Eliminação bicondicional

Eliminação bicondicional é o nome de duas regras válidas de inferência da lógica proposicional. Permite que um infera um condicional de um bicondicional. Se P↔ ↔ QNão. Pleftrightarrow Q} é verdade, então pode-se inferir que P→ → QNão. Pto Q. é verdade, e também que Q→ → PNão. Qto P} é verdade. Por exemplo, se é verdade que eu estou respirando se e somente se eu estiver vivo, então é verdade que se eu estiver respirando, eu estou vivo; do mesmo modo, é verdade que se eu estiver vivo, eu estou respirando. As regras podem ser declaradas formalmente como:

P↔ ↔ Q∴ ∴ P→ → Q(Pleftrightarrow Q) Pto Q}}}

e

P↔ ↔ Q∴ ∴ Q→ → P(Pleftrightarrow Q) Qto P}}}

onde a regra é que onde quer que uma instância de "P↔ ↔ QNão. Pleftrightarrow Q}" aparece numa linha de prova, ou "P→ → QNão. Pto Q."ou "Q→ → PNão. Qto P}" pode ser colocado em uma linha subsequente;

Notação formal

A regra de eliminação bicondicional pode ser escrita em notação sequencial:

(P↔ ↔ Q)? ? (P→ → Q)(Pleftrightarrow Q)vdash (Pto Q)}

e

(P↔ ↔ Q)? ? (Q→ → P)(Pleftrightarrow Q)vdash (Qto P)}

Onde? ? ? - Sim. é um símbolo metalógico que significa que P→ → QNão. Pto Q., no primeiro caso, e Q→ → PNão. Qto P} no outro são consequências sintáticas de P↔ ↔ QNão. Pleftrightarrow Q} em algum sistema lógico;

ou como a declaração de uma tautologia verofuncional ou teorema da lógica proposicional:

(P↔ ↔ Q)→ → (P→ → Q)(Pleftrightarrow Q)to (Pto Q)}

(P↔ ↔ Q)→ → (Q→ → P)(Pleftrightarrow Q)to (Qto P)}

Onde? PNão. P.e QNão. são proposições expressas em algum sistema formal.