Distribuição binomial

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Distribuição de probabilidade

Distribuição binomial para

p=0.5

com n e k como no triângulo de Pascal

A probabilidade de uma bola em uma caixa de Galton com 8 camadas (n= 8) termina no bin central (k= 4) é

70/256

Em teoria e estatísticas de probabilidade, o distribuição binomial com parâmetros n e p é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos em uma sequência de n experimentos independentes, cada um fazendo uma pergunta sim-sem, e cada um com seu próprio resultado de valor booleano: sucesso (com probabilidade p) ou falha (com probabilidade $q=1-p$ ). Uma única experiência de sucesso/falha também é chamada de uma experiência de Bernoulli ou Bernoulli, e uma sequência de resultados é chamada de processo Bernoulli; para um único julgamento, ou seja, n= 1, a distribuição binomial é uma distribuição Bernoulli. A distribuição binomial é a base para o teste binomial popular de significância estatística.

A distribuição binomial é freqüentemente usada para modelar o número de sucessos em uma amostra de tamanho n extraída com reposição de uma população de tamanho N. Se a amostragem for realizada sem reposição, as extrações não são independentes e, portanto, a distribuição resultante é uma distribuição hipergeométrica e não binomial. No entanto, para N muito maior que n, a distribuição binomial continua sendo uma boa aproximação e é amplamente utilizada.

Definições

Função de massa de probabilidade

Em geral, se a variável aleatória X segue a distribuição binomial com parâmetros n ∈ $mathbb {N}$ e p ∈ [0,1], escrevemos XB.n,p). A probabilidade de obter exatamente k sucessos em n independente Os ensaios de Bernoulli são dados pela função de massa de probabilidade:

{displaystyle f(k,n,p)=Pr(k;n,p)=Pr(X=k)={binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}

para k = 0, 1, 2,..., n, onde

{displaystyle {binom {n}{k}}={frac {n!}{k!(n-k)!}}}

é o coeficiente binomial, daí o nome da distribuição. A fórmula pode ser entendida como segue: k sucessos ocorrem com probabilidade p^k e n- Sim.k falhas ocorrem com probabilidade $(1-p)^{{n-k}}$ . No entanto, o k sucessos podem ocorrer em qualquer lugar entre os n testes, e há ${tbinom {n}{k}}$ diferentes formas de distribuição k sucessos em uma sequência de n julgamentos.

Ao criar tabelas de referência para probabilidade de distribuição binomial, geralmente a tabela é preenchida com até n/2 valores. Isso ocorre porque para k > n/2, a probabilidade pode ser calculada pelo seu complemento como

f(k,n,p)=f(n-k,n,1-p).

Observando a expressão f(k, n, p) como uma função de k, existe um valor k que o maximiza. Este valor k pode ser encontrado calculando

{frac {f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}}={frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}

e comparando com 1. Há sempre um inteiro M que satisfaz

<math alttext="{displaystyle (n+1)p-1leq M(n+1)p- Sim. - Sim. 1\leq \leq M<(n+1)p.(n+1)p-1leq M<(n+1)p.} <img alt="(n+1)p-1leq M

f(k, n, p) é monótono aumentando para k < M e monótono diminuindo para k > M, com exceção do caso em que (n + 1)p é um número inteiro. Nesse caso, existem dois valores para os quais f é máximo: (n + 1)p e (n + 1)p − 1. M é o resultado mais provável (ou seja, o mais provável, embora ainda possa ser improvável no geral) das tentativas de Bernoulli e é chamada de moda.

Exemplo

Suponha que uma moeda viciada dê cara com probabilidade 0,3 quando lançada. A probabilidade de obter exatamente 4 caras em 6 jogadas é

{displaystyle f(4,6,0.3)={binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.}

Função de distribuição cumulativa

A função de distribuição cumulativa pode ser expressa como:

{displaystyle F(k;n,p)=Pr(Xleq k)=sum _{i=0}^{lfloor krfloor }{n choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},}

Onde? $lfloor krfloor$ é o "floor" abaixo k, ou seja, o maior inteiro menos ou igual a k.

Também pode ser representado em termos da função beta incompleta regularizada, como segue:

{begin{aligned}F(k;n,p)&=Pr(Xleq k)\&=I_{1-p}(n-k,k+1)\&=(n-k){n choose k}int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k},dt.end{aligned}}

que é equivalente à função de distribuição cumulativa da distribuição F:

{displaystyle F(k;n,p)=F_{F{text{-distribution}}}left(x={frac {1-p}{p}}{frac {k+1}{n-k}};d_{1}=2(n-k),d_{2}=2(k+1)right).}

Alguns limites de forma fechada para a função de distribuição cumulativa são fornecidos abaixo.

