Distribuição Cauchy

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Distribuição de probabilidade

O Distribuição de Cauchy, nomeado após Augustin Cauchy, é uma distribuição de probabilidade contínua. Também é conhecido, especialmente entre os físicos, como o Distribuição de Lorentz (depois de Hendrik Lorentz), Distribuição Cauchy-Lorentz, Função de Lorentz(ian)ou Distribuição Breit-Wigner. A distribuição Cauchy $f(x;x_{0},gamma)$ é a distribuição da $x$ -intercepto de uma emissão de raios $(x_{0},gamma)$ com um ângulo uniformemente distribuído. É também a distribuição da relação de duas variáveis aleatórias distribuídas normalmente independentes com média zero.

A distribuição de Cauchy é frequentemente usada em estatísticas como o exemplo canônico de A " patológico " A distribuição, uma vez que seu valor esperado e sua variação são indefinidos (mas veja § Explicação de momentos indefinidos abaixo). A distribuição de Cauchy não tem momentos finitos de ordem maior ou igual a um; Somente existem momentos absolutos fracionários. A distribuição de Cauchy não tem uma função de geração de momentos.

Em matemática, está intimamente relacionado ao kernel de Poisson, que é a solução fundamental para a equação de Laplace no meio plano superior.

É uma das poucas distribuições estáveis e tem uma função de densidade de probabilidade que pode ser expressa analiticamente, sendo os outros a distribuição normal e a distribuição Lévy.

HISTÓRIA

Estimar o desvio médio e padrão através de amostras de uma distribuição Cauchy (bottom) não converge com mais amostras, como na distribuição normal (top). Pode haver saltos arbitrariamente grandes nas estimativas, como visto nos gráficos na parte inferior. (Clique para expandir)

Uma função com a forma da função de densidade da distribuição de Cauchy foi estudada geometricamente por Fermat em 1659 e, posteriormente, era conhecida como Bruxa de Agnesi, depois que Agnesi o incluiu como um exemplo em seu livro de cálculo 1748. Apesar do nome, a primeira análise explícita das propriedades da distribuição de Cauchy foi publicada pelo matemático francês Poisson em 1824, com Cauchy apenas se associando a ele durante uma controvérsia acadêmica em 1853. Poisson observou que, se a média das observações após tal tal Distribuição foram feitas, o erro médio não convergiu para nenhum número finito. Como tal, o uso do teorema do limite central de LaPlace com essa distribuição era inapropriado, pois assumiu uma média e variação finitas. Apesar disso, Poisson não considerou a questão como importante, em contraste com Bienaymé, que deveria envolver Cauchy em uma longa disputa sobre o assunto.

Caracterização

Função de densidade de probabilidade

A distribuição Cauchy tem a função de densidade de probabilidade (PDF)

f(x; x_0,gamma) = frac{1}{pigamma left[1 + left(frac{x - x_0}{gamma}right)^2right]} = { 1 over pi } left[ { gamma over (x - x_0)^2 + gamma^2 } right],

Onde? $x_{0}$ é o parâmetro de localização, especificando a localização do pico da distribuição, e $gamma$ é o parâmetro de escala que especifica a meia largura em meio-máximo (HWHM), alternativamente $2gamma$ é largura total ao meio máximo (FWHM). $gamma$ também é igual à metade do intervalo interquartil e às vezes é chamado de erro provável. Augustin-Louis Cauchy explorou tal função de densidade em 1827 com um parâmetro de escala infinitesimal, definindo o que agora seria chamado de função delta Dirac.

O valor máximo ou amplitude do PDF Cauchy é ${displaystyle {frac {1}{pi gamma }}}$ , localizado em $x=x_0$ .

