Distribuição Cauchy
O Distribuição de Cauchy, nomeado após Augustin Cauchy, é uma distribuição de probabilidade contínua. Também é conhecido, especialmente entre os físicos, como o Distribuição de Lorentz (depois de Hendrik Lorentz), Distribuição Cauchy-Lorentz, Função de Lorentz(ian)ou Distribuição Breit-Wigner. A distribuição Cauchy f(x;x0,γ γ )(x;x_{0},gamma)} é a distribuição da x-intercepto de uma emissão de raios (x0,γ γ )(x_{0},gamma)} com um ângulo uniformemente distribuído. É também a distribuição da relação de duas variáveis aleatórias distribuídas normalmente independentes com média zero.
A distribuição de Cauchy é frequentemente usada em estatísticas como o exemplo canônico de A " patológico " A distribuição, uma vez que seu valor esperado e sua variação são indefinidos (mas veja § Explicação de momentos indefinidos abaixo). A distribuição de Cauchy não tem momentos finitos de ordem maior ou igual a um; Somente existem momentos absolutos fracionários. A distribuição de Cauchy não tem uma função de geração de momentos.
Em matemática, está intimamente relacionado ao kernel de Poisson, que é a solução fundamental para a equação de Laplace no meio plano superior.
É uma das poucas distribuições estáveis e tem uma função de densidade de probabilidade que pode ser expressa analiticamente, sendo os outros a distribuição normal e a distribuição Lévy.
HISTÓRIA
Uma função com a forma da função de densidade da distribuição de Cauchy foi estudada geometricamente por Fermat em 1659 e, posteriormente, era conhecida como Bruxa de Agnesi, depois que Agnesi o incluiu como um exemplo em seu livro de cálculo 1748. Apesar do nome, a primeira análise explícita das propriedades da distribuição de Cauchy foi publicada pelo matemático francês Poisson em 1824, com Cauchy apenas se associando a ele durante uma controvérsia acadêmica em 1853. Poisson observou que, se a média das observações após tal tal Distribuição foram feitas, o erro médio não convergiu para nenhum número finito. Como tal, o uso do teorema do limite central de LaPlace com essa distribuição era inapropriado, pois assumiu uma média e variação finitas. Apesar disso, Poisson não considerou a questão como importante, em contraste com Bienaymé, que deveria envolver Cauchy em uma longa disputa sobre o assunto.
Caracterização
Função de densidade de probabilidade
A distribuição Cauchy tem a função de densidade de probabilidade (PDF)
- f(x;x0,γ γ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1D D γ γ Não.1+(x- Sim. - Sim. x0γ γ )2]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1D D Não.γ γ (x- Sim. - Sim. x0)2+γ γ 2],{displaystyle f(x;x_{0},gamma)={frac Não. gamma left[1+left({frac {x-x_{0}}{gamma }}right)^{2}right]}}={1 over pi }left[{gamma over (x-x_{0})^{2}+gamma ^{2}}right],}
Onde? x0{displaystyle x_{0}} é o parâmetro de localização, especificando a localização do pico da distribuição, e γ γ - Sim. é o parâmetro de escala que especifica a meia largura em meio-máximo (HWHM), alternativamente 2γ γ - Sim. é largura total ao meio máximo (FWHM). γ γ - Sim. também é igual à metade do intervalo interquartil e às vezes é chamado de erro provável. Augustin-Louis Cauchy explorou tal função de densidade em 1827 com um parâmetro de escala infinitesimal, definindo o que agora seria chamado de função delta Dirac.
O valor máximo ou amplitude do PDF Cauchy é 1D D γ γ {displaystyle {frac {1}{pi gamma), localizado em x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x0{displaystyle x=x_{0}}.
Às vezes é conveniente expressar o PDF em termos do parâmetro complexo ? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x0+Eu...γ γ {displaystyle psi =x_{0}+igamma }
- f(x;? ? )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1D D Eu...(1x- Sim. - Sim. ? ? )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1D D Repito(- Sim. - Sim. Eu...x- Sim. - Sim. ? ? ){displaystyle f(x;psi)={frac {1}{pi }},{textrm {Im}}left({frac {1}{x-psi }}right)={frac {1}{pi }},{textrm {Re}}left({frac {-i}{x-psi }}right)}
O caso especial quando x0= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0- Sim. e γ γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1{displaystyle gamma =1} é chamado de distribuição padrão Cauchy com a função de densidade de probabilidade
- f(x;0,1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1D D (1+x2).(x;0,1)={frac {1}{pi (1+x^{2})}}.!}
Na física, uma função Lorentziana de três parâmetros é frequentemente usada:
- f(x;x0,γ γ ,Eu...)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Eu...Não.1+(x- Sim. - Sim. x0γ γ )2]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Eu...Não.γ γ 2(x- Sim. - Sim. x0)2+γ γ 2],(x;x_{0},gammaI)={frac {I}{left[1+left({frac) {x-x_{0}}{gamma }}right)^{2}right]}}=Ileft[{gamma ^{2} over (x-x_{0})^{2}+gamma ^{2}}right],}
Onde? Eu...Não. Eu... é a altura do pico. A função de três parâmetros Lorentzian indicada não é, em geral, uma função de densidade de probabilidade, uma vez que não se integra a 1, exceto no caso especial onde Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1D D γ γ .Não. Não. Sim.
