Dimensão de Hausdorff

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Invariante

Exemplo de dimensões não internas. As quatro primeiras iterações da curva Koch, onde após cada iteração, todos os segmentos de linha originais são substituídos por quatro, cada uma uma cópia auto-similar que é 1/3 do comprimento do original. Um formalismo da dimensão Hausdorff usa o fator de escala (S = 3) e o número de objetos auto-similar (N = 4) para calcular a dimensão, D, após a primeira iteração a ser D = (log N)/(log S) = (log 4)/(log 3) ≈ 1.26.

Na matemática, dimensão de Hausdorff é uma medida de rugosidade, ou mais especificamente, dimensão fractal, que foi introduzida pela primeira vez em 1918 pelo matemático Felix Hausdorff. Por exemplo, a dimensão Hausdorff de um único ponto é zero, de um segmento de linha é 1, de um quadrado é 2 e de um cubo é 3. Ou seja, para conjuntos de pontos que definem uma forma suave ou uma forma que tem um pequeno número de cantos - as formas da geometria e ciência tradicionais - a dimensão de Hausdorff é um número inteiro que concorda com o sentido usual de dimensão, também conhecido como dimensão topológica. No entanto, também foram desenvolvidas fórmulas que permitem o cálculo da dimensão de outros objetos menos simples, onde, apenas com base em suas propriedades de escala e auto-semelhança, pode-se concluir que objetos particulares - incluindo fractais - não têm -dimensões inteiras de Hausdorff. Devido aos avanços técnicos significativos feitos por Abram Samoilovitch Besicovitch, permitindo o cálculo de dimensões para superfícies altamente irregulares ou "rugosas" conjuntos, esta dimensão também é comumente chamada de dimensão Hausdorff–Besicovitch.

Mais especificamente, a dimensão Hausdorff é um número dimensional associado a um espaço métrico, ou seja, um conjunto onde as distâncias entre todos os membros são definidas. A dimensão é tirada dos números reais alargados, $overline{mathbb{R}}$ , em oposição à noção mais intuitiva de dimensão, que não está associada a espaços métricos gerais, e só leva valores nos inteiros não negativos.

Em termos matemáticos, a dimensão de Hausdorff generaliza a noção de dimensão de um espaço vetorial real. Isto é, a dimensão de Hausdorff de um espaço de produto interno n-dimensional é igual a n. Isso fundamenta a afirmação anterior de que a dimensão Hausdorff de um ponto é zero, de uma linha é um, etc., e que conjuntos irregulares podem ter dimensões Hausdorff não inteiras. Por exemplo, o floco de neve Koch mostrado à direita é construído a partir de um triângulo equilátero; em cada iteração, seus segmentos de linha componentes são divididos em 3 segmentos de comprimento unitário, o segmento do meio recém-criado é usado como a base de um novo triângulo equilátero que aponta para fora e esse segmento de base é excluído para deixar um objeto final do iteração da unidade de comprimento de 4. Ou seja, após a primeira iteração, cada segmento de linha original foi substituído por N=4, onde cada cópia auto-semelhante é 1/S = 1/3 do comprimento do original. Dito de outra forma, pegamos um objeto com dimensão euclidiana, D, e reduzimos sua escala linear em 1/3 em cada direção, de modo que seu comprimento aumenta para N=S^D. Essa equação é facilmente resolvida para D, fornecendo a razão de logaritmos (ou logaritmos naturais) que aparecem nas figuras e dando - no Koch e em outros casos fractais - dimensões não inteiras para esses objetos.

A dimensão Hausdorff é uma sucessora da mais simples, mas geralmente equivalente, contagem de caixas ou dimensão Minkowski-Bouligand.

Intuição

O conceito intuitivo de dimensão de um objeto geométrico X é o número de parâmetros independentes necessários para selecionar um único ponto interno. No entanto, qualquer ponto especificado por dois parâmetros pode ser especificado por um, porque a cardinalidade do plano real é igual à cardinalidade da linha real (isso pode ser visto por um argumento envolvendo o entrelaçamento dos dígitos de dois números para produzir um único número que codifica a mesma informação). O exemplo de uma curva de preenchimento de espaço mostra que é possível até mesmo mapear a linha real para o plano real sobrejetivamente (tomando um número real em um par de números reais de maneira que todos os pares de números sejam cobertos) e continuamente , de modo que um objeto unidimensional preencha completamente um objeto de dimensão superior.

