displaystyle =max nolimits _{1leq ileq n}\|x_{i}\|}$
$ell ^{p}$	$ell ^{q}$	Yes	Yes	${displaystyle \|x\|_{p}}$	${displaystyle =left(sum _{i=1}^{infty }\|x_{i}\|^{p}right)^{frac {1}{p}}}$
$ell ^{1}$	${displaystyle ell ^{infty }}$	No	Yes	${displaystyle \|x\|_{1}}$	${displaystyle =sum _{i=1}^{infty }left\|x_{i}right\|}$
${displaystyle ell ^{infty }}$	${displaystyle operatorname {ba} }$	No	No	${displaystyle \|x\|_{infty }}$	${displaystyle =sup nolimits _{i}left\|x_{i}right\|}$
${displaystyle operatorname {c} }$	$ell ^{1}$	No	No	${displaystyle \|x\|_{infty }}$	${displaystyle =sup nolimits _{i}left\|x_{i}right\|}$
$c_{0}$	$ell ^{1}$	No	No	${displaystyle \|x\|_{infty }}$	${displaystyle =sup nolimits _{i}left\|x_{i}right\|}$	Isomorphic but not isometric to $c.$
${displaystyle operatorname {bv} }$	${displaystyle ell ^{infty }}$	No	Yes	${displaystyle \|x\|_{bv}}$	${displaystyle =left\|x_{1}right\|+sum _{i=1}^{infty }left\|x_{i+1}-x_{i}right\|}$	Isometrically isomorphic to ${displaystyle ell ^{1}.}$
${displaystyle operatorname {bv} _{0}}$	${displaystyle ell ^{infty }}$	No	Yes	${displaystyle \|x\|_{bv_{0}}}$	${displaystyle =sum _{i=1}^{infty }left\|x_{i+1}-x_{i}right\|}$	Isometrically isomorphic to ${displaystyle ell ^{1}.}$
${displaystyle operatorname {bs} }$	${displaystyle operatorname {ba} }$	No	No	${displaystyle \|x\|_{bs}}$	${displaystyle =sup nolimits _{n}left\|sum _{i=1}^{n}x_{i}right\|}$	Isometrically isomorphic to ${displaystyle ell ^{infty }.}$
${displaystyle operatorname {cs} }$	$ell ^{1}$	No	No	${displaystyle \|x\|_{bs}}$	${displaystyle =sup nolimits _{n}left\|sum _{i=1}^{n}x_{i}right\|}$	Isometrically isomorphic to $c.$
${displaystyle B(K,Xi)}$	${displaystyle operatorname {ba} (Xi)}$	No	No	${displaystyle \|f\|_{B}}$	${displaystyle =sup nolimits _{kin K}\|f(k)\|}$
$C(K)$	${displaystyle operatorname {rca} (K)}$	No	No	${displaystyle \|x\|_{C(K)}}$	${displaystyle =max nolimits _{kin K}\|f(k)\|}$
${displaystyle operatorname {ba} (Xi)}$	?	No	Yes	${displaystyle \|mu \|_{ba}}$	${displaystyle =sup nolimits _{Sin Sigma }\|mu \|(S)}$
${displaystyle operatorname {ca} (Sigma)}$	?	No	Yes	${displaystyle \|mu \|_{ba}}$	${displaystyle =sup nolimits _{Sin Sigma }\|mu \|(S)}$	A closed subspace of ${displaystyle operatorname {ba} (Sigma).}$
${displaystyle operatorname {rca} (Sigma)}$	?	No	Yes	${displaystyle \|mu \|_{ba}}$	${displaystyle =sup nolimits _{Sin Sigma }\|mu \|(S)}$	A closed subspace of ${displaystyle operatorname {ca} (Sigma).}$
${displaystyle L^{p}(mu)}$	${displaystyle L^{q}(mu)}$	Yes	Yes	${displaystyle \|f\|_{p}}$	${displaystyle =left(int \|f\|^{p},dmu right)^{frac {1}{p}}}$
$L^1(mu)$	${displaystyle L^{infty }(mu)}$	No	Yes	${displaystyle \|f\|_{1}}$	${displaystyle =int \|f\|,dmu }$	The dual is ${displaystyle L^{infty }(mu)}$ if $mu$ is $sigma$ -finite.
${displaystyle operatorname {BV} ([a,b])}$	?	No	Yes	${displaystyle \|f\|_{BV}}$	${displaystyle =V_{f}([a,b])+lim nolimits _{xto a^{+}}f(x)}$	${displaystyle V_{f}([a,b]).}$ is the total variation of $f$
${displaystyle operatorname {NBV} ([a,b])}$	?	No	Yes	${displaystyle \|f\|_{BV}}$	${displaystyle =V_{f}([a,b])}$	${displaystyle operatorname {NBV} ([a,b])}$ consists of ${displaystyle operatorname {BV} ([a,b])}$ functions such that ${displaystyle lim nolimits _{xto a^{+}}f(x)=0}$
${displaystyle operatorname {AC} ([a,b])}$	${displaystyle mathbb {F} +L^{infty }([a,b])}$	No	Yes	${displaystyle \|f\|_{BV}}$	${displaystyle =V_{f}([a,b])+lim nolimits _{xto a^{+}}f(x)}$	Isomorphic to the Sobolev space ${displaystyle W^{1,1}([a,b]).}$
${displaystyle C^{n}([a,b])}$	${displaystyle operatorname {rca} ([a,b])}$	No	No	${displaystyle \|f\|}$	${displaystyle =sum _{i=0}^{n}sup nolimits _{xin [a,b]}left\|f^{(i)}(x)right\|}$	Isomorphic to ${displaystyle mathbb {R} ^{n}oplus C([a,b]),}$ essentially by Taylor's theorem.

Derivados

Vários conceitos de uma derivada podem ser definidos em um espaço de Banach. Consulte os artigos sobre a derivada de Fréchet e a derivada de Gateaux para obter detalhes. A derivada de Fréchet permite uma extensão do conceito de derivada total para espaços de Banach. A derivada Gateaux permite uma extensão de uma derivada direcional para espaços vetoriais topológicos localmente convexos. A diferenciabilidade de Fréchet é uma condição mais forte do que a diferenciabilidade de Gateaux. A quase-derivada é outra generalização da derivada direcional que implica uma condição mais forte que a diferenciabilidade de Gateaux, mas uma condição mais fraca que a diferenciabilidade de Fréchet.

Generalizações

Vários espaços importantes na análise funcional, por exemplo, o espaço de todas as funções infinitamente muitas vezes diferenciadas ${displaystyle mathbb {R} to mathbb {R}}$ ou o espaço de todas as distribuições em ${displaystyle mathbb {R}}$ são completos, mas não são espaços vetoriais normalizados e, portanto, não espaços de Banach. Nos espaços Fréchet ainda há uma métrica completa, enquanto os espaços LF são espaços vetoriais uniformes completos que surgem como limites dos espaços Fréchet.

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