Domínio euclidiano

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Na matemática, mais especificamente na teoria dos anéis, um domínio euclidiano (também chamado de anel euclidiano) é um domínio integral que pode ser dotado de uma função euclidiana que permite uma generalização adequada da divisão euclidiana de inteiros. Esse algoritmo euclidiano generalizado pode ser usado para muitos dos mesmos usos do algoritmo original de Euclides no anel de inteiros: em qualquer domínio euclidiano, pode-se aplicar o algoritmo euclidiano para calcular o máximo divisor comum de quaisquer dois elementos. Em particular, o máximo divisor comum de quaisquer dois elementos existe e pode ser escrito como uma combinação linear deles (a identidade de Bézout). Além disso, todo ideal em um domínio euclidiano é principal, o que implica uma generalização adequada do teorema fundamental da aritmética: todo domínio euclidiano é um domínio de fatoração único.

É importante comparar a classe de domínios euclidianos com a classe maior de domínios ideais principais (PIDs). Um PID arbitrário tem praticamente as mesmas "propriedades estruturais" de um domínio euclidiano (ou, de fato, até mesmo do anel de inteiros), mas quando um algoritmo explícito para a divisão euclidiana é conhecido, pode-se usar o algoritmo euclidiano e o algoritmo euclidiano estendido para calcular os máximos divisores comuns e a identidade de Bézout. Em particular, a existência de algoritmos eficientes para divisão euclidiana de inteiros e de polinômios em uma variável sobre um corpo é de importância básica em álgebra computacional.

Portanto, dado um domínio integral $R$ , muitas vezes é muito útil saber que $R$ tem uma função euclidiana: em particular, isso implica que $R$ é um PID. No entanto, se não houver nenhum "óbvio" função euclidiana, então determinar se $R$ é um PID geralmente é um problema muito mais fácil do que determinar se é um domínio euclidiano.

Os domínios euclidianos aparecem na seguinte cadeia de inclusões de classes:

Rngs ⊃ anéis ⊃ anéis comutativos ⊃ domínios integrais ⊃ domínios integralmente fechados ⊃ Domínios GCD ⊃ domínios únicos de fatoração ⊃ principais domínios ideais ⊃ Domínios euclidianos ⊃ campos ⊃ campos fechados algébrica

Definição

Seja $R$ um domínio integral. Uma função euclidiana em $R$ é uma função $f$ de $R {0}$ aos inteiros não negativos que satisfazem a seguinte divisão fundamental com -propriedade restante:

(EF1) Se $um$ e $b)$ em $R$ e $b)$ is nonzero, então existe $q$ e $R$ em $R$ tal que $um = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b) + R$ e $R = 0$ ou $f (R < f (b))$ .

Um domínio euclidiano é um domínio integral que pode ser dotado de pelo menos uma função euclidiana. Uma função euclidiana particular $f$ não faz parte da definição de um domínio euclidiano, como, em geral, um domínio euclidiano pode admitir muitas funções euclidianas diferentes.

Neste contexto, $q$ e $r$ são chamados respectivamente de quociente e resto da divisão (ou divisão euclidiana) de $a$ por $b$ . Em contraste com o caso de números inteiros e polinômios, o quociente geralmente não é definido exclusivamente, mas quando um quociente é escolhido, o resto é definido exclusivamente.

A maioria dos textos de álgebra requer que uma função euclidiana tenha a seguinte propriedade adicional:

(EF2) Para todos os nonzero $um$ e $b)$ em $R$ , $f (um \leq f (A)$ .

No entanto, pode-se mostrar que (EF1) sozinho é suficiente para definir um domínio euclidiano; se um domínio integral $R$ for dotado de uma função $g$ satisfatório (EF1), então $R$ também pode ser dotado de uma função que satisfaça tanto (EF1) quanto (EF2) simultaneamente. De fato, para $a$ em $R {0}, pode-se definir f (a) da seguinte forma:$

{displaystyle f(a)=min _{xin Rsetminus {0}}g(xa)}

Em palavras, pode-se definir $f (a)$ como o valor mínimo alcançado por $g$ no conjunto de todos os elementos diferentes de zero do ideal principal gerado por $a$ .

Uma função euclidiana $f$ é multiplicativa se $f (ab) = f (a) f (b)$ e $f (a)$ nunca é zero. Segue que $f (1) = 1$ . Mais geralmente, $f (a) = 1$ se e somente se $a$ é uma unidade.