Propriedades

Valor e variação esperados

Se X ~ B(n, p), ou seja, X é uma variável aleatória distribuída binomialmente, sendo n o número total de experimentos e p a probabilidade de cada experimento produzir um resultado bem-sucedido, então o valor esperado de X é:

{displaystyle operatorname {E} [X]=np.}

Isto segue da linearidade do valor esperado, juntamente com o fato de que $X$ é a soma de $n$ idêntico Variáveis aleatórias de Bernoulli, cada uma com valor esperado $p$ . Em outras palavras, se $X_1, ldots, X_n$ são idênticos (e independentes) Variáveis aleatórias de Bernoulli com parâmetro $p$ , então ${displaystyle X=X_{1}+cdots +X_{n}}$ e

{displaystyle operatorname {E} [X]=operatorname {E} [X_{1}+cdots +X_{n}]=operatorname {E} [X_{1}]+cdots +operatorname {E} [X_{n}]=p+cdots +p=np.}

A variação é:

{displaystyle operatorname {Var} (X)=npq=np(1-p).}

Isto decorre do fato de que a variância de uma soma de variáveis aleatórias independentes é a soma das variâncias.

Momentos mais altos

Os primeiros 6 momentos centrais, definidos como ${displaystyle mu _{c}=operatorname {E} left[(X-operatorname {E} [X])^{c}right]}$ , são dados por

{displaystyle {begin{aligned}mu _{1}&=0,\mu _{2}&=np(1-p),\mu _{3}&=np(1-p)(1-2p),\mu _{4}&=np(1-p)(1+(3n-6)p(1-p)),\mu _{5}&=np(1-p)(1-2p)(1+(10n-12)p(1-p)),\mu _{6}&=np(1-p)(1-30p(1-p)(1-4p(1-p))+5np(1-p)(5-26p(1-p))+15n^{2}p^{2}(1-p)^{2}).end{aligned}}}

Os momentos não centrais satisfazem

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {E} [X]&=np,\operatorname {E} [X^{2}]&=np(1-p)+n^{2}p^{2},end{aligned}}}

e em geral

{displaystyle operatorname {E} [X^{c}]=sum _{k=0}^{c}left{{c atop k}right}n^{underline {k}}p^{k},}

Onde? ${displaystyle textstyle left{{c atop k}right}}$ são os números Stirling do segundo tipo, e ${displaystyle n^{underline {k}}=n(n-1)cdots (n-k+1)}$ é o $k$ o poder de queda de $n$ . Um simples limite segue limitando os momentos Binomiais através dos momentos de Poisson mais elevados:

{displaystyle operatorname {E} [X^{c}]leq left({frac {c}{log(c/(np)+1)}}right)^{c}leq (np)^{c}exp left({frac {c^{2}}{2np}}right).}

Isso mostra que se ${displaystyle c=O({sqrt {np}})}$ , então ${displaystyle operatorname {E} [X^{c}]}$ é no máximo um fator constante longe de ${displaystyle operatorname {E} [X]^{c}}$

Modo

Normalmente o modo de um binomial B(n,p) a distribuição é igual a $lfloor (n+1)prfloor$ , onde $lfloor cdot rfloor$ é a função do chão. No entanto, quando (n+ 1)p é um inteiro e p não é nem 0 nem 1, então a distribuição tem dois modos: (n+ 1)p en+ 1)p- Sim. 1. Quando p é igual a 0 ou 1, o modo será 0 e n correspondentemente. Estes casos podem ser resumidos da seguinte forma:

{text{mode}}={begin{cases}lfloor (n+1),prfloor &{text{if }}(n+1)p{text{ is 0 or a noninteger}},\(n+1),p {text{ and }} (n+1),p-1&{text{if }}(n+1)pin {1,dotsn},\n&{text{if }}(n+1)p=n+1.end{cases}}

Prova: Deixe

{displaystyle f(k)={binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}.}

Para $p=0$ apenas $f(0)$ tem um valor nonzero com $f(0)=1$ . Para $p=1$ nós encontramos $f(n)=1$ e $f(k)=0$ para $kneq n$ . Isso prova que o modo é 0 para $p=0$ e $n$ para $p=1$ .

Vamos. $<math alttext="{displaystyle 0<p0<p<1{displaystyle 0<p<1}} <img alt="0<p$ . Nós encontramos

{frac {f(k+1)}{f(k)}}={frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}

A partir disso segue

(n+1)p-1Rightarrow f(k+1)<f(k)\k=(n+1)p-1Rightarrow f(k+1)=f(k)\kf(k)end{aligned}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">k>(n+1)p- Sim. - Sim. 1⇒ ⇒ f(k+1)<f(k)k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(n+1)p- Sim. - Sim. 1⇒ ⇒ f(k+1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(k)k<(n+1)p- Sim. - Sim. 1⇒ ⇒ f(k+1)>f(k){displaystyle {begin{aligned}k>(n+1)p-1Rightarrow f(k+1)<f(k)k=(n+1)p-1Rightarrow f(k+1)=f(k)kf(k)end{aligned}}}(n+1)p-1Rightarrow f(k+1)<f(k)\k=(n+1)p-1Rightarrow f(k+1)=f(k)\kf(k)end{aligned}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3d2862e74e83011904c0e11b0257d678441df8" style="vertical-align: -4.005ex; width:36.754ex; height:9.176ex;"/>