Função de distribuição cumulativa
A função de distribuição cumulativa da distribuição de Cauchy é:
- F(x;x0,γ γ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1D D arctan (x- Sim. - Sim. x0γ γ )+12{displaystyle F(x;x_{0},gamma)={frac {1}{pi }}arctan left({frac {x-x_{0}}{gamma }}right)+{frac Não.
e a função quantil (cdf inversa) da distribuição de Cauchy é
- Q(p;x0,γ γ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x0+γ γ bronzeado Não.D D (p- Sim. - Sim. 12)].{displaystyle Q(p;x_{0},gamma)=x_{0}+gamma ,tan left[pi left(p-{tfrac {1}{2}}right)right].}
Segue-se que os primeiros e terceiro quartis são (x0- Sim. - Sim. γ γ ,x0+γ γ )(x_{0}-gammax_{0}+gamma)}, e daí a gama interquartil é 2γ γ - Sim..
Para a distribuição padrão, a função de distribuição cumulativa simplifica a função arctangent arctan (x)(x)}:
- F(x;0,1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1D D arctan (x)+12{displaystyle F(x;0,1)={frac {1}{pi }}arctan left(xright)+{frac {1}{2}}}
Entropia
A entropia da distribuição de Cauchy é dada por:
- H. H. H.(γ γ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. ∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ f(x;x0,γ γ )log (f(x;x0,γ γ ))Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =log (4D D γ γ ){displaystyle {begin{aligned}H(gamma)&=-int _{-infty }^{infty }f(x;x_{0},gamma)log(f(x;x_{0},gamma),dx\[6pt]&=log(4pi gamma)end{aligned}}
A derivada da função quantílica, a função de densidade quantílica, para a distribuição de Cauchy é:
- Q?(p;γ γ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =γ γ D D - Sim.2Não.D D (p- Sim. - Sim. 12)].{displaystyle Q'(p;gamma)=gamma ,pi ,{sec }^{2}left[pi left(p-{tfrac {1}{2}}right)right].!}
A entropia diferencial de uma distribuição pode ser definida em termos de sua densidade quantílica, especificamente:
- H. H. H.(γ γ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ 01log(Q?(p;γ γ ))Dp= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =log (4D D γ γ ){displaystyle H(gamma)=int _{0}^{1}log ,(Q'(p;gamma),mathrm {d} p=log(4pi gamma)}
A distribuição Cauchy é a distribuição de probabilidade de entropia máxima para um varite aleatório X- Sim. para os quais
- E Não.log (1+(X- Sim. - Sim. x0)2/γ γ 2)]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =log 4{displaystyle operatorname {E} [log(1+(X-x_{0})^{2}/gamma ^{2}]=log 4}
ou, alternativamente, para um varite aleatório X- Sim. para os quais
- E Não.log (1+(X- Sim. - Sim. x0)2)]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2log (1+γ γ ).{displaystyle operatorname {E} [log(1+(X-x_{0})^{2})]=2log(1+gamma).}
Em sua forma padrão, é a distribuição de probabilidade de entropia máxima para um varite aleatório X- Sim. para os quais
- ENão.I (1+X2)]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =I 4.{displaystyle operatorname} {E} !left[ln(1+X^{2})right]=ln 4.}
Divergência de Kullback-Leibler
A divergência de Kullback-Leibler entre duas distribuições de Cauchy tem a seguinte fórmula simétrica de forma fechada:
- KKL(px0,1,γ γ 1:px0,2,γ γ 2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =log (γ γ 1+γ γ 2)2+(x0,1- Sim. - Sim. x0,2)24γ γ 1γ γ 2.{displaystyle mathrm {KL} left(p_{x_{0,1},gamma _{1}}:p_{x_{0,2},gamma _{2}}right)=log {frac {left(gamma _{1}+gamma _{2}right)^{2}+left (x_{0,1}-x_{0,2}right)^{2}}{4gamma _{1}gamma _{2}}}.}
Qualquer f-divergência entre duas distribuições de Cauchy é simétrica e pode ser expressa como uma função da divergência qui-quadrada. Estão disponíveis expressões de forma fechada para a variação total, divergência de Jensen–Shannon, distância de Hellinger, etc.
Propriedades
A distribuição Cauchy é um exemplo de uma distribuição que não tem média, variância ou momentos superiores definidos. Seu modo e mediana são bem definidos e são ambos iguais a x0{displaystyle x_{0}}.
