Desigualdade de Cauchy-Schwarz

A desigualdade de Cauchy-Schwarz (também chamada de desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz) é considerada uma das desigualdades mais importantes e amplamente utilizadas em matemática.

A desigualdade para somas foi publicada por Augustin-Louis Cauchy (1821). A desigualdade correspondente para integrais foi publicada por Viktor Bunyakovsky (1859) e Hermann Schwarz (1888). Schwarz deu a prova moderna da versão integral.

Declaração da desigualdade

A desigualdade Cauchy-Schwarz afirma que para todos os vetores $- Sim.$ e $(v)$ de um espaço interno do produto

${displaystyle left|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle right|^{2}leq langle mathbf {u}mathbf {u} rangle cdot langle mathbf {v}mathbf {v} rangle}$

(desigualdade Cauchy-Schwarz [escrito usando apenas o produto interno])

Onde? ${displaystyle langle cdotcdot rangle }$ é o produto interno. Exemplos de produtos internos incluem o produto de ponto real e complexo; veja os exemplos no produto interno. Cada produto interno dá origem a um Euclidean $Não. l_{2}}$ norm, chamado de canônico ou norma induzida, onde a norma de um vetor $- Sim.$ é denotado e definido por

$${displaystyle |mathbf {u}} |:={sqrt {langle mathbf {u}mathbf {u} rangle }},}$$

${displaystyle langle mathbf {u}mathbf {u} rangle }$

$|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |leq |mathbf {u} ||mathbf {v} - Sim.$

(Desigualdade de Cauchy-Schwarz - escrita usando norma e produto interno)

Além disso, os dois lados são iguais se e somente se $- Sim.$ e $(v)$ são linearmente dependentes.

Casos especiais

Lema de Sedrakyan - Números reais positivos

A desigualdade de Sedrakyan, também chamada de desigualdade de Bergström, a forma de Engel, o lema T2, ou o lema de Titu, afirma que para números reais $Não. u_{1},u_{2},dotsu_{n}}$ e números reais positivos ${displaystyle v_{1},v_{2},dotsv_{n}}$:

$$(em inglês) _{i=1}^{n}u_{i}right)^{2}}{sum _{i=1}^{n}v_{i}}}leq sum _{i=1}^{n}{frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}quad {text{ ou equivalentemente, }}quad {frac {left (u_{1}+u_{2}+cdots +u_{n}right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+cdots +v_{n}}}leq {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+cdots + {u_{n}^{2}}{v_{n}}}}}$$

É uma consequência direta da desigualdade Cauchy-Schwarz, obtida usando o produto do ponto em ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ substituindo $Não. u_{i}'=u_{i}/{sqrt {v_{i}}$ e $Não. v_{i}'={sqrt {v_{i}}}}}}$. Esta forma é especialmente útil quando a desigualdade envolve frações onde o numerador é um quadrado perfeito.

R2 - O avião

O verdadeiro espaço vetorial ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ denota o plano 2-dimensional. É também o espaço euclidiano 2-dimensional onde o produto interno é o produto do ponto. Se ${displaystyle mathbf {u} =left(u_{1},u_{2}right)}$ e ${displaystyle mathbf {v} =left(v_{1},v_{2}right)}$ então a desigualdade Cauchy-Schwarz torna-se:

$${displaystyle langle mathbf {u}mathbf {v} rangle ^{2}=(|mathbf {u} ||mathbf {v} |cos theta)^{2}leq |mathbf {u} |^{2}|mathbf {v} |^{2},}$$

$- Sim.$

$- Sim.$

$(v)$

A forma acima é talvez a mais fácil em que entender a desigualdade, uma vez que o quadrado da cossena pode ser no máximo 1, que ocorre quando os vetores estão nas mesmas ou direções opostas. Também pode ser reiniciado em termos das coordenadas vetoriais $Não. u_{1}}$, ${displaystyle u_{2}}$, $Não. v_{1}}$e ${displaystyle v_{2}}$ como

$${displaystyle left(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}right)^{2}leq left (u_{1}^{2}+u_{2}^{2}right)left (v_{1}^{2}+v_{2}^{2}right),}$$

${displaystyle left(u_{1},u_{2}right)}$

${displaystyle left(v_{1},v_{2}right)}$

Rn - espaço euclidiano ndimensional

No espaço euclidiano ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ com o produto interno padrão, que é o produto do ponto, a desigualdade Cauchy-Schwarz torna-se:

$${displaystyle left(sum) _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}right)^{2}leq left(sum) _{i=1}^{n}u_{i}^{2}right)left(sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}right).}$$

A desigualdade Cauchy-Schwarz pode ser provada usando apenas álgebra elementar neste caso, observando que a diferença da direita e do lado esquerdo é ${displaystyle {frac {1}{2}}sum _{i,j=1,ldotsn}(u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i})^{2}geq 0$

ou considerando o seguinte polinomial quadrático em $Não.$

$${displaystyle left(u_{1}x+v_{1}right)^{2}+cdots +left(u_{n}x+v_{n}right)^{2}=left(sum _{i}u_{i}^{2}right)x^{2}+2left(sum _{i}u_{i}v_{i}right)x+sum _{i}v_{i}^{2}.}$$

Como o último polinômio não é negativo, ele possui no máximo uma raiz real, portanto, seu discriminante é menor ou igual a zero. Aquilo é,

$${displaystyle left(sum) _{i}u_{i}v_{i}right)^{2}-left(sum _{i}{u_{i}^{2}}right)left(sum _{i}{v_{i}^{2}}right)leq O quê?$$