Então, quando $(n+1)p-1$ é um inteiro, então $(n+1)p-1$ e $(n+1)p$ é um modo. No caso de $(n+1)p-1notin mathbb {Z}$ , então só $lfloor (n+1)p-1rfloor +1=lfloor (n+1)prfloor$ é um modo.

Média

Em geral, não existe uma fórmula única para encontrar a mediana para uma distribuição binomial e pode até ser não única. No entanto, vários resultados especiais foram estabelecidos:

Se n é um inteiro, então a média, mediana e modo coincidem e iguais n.
Qualquer mediana m deve estar dentro do intervalo ∴n≤m≤ ≤n..
Uma mediana m não pode ficar muito longe da média: |m - Sim. n| ≤ min{ ln 2, max{p, 1 − p?}
A mediana é única e igual a m= redondo(n) quando |m- Sim.n| ≤ min{p, 1 −p} (exceto o caso quando p= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1/2 e n é estranho).
Quando p é um número racional (com exceção de p= 1/2 e n odd) a mediana é única.
Quando p= 1/2 e n é estranho, qualquer número m no intervalo 1/2(n- 1) ≤m≤1/2(n+ 1) é uma mediana da distribuição binomial. Se p= 1/2 e n é mesmo, então m= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =n/2 é a mediana única.

Limites da cauda

Para k ≤ n, limites superiores podem ser derivados para a cauda inferior da função de distribuição cumulativa $F(k;n,p)=Pr(Xleq k)$ , a probabilidade de que haja no máximo k sucessos. Desde então ${displaystyle Pr(Xgeq k)=F(n-k;n,1-p)}$ , estes limites também podem ser vistos como limites para a cauda superior da função de distribuição cumulativa para k ≥ n.

A desigualdade de Hoeffding produz o limite simples

{displaystyle F(k;n,p)leq exp left(-2nleft(p-{frac {k}{n}}right)^{2}right),!}

que, no entanto, não é muito apertado. Em particular, para p = 1, temos que F(k;n,p) = 0 (para k fixo, n com k < n), mas Hoeffding&# O limite de 39;s é avaliado como uma constante positiva.

Um limite mais nítido pode ser obtido a partir do limite de Chernoff:

{displaystyle F(k;n,p)leq exp left(-nDleft({frac {k}{n}}parallel pright)right)}

onde D(a || p) é a entropia relativa (ou divergência de Kullback-Leibler) entre um a-coin e uma p-coin (ou seja, entre a distribuição Bernoulli(a) e Bernoulli(p):

{displaystyle D(aparallel p)=(a)log {frac {a}{p}}+(1-a)log {frac {1-a}{1-p}}.!}

Assintoticamente, este limite é razoavelmente estreito; veja os detalhes.

Um também pode obter mais baixo amarras na cauda ${displaystyle F(k;n,p)}$ , conhecido como limites anti-concentração. Ao aproximar o coeficiente binomial com a fórmula de Stirling, pode-se mostrar que

{displaystyle F(k;n,p)geq {frac {1}{sqrt {8n{tfrac {k}{n}}(1-{tfrac {k}{n}})}}}exp left(-nDleft({frac {k}{n}}parallel pright)right),}

o que implica o limite mais simples, mas mais flexível

{displaystyle F(k;n,p)geq {frac {1}{sqrt {2n}}}exp left(-nDleft({frac {k}{n}}parallel pright)right).}

Para p = 1/2 e k ≥ 3n/8 para n par, é possível tornar o denominador constante:

{displaystyle F(k;n,{tfrac {1}{2}})geq {frac {1}{15}}exp left(-16nleft({frac {1}{2}}-{frac {k}{n}}right)^{2}right).!}

Inferência estatística

Estimativa de parâmetros

Quando n é conhecido, o parâmetro p pode ser estimado usando a proporção de sucessos:

{displaystyle {widehat {p}}={frac {x}{n}}.}

Este estimador é encontrado usando o estimador de máxima verossimilhança e também o método dos momentos. Este estimador é imparcial e uniformemente com variância mínima, comprovado pelo teorema de Lehmann–Scheffé, uma vez que se baseia em uma estatística mínima suficiente e completa (ou seja: x). Também é consistente tanto em probabilidade quanto em MSE.

