Disjunção lógica

Diagrama de folheado A∨ ∨ B∨ ∨ C{displaystyle scriptstyle Alor Blor C}

Na lógica, disjunção é um conjuntivo lógico tipicamente notado como ∨ ∨ - Sim. e ler em voz alta como "ou". Por exemplo, a frase em inglês "é ensolarado ou quente" pode ser representada na lógica usando a fórmula disjuntiva S∨ ∨ WNão. Slor W., assumindo que SNão. S. abrevia "é ensolarado" e WNão. W. abrevia "é quente".

Na lógica clássica, a disjunção é dada uma semântica funcional da verdade segundo a qual uma fórmula φ φ ∨ ∨ ? ? {displaystyle phi lor psi } é verdade, a menos que ambos φ φ - Sim. e ? ? - Sim. são falsos. Porque esta semântica permite que uma fórmula disjuntiva seja verdadeira quando ambas as suas disjunções são verdadeiras, é uma inclusivamente interpretação da disjunção, em contraste com a disjunção exclusiva. Os tratamentos teóricos de prova clássica são frequentemente dados em termos de regras, tais como introdução de disjunção e eliminação de disjunção. A disjunção também recebeu inúmeros tratamentos não clássicos, motivados por problemas, incluindo o argumento de batalha marítima de Aristóteles, o princípio de incerteza de Heisenberg, bem como as inúmeras incompatibilidades entre a disjunção clássica e seus equivalentes mais próximos em línguas naturais.

Disjunção inclusiva e exclusiva

Porque o lógico "ou" significa que uma fórmula é quando uma ou ambas são verdadeiras, ela é referida como uma disjunção inclusiva. Isso contrasta com uma disjunção exclusiva, que é verdadeira quando um ou outro dos argumentos é verdadeiro, mas não ambos (referido como "exclusivo ou", ou & #34;XOR").

Quando for necessário esclarecer se inclusivo ou exclusivo "ou" se destina, os falantes de inglês às vezes usam a frase "e/ou". Em termos de lógica, esta frase é idêntica a "ou", mas torna explícita a inclusão de ambos como verdadeiros.

Notação

Na lógica e nos campos relacionados, a disjunção é habitualmente notada com um operador infixo ∨ ∨ - Sim.. Notações alternativas incluem +Sim., usado principalmente na eletrônica, bem como |- Sim. e ||{displaystyle vert !vert } em muitas linguagens de programação. A palavra em inglês "ou" é às vezes usada também, muitas vezes em letras maiúsculas. Na notação do prefixo de Jan Łukasiewicz para a lógica, o operador é A, curto para polonês Alternativo (Inglês: alternativa).

Disjunção clássica

Semântica

Na semântica da lógica, a disjunção clássica é uma operação funcional de verdade que retorna o valor de verdade "verdadeiro" a menos que ambos os argumentos sejam "false". Sua entrada semântica é normalmente dada como segue:

⊨ ⊨ φ φ ∨ ∨ ? ? {displaystyle models phi lor psi } se ⊨ ⊨ φ φ {displaystyle models phi } ou ⊨ ⊨ ? ? {displaystyle models psi } ou ambos

Esta semântica corresponde à seguinte tabela verdade:

ANão. A.	BNão.	A∨ ∨ BNão. Alor B}
É verdade.	É verdade.	É verdade.
É verdade.	Falso	É verdade.
Falso	É verdade.	É verdade.
Falso	Falso	Falso

Definido por outros operadores

Em sistemas lógicos clássicos onde a disjunção lógica não é primitiva, pode ser definida em termos do "e" primitivo (∧ ∧ Não.) e "não" (? ? - Sim.) como:

A∨ ∨ B= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? ((? ? A)∧ ∧ (? ? B))Não. Alor B=neg ((neg A)land (neg B)}.

Alternativamente, pode ser definido em termos de "implies" (→ → - Sim.) e "não" como:

A∨ ∨ B= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(? ? A)→ → BNão. Alor B=(lnot A)to B}.

Este último pode ser verificado pela seguinte tabela verdade:

ANão. A.	BNão.	? ? A{displaystyle neg A}	? ? A→ → B{displaystyle neg Ato B}	A∨ ∨ BNão. Alor B}
É verdade.	É verdade.	Falso	É verdade.	É verdade.
É verdade.	Falso	Falso	É verdade.	É verdade.
Falso	É verdade.	É verdade.	É verdade.	É verdade.
Falso	Falso	É verdade.	Falso	Falso

Propriedades

As seguintes propriedades se aplicam à disjunção:

• Associatividade: um∨ ∨ (b)∨ ∨ c))) (um∨ ∨ b))∨ ∨ c{displaystyle alor (blor c)equiv (alor b)lor c}
• Comutatividade: um∨ ∨ b))) b)∨ ∨ um{displaystyle alor bequiv blor a}
• Distribuição: (um∧ ∧ (b)∨ ∨ c)))) ((um∧ ∧ b))∨ ∨ (um∧ ∧ c))(aland (blor c))equiv (aland b)lor (aland c)}

(um∨ ∨ (b)∧ ∧ c)))) ((um∨ ∨ b))∧ ∧ (um∨ ∨ c))(alor (bland c)))equiv (alor b)land (alor c)}

(um∨ ∨ (b)∨ ∨ c)))) ((um∨ ∨ b))∨ ∨ (um∨ ∨ c))(alor (blor c)))equiv ((alor b)lor (alor c)})

(um∨ ∨ (b))) c)))) ((um∨ ∨ b)))) (um∨ ∨ c))(alor (bequiv c)))equiv ((alor b)equiv (alor c)}

• Idempotência: um∨ ∨ um)) um{displaystyle alor aequiv a}
• Monotonicidade: (um→ → b))→ → ((c∨ ∨ um)→ → (c∨ ∨ b)))(clor a)rightarrow (clor a)rightarrow (clor b)}

(um→ → b))→ → ((um∨ ∨ c)→ → (b)∨ ∨ c))(arightarrow b)rightarrow (alor c)rightarrow (blor c)}

• Observação da verdade: A interpretação em que todas as variáveis são atribuídas um valor de verdade de 'verdade', produz um valor de verdade de 'verdade' como resultado da disjunção.
• Observação da falsidade: A interpretação em que todas as variáveis são atribuídas um valor de verdade de "falsa", produz um valor de verdade de "falsa" como resultado da disjunção.