Às vezes é conveniente expressar o PDF em termos do parâmetro complexo ${displaystyle psi =x_{0}+igamma }$

{displaystyle f(x;psi)={frac {1}{pi }},{textrm {Im}}left({frac {1}{x-psi }}right)={frac {1}{pi }},{textrm {Re}}left({frac {-i}{x-psi }}right)}

O caso especial quando $x_{0}=0$ e $gamma =1$ é chamado de distribuição padrão Cauchy com a função de densidade de probabilidade

f(x; 0,1) = frac{1}{pi (1 + x^2)}. !

Na física, uma função Lorentziana de três parâmetros é frequentemente usada:

f(x; x_0,gamma,I) = frac{I}{left[1 + left(frac{x-x_0}{gamma}right)^2right]} = I left[ { gamma^2 over (x - x_0)^2 + gamma^2 } right],

Onde? $I$ é a altura do pico. A função de três parâmetros Lorentzian indicada não é, em geral, uma função de densidade de probabilidade, uma vez que não se integra a 1, exceto no caso especial onde ${displaystyle I={frac {1}{pi gamma }}.!}$

Função de distribuição cumulativa

A função de distribuição cumulativa da distribuição de Cauchy é:

F(x; x_0,gamma)=frac{1}{pi} arctanleft(frac{x-x_0}{gamma}right)+frac{1}{2}

e a função quantil (cdf inversa) da distribuição de Cauchy é

Q(p; x_0,gamma) = x_0 + gamma,tanleft[pileft(p-tfrac{1}{2}right)right].

Segue-se que os primeiros e terceiro quartis são ${displaystyle (x_{0}-gammax_{0}+gamma)}$ , e daí a gama interquartil é $2gamma$ .

Para a distribuição padrão, a função de distribuição cumulativa simplifica a função arctangent $arctan(x)$ :

F(x; 0,1)=frac{1}{pi} arctanleft(xright)+frac{1}{2}

Entropia

A entropia da distribuição de Cauchy é dada por:

{displaystyle {begin{aligned}H(gamma)&=-int _{-infty }^{infty }f(x;x_{0},gamma)log(f(x;x_{0},gamma)),dx\[6pt]&=log(4pi gamma)end{aligned}}}

A derivada da função quantílica, a função de densidade quantílica, para a distribuição de Cauchy é:

{displaystyle Q'(p;gamma)=gamma ,pi ,{sec }^{2}left[pi left(p-{tfrac {1}{2}}right)right].!}

A entropia diferencial de uma distribuição pode ser definida em termos de sua densidade quantílica, especificamente:

{displaystyle H(gamma)=int _{0}^{1}log ,(Q'(p;gamma)),mathrm {d} p=log(4pi gamma)}

A distribuição Cauchy é a distribuição de probabilidade de entropia máxima para um varite aleatório $X$ para os quais

{displaystyle operatorname {E} [log(1+(X-x_{0})^{2}/gamma ^{2})]=log 4}

ou, alternativamente, para um varite aleatório $X$ para os quais

{displaystyle operatorname {E} [log(1+(X-x_{0})^{2})]=2log(1+gamma).}

Em sua forma padrão, é a distribuição de probabilidade de entropia máxima para um varite aleatório $X$ para os quais

{displaystyle operatorname {E} !left[ln(1+X^{2})right]=ln 4.}

Divergência de Kullback-Leibler

A divergência de Kullback-Leibler entre duas distribuições de Cauchy tem a seguinte fórmula simétrica de forma fechada:

{displaystyle mathrm {KL} left(p_{x_{0,1},gamma _{1}}:p_{x_{0,2},gamma _{2}}right)=log {frac {left(gamma _{1}+gamma _{2}right)^{2}+left(x_{0,1}-x_{0,2}right)^{2}}{4gamma _{1}gamma _{2}}}.}

Qualquer f-divergência entre duas distribuições de Cauchy é simétrica e pode ser expressa como uma função da divergência qui-quadrada. Estão disponíveis expressões de forma fechada para a variação total, divergência de Jensen–Shannon, distância de Hellinger, etc.