Quando UNão. e VNão. são duas variáveis aleatórias distribuídas normalmente independentes com valor esperado 0 e variância 1, então a razão U/VNão. U.V. tem a distribuição padrão Cauchy.
Se Σ Σ Não. Sim. é um p× × p{displaystyle ptimes p} matriz de covariância positiva-semidefinita com entradas diagonais estritamente positivas, então para independente e distribuída de forma idêntica X,Y∼ ∼ N(0,Σ Σ ){displaystyle X,Ysim N(0,Sigma)} e qualquer aleatório pNão.-Vector O quê?Não. independente de X- Sim. e YNão. Sim. tal que O quê?1+⋯ ⋯ +O quê?p= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1Não. w_{1}+cdots - Sim. e O quê?Eu...≥ ≥ 0,Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1,...... ,p,{displaystyle w_{i}geq 0,i=1,ldotsp,} (definindo uma distribuição categórica)
- Gerenciamento Gerenciamento JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1pO quê?JJXJJYJJ∼ ∼ CumuchSim.(0,1).{displaystyle sum _{j=1}^{p}w_{j}{frac {X_{j}}{Y_{j}}}sim mathrm {Cauchy} (0,1). ?
Se X1,...... ,Xn{displaystyle X_{1},ldots X_{n}} são variáveis aleatórias independentes e distribuídas de forma idêntica, cada uma com uma distribuição padrão Cauchy, então a média da amostra (X1+⋯ ⋯ +Xn)/n(X_{1}+cdots +X_{n})/n} tem a mesma distribuição padrão Cauchy. Para ver que isso é verdade, compute a função característica da amostra significa:
- φ φ X? ? ())= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =ENão.eEu...X? ? )]{displaystyle varphi _{overline {X}}(t)=mathrm {E} left[e^{i{overline {X}}t}right]}
Onde? X? ? {displaystyle {overline {X}}} é a amostra média. Este exemplo serve para mostrar que a condição de variância finita no teorema do limite central não pode ser descartada. É também um exemplo de uma versão mais generalizada do teorema do limite central que é característica de todas as distribuições estáveis, das quais a distribuição Cauchy é um caso especial.
A distribuição de Cauchy é uma distribuição de probabilidade infinitamente divisível. É também uma distribuição estritamente estável.
A distribuição padrão de Cauchy coincide com a distribuição t de Student com um grau de liberdade.
Como todas as distribuições estáveis, a família de escala de localização à qual pertence a distribuição de Cauchy é fechada sob transformações lineares com coeficientes reais. Além disso, a distribuição de Cauchy é fechada sob transformações lineares fracionárias com coeficientes reais. A esse respeito, veja também a parametrização de McCullagh para as distribuições de Cauchy.
Função característica
Vamos. X- Sim. denote uma variável aleatória distribuída Cauchy. A função característica da distribuição Cauchy é dada por
- φ φ X())= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =E Não.eEu...X)]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ f(x;x0,γ γ )eEu...x)Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =eEu...x0)- Sim. - Sim. γ γ |)|.{displaystyle varphi _{X}(t)=operatorname {E} left[e^{iXt}right]=int _{-infty }^{infty }f(x;x_{0},gamma)e^{ixt},dx=e^{ix_{0}t-gamma |t|}.}
que é apenas a transformada de Fourier da densidade de probabilidade. A densidade de probabilidade original pode ser expressa em termos da função característica, essencialmente usando a transformada inversa de Fourier:
- f(x;x0,γ γ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12D D ∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ φ φ X();x0,γ γ )e- Sim. - Sim. Eu...x)D){displaystyle f(x;x_{0},gamma)={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty }varphi _{X}(t;x_{0},gamma)e^{-ixt},dt!}
O no momento de uma distribuição é o nderivado da função característica avaliada em )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Não.. Observe que a função característica não é diferenciada na origem: isso corresponde ao fato de que a distribuição Cauchy não tem momentos bem definidos superiores ao zero momento.
Comparação com a distribuição normal
Em comparação com a distribuição normal, a função de densidade de Cauchy tem um pico mais alto e caudas mais baixas. Um exemplo é mostrado nas duas figuras adicionadas aqui
A figura à esquerda mostra a função de densidade de probabilidade de Cauchy ajustada a um histograma observado. O pico da função é maior que o pico do histograma enquanto as caudas são menores que as do histograma.
A figura à direita mostra a função de densidade de probabilidade normal ajustada ao mesmo histograma observado. O pico da função é menor que o pico do histograma.
Isso ilustra a afirmação acima.