Um estimador de Bayes de forma fechada p também existe ao usar a distribuição Beta como uma distribuição prévia conjugada. Ao usar um general ${displaystyle operatorname {Beta} (alphabeta)}$ como anterior, o estimador médio posterior é:

{displaystyle {widehat {p}}_{b}={frac {x+alpha }{n+alpha +beta }}.}

O estimador de Bayes é assintoticamente eficiente e conforme o tamanho da amostra se aproxima do infinito (n → ∞), ele se aproxima da solução MLE. O estimador de Bayes é enviesado (o quanto depende dos priores), admissível e consistente em probabilidade.

Para o caso especial de usar a distribuição uniforme padrão como um prévio não informativo, ${displaystyle operatorname {Beta} (alpha =1,beta =1)=U(0,1)}$ , o estimador médio posterior torna-se:

{displaystyle {widehat {p}}_{b}={frac {x+1}{n+2}}.}

(Um modo posterior deve apenas levar ao estimador padrão.) Este método é chamado de regra de sucessão, que foi introduzida no século 18 por Pierre-Simon Laplace.

Ao estimar p com eventos muito raros e um pequeno n (por exemplo: se x=0), então usar o estimador padrão leva a ${displaystyle {widehat {p}}=0,}$ que às vezes é irrealista e indesejável. Nesses casos, existem vários estimadores alternativos. Uma maneira é usar o estimador Bayes, levando a:

{displaystyle {widehat {p}}_{b}={frac {1}{n+2}}.}

Outro método é usar o limite superior do intervalo de confiança obtido usando a regra de três:

{displaystyle {widehat {p}}_{text{rule of 3}}={frac {3}{n}}.}

Intervalos de confiança

Mesmo para valores muito grandes de n, a distribuição real da média é significativamente não normal. Devido a este problema, vários métodos para estimar intervalos de confiança foram propostos.

Nas equações para intervalos de confiança abaixo, as variáveis têm o seguinte significado:

n₁ é o número de sucessos fora de n, o número total de ensaios
${displaystyle {widehat {p,}}={frac {n_{1}}{n}}}$ é a proporção de sucessos
${displaystyle z=1-{tfrac {1}{2}}alpha }$ é o quantil de uma distribuição normal padrão (ou seja, probit) correspondente à taxa de erro alvo $alpha$ . Por exemplo, para um nível de confiança de 95% o erro $alpha$ = 0,05, portanto ${displaystyle 1-{tfrac {1}{2}}alpha }$ = 0,975 e $z$ = 1.96.

Método Wald

{displaystyle {widehat {p,}}pm z{sqrt {frac {{widehat {p,}}(1-{widehat {p,}})}{n}}}.}

Uma correção de continuidade de 0,5/n pode ser adicionada.

Método Agresti–Coull

{displaystyle {tilde {p}}pm z{sqrt {frac {{tilde {p}}(1-{tilde {p}})}{n+z^{2}}}}}

Aqui a estimativa de p é modificada para

{displaystyle {tilde {p}}={frac {n_{1}+{frac {1}{2}}z^{2}}{n+z^{2}}}}

Este método funciona bem para $10}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n>10.- Sim. 10}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e37c099ae3fa384d0b46078b55bcd6e57ee2971" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.818ex; height:2.176ex;"/>$ e ${displaystyle n_{1}neq 0,n}$ . Veja aqui ${displaystyle nleq 10}$ . Para ${displaystyle n_{1}=0,n}$ use o método Wilson (score) abaixo.

Método Arcsine

{displaystyle sin ^{2}left(arcsin left({sqrt {widehat {p,}}}right)pm {frac {z}{2{sqrt {n}}}}right).}

Método Wilson (pontuação)

A notação na fórmula abaixo difere das fórmulas anteriores em dois aspectos:

Primeiro, zangão._x tem uma interpretação ligeiramente diferente na fórmula abaixo: tem o seu significado comum de "o xo quantil da distribuição normal padrão', em vez de ser um shorthand para 'o (1 −x)-th quantile'.
Em segundo lugar, esta fórmula não usa um plus-minus para definir os dois limites. Em vez disso, pode-se usar ${displaystyle z=z_{alpha /2}}$ para obter o limite inferior, ou usar ${displaystyle z=z_{1-alpha /2}}$ para obter o limite superior. Por exemplo: para um nível de confiança de 95% o erro $alpha$ = 0,05, então um recebe o limite inferior usando ${displaystyle z=z_{alpha /2}=z_{0.025}=-1.96}$ , e um recebe o limite superior usando ${displaystyle z=z_{1-alpha /2}=z_{0.975}=1.96}$ .

{displaystyle {frac {{widehat {p,}}+{frac {z^{2}}{2n}}+z{sqrt {{frac {{widehat {p,}}(1-{widehat {p,}})}{n}}+{frac {z^{2}}{4n^{2}}}}}}{1+{frac {z^{2}}{n}}}}}

Comparação

O chamado "exato" (Clopper-Pearson) é o mais conservador. (Exato não significa perfeitamente preciso; em vez disso, indica que as estimativas não serão menos conservadoras do que o valor real.)