Propriedades

A distribuição Cauchy é um exemplo de uma distribuição que não tem média, variância ou momentos superiores definidos. Seu modo e mediana são bem definidos e são ambos iguais a $x_{0}$ .

Quando $U$ e $V$ são duas variáveis aleatórias distribuídas normalmente independentes com valor esperado 0 e variância 1, então a razão ${displaystyle U/V}$ tem a distribuição padrão Cauchy.

Se $Sigma$ é um $ptimes p$ matriz de covariância positiva-semidefinita com entradas diagonais estritamente positivas, então para independente e distribuída de forma idêntica ${displaystyle X,Ysim N(0,Sigma)}$ e qualquer aleatório $p$ -Vector $w$ independente de $X$ e $Y$ tal que ${displaystyle w_{1}+cdots +w_{p}=1}$ e ${displaystyle w_{i}geq 0,i=1,ldotsp,}$ (definindo uma distribuição categórica)

{displaystyle sum _{j=1}^{p}w_{j}{frac {X_{j}}{Y_{j}}}sim mathrm {Cauchy} (0,1).}

Se $X_1, ldots, X_n$ são variáveis aleatórias independentes e distribuídas de forma idêntica, cada uma com uma distribuição padrão Cauchy, então a média da amostra ${displaystyle (X_{1}+cdots +X_{n})/n}$ tem a mesma distribuição padrão Cauchy. Para ver que isso é verdade, compute a função característica da amostra significa:

{displaystyle varphi _{overline {X}}(t)=mathrm {E} left[e^{i{overline {X}}t}right]}

Onde? ${overline {X}}$ é a amostra média. Este exemplo serve para mostrar que a condição de variância finita no teorema do limite central não pode ser descartada. É também um exemplo de uma versão mais generalizada do teorema do limite central que é característica de todas as distribuições estáveis, das quais a distribuição Cauchy é um caso especial.

A distribuição de Cauchy é uma distribuição de probabilidade infinitamente divisível. É também uma distribuição estritamente estável.

A distribuição padrão de Cauchy coincide com a distribuição t de Student com um grau de liberdade.

Como todas as distribuições estáveis, a família de escala de localização à qual pertence a distribuição de Cauchy é fechada sob transformações lineares com coeficientes reais. Além disso, a distribuição de Cauchy é fechada sob transformações lineares fracionárias com coeficientes reais. A esse respeito, veja também a parametrização de McCullagh para as distribuições de Cauchy.

Função característica

Vamos. $X$ denote uma variável aleatória distribuída Cauchy. A função característica da distribuição Cauchy é dada por

{displaystyle varphi _{X}(t)=operatorname {E} left[e^{iXt}right]=int _{-infty }^{infty }f(x;x_{0},gamma)e^{ixt},dx=e^{ix_{0}t-gamma |t|}.}

que é apenas a transformada de Fourier da densidade de probabilidade. A densidade de probabilidade original pode ser expressa em termos da função característica, essencialmente usando a transformada inversa de Fourier:

{displaystyle f(x;x_{0},gamma)={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty }varphi _{X}(t;x_{0},gamma)e^{-ixt},dt!}

O no momento de uma distribuição é o nderivado da função característica avaliada em $t=0$ . Observe que a função característica não é diferenciada na origem: isso corresponde ao fato de que a distribuição Cauchy não tem momentos bem definidos superiores ao zero momento.

Comparação com a distribuição normal

Em comparação com a distribuição normal, a função de densidade de Cauchy tem um pico mais alto e caudas mais baixas. Um exemplo é mostrado nas duas figuras adicionadas aqui

Observado histograma e melhor função de densidade Cauchy.

Observado histograma e melhor ajuste função de densidade normal.

A figura à esquerda mostra a função de densidade de probabilidade de Cauchy ajustada a um histograma observado. O pico da função é maior que o pico do histograma enquanto as caudas são menores que as do histograma.
A figura à direita mostra a função de densidade de probabilidade normal ajustada ao mesmo histograma observado. O pico da função é menor que o pico do histograma.
Isso ilustra a afirmação acima.