Explicação de momentos indefinidos
Média
Se uma distribuição de probabilidade tiver uma função de densidade f(x)(x)}, então a média, se existir, é dada por
∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ xf(x)Dx.{displaystyle int _{-infty }^{infty }xf(x),dx.} | (1) |
Podemos avaliar essa integral imprópria bilateral calculando a soma de duas integrais impróprias unilaterais. Aquilo é,
∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ umxf(x)Dx+∫ ∫ um∞ ∞ xf(x)Dx{displaystyle int _{-infty }^{a}xf(x),dx+int _{a}^{infty }xf(x),dx} | (2) |
para um número real arbitrário umNão..
Para que a integral exista (mesmo como um valor infinito), pelo menos um dos termos dessa soma deve ser finito, ou ambos devem ser infinitos e ter o mesmo sinal. Mas no caso da distribuição de Cauchy, ambos os termos desta soma (2) são infinitos e têm sinais opostos. Portanto (1) é indefinido e, portanto, a média também.
Observe que o valor principal de Cauchy da média da distribuição de Cauchy é
Vários resultados na teoria da probabilidade sobre valores esperados, como a lei forte dos grandes números, não são válidos para a distribuição de Cauchy.
Momentos menores
Os momentos absolutos para p∈ ∈ (- Sim. - Sim. 1,1)(-1,1)} são definidos. Para X∼ ∼ CumuchSim.(0,γ γ )Não. Xsim mathrm {Cauchy} (0,gamma)} nós temos
- E Não.|X|p]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =γ γ pSec(D D p/2).{displaystyle operatorname} {E} [|X|^{p}]=gamma ^{p}mathrm {sec} (pi p/2). ?
Momentos mais altos
A distribuição de Cauchy não possui momentos finitos de nenhuma ordem. Alguns dos momentos brutos mais altos existem e têm um valor infinito, por exemplo, o segundo momento bruto:
- E Não.X2]∝ ∝ ∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ x21+x2Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ 1- Sim. - Sim. 11+x2Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ Dx- Sim. - Sim. ∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ 11+x2Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ - Sim. - Sim. ∞ ∞ ∞ ∞ Dx- Sim. - Sim. D D = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∞ ∞ .{displaystyle {begin{aligned}operatorname} {E} [X^{2}]&propto int _{-infty }^{infty }{frac {x^{2}}{1+x^{2}}},dx=int _{-infty }^{infty }1-{frac {1}{1+x^{2}}},dx\[8pt]&=int _{-infty }^{infty }dx-int _{-infty }^{infty }{frac {1}{1+x^{2}}},dx=int _{-infty }^{infty }dx-pi =infty.end{aligned}}}
Ao reorganizar a fórmula, pode-se ver que o segundo momento é essencialmente a integral infinita de uma constante (aqui 1). Maiores momentos crus ainda alimentados também serão avaliados para o infinito. No entanto, momentos crus de força ímpar são indefinidos, o que é distintamente diferente do existente com o valor do infinito. Os momentos crus ímpares são indefinidos porque seus valores são essencialmente equivalentes a ∞ ∞ - Sim. - Sim. ∞ ∞ {displaystyle infty -infty } uma vez que as duas metades da integral divergem e têm sinais opostos. O primeiro momento cru é a média, que, sendo estranho, não existe. (Ver também a discussão acima sobre isso.) Isso, por sua vez, significa que todos os momentos centrais e momentos padronizados são indefinidos, uma vez que são todos baseados na média. A variância - que é o segundo momento central - é igualmente inexistente (apesar do fato de que o segundo momento cru existe com o infinito valor).
Os resultados para momentos mais altos seguem da desigualdade de Hölder, o que implica que os momentos mais altos (ou metades dos momentos) divergem se os mais baixos o fazem.
Momentos de distribuições truncadas
Considere a distribuição truncada definida pela restrição da distribuição padrão de Cauchy ao intervalo [−10100, 10100]. Tal distribuição truncada tem todos os momentos (e o teorema do limite central se aplica a observações i.i.d. a partir dele); ainda assim, para quase todos os propósitos práticos, ela se comporta como uma distribuição de Cauchy.
Estimativa de parâmetros
Como os parâmetros da distribuição de Cauchy não correspondem a uma média e variância, tentar estimar os parâmetros da distribuição de Cauchy usando uma média de amostra e uma variância de amostra não terá sucesso. Por exemplo, se um i.i.d. amostra de tamanho n é retirada de uma distribuição de Cauchy, pode-se calcular a média da amostra como:
- x? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nGerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nxEu...{displaystyle {bar {x}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}}
Embora os valores da amostra xEu...Não. x_{i}} será concentrado sobre o valor central x0{displaystyle x_{0}}, a média da amostra se tornará cada vez mais variável à medida que mais observações são tomadas, devido ao aumento da probabilidade de encontrar pontos de amostra com um grande valor absoluto. De fato, a distribuição da média da amostra será igual à distribuição das próprias observações; isto é, a média da amostra de uma amostra grande não é melhor (ou pior) um estimador de x0{displaystyle x_{0}} do que qualquer observação única da amostra. Da mesma forma, o cálculo da variância da amostra resultará em valores que crescem maiores à medida que mais observações forem tomadas.
