Distância euclidiana

Em matemática, o Distância euclidiana entre dois pontos no espaço euclidiano é o comprimento de um segmento de linha entre os dois pontos. Ele pode ser calculado a partir das coordenadas cartesianas dos pontos usando o teorema de Pythagorean, portanto, ocasionalmente sendo chamado o Distância de Pythagorean. Estes nomes vêm dos matemáticos gregos antigos Euclides e Pitágoras, embora Euclides não represente distâncias como números, e a conexão do teorema pitágoro ao cálculo da distância não foi feita até o século XVIII.

A distância entre dois objetos que não são pontos geralmente é definida como a menor distância entre pares de pontos dos dois objetos. As fórmulas são conhecidas para calcular distâncias entre diferentes tipos de objetos, como a distância de um ponto a uma linha. Na matemática avançada, o conceito de distância foi generalizado para espaços métricos abstratos, e outras distâncias além da euclidiana foram estudadas. Em algumas aplicações em estatística e otimização, o quadrado da distância euclidiana é utilizado em vez da própria distância.

Fórmulas de distância

Uma dimensão

A distância entre dois pontos na linha real é o valor absoluto da diferença numérica de suas coordenadas, sua diferença absoluta. Assim, se $Não.$ e $Não.$ são dois pontos na linha real, então a distância entre eles é dada por:

$${displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$

Uma fórmula mais complicada, que fornece o mesmo valor, mas generaliza mais facilmente para dimensões superiores, é:

$${displaystyle d(p,q)={sqrt {(p-q)^{2}}}.}$$

Nesta fórmula, elevar ao quadrado e depois extrair a raiz quadrada deixa qualquer número positivo inalterado, mas substitui qualquer número negativo pelo seu valor absoluto.

Duas dimensões

No plano euclidiano, deixe ponto $Não.$ tem coordenadas cartesianas $(p_{1},p_{2})}$ e deixar ponto $Não.$ tem coordenadas $(q_{1},q_{2})}$. Então a distância entre $Não.$ e $Não.$ é dado por:

$${displaystyle d(p,q)={sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}}}}}}}}$$

Isso pode ser visto aplicando o teorema de Pitágorean a um triângulo direito com lados horizontais e verticais, tendo o segmento de linha de $Não.$ para $Não.$ como sua hipotenusa. As duas fórmulas quadradas dentro da raiz quadrada dão as áreas de quadrados nos lados horizontal e vertical, e a raiz quadrada externa converte a área do quadrado na hipotenusa no comprimento da hipotenusa.

Também é possível calcular a distância de pontos dados por coordenadas polares. Se as coordenadas polares de $Não.$ são $(r,theta)}$ e as coordenadas polares de $Não.$ são $(s,psi)}$, então a sua distância é dada pela lei dos cosines:

$${displaystyle d(p,q)={sqrt {r^{2}+s^{2}-2rscos(theta -psi)}}}$$

Quando $Não.$ e $Não.$ são expressos como números complexos no plano complexo, a mesma fórmula para pontos unidimensionais expressos como números reais pode ser usada, embora aqui o sinal de valor absoluto indica a norma complexa:

$${displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$

Dimensões maiores

Em três dimensões, para pontos dados pelas suas coordenadas cartesianas, a distância é

$${displaystyle d(p,q)={sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.}$$

Em geral, para pontos dados por coordenadas cartesianas em $Não.$-dimensional Espaço euclidiano, a distância é

$${displaystyle d(p,q)={sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}}$$

A distância euclidiana também pode ser expressa de forma mais compacta em termos da norma euclidiana da diferença vetorial euclidiana:

$${displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$

Objetos além de pontos

Para pares de objetos que não são ambos pontos, a distância pode ser simplesmente definida como a menor distância entre quaisquer dois pontos dos dois objetos, embora generalizações mais complicadas de pontos para conjuntos, como a distância de Hausdorff, também sejam comumente usadas. As fórmulas para calcular distâncias entre diferentes tipos de objetos incluem:

• A distância de um ponto a uma linha, no plano euclidiano
• A distância de um ponto para um avião em espaço euclidiano tridimensional
• A distância entre duas linhas no espaço euclidiano tridimensional

Propriedades

A distância euclidiana é o exemplo prototípico da distância em um espaço métrico e obedece a todas as propriedades definidoras de um espaço métrico:

• É. simétrica, significa que para todos os pontos $Não.$ e $Não.$, $(p,q)=d(q,p)}$. Ou seja, a distância entre dois pontos não depende de qual dos dois pontos é o início e qual é o destino.
• É. positivo, significando que a distância entre cada dois pontos distintos é um número positivo, enquanto a distância de qualquer ponto para si é zero.
• Obedeça à desigualdade triangular: para cada três pontos $Não.$, $Não.$e $Não.$, $(p,q)+d(q,r)geq d(p,r)}$. Intuitivamente, viajando de $Não.$ para $Não.$ via via via via $Não.$ não pode ser mais curto do que viajar diretamente de $Não.$ para $Não.$.

Outra propriedade, a desigualdade de Ptolomeu, diz respeito às distâncias euclidianas entre quatro pontos $Não.$, $Não.$, $Não.$e $Não.$. Declara que

$${displaystyle d(p,q)cdot d(r,s)+d(q,r)cdot d(p,s)geq d(p,r)cdot d(q,s). ?$$

Para pontos no plano, isso pode ser reformulado como afirmando que, para cada quadrilátero, os produtos dos lados opostos do quadrilátero somam pelo menos um número tão grande quanto o produto de suas diagonais. No entanto, a desigualdade de Ptolomeu aplica-se de forma mais geral a pontos em espaços euclidianos de qualquer dimensão, não importa como estejam organizados. Para pontos em espaços métricos que não são espaços euclidianos, esta desigualdade pode não ser verdadeira. A geometria da distância euclidiana estuda propriedades da distância euclidiana, como a desigualdade de Ptolomeu, e sua aplicação para testar se determinados conjuntos de distâncias vêm de pontos em um espaço euclidiano.

De acordo com o teorema de Beckman-Quarles, qualquer transformação do plano euclidiano ou de um espaço euclidiano de dimensão superior que preserve distâncias unitárias deve ser uma isometria, preservando todas as distâncias.

Distância euclidiana quadrada

Um cone, o gráfico da distância euclidiana da origem no avião

Um parabolóide, o gráfico da distância euclidiana quadrada da origem

Em muitas aplicações, e em particular na comparação de distâncias, pode ser mais conveniente omitir a raiz quadrada final no cálculo das distâncias euclidianas, pois as duas distâncias são proporcionais. O valor resultante desta omissão é o quadrado da distância euclidiana e é chamado de distância euclidiana quadrada. Por exemplo, a árvore geradora mínima euclidiana pode ser determinada usando apenas a ordenação entre distâncias, e não seus valores numéricos. A comparação de distâncias quadradas produz o mesmo resultado, mas evita um cálculo desnecessário de raiz quadrada e evita problemas de precisão numérica. Como equação, a distância quadrada pode ser expressa como uma soma de quadrados:

$$(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.}$$

Além de sua aplicação na comparação de distâncias, a distância euclidiana quadrada é de importância central nas estatísticas, onde é usada no método dos mínimos quadrados, um método padrão de ajuste de estimativas estatísticas aos dados, minimizando a média das distâncias quadradas entre distâncias observadas. e valores estimados, e como a forma mais simples de divergência para comparar distribuições de probabilidade. A adição de distâncias quadradas entre si, como é feito no ajuste de mínimos quadrados, corresponde a uma operação em distâncias (não quadradas) chamada adição pitagórica. Na análise de cluster, distâncias quadradas podem ser usadas para fortalecer o efeito de distâncias mais longas.

A distância euclidiana quadrada não forma um espaço métrico, pois não satisfaz a desigualdade triangular. No entanto, é uma função suave e estritamente convexa dos dois pontos, ao contrário da distância, que é não suave (perto de pares de pontos iguais) e convexa, mas não estritamente convexa. A distância quadrada é, portanto, preferida na teoria da otimização, pois permite a utilização de análises convexas. Como a quadratura é uma função monotônica de valores não negativos, minimizar a distância quadrada é equivalente a minimizar a distância euclidiana, portanto, o problema de otimização é equivalente em termos de ambos, mas é mais fácil de resolver usando a distância quadrada.