Explicação de momentos indefinidos

Média

Se uma distribuição de probabilidade tiver uma função de densidade $f(x)$ , então a média, se existir, é dada por

{displaystyle int _{-infty }^{infty }xf(x),dx.}

(1)

Podemos avaliar essa integral imprópria bilateral calculando a soma de duas integrais impróprias unilaterais. Aquilo é,

{displaystyle int _{-infty }^{a}xf(x),dx+int _{a}^{infty }xf(x),dx}

(2)

para um número real arbitrário $a$ .

Para que a integral exista (mesmo como um valor infinito), pelo menos um dos termos dessa soma deve ser finito, ou ambos devem ser infinitos e ter o mesmo sinal. Mas no caso da distribuição de Cauchy, ambos os termos desta soma (2) são infinitos e têm sinais opostos. Portanto (1) é indefinido e, portanto, a média também.

Observe que o valor principal de Cauchy da média da distribuição de Cauchy é

{displaystyle lim _{ato infty }int _{-a}^{a}xf(x),dx}

{displaystyle lim _{ato infty }int _{-2a}^{a}xf(x),dx}

não1

Vários resultados na teoria da probabilidade sobre valores esperados, como a lei forte dos grandes números, não são válidos para a distribuição de Cauchy.

Momentos menores

Os momentos absolutos para ${displaystyle pin (-1,1)}$ são definidos. Para ${displaystyle Xsim mathrm {Cauchy} (0,gamma)}$ nós temos

{displaystyle operatorname {E} [|X|^{p}]=gamma ^{p}mathrm {sec} (pi p/2).}

Momentos mais altos

A distribuição de Cauchy não possui momentos finitos de nenhuma ordem. Alguns dos momentos brutos mais altos existem e têm um valor infinito, por exemplo, o segundo momento bruto:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {E} [X^{2}]&propto int _{-infty }^{infty }{frac {x^{2}}{1+x^{2}}},dx=int _{-infty }^{infty }1-{frac {1}{1+x^{2}}},dx\[8pt]&=int _{-infty }^{infty }dx-int _{-infty }^{infty }{frac {1}{1+x^{2}}},dx=int _{-infty }^{infty }dx-pi =infty.end{aligned}}}

Ao reorganizar a fórmula, pode-se ver que o segundo momento é essencialmente a integral infinita de uma constante (aqui 1). Maiores momentos crus ainda alimentados também serão avaliados para o infinito. No entanto, momentos crus de força ímpar são indefinidos, o que é distintamente diferente do existente com o valor do infinito. Os momentos crus ímpares são indefinidos porque seus valores são essencialmente equivalentes a $infty -infty$ uma vez que as duas metades da integral divergem e têm sinais opostos. O primeiro momento cru é a média, que, sendo estranho, não existe. (Ver também a discussão acima sobre isso.) Isso, por sua vez, significa que todos os momentos centrais e momentos padronizados são indefinidos, uma vez que são todos baseados na média. A variância - que é o segundo momento central - é igualmente inexistente (apesar do fato de que o segundo momento cru existe com o infinito valor).

Os resultados para momentos mais altos seguem da desigualdade de Hölder, o que implica que os momentos mais altos (ou metades dos momentos) divergem se os mais baixos o fazem.

Momentos de distribuições truncadas

Considere a distribuição truncada definida pela restrição da distribuição padrão de Cauchy ao intervalo $[-10 100, 10 100]$ . Tal distribuição truncada tem todos os momentos (e o teorema do limite central se aplica a observações i.i.d. a partir dele); ainda assim, para quase todos os propósitos práticos, ela se comporta como uma distribuição de Cauchy.