Portanto, meios mais robustos para estimar o valor central x0{displaystyle x_{0}} e o parâmetro escalonamento γ γ - Sim. são necessários. Um método simples é tomar o valor mediano da amostra como um estimador de x0{displaystyle x_{0}} e metade da faixa interquartil amostra como um estimador de γ γ - Sim.. Outros métodos mais precisos e robustos foram desenvolvidos Por exemplo, a média truncada do meio 24% das estatísticas da ordem da amostra produz uma estimativa para x0{displaystyle x_{0}} que é mais eficiente do que usar a amostra mediana ou a amostra completa média. No entanto, devido às caudas gordas da distribuição Cauchy, a eficiência do estimador diminui se mais de 24% da amostra é usada.
A probabilidade máxima também pode ser usada para estimar os parâmetros x0{displaystyle x_{0}} e γ γ - Sim.. No entanto, isso tende a ser complicado pelo fato de que isso requer encontrar as raízes de um polinômio de alto grau, e pode haver múltiplas raízes que representam maxima local. Além disso, enquanto o estimador máximo de probabilidade é assintoticamente eficiente, é relativamente ineficiente para pequenas amostras. A função de log-likelihood para a distribuição Cauchy para o tamanho da amostra nNão. é:
- Eu... Eu... ^ ^ (x1,...... ,xn∣ ∣ x0,γ γ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. nlog (γ γ D D )- Sim. - Sim. Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nlog (1+(xEu...- Sim. - Sim. x0γ γ )2){displaystyle {hat {ell }}(x_{1},dotscx_{n}mid !x_{0},gamma)=-nlog(gamma pi)-sum _{i=1}^{n}log left(1+left({frac {x_{i}-x_{0}}{gamma }}right)^{2}right)}
Maximizando a função de probabilidade de log com relação a x0{displaystyle x_{0}} e γ γ - Sim. tomando o primeiro derivado produz o seguinte sistema de equações:
- DEu... Eu... Dx0= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n2(xEu...- Sim. - Sim. x0)γ γ 2+(xEu...- Sim. - Sim. x0)2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0(em inglês) }{dx_{0}}}=sum _{i=1}^{n}{frac {2(x_{i}-x_{0})}{ gamma ^{2}+left (x_{i}-!x_{0}right)^{2}}}=0}
- DEu... Eu... Dγ γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n2(xEu...- Sim. - Sim. x0)2γ γ (γ γ 2+(xEu...- Sim. - Sim. x0)2)- Sim. - Sim. nγ γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0(em inglês) ? }}=sum _{i=1}^{n}{frac {2left(x_{i}-x_{0}right)^{2}}{gamma (gamma ^{2}+left(x_{i}-x_{0}right)^{2})}}-{frac {n}{gamma - Sim.
Observe que
- Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n(xEu...- Sim. - Sim. x0)2γ γ 2+(xEu...- Sim. - Sim. x0)2{displaystyle sum _{i=1}^{n}{frac {left(x_{i}-x_{0}right)^{2}}{gamma ^{2}+left(x_{i}-x_{0}right)^{2}}
é uma função monotone em γ γ - Sim. e que a solução γ γ - Sim. deve satisfazer
- min|xEu...- Sim. - Sim. x0|≤ ≤ γ γ ≤ ≤ máx.|xEu...- Sim. - Sim. x0|.{displaystyle min |x_{i}-x_{0}|leq gamma leq max |x_{i}-x_{0}|.}
Vendendo apenas para x0{displaystyle x_{0}} requer resolver um polinomial de grau 2n- Sim. - Sim. 1- Sim.e resolver apenas para γ γ {displaystyle ,!gamma } requer resolver um polinomial de grau 2nNão.. Portanto, se a solução para um parâmetro ou para ambos os parâmetros simultaneamente, uma solução numérica em um computador é tipicamente necessária. O benefício da estimativa máxima de probabilidade é a eficiência assintótica; estimativa x0{displaystyle x_{0}} usando a amostra mediana é apenas cerca de 81% como assintoticamente eficiente como estimativa x0{displaystyle x_{0}} por máxima probabilidade. A média de amostra truncada usando as estatísticas de ordem de 24% do meio é de cerca de 88% como um estimador assintoticamente eficiente x0{displaystyle x_{0}} como a estimativa máxima de probabilidade. Quando o método de Newton é usado para encontrar a solução para a estimativa máxima de probabilidade, as estatísticas de ordem de 24% do meio podem ser usadas como uma solução inicial para x0{displaystyle x_{0}}.
A forma pode ser estimada usando a mediana de valores absolutos, pois para a localização 0 Variáveis Cauchy X∼ ∼ CumuchSim.(0,γ γ )Não. Xsim mathrm {Cauchy} (0,gamma)}, o meDEu...umn(|X|)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =γ γ {displaystyle mathrm {median} (|X|)=gamma } o parâmetro de forma.