Cada curva de preenchimento de espaço atinge alguns pontos várias vezes e não possui um inverso contínuo. É impossível mapear duas dimensões em uma de forma contínua e continuamente invertível. A dimensão topológica, também chamada de dimensão de cobertura de Lebesgue, explica o porquê. Esta dimensão é o maior inteiro n tal que em toda cobertura de X por pequenas bolas abertas há pelo menos um ponto onde n + 1 bolas sobreposição. Por exemplo, quando se percorre uma linha com pequenos intervalos abertos, alguns pontos devem ser percorridos duas vezes, dando dimensão n = 1.

Mas a dimensão topológica é uma medida muito grosseira do tamanho local de um espaço (tamanho próximo a um ponto). Uma curva que quase preenche o espaço ainda pode ter dimensão topológica um, mesmo que preencha a maior parte da área de uma região. Um fractal tem uma dimensão topológica inteira, mas em termos de quantidade de espaço que ocupa, ele se comporta como um espaço de dimensão superior.

A dimensão Hausdorff mede o tamanho local de um espaço tendo em conta a distância entre pontos, a métrica. Considere o número N(r) de bolas de raio no máximo r necessário para cobrir X completamente. Quando r é muito pequeno, N(r) cresce polinomialmente com 1/r. Para um X suficientemente bem comportado, a dimensão de Hausdorff é o número único d tal que N(r) cresce como 1/ r^d conforme r se aproxima de zero. Mais precisamente, isso define a dimensão de contagem de caixas, que é igual à dimensão de Hausdorff quando o valor d é um limite crítico entre taxas de crescimento insuficientes para cobrir o espaço e taxas de crescimento superabundantes.

Para formas que são suaves, ou formas com um pequeno número de cantos, as formas da geometria tradicional e da ciência, a dimensão de Hausdorff é um número inteiro concordando com a dimensão topológica. Mas Benoit Mandelbrot observou que os fractais, conjuntos com dimensões não inteiras de Hausdorff, são encontrados em toda a natureza. Ele observou que a idealização adequada da maioria das formas ásperas que você vê ao seu redor não é em termos de formas idealizadas suaves, mas em termos de formas idealizadas fractais:

Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, costas não são círculos, e casca não é lisa, nem relâmpago viaja em uma linha reta.

Para fractais que ocorrem na natureza, as dimensões de Hausdorff e de contagem de caixas coincidem. A dimensão de embalagem é outra noção semelhante que dá o mesmo valor para muitas formas, mas há exceções bem documentadas em que todas essas dimensões diferem.

Definição formal

A definição formal da dimensão Hausdorff chegou ao definir primeiro a medida Hausdorff, uma analogia de dimensão fracionária da medida Lebesgue. Primeiro, uma medida externa é construída: Vamos. $X$ ser um espaço métrico. Se $Ssubset X$ e ${displaystyle din [0,infty)}$ ,

<math alttext="{displaystyle H_{delta }^{d}(S)=inf left{sum _{i=1}^{infty }(operatorname {diam} U_{i})^{d}:bigcup _{i=1}^{infty }U_{i}supseteq S,operatorname {diam} U_{i}H. H. H.δ δ D(S)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =inf(Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ (diam⁡ ⁡ UEu...)D:⋃ ⋃ Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ UEu...⊇ ⊇ S,diam⁡ ⁡ UEu...<δ δ ?,(S)=inf left{sum _{i=1}^{infty }(operatorname {diam} U_{i})^{d}:bigcup _{i=1}^{infty }U_{i}supseteq S,operatorname {diam} U_{i}<delta right},}<img alt="{displaystyle H_{delta }^{d}(S)=inf left{sum _{i=1}^{infty }(operatorname {diam} U_{i})^{d}:bigcup _{i=1}^{infty }U_{i}supseteq S,operatorname {diam} U_{i}

onde o infim é tomado sobre todas as capas contáveis $U_{i}$ de $S$ . A medida externa Hausdorff é então definida como ${displaystyle {mathcal {H}}^{d}(S)=lim _{delta to 0}H_{delta }^{d}(S)}$ , e a restrição do mapeamento a conjuntos mensuráveis justifica-o como uma medida, chamada de $d$ -dimensional Medida de Hausdorff.