Estimativa de parâmetros

Como os parâmetros da distribuição de Cauchy não correspondem a uma média e variância, tentar estimar os parâmetros da distribuição de Cauchy usando uma média de amostra e uma variância de amostra não terá sucesso. Por exemplo, se um i.i.d. amostra de tamanho n é retirada de uma distribuição de Cauchy, pode-se calcular a média da amostra como:

{displaystyle {bar {x}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}}

Embora os valores da amostra $x_{i}$ será concentrado sobre o valor central $x_{0}$ , a média da amostra se tornará cada vez mais variável à medida que mais observações são tomadas, devido ao aumento da probabilidade de encontrar pontos de amostra com um grande valor absoluto. De fato, a distribuição da média da amostra será igual à distribuição das próprias observações; isto é, a média da amostra de uma amostra grande não é melhor (ou pior) um estimador de $x_{0}$ do que qualquer observação única da amostra. Da mesma forma, o cálculo da variância da amostra resultará em valores que crescem maiores à medida que mais observações forem tomadas.

Portanto, meios mais robustos para estimar o valor central $x_{0}$ e o parâmetro escalonamento $gamma$ são necessários. Um método simples é tomar o valor mediano da amostra como um estimador de $x_{0}$ e metade da faixa interquartil amostra como um estimador de $gamma$ . Outros métodos mais precisos e robustos foram desenvolvidos Por exemplo, a média truncada do meio 24% das estatísticas da ordem da amostra produz uma estimativa para $x_{0}$ que é mais eficiente do que usar a amostra mediana ou a amostra completa média. No entanto, devido às caudas gordas da distribuição Cauchy, a eficiência do estimador diminui se mais de 24% da amostra é usada.

A probabilidade máxima também pode ser usada para estimar os parâmetros $x_{0}$ e $gamma$ . No entanto, isso tende a ser complicado pelo fato de que isso requer encontrar as raízes de um polinômio de alto grau, e pode haver múltiplas raízes que representam maxima local. Além disso, enquanto o estimador máximo de probabilidade é assintoticamente eficiente, é relativamente ineficiente para pequenas amostras. A função de log-likelihood para a distribuição Cauchy para o tamanho da amostra $n$ é:

{displaystyle {hat {ell }}(x_{1},dotscx_{n}mid !x_{0},gamma)=-nlog(gamma pi)-sum _{i=1}^{n}log left(1+left({frac {x_{i}-x_{0}}{gamma }}right)^{2}right)}

Maximizando a função de probabilidade de log com relação a $x_{0}$ e $gamma$ tomando o primeiro derivado produz o seguinte sistema de equações:

{displaystyle {frac {dell }{dx_{0}}}=sum _{i=1}^{n}{frac {2(x_{i}-x_{0})}{gamma ^{2}+left(x_{i}-!x_{0}right)^{2}}}=0}

{displaystyle {frac {dell }{dgamma }}=sum _{i=1}^{n}{frac {2left(x_{i}-x_{0}right)^{2}}{gamma (gamma ^{2}+left(x_{i}-x_{0}right)^{2})}}-{frac {n}{gamma }}=0}

Observe que

{displaystyle sum _{i=1}^{n}{frac {left(x_{i}-x_{0}right)^{2}}{gamma ^{2}+left(x_{i}-x_{0}right)^{2}}}}

é uma função monotone em $gamma$ e que a solução $gamma$ deve satisfazer

min |x_i-x_0|le gammale max |x_i-x_0|.

Vendendo apenas para $x_{0}$ requer resolver um polinomial de grau $2n-1$ e resolver apenas para $,!gamma$ requer resolver um polinomial de grau $2n$ . Portanto, se a solução para um parâmetro ou para ambos os parâmetros simultaneamente, uma solução numérica em um computador é tipicamente necessária. O benefício da estimativa máxima de probabilidade é a eficiência assintótica; estimativa $x_{0}$ usando a amostra mediana é apenas cerca de 81% como assintoticamente eficiente como estimativa $x_{0}$ por máxima probabilidade. A média de amostra truncada usando as estatísticas de ordem de 24% do meio é de cerca de 88% como um estimador assintoticamente eficiente $x_{0}$ como a estimativa máxima de probabilidade. Quando o método de Newton é usado para encontrar a solução para a estimativa máxima de probabilidade, as estatísticas de ordem de 24% do meio podem ser usadas como uma solução inicial para $x_{0}$ .