A coleção de todas as distâncias quadradas entre pares de pontos de um conjunto finito pode ser armazenada em uma matriz de distâncias euclidiana e é usada desta forma na geometria de distâncias.

Generalizações

Em áreas mais avançadas da matemática, ao considerar o espaço euclidiano como um espaço vetorial, sua distância está associada a uma norma chamada norma euclidiana, definida como a distância de cada vetor à origem. Uma das propriedades importantes desta norma, em relação a outras normas, é que ela permanece inalterada sob rotações arbitrárias do espaço em torno da origem. Pelo teorema de Dvoretzky, todo espaço vetorial normado de dimensão finita tem um subespaço de alta dimensão no qual a norma é aproximadamente euclidiana; a norma euclidiana é a única norma com esta propriedade. Pode ser estendido a espaços vetoriais de dimensão infinita como a norma L2 ou distância L². A distância euclidiana dá ao espaço euclidiano a estrutura de um espaço topológico, a topologia euclidiana, com as bolas abertas (subconjuntos de pontos a menos de uma determinada distância de um determinado ponto) como suas vizinhanças.

Outras distâncias comuns em espaços de coordenadas reais e espaços funcionais:

• Distância de Chebyshev (L^∞ distância), que mede distância como o máximo das distâncias em cada coordenada.
• distância de Manhattan (L¹ distância), que mede distância como a soma das distâncias em cada coordenada.
• Minkowski distância (L^p distância), uma generalização que unifica a distância euclidiana, distância de Manhattan e distância de Chebyshev.

Para pontos em superfícies em três dimensões, a distância euclidiana deve ser diferenciada da distância geodésica, o comprimento de uma curva mais curta que pertence à superfície. Em particular, para medir distâncias de grandes círculos na Terra ou outras superfícies esféricas ou quase esféricas, as distâncias que foram usadas incluem a distância Haversine, que fornece distâncias de grandes círculos entre dois pontos em uma esfera a partir de suas longitudes e latitudes, e Vincenty & # 8217. As fórmulas de 39, também conhecidas como "distância de Vincent" para distância em um esferóide.

Histórico

Distância euclidiana é a distância no espaço euclidiano; ambos os conceitos receberam o nome do antigo matemático grego Euclides, cujos Elementos se tornaram um livro padrão de geometria por muitos séculos. Os conceitos de comprimento e distância são difundidos em todas as culturas e podem ser datados dos primeiros "protoletrados" documentos burocráticos da Suméria no quarto milênio aC (muito antes de Euclides), e supõe-se que se desenvolvam nas crianças antes dos conceitos relacionados de velocidade e tempo. Mas a noção de distância, como um número definido a partir de dois pontos, não aparece realmente nos Elementos de Euclides. Em vez disso, Euclides aborda este conceito implicitamente, através da congruência de segmentos de reta, através da comparação de comprimentos de segmentos de reta, e através do conceito de proporcionalidade.

O teorema de Pitágoras também é antigo, mas só pôde assumir o seu papel central na medição de distâncias após a invenção das coordenadas cartesianas por René Descartes em 1637. A própria fórmula da distância foi publicada pela primeira vez em 1731 por Alexis Clairaut. Por causa desta fórmula, a distância euclidiana também é às vezes chamada de distância pitagórica. Embora medições precisas de longas distâncias na superfície da Terra, que não são euclidianas, tenham sido novamente estudadas em muitas culturas desde os tempos antigos (ver história da geodésia), a ideia de que a distância euclidiana pode não ser a única forma de medir as distâncias entre pontos em espaços matemáticos surgiram ainda mais tarde, com a formulação da geometria não euclidiana no século XIX. A definição da norma euclidiana e da distância euclidiana para geometrias de mais de três dimensões também apareceu pela primeira vez no século XIX, na obra de Augustin-Louis Cauchy.