Notas sobre a definição

Muitos autores usam outros termos no lugar de "função euclidiana", como "função de grau", "função de valoração", "função de calibre" 34; ou "função norma". Alguns autores também exigem que o domínio da função euclidiana seja o anel inteiro $R$ ; no entanto, isso não afeta essencialmente a definição, pois (EF1) não envolve o valor de $f (0)$ . A definição às vezes é generalizada permitindo que a função euclidiana assuma seus valores em qualquer conjunto bem ordenado; esse enfraquecimento não afeta as implicações mais importantes da propriedade euclidiana.

A propriedade (EF1) pode ser reformulada da seguinte forma: para qualquer principal ideal $I$ de $R$ com gerador diferente de zero $b$ , todas as classes diferentes de zero do anel quociente $R / I$ tem um representante $r$ com $f (r) < f (b)$ . Como os valores possíveis de $f$ são bem ordenados, essa propriedade pode ser estabelecida mostrando que $f (r) < f (b)$ para qualquer $r \notin I < /span> com valor mínimo de f (r) em sua classe. Observe que, para uma função euclidiana assim estabelecida, não precisa existir um método efetivo para determinar q e r em (EF1).$

Exemplos

Exemplos de domínios euclidianos incluem:

Qualquer campo. Definir $f (x) = 1$ para todos nonzero $x$ .
$Z.$ , o anel de inteiros. Definir $f (n) = | n |$ , o valor absoluto de $n$ .
$Z. Não. Eu...]$ O anel dos inteiros gaussianos. Definir $f (um + b)) = um 2 + b) 2$ , a norma do inteiro gaussiano $um + b)$ .
$Z. [ω]$ (onde) $ω$ é uma raiz de cubo primitivo (não real) da unidade), o anel de inteiros Eisenstein. Definir $f (um + b) ω) = um 2 - Sim. A + b) 2$ , a norma do inteiro Eisenstein $um + b) ω$ .
$KK Não. X]$ , o anel de polinômios sobre um campo $KK$ . Para cada polinomial nonzero $P$ , definir $f (P)$ para ser o grau de $P$ .
$KK [X]$ , o anel de série de poder formal sobre o campo $KK$ . Para cada série de energia nonzero $P$ , definir $f (P)$ como a ordem de $P$ , esse é o grau do menor poder de $X$ ocorrendo em $P$ . Em particular, para duas séries de poder nonzero $P$ e $Q$ , $f (P \leq f (Q)$ se e somente se $P$ divide $Q$ .
Qualquer anel de avaliação discreta. Definir $f (x)$ ser o poder mais alto do ideal máximo $M$ contendo $x$ . Equivalentemente, deixe $g$ ser um gerador de $M$ e $v$ ser o inteiro único tal que $g v$ é um associado de $x$ , então definir $f (x) = v$ . O exemplo anterior $KK [X]$ é um caso especial disto.
Um domínio Dedekind com finitamente muitos ideais primos nonzero $P 1, P n$ . Definir ${displaystyle f(x)=sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)}$ , onde $v Eu...$ é a avaliação discreta correspondente ao ideal $P Eu...$ .

Exemplos de domínios que não são domínios euclidianos incluem:

Cada domínio que não é um domínio ideal principal, como o anel de polinômios em pelo menos dois indeterminados em um campo, ou o anel de polinômios univariados com coeficientes inteiros, ou o anel número $Z. Não. \sqrt -5]$ .
O anel de inteiros de $Q (\sqrt -19.)$ , consistindo nos números $um + b) \sqrt -19. / 2$ Onde? $um$ e $b)$ são inteiros e até ou ambos estranhos. É um domínio ideal principal que não é Euclidiano.
O anel $A = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = R Não. X, Y Não. X 2 + Y 2 + 1)$ é também um domínio ideal principal que não é Euclidiano. Para ver que não é um domínio euclidiano, basta mostrar que para cada primo não-zero $Não.$ , o mapa $Não. A^{times }to (A/p)^{times }}$ induzido pelo mapa quociente $Não. A A/P$ não é subjetivo.