Gerando valores a partir da distribuição de Cauchy
Vamos. uNão. ser uma amostra de uma distribuição uniforme de Não.0,1][0,1]}, então podemos gerar uma amostra, xNão. da distribuição Cauchy usando
- x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =bronzeado (D D (u- Sim. - Sim. 12)){displaystyle x=tan left(pi (u-{frac {1}{2}})}
Como alternativa, a proporção de duas amostras padrão normalmente distribuídas é uma amostra de Cauchy.
Distribuição multivariada de Cauchy
Um vetor aleatório X= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(X1,...... ,Xk)T{displaystyle X=(X_{1},ldotsX_{k})^{T}} é dito ter a distribuição multivariada Cauchy se cada combinação linear de seus componentes Y= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um1X1+⋯ ⋯ +umkXkNão. Y=a_{1}X_{1}+cdots +a_{k}X_{k}} tem uma distribuição Cauchy. Isto é, para qualquer vetor constante um∈ ∈ Rk{displaystyle ain mathbb (R} ^{k}}, a variável aleatória Y= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =umTXNão. Sim. deve ter uma distribuição de Cauchy univariada. A função característica de uma distribuição de Cauchy multivariada é dada por:
- φ φ X())= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =eEu...x0())- Sim. - Sim. γ γ ()),{displaystyle varphi _{X}(t)=e^{ix_{0}(t)-gamma (t)},!}
Onde? x0())(t)} e γ γ ()){displaystyle gamma (t)} são funções reais com x0())(t)} uma função homogênea do grau um e γ γ ()){displaystyle gamma (t)} uma função homogênea positiva de grau um. Mais formalmente:
- x0(um))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =umx0()),{displaystyle x_{0}(at)=ax_{0}(t),}
- γ γ (um))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|um|γ γ ()),{displaystyle gamma (at)=|a|gamma (t),}
para todos )Não..
Um exemplo de distribuição de Cauchy bivariada pode ser dado por:
- f(x,Sim.;x0,Sim.0,γ γ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12D D Não.γ γ ((x- Sim. - Sim. x0)2+(Sim.- Sim. - Sim. Sim.0)2+γ γ 2)3/2].{displaystyle f(x,y;x_{0},y_{0},gamma)={1 over 2pi }left[{gamma over (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+gamma ^{2})^{3/2}}right].}
Note que neste exemplo, mesmo que a covariância entre xNão. e Sim.- Sim. é 0, xNão. e Sim.- Sim. não são estatisticamente independentes.
Também podemos escrever esta fórmula para variáveis complexas. Então a função de densidade de probabilidade de cauchy complexo é:
- f(zangão.;zangão.0,γ γ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12D D Não.γ γ (|zangão.- Sim. - Sim. zangão.0|2+γ γ 2)3/2].{displaystyle f(z;z_{0},gamma)={1 over 2pi }left[{gamma over (|z-z_{0}|^{2}+gamma ^{2})^{3/2}}right].}
Analógico para a densidade univariada, a densidade de Cauchy multidimensional também se relaciona com a distribuição de estudantes multivariados. Eles são equivalentes quando o parâmetro liberdade é igual a um. A densidade de uma kNão. dimensão Distribuição de estudantes com um grau de liberdade torna-se:
- f(x;μ μ ,Σ Σ ,k)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =)) (1+k2))) (12)D D k2|Σ Σ |12Não.1+(x- Sim. - Sim. μ μ )TΣ Σ - Sim. - Sim. 1(x- Sim. - Sim. μ μ )]1+k2.(em inglês) } - Sim. [Gamma left({frac {1+k}{2}}right)}{ Gamma ({frac {1}{2}})pi ^{frac {k}{2}}left|{mathbf }right|^{frac {1}{2}}left[1+({mathbf {x} }-{mathbf } - Sim. }-{mathbf {mu } })right]^{frac {1+k}{2}}}}}
Propriedades e detalhes para esta densidade podem ser obtidos tomando-a como um caso particular da densidade multivariada de Student.