O método Wald, embora comumente recomendado em livros didáticos, é o mais tendencioso.

Distribuições relacionadas

Somas de binômios

Se X ~ B(n, p) e Y ~ B(m, p) são variáveis binomiais independentes com a mesma probabilidade p, então X + Y é novamente uma variável binomial; sua distribuição é Z=X+Y ~ B(n+m, p):

{begin{aligned}operatorname {P} (Z=k)&=sum _{i=0}^{k}left[{binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}right]left[{binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}right]\&={binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}end{aligned}}

Uma variável aleatória Binomial distribuída X ~ B(n, p) pode ser considerada como a soma de n Variáveis aleatórias distribuídas de Bernoulli. Portanto, a soma de duas variáveis aleatórias distribuídas Binomial X ~ B(n, p) e Y ~ B(m, p) é equivalente à soma de n + m variáveis aleatórias distribuídas de Bernoulli, o que significa Z=X+Y ~ B(n+m, p). Isso também pode ser provado diretamente usando a regra de adição.

No entanto, se X e Y não tem a mesma probabilidade p, então a variância da soma será menor do que a variância de uma variável binomial distribuída como $B(n+m,{bar {p}}).,$

Distribuição binomial de Poisson

A distribuição binomial é um caso especial da distribuição binomial de Poisson, que é a distribuição de uma soma de n ensaios de Bernoulli independentes não idênticos B(p_i).

Razão de duas distribuições binomiais

Esse resultado foi derivado pela primeira vez por Katz e coautores em 1978.

Seja X ~ B(n,p₁) e Y ~ B(m,p₂) seja independente. Seja T = (X/n)/(Y/m).

Então log(T) é aproximadamente normalmente distribuído com média log(p₁/p₂) e variância ((1/p₁) − 1)/n + ((1/ p₂) − 1)/m.

Binômios condicionais

Se X ~ B(n, p) e Y | X ~ B(X, q) (a distribuição condicional de Y, dado X), então Y é uma variável aleatória binomial simples com distribuição Y ~ B(n, pq).

Por exemplo, imagine jogar n bolas para uma cesta U_X e pegar as bolas que acertarem e jogá-las em outra cesta U_S. Se p é a probabilidade de acertar U_X, então X ~ B(n, p) é o número de bolas que atingem U_X. Se q é a probabilidade de acertar U_Y, então o número de bolas que acertam U_Y é Y ~ B(X, q) e, portanto, Y ~ B(n , pq).

[Proof]

Since ${displaystyle Xsim B(n,p)}$ and ${displaystyle Ysim B(X,q)}$ , by the law of total probability,

{displaystyle {begin{aligned}Pr[Y=m]&=sum _{k=m}^{n}Pr[Y=mmid X=k]Pr[X=k]\[2pt]&=sum _{k=m}^{n}{binom {n}{k}}{binom {k}{m}}p^{k}q^{m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}end{aligned}}}

Since ${displaystyle {tbinom {n}{k}}{tbinom {k}{m}}={tbinom {n}{m}}{tbinom {n-m}{k-m}},}$ the equation above can be expressed as

{displaystyle Pr[Y=m]=sum _{k=m}^{n}{binom {n}{m}}{binom {n-m}{k-m}}p^{k}q^{m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}}

Factoring ${displaystyle p^{k}=p^{m}p^{k-m}}$ and pulling all the terms that don't depend on $k$ out of the sum now yields

{displaystyle {begin{aligned}Pr[Y=m]&={binom {n}{m}}p^{m}q^{m}left(sum _{k=m}^{n}{binom {n-m}{k-m}}p^{k-m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}right)\[2pt]&={binom {n}{m}}(pq)^{m}left(sum _{k=m}^{n}{binom {n-m}{k-m}}left(p(1-q)right)^{k-m}(1-p)^{n-k}right)end{aligned}}}

After substituting ${displaystyle i=k-m}$ in the expression above, we get

{displaystyle Pr[Y=m]={binom {n}{m}}(pq)^{m}left(sum _{i=0}^{n-m}{binom {n-m}{i}}(p-pq)^{i}(1-p)^{n-m-i}right)}

Notice that the sum (in the parentheses) above equals ${displaystyle (p-pq+1-p)^{n-m}}$ by the binomial theorem. Substituting this in finally yields

{displaystyle {begin{aligned}Pr[Y=m]&={binom {n}{m}}(pq)^{m}(p-pq+1-p)^{n-m}\[4pt]&={binom {n}{m}}(pq)^{m}(1-pq)^{n-m}end{aligned}}}

and thus ${displaystyle Ysim B(n,pq)}$ as desired.