A forma pode ser estimada usando a mediana de valores absolutos, pois para a localização 0 Variáveis Cauchy ${displaystyle Xsim mathrm {Cauchy} (0,gamma)}$ , o ${displaystyle mathrm {median} (|X|)=gamma }$ o parâmetro de forma.

Gerando valores a partir da distribuição de Cauchy

Vamos. $u$ ser uma amostra de uma distribuição uniforme de $[0,1]$ , então podemos gerar uma amostra, $x$ da distribuição Cauchy usando

{displaystyle x=tan left(pi (u-{frac {1}{2}})right)}

Como alternativa, a proporção de duas amostras padrão normalmente distribuídas é uma amostra de Cauchy.

Distribuição multivariada de Cauchy

Um vetor aleatório ${displaystyle X=(X_{1},ldotsX_{k})^{T}}$ é dito ter a distribuição multivariada Cauchy se cada combinação linear de seus componentes ${displaystyle Y=a_{1}X_{1}+cdots +a_{k}X_{k}}$ tem uma distribuição Cauchy. Isto é, para qualquer vetor constante ${displaystyle ain mathbb {R} ^{k}}$ , a variável aleatória ${displaystyle Y=a^{T}X}$ deve ter uma distribuição de Cauchy univariada. A função característica de uma distribuição de Cauchy multivariada é dada por:

{displaystyle varphi _{X}(t)=e^{ix_{0}(t)-gamma (t)},!}

Onde? $x_0(t)$ e $gamma (t)$ são funções reais com $x_0(t)$ uma função homogênea do grau um e $gamma (t)$ uma função homogênea positiva de grau um. Mais formalmente:

x_0(at) = ax_0(t),

gamma (at) = |a|gamma (t),

para todos $t$ .

Um exemplo de distribuição de Cauchy bivariada pode ser dado por:

{displaystyle f(x,y;x_{0},y_{0},gamma)={1 over 2pi }left[{gamma over ((x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+gamma ^{2})^{3/2}}right].}

Note que neste exemplo, mesmo que a covariância entre $x$ e $y$ é 0, $x$ e $y$ não são estatisticamente independentes.

Também podemos escrever esta fórmula para variáveis complexas. Então a função de densidade de probabilidade de cauchy complexo é:

{displaystyle f(z;z_{0},gamma)={1 over 2pi }left[{gamma over (|z-z_{0}|^{2}+gamma ^{2})^{3/2}}right].}

Analógico para a densidade univariada, a densidade de Cauchy multidimensional também se relaciona com a distribuição de estudantes multivariados. Eles são equivalentes quando o parâmetro liberdade é igual a um. A densidade de uma $k$ dimensão Distribuição de estudantes com um grau de liberdade torna-se:

f({mathbf x}; {mathbfmu},{mathbfSigma}, k)= frac{Gammaleft(frac{1+k}{2}right)}{Gamma(frac{1}{2})pi^{frac{k}{2}}left|{mathbfSigma}right|^{frac{1}{2}}left[1+({mathbf x}-{mathbfmu})^T{mathbfSigma}^{-1}({mathbf x}-{mathbfmu})right]^{frac{1+k}{2}}}.

Propriedades e detalhes para esta densidade podem ser obtidos tomando-a como um caso particular da densidade multivariada de Student.