Propriedades de transformação
- Se X∼ ∼ Cauda (x0,γ γ )Não. Xsim operatorname {Cauchy} (x_{0},gamma)} então kX+Eu... Eu... ∼ ∼ Cauda(x0k+Eu... Eu... ,γ γ |k|){displaystyle kX+ell sim {textrm {Cauchy}}(x_{0}k+ellgamma |k|)}
- Se X∼ ∼ Cauda (x0,γ γ 0)Não. Xsim operatorname {Cauchy} (x_{0},gamma _{0})} e Y∼ ∼ Cauda (x1,γ γ 1)Não. Ysim operatorname {Cauchy} (x_{1},gamma _{1} são independentes, então X+Y∼ ∼ Cauda (x0+x1,γ γ 0+γ γ 1)Não. X+Ysim nome de operação {Cauchy} (x_{0}+x_{1},gamma _{0}+gamma _{1} e X- Sim. - Sim. Y∼ ∼ Cauda (x0- Sim. - Sim. x1,γ γ 0+γ γ 1)Não. X-Ysim nome do operador {Cauchy} (x_{0}-x_{1},gamma _{0}+gamma _{1}
- Se X∼ ∼ Cauda (0,γ γ )Não. Xsim operatorname {Cauchy} (0,gamma)} então 1X∼ ∼ Cauda (0,1γ γ )Não. {1}{X}}sim operatorname {Cauchy} (0,{tfrac {1}{gamma }}}
- Parametrização de McCullagh das distribuições Cauchy: Expressando uma distribuição Cauchy em termos de um parâmetro complexo ? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x0+Eu...γ γ {displaystyle psi =x_{0}+igamma }, definir X∼ ∼ Cauda (? ? )Não. Xsim operatorname {Cauchy} (psi)} significar X∼ ∼ Cauda (x0,|γ γ |)Não. Xsim operatorname {Cauchy} (x_{0},|gamma |)}. Se X∼ ∼ Cauda (? ? )Não. Xsim operatorname {Cauchy} (psi)} então: Onde? umNão., b)Não., cNão. e DNão. são números reais.umX+b)cX+D∼ ∼ Cauda (um? ? +b)c? ? +D){displaystyle {frac {aX+b}{cX+d}}sim operatorname {Cauchy} left({frac {apsi) +b}{cpsi +d}}right)}
- Usando a mesma convenção como acima, se X∼ ∼ Cauda (? ? )Não. Xsim operatorname {Cauchy} (psi)} então: Onde? CCauchy{displaystyle operatorname {CCauchy} } } é a distribuição circular Cauchy.X- Sim. - Sim. Eu...X+Eu...∼ ∼ CCauchy (? ? - Sim. - Sim. Eu...? ? +Eu...){displaystyle {frac {X-i}{X+i}}sim operatorname {CCauchy} left({frac {psi} - Sim.
Medida de Lévy
A distribuição Cauchy é a distribuição estável do índice 1. A representação Lévy-Khintchine de uma distribuição tão estável de parâmetro γ γ - Sim. é dado, pois X∼ ∼ Estável (γ γ ,0,0)Não. Xsim operatorname {Stable} (gamma0,0),} por:
- E (eEu...xX)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =exp (∫ ∫ R(eEu...xSim.- Sim. - Sim. 1)D D γ γ (DSim.)){displaystyle operatorname {E} left(e^{ixX}right)=exp left(int _{mathbb {R} }(e^{ixy}-1)Pi _{gamma }(dy)right)}
onde
- 0right}}+c_{2,gamma }{frac {1}{|y|^{1+gamma }}}1_{left{yD D γ γ (DSim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(c1,γ γ 1Sim.1+γ γ 1(Sim.>0?+c2,γ γ 1|Sim.|1+γ γ 1(Sim.<0?)DSim.Não. Pi _{gamma }(dy)=left(c_{1,gamma }{frac {1}{y^{1+gamma }}}1_{left{y>0right}}+c_{2,gamma }{frac {1}{|y|^{1+gamma }}}1_{left{y<0right}}right,dy}0right}}+c_{2,gamma }{frac {1}{|y|^{1+gamma }}}1_{left{y
e c1,γ γ ,c2,γ γ {displaystyle c_{1,gamma },c_{2,gamma) pode ser expresso explicitamente. No caso γ γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1{displaystyle gamma =1} da distribuição Cauchy, um tem c1,γ γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =c2,γ γ {displaystyle c_{1,gamma }=c_{2,gamma).