Distribuição de Bernoulli

A distribuição de Bernoulli é um caso especial da distribuição binomial, onde n = 1. Simbolicamente, X ~ B(1, p) tem o mesmo significado que X ~ Bernoulli(p). Por outro lado, qualquer distribuição binomial, B(n, p), é a distribuição da soma de n tentativas de Bernoulli independentes, Bernoulli(p), cada um com a mesma probabilidade p.

Aproximação normal

Função de massa de probabilidade binomial e aproximação de função de densidade de probabilidade normal para n= 6 p= 0,5

Se n for grande o suficiente, então a inclinação da distribuição não é muito grande. Nesse caso, uma aproximação razoável para B(n, p) é dada pela distribuição normal

{displaystyle {mathcal {N}}(np,,np(1-p)),}

e esta aproximação básica pode ser melhorada de forma simples usando uma correção de continuidade adequada. A aproximação básica geralmente melhora à medida que n aumenta (pelo menos 20) e é melhor quando p não está próximo de 0 ou 1. Várias regras práticas podem ser usadas para decidir se n é grande o suficiente e p está longe o suficiente dos extremos de zero ou um:

Uma regra é essa n > 5 a aproximação normal é adequada se o valor absoluto da cegueira é estritamente inferior a 0,3; isto é, se

<math alttext="{displaystyle {frac {|1-2p|}{sqrt {np(1-p)}}}={frac {1}{sqrt {n}}}left|{sqrt {frac {1-p}{p}}}-{sqrt {frac {p}{1-p}}},right||1- Sim. - Sim. 2p|np(1- Sim. - Sim. p)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n|1- Sim. - Sim. pp- Sim. - Sim. p1- Sim. - Sim. p|<0.3.Não. {|1-2p|}{sqrt {np(1-p)}}}={frac {1}{sqrt {n}}}left|{sqrt Não. {1-p}{p}}}-{sqrt Não. {p}{1-p}}},right|<0.3.}<img alt="{displaystyle {frac {|1-2p|}{sqrt {np(1-p)}}}={frac {1}{sqrt {n}}}left|{sqrt {frac {1-p}{p}}}-{sqrt {frac {p}{1-p}}},right|

Isso pode ser feito com precisão usando o teorema de Berry–Esseen.

Uma regra mais forte afirma que a aproximação normal é adequada apenas se tudo dentro de 3 desvios padrão de sua média estiver dentro da gama de valores possíveis; isto é, apenas se

{displaystyle mu pm 3sigma =nppm 3{sqrt {np(1-p)}}in (0,n).}

Esta regra de devidação de três padrões é equivalente às seguintes condições, o que também implica a primeira regra acima.

9left({frac {1-p}{p}}right)quad {text{and}}quad n>9left({frac {p}{1-p}}right).}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n>9(1- Sim. - Sim. pp)en>9(p1- Sim. - Sim. p).{displaystyle n>9left({frac {1-p}{p}}right)quad {text{and}}quad n>9left({frac {p}{1-p}}right).}9left({frac {1-p}{p}}right)quad {text{and}}quad n>9left({frac {p}{1-p}}right).}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c6e9fbd88e78967f28dc5d9e1081181c441a76" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.758ex; height:6.176ex;"/>

[Proof]

A regra ${displaystyle nppm 3{sqrt {np(1-p)}}in (0,n)}$ é totalmente equivalente a solicitar que

0quad {text{and}}quad np+3{sqrt {np(1-p)}}np- Sim. - Sim. 3np(1- Sim. - Sim. p)>0enp+3np(1- Sim. - Sim. p)<n.{displaystyle np-3{sqrt {np(1-p)}}>0quad {text{and}}quad np+3{sqrt {np(1-p)}}<n.} 0quad {text{and}}quad np+3{sqrt {np(1-p)}}

Termos em movimento em torno de rendimentos:

3{sqrt {np(1-p)}}quad {text{and}}quad n(1-p)>3{sqrt {np(1-p)}}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">np>3np(1- Sim. - Sim. p)en(1- Sim. - Sim. p)>3np(1- Sim. - Sim. p).{displaystyle np>3{sqrt {np(1-p)}}quad {text{and}}quad n(1-p)>3{sqrt {np(1-p)}}}3{sqrt {np(1-p)}}quad {text{and}}quad n(1-p)>3{sqrt {np(1-p)}}.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece1ff0b306f376e61399a9b497254d78d458e5e" style="vertical-align: -1.838ex; width:52.241ex; height:4.843ex;"/>

Desde então $<math alttext="{displaystyle 0<p0<p<1{displaystyle 0<p<1}} <img alt="0<p$ , podemos aplicar a potência quadrada e dividir pelos respectivos fatores ${displaystyle np^{2}}$ e ${displaystyle n(1-p)^{2}}$ , para obter as condições desejadas:

9left({frac {1-p}{p}}right)quad {text{and}}quad n>9left({frac {p}{1-p}}right).}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n>9(1- Sim. - Sim. pp)en>9(p1- Sim. - Sim. p).{displaystyle n>9left({frac {1-p}{p}}right)quad {text{and}}quad n>9left({frac {p}{1-p}}right).}9left({frac {1-p}{p}}right)quad {text{and}}quad n>9left({frac {p}{1-p}}right).}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c6e9fbd88e78967f28dc5d9e1081181c441a76" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.758ex; height:6.176ex;"/>

Observe que essas condições implicam automaticamente que $9}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n>9- Sim. 9}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2966b368b6eeb84ae2104cffbcf74e35a6d17e" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ . Por outro lado, aplicar novamente a raiz quadrada e dividir por 3,

{sqrt {frac {1-p}{p}}}>0quad {text{and}}quad {frac {sqrt {n}}{3}}>{sqrt {frac {p}{1-p}}}>0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n3>1- Sim. - Sim. pp>0en3>p1- Sim. - Sim. p>0.- Sim. {n}}{3}}>{sqrt {1-p}{p}}}>0quad - Sim. {n}}{3}}>{sqrt {p}{1-p}}}>0.}{sqrt {frac {1-p}{p}}}>0quad {text{and}}quad {frac {sqrt {n}}{3}}>{sqrt {frac {p}{1-p}}}>0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc495e4a45bc89d43ac89d9f899e65dfec47bbf" style="vertical-align: -3.171ex; width:48.756ex; height:7.509ex;"/>

Subtrair o segundo conjunto de desigualdades da primeira resulta:

{sqrt {frac {1-p}{p}}}-{sqrt {frac {p}{1-p}}}>-{frac {sqrt {n}}{3}};}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n3>1- Sim. - Sim. pp- Sim. - Sim. p1- Sim. - Sim. p>- Sim. - Sim. n3;- Sim. {n}}{3}}>{sqrt {1-p}{p}}}-{sqrt Não. {p}{1-p}}}>-{frac Sim. {n}}{3}};}{sqrt {frac {1-p}{p}}}-{sqrt {frac {p}{1-p}}}>-{frac {sqrt {n}}{3}};}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b21050d0dff35d3a9baaa3b2b153cd7eff39d1e" style="vertical-align: -3.171ex; width:36.49ex; height:7.509ex;"/>

e assim, a primeira regra desejada é satisfeita,

<math alttext="{displaystyle left|{sqrt {frac {1-p}{p}}}-{sqrt {frac {p}{1-p}}},right||1- Sim. - Sim. pp- Sim. - Sim. p1- Sim. - Sim. p|<n3.{displaystyle left|{sqrt {frac {1-p}{p}}}-{sqrt {frac {p}{1-p}}},right|<{frac Não.<img alt="{displaystyle left|{sqrt {frac {1-p}{p}}}-{sqrt {frac {p}{1-p}}},right|

Outra regra comumente usada é que ambos os valores $np$ e ${displaystyle n(1-p)}$ deve ser maior ou igual a 5. No entanto, o número específico varia de fonte para fonte, e depende de quão boa uma aproximação quer. Em particular, se se usa 9 em vez de 5, a regra implica os resultados indicados nos parágrafos anteriores.

[Proof]

Assuma que ambos os valores $np$ e ${displaystyle n(1-p)}$ são maiores que 9. Desde então $<math alttext="{displaystyle 0<p0<p<1{displaystyle 0<p<1}} <img alt="{displaystyle 0<p$ , nós facilmente temos isso

9(1-p)quad {text{and}}quad n(1-p)geq 9>9p.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">np≥ ≥ 9>9(1- Sim. - Sim. p)en(1- Sim. - Sim. p)≥ ≥ 9>9p.{displaystyle npgeq 9>9(1-p)quad {text{and}}quad n(1-p)geq 9>9p.}9(1-p)quad {text{and}}quad n(1-p)geq 9>9p.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09bcf26e04790231ae63b77e394ab9549773ca28" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.175ex; height:2.843ex;"/>

Nós só temos que dividir agora pelos respectivos fatores $p$ e $1-p$ , para deduzir a forma alternativa da regra de deviação de três padrões:

9left({frac {1-p}{p}}right)quad {text{and}}quad n>9left({frac {p}{1-p}}right).}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n>9(1- Sim. - Sim. pp)en>9(p1- Sim. - Sim. p).{displaystyle n>9left({frac {1-p}{p}}right)quad {text{and}}quad n>9left({frac {p}{1-p}}right).}9left({frac {1-p}{p}}right)quad {text{and}}quad n>9left({frac {p}{1-p}}right).}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c6e9fbd88e78967f28dc5d9e1081181c441a76" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.758ex; height:6.176ex;"/>

O seguinte é um exemplo de aplicação de uma correção de continuidade. Suponha que alguém deseja calcular Pr(X ≤ 8) para uma variável aleatória binomial X. Se Y tiver uma distribuição dada pela aproximação normal, então Pr(X ≤ 8) é aproximado por Pr(Y ≤ 8,5). A adição de 0,5 é a correção de continuidade; a aproximação normal não corrigida fornece resultados consideravelmente menos precisos.