Propriedades de transformação

Se ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (x_{0},gamma)}$ então ${displaystyle kX+ell sim {textrm {Cauchy}}(x_{0}k+ellgamma |k|)}$
Se ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (x_{0},gamma _{0})}$ e ${displaystyle Ysim operatorname {Cauchy} (x_{1},gamma _{1})}$ são independentes, então ${displaystyle X+Ysim operatorname {Cauchy} (x_{0}+x_{1},gamma _{0}+gamma _{1})}$ e ${displaystyle X-Ysim operatorname {Cauchy} (x_{0}-x_{1},gamma _{0}+gamma _{1})}$
Se ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (0,gamma)}$ então ${displaystyle {tfrac {1}{X}}sim operatorname {Cauchy} (0,{tfrac {1}{gamma }})}$
Parametrização de McCullagh das distribuições Cauchy: Expressando uma distribuição Cauchy em termos de um parâmetro complexo ${displaystyle psi =x_{0}+igamma }$ , definir ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (psi)}$ significar ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (x_{0},|gamma |)}$ . Se ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (psi)}$ então: ${displaystyle {frac {aX+b}{cX+d}}sim operatorname {Cauchy} left({frac {apsi +b}{cpsi +d}}right)}$ Onde? $a$ , $b$ , $c$ e $d$ são números reais.
Usando a mesma convenção como acima, se ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (psi)}$ então: ${displaystyle {frac {X-i}{X+i}}sim operatorname {CCauchy} left({frac {psi -i}{psi +i}}right)}$ Onde? ${displaystyle operatorname {CCauchy} }$ é a distribuição circular Cauchy.

Medida de Lévy

A distribuição Cauchy é a distribuição estável do índice 1. A representação Lévy-Khintchine de uma distribuição tão estável de parâmetro $gamma$ é dado, pois ${displaystyle Xsim operatorname {Stable} (gamma0,0),}$ por:

{displaystyle operatorname {E} left(e^{ixX}right)=exp left(int _{mathbb {R} }(e^{ixy}-1)Pi _{gamma }(dy)right)}

onde

0right}}+c_{2,gamma }{frac {1}{|y|^{1+gamma }}}1_{left{yD D γ γ (DSim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(c1,γ γ 1Sim.1+γ γ 1(Sim.>0?+c2,γ γ 1|Sim.|1+γ γ 1(Sim.<0?)DSim.Não. Pi _{gamma }(dy)=left(c_{1,gamma }{frac {1}{y^{1+gamma }}}1_{left{y>0right}}+c_{2,gamma }{frac {1}{|y|^{1+gamma }}}1_{left{y<0right}}right,dy}0right}}+c_{2,gamma }{frac {1}{|y|^{1+gamma }}}1_{left{y

e ${displaystyle c_{1,gamma },c_{2,gamma }}$ pode ser expresso explicitamente. No caso $gamma =1$ da distribuição Cauchy, um tem ${displaystyle c_{1,gamma }=c_{2,gamma }}$ .

Esta última representação é consequência da fórmula

{displaystyle pi |x|=operatorname {PV} int _{mathbb {R} setminus lbrace 0rbrace }(1-e^{ixy}),{frac {dy}{y^{2}}}}