Dimensão Hausdorff

O Dimensão de Hausdorff ${displaystyle dim _{operatorname {H} }{(X)}}$ de $X$ é definido por

{displaystyle dim _{operatorname {H} }{(X)}:=inf{dgeq 0:{mathcal {H}}^{d}(X)=0}.}

Este é o mesmo que o supremum do conjunto de ${displaystyle din [0,infty)}$ tal que o $d$ -dimensional Medida de Hausdorff $X$ é infinito (exceto que quando este último conjunto de números $d$ está vazio a dimensão Hausdorff é zero).

Conteúdo Hausdorff

O $d$ -dimensional conteúdo ilimitado Hausdorff de $S$ é definido por

{displaystyle C_{H}^{d}(S):=H_{infty }^{d}(S)=inf left{sum _{k=1}^{infty }(operatorname {diam} U_{k})^{d}:bigcup _{k=1}^{infty }U_{k}supseteq Sright}}

Em outras palavras, $C_H^d(S)$ tem a construção da medida Hausdorff onde os conjuntos de cobertura são autorizados a ter tamanhos arbitrariamente grandes (Aqui, usamos a convenção padrão que $inf varnothing =infty$ ). A medida Hausdorff e o conteúdo Hausdorff podem ser usados para determinar a dimensão de um conjunto, mas se a medida do conjunto é não zero, seus valores reais podem discordar.

Exemplos

Dimensão de um outro exemplo fractal. O triângulo Sierpinski, um objeto com dimensão Hausdorff de log(3)/log(2)≈1.58.

Conjuntos computáveis têm dimensão Hausdorff 0.
O espaço euclidiano $mathbb {R} ^{n}$ tem dimensão Hausdorff $n$ , e o círculo $S^{1}$ tem dimensão Hausdorff 1.
Fractals muitas vezes são espaços cuja dimensão Hausdorff excede estritamente a dimensão topológica. Por exemplo, o conjunto Cantor, um espaço topológico zero-dimensional, é uma união de duas cópias de si mesmo, cada cópia shrunk por um fator 1/3; portanto, pode-se mostrar que sua dimensão Hausdorff é ln(2)/ln(3) ≈ 0.63. O triângulo Sierpinski é uma união de três cópias de si mesmo, cada cópia shrunk por um fator de 1/2; isso produz uma dimensão Hausdorff de ln(3)/ln(2) ≈ 1.58. Estas dimensões de Hausdorff estão relacionadas com o "exponente crítico" do teorema Mestre para resolver as relações de recorrência na análise de algoritmos.
Curvas de enchimento de espaço como a curva de Peano têm a mesma dimensão Hausdorff que o espaço que eles preenchem.
A trajetória do movimento browniano na dimensão 2 e acima é conjecturada para ser a dimensão Hausdorff 2.

Estimando a dimensão Hausdorff da costa da Grã-Bretanha

Lewis Fry Richardson realizou experimentos detalhados para medir a dimensão aproximada de Hausdorff para várias linhas costeiras. Seus resultados variaram de 1,02 para a costa da África do Sul para 1,25 para a costa oeste da Grã-Bretanha.

Propriedades da dimensão de Hausdorff

Dimensão de Hausdorff e dimensão indutiva

Seja X um espaço métrico separável arbitrário. Existe uma noção topológica de dimensão indutiva para X que é definida recursivamente. É sempre um número inteiro (ou +∞) e é denotado dim_ind(X).

Teorema. Suponha que X não esteja vazio. Então

dim _{{{mathrm {Haus}}}}(X)geq dim _{{operatorname {ind}}}(X).

Além disso,

inf _{Y}dim _{{operatorname {Haus}}}(Y)=dim _{{operatorname {ind}}}(X),

onde Y varia em espaços métricos homeomorfos a X. Em outras palavras, X e Y têm o mesmo conjunto subjacente de pontos e a métrica d_Y de Y é topologicamente equivalente a d_X.

Esses resultados foram originalmente estabelecidos por Edward Szpilrajn (1907–1976), por exemplo, ver Hurewicz e Wallman, Capítulo VII.