Aplicações em ciência da computação

Ou portão de lógica

Existem operadores correspondentes à disjunção lógica na maioria das linguagens de programação.

Operação bit a bit

A disjunção é freqüentemente usada para operações bit a bit. Exemplos:

• 0 ou 0 = 0
• 0 ou 1 = 1
• 1 ou 0 = 1
• 1 ou 1 = 1
• 1010 ou 1100 = 1110

O operador ou pode ser usado para definir os bits em um campo de bit como 1, por or-ing o campo com um campo constante com os bits relevantes definidos como 1 Por exemplo, x = x | 0b00000001 forçará o bit final para 1, deixando os outros bits inalterados.

Operação lógica

Muitas linguagens distinguem entre disjunção bit a bit e lógica fornecendo dois operadores distintos; em linguagens que seguem C, a disjunção bit a bit é executada com o operador de canal único (|) e a disjunção lógica com o operador de canal duplo (||).

A disjunção lógica geralmente está em curto-circuito; ou seja, se o primeiro operando (à esquerda) for avaliado como true, o segundo operando (à direita) não será avaliado. O operador de disjunção lógica geralmente constitui um ponto de sequência.

Em uma linguagem paralela (concorrente), é possível curto-circuitar ambos os lados: eles são avaliados em paralelo e, se um terminar com valor true, o outro é interrompido. Este operador é chamado de paralelo ou.

Embora o tipo de uma expressão de disjunção lógica seja booleano na maioria das linguagens (e, portanto, só pode ter o valor true ou false), em algumas linguagens (como Python e JavaScript), o operador de disjunção lógica retorna um de seus operandos: o primeiro operando se for avaliado como um valor verdadeiro e o segundo operando caso contrário.

Disjunção construtiva

A correspondência Curry-Howard relaciona uma forma construtivista de disjunção a tipos de união marcados.

Teoria dos conjuntos

A adesão de um elemento de uma união definida na teoria dos conjuntos é definida em termos de uma disjunção lógica: x∈ ∈ ATelecomunicações Telecomunicações B⇔ ⇔ (x∈ ∈ A)∨ ∨ (x∈ ∈ B){displaystyle xin Acup BLeftrightarrow (xin A)vee (xin B)}. Devido a isso, a disjunção lógica satisfaz muitas das mesmas identidades que a união set-teorética, tais como associatividade, comutatividade, distributividade e leis de Morgan, identificando conjunção lógica com interseção definida, negação lógica com complemento definido.

Linguagem natural

Disjunção em línguas naturais não corresponde precisamente à interpretação de ∨ ∨ - Sim. na lógica clássica. Notavelmente, a disjunção clássica é inclusiva, enquanto a disjunção da linguagem natural é frequentemente entendida exclusivamente, como o seguinte inglês normalmente seria.

1. A Mary está a comer uma maçã ou uma pera.

Essa inferência às vezes foi entendida como uma implicação, por exemplo, por Alfred Tarski, que sugeriu que a disjunção da linguagem natural é ambígua entre uma interpretação clássica e uma interpretação não clássica. Trabalhos mais recentes em pragmática mostraram que essa inferência pode ser derivada como uma implicatura conversacional com base em uma denotação semântica que se comporta classicamente. No entanto, construções disjuntivas, incluindo húngaro vagy... vagy e francês soit... soit, têm sido consideradas inerentemente exclusivas, tornando agramaticalidade em contextos onde uma leitura inclusiva, de outra forma, ser forçado.

Desvios semelhantes da lógica clássica foram observados em casos como disjunção de livre escolha e simplificação de antecedentes disjuntivos, onde certos operadores modais desencadeiam uma interpretação da disjunção semelhante à conjunção. Assim como a exclusividade, essas inferências foram analisadas tanto como implicaturas quanto como implicações decorrentes de uma interpretação não clássica da disjunção.

2. Você pode ter uma maçã ou uma pêra.

⇝ ⇝ - Sim. Você pode ter uma maçã e você pode ter uma pêra (mas você não pode ter ambos)

Em muitos idiomas, as expressões disjuntivas desempenham um papel na formação da pergunta. Por exemplo, embora o seguinte exemplo em inglês possa ser interpretado como uma pergunta polar perguntando se é verdade que Mary é filósofa ou linguista, também pode ser interpretado como uma pergunta alternativa perguntando qual das duas profissões é a dela. O papel da disjunção nesses casos foi analisado usando lógicas não clássicas, como semântica alternativa e semântica inquisitiva, que também foram adotadas para explicar as inferências de livre escolha e simplificação.

3. Maria é um filósofo ou linguista?

Em inglês, como em muitas outras línguas, a disjunção é expressa por uma conjunção coordenativa. Outras línguas expressam significados disjuntivos de várias maneiras, embora não se saiba se a própria disjunção é um universal linguístico. Em muitas línguas, como Dyirbal e Maricopa, a disjunção é marcada usando um sufixo verbal. Por exemplo, no exemplo de Maricopa abaixo, a disjunção é marcada pelo sufixo šaa.