Distribuições relacionadas

${displaystyle operatorname {Cauchy} (0,1)sim {textrm {t}}(mathrm {df} =1),}$ Distribuição t do estudante
${displaystyle operatorname {Cauchy} (musigma)sim {textrm {t}}_{(mathrm {df} =1)}(musigma),}$ não padronizado Distribuição t do estudante
Se $X, Y sim textrm{N}(0,1), X, Y$ independente, então ${displaystyle {tfrac {X}{Y}}sim {textrm {Cauchy}}(0,1),}$
Se $X sim textrm{U}(0,1),$ então ${displaystyle tan left(pi left(X-{tfrac {1}{2}}right)right)sim {textrm {Cauchy}}(0,1),}$
Se ${displaystyle Xsim operatorname {Log-Cauchy} (0,1)}$ então ${displaystyle ln(X)sim {textrm {Cauchy}}(0,1)}$
Se ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (x_{0},gamma)}$ então ${displaystyle {tfrac {1}{X}}sim operatorname {Cauchy} left({tfrac {x_{0}}{x_{0}^{2}+gamma ^{2}}},{tfrac {gamma }{x_{0}^{2}+gamma ^{2}}}right)}$
A distribuição Cauchy é um caso limitante de uma distribuição Pearson do tipo 4
A distribuição Cauchy é um caso especial de distribuição de Pearson do tipo 7.
A distribuição Cauchy é uma distribuição estável: se ${displaystyle Xsim {textrm {Stable}}(1,0,gammamu)}$ , então ${displaystyle Xsim operatorname {Cauchy} (mugamma)}$ .
A distribuição Cauchy é um limite singular de uma distribuição hiperbólica
A distribuição de Cauchy embrulhada, tomando valores em um círculo, é derivada da distribuição Cauchy, envolvendo-a em torno do círculo.
Se ${displaystyle Xsim {textrm {N}}(0,1)}$ , ${displaystyle Zsim operatorname {Inverse-Gamma} (1/2,s^{2}/2)}$ , então ${displaystyle Y=mu +X{sqrt {Z}}sim operatorname {Cauchy} (mus)}$ . Para distribuições de meio casulo, a relação decorre pela definição $=0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">X∼ ∼ N(0,1)Eu...(X- Sim.0?Não. Xsim {textrm {N}}(0,1)I{X>=0}}=0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e1b0bebf03c48333f17246f2f3f477363984c1" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.535ex; height:2.843ex;"/>$ .

Distribuição relativística de Breit-Wigner

Na física nuclear e de partículas, o perfil de energia de uma ressonância é descrito pela distribuição relativística de Breit-Wigner, enquanto a distribuição de Cauchy é a distribuição (não relativística) de Breit-Wigner.

Ocorrência e aplicações

Na espectroscopia, a distribuição Cauchy descreve a forma de linhas espectrais que estão sujeitas a uma ampliação homogênea em que todos os átomos interagem da mesma forma com a faixa de frequência contida na forma da linha. Muitos mecanismos causam a ampliação homogênea, principalmente a ampliação da colisão. A vida útil ou a ampliação natural também dá origem a uma forma de linha descrita pela distribuição Cauchy.
As aplicações da distribuição Cauchy ou sua transformação podem ser encontradas em campos que trabalham com crescimento exponencial. Um artigo de 1958 de White deriva a estatística de teste para os estimadores de $hat{beta}$ para a equação $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x)+1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =β β x)+ε ε )+1,β β >1Não. x_{t+1}=beta {x}_{t}+varepsilon _{t+1},beta >1}1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edac7d560e5c61f0377517f8f879361904ea2e4" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.32ex; height:2.509ex;"/>$ e onde o estimador máximo de probabilidade é encontrado usando menos quadrados comuns mostrou a distribuição amostral da estatística é a distribuição Cauchy.

Montado cumulativo Distribuição de Cauchy ao máximo de chuvas de um dia usando CumFreq, veja também o encaixe de distribuição

A distribuição Cauchy é muitas vezes a distribuição de observações para objetos que estão girando. A referência clássica para isso é chamada de problema de farol do Gull e como na seção acima como a distribuição Breit-Wigner em física de partículas.
Em hidrologia, a distribuição Cauchy é aplicada a eventos extremos, como chuvas máximas anuais de um dia e descargas de rio. A imagem azul ilustra um exemplo de adequar a distribuição Cauchy para classificar as precipitações mensais máximas de um dia mostrando também o cinto de confiança de 90% com base na distribuição binomial. Os dados de precipitação são representados por posições de plotagem como parte da análise de frequência cumulativa.
A expressão para a parte imaginária da permissividade elétrica complexa de acordo com o modelo Lorentz é um modelo VAR (valor em risco) produzindo uma probabilidade muito maior de risco extremo do que a Distribuição Gaussiana.

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