Dimensão de Hausdorff e dimensão de Minkowski

A dimensão de Minkowski é semelhante e, pelo menos, tão grande quanto a dimensão de Hausdorff, e são iguais em muitas situações. No entanto, o conjunto de pontos racionais em [0, 1] tem dimensão de Hausdorff zero e dimensão de Minkowski um. Existem também conjuntos compactos para os quais a dimensão de Minkowski é estritamente maior que a dimensão de Hausdorff.

Dimensões de Hausdorff e medidas de Frostman

Se houver uma medida μ definida em subconjuntos de Borel de um espaço métrico X tal que μ(X) > 0 e μ(B(x, r)) ≤ r^s vale para algumas constantes s > 0 e para cada bola B(x, r) em X, então dim_Haus(X) ≥ s. Uma recíproca parcial é fornecida pelo lema de Frostman.

Comportamento sob sindicatos e produtos

Se $X=bigcup_{iin I}X_i$ é uma união finita ou contável, então

dim _{{operatorname {Haus}}}(X)=sup _{{iin I}}dim _{{operatorname {Haus}}}(X_{i}).

Isso pode ser verificado diretamente na definição.

Se X e Y são espaços métricos não vazios, então a dimensão Hausdorff de seu produto satisfaz

dim _{{operatorname {Haus}}}(Xtimes Y)geq dim _{{operatorname {Haus}}}(X)+dim _{{operatorname {Haus}}}(Y).

Essa desigualdade pode ser estrita. É possível encontrar dois conjuntos de dimensão 0 cujo produto tem dimensão 1. Na direção oposta, sabe-se que quando X e Y são subconjuntos de Borel de Rⁿ, a dimensão Hausdorff de X × Y é limitada de cima pela dimensão Hausdorff de X mais a dimensão superior da embalagem de Y. Esses fatos são discutidos em Mattila (1995).

Conjuntos autossimilares

Muitos conjuntos definidos por uma condição de auto-semelhança têm dimensões que podem ser determinadas explicitamente. Grosso modo, um conjunto E é autossimilar se for o ponto fixo de uma transformação de valor definido ψ, ou seja, ψ(E) = E, embora a definição exata seja dada abaixo.

Teorem. Suponha
$psi_i: mathbf{R}^n rightarrow mathbf{R}^n, quad i=1, ldots m$
são mapeamentos contrativos em Rⁿ com constante de contração R_JJ < 1. Então há um único não vazio conjunto compacto A tal que
$A = bigcup_{i=1}^m psi_i (A).$

O teorema segue do teorema do ponto fixo de mapeamento contrativo de Stefan Banach aplicado ao espaço métrico completo de subconjuntos compactos não vazios de Rⁿ com a distância Hausdorff.

A condição de conjunto aberto

Para determinar a dimensão do conjunto auto-similar A (em certos casos), precisamos de uma condição técnica chamada condição de conjunto aberto (OSC) na sequência de contrações ψ_i.

Existe um conjunto aberto relativamente compacto V tal que

bigcup_{i=1}^mpsi_i (V) subseteq V,

onde os conjuntos em união à esquerda são disjuntos aos pares.

A condição de conjunto aberto é uma condição de separação que garante que as imagens ψ_i(V) não se sobreponham "muito& #34;.

Teorema. Suponha que a condição de conjunto aberto seja válida e cada ψ_i seja uma similitude, ou seja, uma composição de uma isometria e uma dilatação em torno de algum ponto. Então o único ponto fixo de ψ é um conjunto cuja dimensão Hausdorff é s onde s é a única solução de

sum_{i=1}^m r_i^s = 1.

O coeficiente de contração de uma similitude é a magnitude da dilatação.

Em geral, um conjunto E que é um ponto fixo de um mapeamento

A mapsto psi(A) = bigcup_{i=1}^m psi_i(A)

é autossimilar se e somente se as interseções

H^sleft(psi_i(E) cap psi_j(E)right) =0,

onde s é a dimensão Hausdorff de E e H^s denota a medida Hausdorff. Isso fica claro no caso da junta de Sierpinski (as interseções são apenas pontos), mas também é verdade de forma mais geral:

Teorema. Nas mesmas condições do teorema anterior, o único ponto fixo de ψ é autosemelhante.

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