Esta última representação é consequência da fórmula
- D D |x|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =PV ∫ ∫ R∖ ∖ (0?(1- Sim. - Sim. eEu...xSim.)DSim.Sim.2{displaystyle pi |x|=operatorname {PV} int _{mathbb {R} setminus lbrace 0rbrace }(1-e^{ixy}),{frac {dy}{y^{2}}}}}}
Distribuições relacionadas
- Cauda (0,1)∼ ∼ )(Df= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1){displaystyle operatorname {Cauchy} (0,1)sim {textrm {t}}(mathrm {df} =1),} Distribuição t do estudante
- Cauda (μ μ ,σ σ )∼ ∼ )(Df= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1)(μ μ ,σ σ ){displaystyle operatorname {Cauchy} (musigma)sim {textrm {t}}_{(mathrm {df} =1)}(musigma,} não padronizado Distribuição t do estudante
- Se X,Y∼ ∼ N(0,1)X,Y{displaystyle X,Ysim {textrm {N}}(0,1),X,Y} independente, então XY∼ ∼ Cauda(0,1){displaystyle tfrac {X}{Y}}sim {textrm} {Cauchy}}(0,1),}
- Se X∼ ∼ U(0,1)Não. Xsim {textrm {U}}(0,1),} então bronzeado (D D (X- Sim. - Sim. 12))∼ ∼ Cauda(0,1){displaystyle tan left(pi left(X-{tfrac) {1}{2}}right)right)sim {textrm {Cauchy}}(0,1),}
- Se X∼ ∼ Log- Não.CumuchSim. (0,1)Não. Xsim operatorname {Log-Cauchy} (0,1)} então I (X)∼ ∼ Cauda(0,1){displaystyle ln(X)sim {textrm {Cauchy}}(0,1)}
- Se X∼ ∼ Cauda (x0,γ γ )Não. Xsim operatorname {Cauchy} (x_{0},gamma)} então 1X∼ ∼ Cauda (x0x02+γ γ 2,γ γ x02+γ γ 2)Não. {1}{X}}sim operatorname (Cauchy) left({tfrac {x_{0}}{x_{0}^{2}+gamma ^{2}}},{tfrac Não. }{x_{0}^{2}+gamma ^{2}}}right)}
- A distribuição Cauchy é um caso limitante de uma distribuição Pearson do tipo 4
- A distribuição Cauchy é um caso especial de distribuição de Pearson do tipo 7.
- A distribuição Cauchy é uma distribuição estável: se X∼ ∼ Estável(1,0,γ γ ,μ μ )Não. Xsim {textrm {Stable}}(1,0,gammamu)}, então X∼ ∼ Cauda (μ μ ,γ γ )Não. Xsim operatorname {Cauchy} (mugamma)}.
- A distribuição Cauchy é um limite singular de uma distribuição hiperbólica
- A distribuição de Cauchy embrulhada, tomando valores em um círculo, é derivada da distribuição Cauchy, envolvendo-a em torno do círculo.
- Se X∼ ∼ N(0,1)Não. Xsim {textrm {N}}(0,1)}, Z.∼ ∼ Eu...nveRSe- Não.Gummmum (1/2,S2/2)Não. Zsim operatorname {Inverse-Gamma} (1/2,s^{2}/2)}, então Y= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =μ μ +XZ.∼ ∼ Cauda (μ μ ,S)Não. Y=mu +X{sqrt {Z}}sim operatorname {Cauchy} (mus)}. Para distribuições de meio casulo, a relação decorre pela definição =0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">X∼ ∼ N(0,1)Eu...(X- Sim.0?Não. Xsim {textrm {N}}(0,1)I{X>=0}}=0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e1b0bebf03c48333f17246f2f3f477363984c1" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.535ex; height:2.843ex;"/>.
Distribuição relativística de Breit-Wigner
Na física nuclear e de partículas, o perfil de energia de uma ressonância é descrito pela distribuição relativística de Breit-Wigner, enquanto a distribuição de Cauchy é a distribuição (não relativística) de Breit-Wigner.
Ocorrência e aplicações
- Na espectroscopia, a distribuição Cauchy descreve a forma de linhas espectrais que estão sujeitas a uma ampliação homogênea em que todos os átomos interagem da mesma forma com a faixa de frequência contida na forma da linha. Muitos mecanismos causam a ampliação homogênea, principalmente a ampliação da colisão. A vida útil ou a ampliação natural também dá origem a uma forma de linha descrita pela distribuição Cauchy.
- As aplicações da distribuição Cauchy ou sua transformação podem ser encontradas em campos que trabalham com crescimento exponencial. Um artigo de 1958 de White deriva a estatística de teste para os estimadores de β β ^ ^ - Não.) para a equação 1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x)+1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =β β x)+ε ε )+1,β β >1Não. x_{t+1}=beta {x}_{t}+varepsilon _{t+1},beta >1}1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edac7d560e5c61f0377517f8f879361904ea2e4" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.32ex; height:2.509ex;"/> e onde o estimador máximo de probabilidade é encontrado usando menos quadrados comuns mostrou a distribuição amostral da estatística é a distribuição Cauchy.
- A distribuição Cauchy é muitas vezes a distribuição de observações para objetos que estão girando. A referência clássica para isso é chamada de problema de farol do Gull e como na seção acima como a distribuição Breit-Wigner em física de partículas.
- Em hidrologia, a distribuição Cauchy é aplicada a eventos extremos, como chuvas máximas anuais de um dia e descargas de rio. A imagem azul ilustra um exemplo de adequar a distribuição Cauchy para classificar as precipitações mensais máximas de um dia mostrando também o cinto de confiança de 90% com base na distribuição binomial. Os dados de precipitação são representados por posições de plotagem como parte da análise de frequência cumulativa.
- A expressão para a parte imaginária da permissividade elétrica complexa de acordo com o modelo Lorentz é um modelo VAR (valor em risco) produzindo uma probabilidade muito maior de risco extremo do que a Distribuição Gaussiana.
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