Essa aproximação, conhecida como teorema de Moivre–Laplace, é uma grande economia de tempo ao realizar cálculos manualmente (cálculos exatos com n grandes são muito onerosos); historicamente, foi o primeiro uso da distribuição normal, introduzida no livro The Doctrine of Chances de Abraham de Moivre em 1738. Atualmente, pode ser vista como uma consequência do teorema do limite central já que B(n, p) é uma soma de n variáveis de Bernoulli identicamente distribuídas independentes com o parâmetro p. Este fato é a base de um teste de hipótese, um "teste z de proporção", para o valor de p usando x/n, a proporção amostral e estimador de p, em uma estatística de teste comum.

Por exemplo, suponha que uma amostra aleatoriamente n pessoas de uma grande população e pergunte se elas concordam com uma determinada afirmação. A proporção de pessoas que concordam dependerá, é claro, da amostra. Se grupos de n pessoas fossem amostrados repetidamente e verdadeiramente aleatoriamente, as proporções seguiriam uma distribuição normal aproximada com média igual à verdadeira proporção p de concordância na população e com padrão desvio

{displaystyle sigma ={sqrt {frac {p(1-p)}{n}}}}

Aproximação de Poisson

A distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson conforme o número de tentativas vai para o infinito enquanto o produto np converge para um limite finito. Portanto, a distribuição de Poisson com parâmetro λ = np pode ser usada como uma aproximação para B(n, p) da distribuição binomial se n for suficientemente grande e p for suficientemente pequeno. De acordo com duas regras práticas, essa aproximação é boa se n ≥ 20 e p ≤ 0,05, ou se n ≥ 100 e np ≤ 10.

Sobre a precisão da aproximação de Poisson, veja Novak, cap. 4, e referências nele contidas.

Limitando as distribuições

Teorema limite de Poisson: Como n abordagens ∞ e p aproxima 0 com o produto n mantido fixo, o Binomial(n,p) a distribuição aproxima-se da distribuição de Poisson com valor esperado λ = np.
de Moivre-Laplace theorem: Como n abordagens ∞ enquanto p permanece fixo, a distribuição de

{frac {X-np}{sqrt {np(1-p)}}}

aproxima a distribuição normal com o valor esperado 0 e variância 1. Este resultado é, por vezes, afirmado vagamente dizendo que a distribuição de X é assintoticamente normal com o valor esperado 0 e variância 1. Este resultado é um caso específico do teorema do limite central.

Distribuição beta

A distribuição binomial e a distribuição beta são visões diferentes do mesmo modelo de tentativas repetidas de Bernoulli. A distribuição binomial é o PMF de $k$ sucessos dados $n$ eventos independentes, cada um com uma probabilidade $p$ de sucesso. Matematicamente, quando $α = k + 1$ e $β = n - k + 1$ , a distribuição beta e a distribuição binomial estão relacionadas por um fator de $n + 1$ :

{displaystyle operatorname {Beta} (p;alpha;beta)=(n+1)B(k;n;p)}

As distribuições beta também fornecem uma família de distribuições de probabilidade anteriores para distribuições binomiais na inferência bayesiana:

{displaystyle P(p;alphabeta)={frac {p^{alpha -1}(1-p)^{beta -1}}{operatorname {Beta} (alphabeta)}}.}

Dado um uniforme anterior, a distribuição posterior para a probabilidade de sucesso $p$ dado estilo $n$ eventos independentes com $k$ sucessos observados é uma distribuição beta.

Geração de números aleatórios

Métodos para geração de números aleatórios onde a distribuição marginal é uma distribuição binomial são bem estabelecidos. Uma maneira de gerar amostras de variáveis aleatórias a partir de uma distribuição binomial é usar um algoritmo de inversão. Para isso, deve-se calcular a probabilidade de que $Pr(X = k)$ para todos os valores $k$ de $0$ até $n$ . (Essas probabilidades devem somar um valor próximo a um, a fim de abranger todo o espaço amostral.) Então, usando um gerador de números pseudo-aleatórios para gerar amostras uniformemente entre 0 e 1, pode-se transformar as amostras calculadas em números discretos usando o método probabilidades calculadas na primeira etapa.

História

Esta distribuição foi derivada por Jacob Bernoulli. Ele considerou o caso em que p = r/(r + s) onde p é a probabilidade de sucesso e r e s são inteiros positivos. Blaise Pascal havia considerado anteriormente o caso em que p = 1/2.

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