Propriedades

Seja R um domínio e f uma função euclidiana em R. Então:

R é um domínio ideal principal (PID). Na verdade, se Eu... é um nonzero ideal de R então qualquer elemento um de Eu... {0} com valor mínimo (em que conjunto) de f(um) é um gerador de Eu.... Como consequência R é também um domínio de fatoração única e um anel noetherian. No que diz respeito aos principais domínios ideais gerais, a existência de factorizações (isto é, que R é um domínio atômico) é particularmente fácil de provar em domínios euclidianos: escolher uma função euclidiana f satisfazendo (EF2), x não pode ter qualquer decomposição em mais do que f(x) Fatores de não-unidade, assim começando com x e repetidamente decompor fatores redutíveis é obrigado a produzir uma fatoração em elementos irredutíveis.
Qualquer elemento R em que f leva seu valor globalmente mínimo é invertível em R. Se um f satisfazendo (EF2) é escolhido, então o converso também detém, e f leva seu valor mínimo exatamente nos elementos invertíveis de R.
Se a divisão euclidiana é algorítmica, ou seja, se houver um algoritmo para computar o quociente e o restante, então um algoritmo euclidiano estendido pode ser definido exatamente como no caso de inteiros.
Se um domínio Euclidean não é um campo, então ele tem um elemento um com a seguinte propriedade: qualquer elemento x não divisível por um pode ser escrito como x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Sim. + u para alguma unidade u e algum elemento Sim.. Isto se segue tomando um para ser uma não-unidade com f(um) o menor possível. Esta propriedade estranha pode ser usada para mostrar que alguns domínios ideais principais não são domínios euclidianos, como nem todos os PIDs têm esta propriedade. Por exemplo, D = −19, −43, −67, −163, o anel de inteiros de ${displaystyle mathbf {Q} ({sqrt {d}},)}$ é um PID que é não Euclidiano, mas os casos D = −1, −2, −3, −7, −11 são Euclidiano.

No entanto, em muitas extensões finitas de Q com grupo de classe trivial, o anel de inteiros é euclidiano (não necessariamente em relação ao valor absoluto da norma de campo; veja abaixo). Assumindo a hipótese estendida de Riemann, se K é uma extensão finita de Q e o anel de inteiros de K é um PID com um número infinito de unidades, então o anel de inteiros é euclidiano. Em particular, isso se aplica ao caso de campos de números quadráticos totalmente reais com grupo de classe trivial. Além disso (e sem assumir ERH), se o campo K é uma extensão de Galois de Q, tem grupo de classe trivial e posto de unidade estritamente maior que três, então o anel de inteiros é euclidiana. Um corolário imediato disso é que se o corpo numérico é Galois sobre Q, seu grupo de classe é trivial e a extensão tem grau maior que 8, então o anel de inteiros é necessariamente euclidiano.

Campos norma-euclidianos

Campos de números algébricos K vêm com uma função de norma canônica neles: o valor absoluto da norma de campo N que recebe um elemento algébrico α ao produto de todos os conjugados de α. Esta norma mapeia o anel de inteiros de um campo numérico K, digamos O_K, para os inteiros racionais não negativos, portanto é candidata a norma euclidiana neste anel. Se esta norma satisfaz os axiomas de uma função euclidiana, então o campo numérico K é chamado de norma-euclidiana ou simplesmente euclidiana. Estritamente falando, é o anel de inteiros que é euclidiano, uma vez que os campos são trivialmente domínios euclidianos, mas a terminologia é padrão.

Se um corpo não é euclidiano normativo, isso não significa que o anel de inteiros não seja euclidiano, apenas que a norma do corpo não satisfaz os axiomas de uma função euclidiana. De fato, os anéis de inteiros de campos numéricos podem ser divididos em várias classes:

Aqueles que não são principais e, portanto, não Euclidianos, como os inteiros de ${displaystyle mathbf {Q} ({sqrt {-5}},)}$
Aqueles que são principais e não euclidianos, como os inteiros de ${displaystyle mathbf {Q} ({sqrt {-19}},)}$
Aqueles que são Euclidianos e não norm-Euclidianos, como os inteiros de ${displaystyle mathbf {Q} ({sqrt {69}},)}$
Aqueles que são norm-Euclidean, como inteiros gaussianos (integers of ${displaystyle mathbf {Q} ({sqrt {-1}},)}$ )

Os campos quadráticos norm-Euclidean foram totalmente classificados; eles são ${displaystyle mathbf {Q} ({sqrt {d}},)}$ Onde? $Não.$ leva os valores

−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (sequência A048981 no OEIS).

Todo corpo quadrático imaginário euclidiano é norma euclidiana e é um dos cinco primeiros campos da lista anterior.

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