Cn - espaço complexo n-dimensional

Se ${displaystyle mathbf {u}mathbf {v} in mathbb (C) ^{n)$ com ${displaystyle mathbf {u} =left(u_{1},ldotsu_{n}right)}$ e ${displaystyle mathbf {v} =left(v_{1},ldotsv_{n}right)}$ (onde) ${displaystyle u_{1},ldotsu_{n}in mathbb Não.$ e ${displaystyle v_{1},ldotsv_{n}in - Sim.$) e se o produto interno no espaço vetorial ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ é o produto interno complexo canônico (definido por ${displaystyle langle mathbf {u}mathbf {v} rangle:=u_{1}{overline {v_{1}}}+cdots +u_{n) {v_{n}}},}$ onde a notação da barra é usada para conjugação complexa), então a desigualdade pode ser reiniciada mais explicitamente da seguinte forma:

$${displaystyle |langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}=left|sum _{k=1}^{n}u_{k}{bar {v}}_{k}right|^{2}leq langle mathbf {u}mathbf {u} rangle langle mathbf {v}mathbf {v} rangle =left(sum _{k=1}^{n}u_{k}{bar {u}}_{k}right)left(sum _{k=1}^{n}v_{k}{bar {v}}_{k}right)=sum _{j=1}^{n}left|u_{j}right|^{2}sum _{k=1}^{n}left|v_{k}right|^{2}.}$$

Ou seja,

$${displaystyle left|u_{1}{bar {v}}_{1}+cdots +u_{n}{bar {v}}_{n}right|^{2}leq left(left|u_{1}right|^{2}+cdots +left|u_{n}right|^{2}right)left(left|v_{1}right|^{2}+cdots +left|v_{n}right|^{2}right).}$$

L2

Para o espaço de produto interno de funções quadradas integráveis de valor complexo, a seguinte desigualdade:

$${displaystyle left|int _{mathbb {R} ^{n}}f(x){overline {g(x)}},dxright|^{2}leq int _{mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2},dxint _{mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2},dx.}$$

A desigualdade de Hölder é uma generalização disso.

Aplicações

Análise

Em qualquer espaço interno do produto, a desigualdade do triângulo é uma consequência da desigualdade Cauchy-Schwarz, como é mostrado agora:

$${displaystyle {begin{alignedat}{4}|mathbf {u} +mathbf {v} |^{2}&=langle mathbf {u} +mathbf {v}mathbf {u} +mathbf {v} rangle &&&=|mathbf {u} |^{2}+langle mathbf {u}mathbf {v} rangle +langle mathbf {v}mathbf {u} rangle +|mathbf {v} |^{2}~&~{text{ where }}langle mathbf {v}mathbf {u} rangle ={overline {langle mathb rangle }}&=|mathbf {u} |^{2}+2operatorname {Re} langle mathbf {u}mathbf {v} rangle +|mathbf {v} |^{2}&&\&leq |mathbf {u} |^{2}+2|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |+|mathbf {v} |^{2}&&\&leq |mathbf {u} |^{2}+2|mathbf {u} ||mathbf {v} |+|mathbf {v} |^{2}~&&~{text{ using CS}}&=(|mathbf {u} |+|mathbf {v} |)^{2}.&&end{alignedat}}}$$

Tirar raízes quadradas dá a desigualdade triangular:

$${displaystyle |mathbf {u}} +mathbf {v} |leq |mathbf {u} |+|mathbf {v} - Sim.$$

A desigualdade Cauchy-Schwarz é usada para provar que o produto interno é uma função contínua em relação à topologia induzida pelo próprio produto interno.

Geometria

A desigualdade de Cauchy-Schwarz permite estender a noção de "ângulo entre dois vetores" para qualquer espaço real de produto interno, definindo:

$${displaystyle cos theta _{mathbf {u} mathbf {v} }={frac {displaystyle mathbf {u}mathbf {v} rangle }{|mathbf {u} ||mathbf {v} |}}.}$$

A desigualdade de Cauchy-Schwarz prova que esta definição é sensata, mostrando que o lado direito está no intervalo [−1, 1] e justifica a noção de que Os espaços (reais) de Hilbert são simplesmente generalizações do espaço euclidiano. Também pode ser usado para definir um ângulo em espaços complexos de produtos internos, tomando o valor absoluto ou a parte real do lado direito, como é feito ao extrair uma métrica da fidelidade quântica.

Teoria da probabilidade

Vamos. $- Sim.$ e $Não. Sim.$ ser variáveis aleatórias, então a desigualdade de covariância é dada por:

$${displaystyle operatorname} {Var} (X)geq {frac {operatorname {Cov} (X,Y)^{2}}{operatorname Sim.$$

Depois de definir um produto interno no conjunto de variáveis aleatórias usando a expectativa de seu produto,

$${displaystyle langle X,Yrangle:=operatorname (E} (XY),}$$

$${displaystyle |operatorname {E} (XY)|^{2}leq operatorname {E} (X^{2})operatorname {E} (Y^{2}). ?$$

Para provar a desigualdade de covariância usando a desigualdade Cauchy-Schwarz, deixe ${displaystyle mu =operatorname {E} (X)}$ e ${displaystyle nu =operatorname {E} (Y),}$ então

$${displaystyle {begin{aligned}|operatorname {Cov} (X,Y)|^{2}&=|operatorname {E} ((X-mu)(Y-nu))|^{2}\&=|langle X-muY-nu rangle |^{2}\&leq langle X-mu X-mu rangle langle Y-nuY-nu rangle \&=operatorname {E} left(X-mu)^{2}right)operatorname {E} left((Y-nu)^{2}right)&=operatorname {Var} (X)operatorname {Var} (Y),end{aligned}}}$$

${displaystyle operatorname} Não.$

${displaystyle operatorname} Não.$

Provas

Existem muitas provas diferentes da desigualdade de Cauchy-Schwarz, além das apresentadas abaixo. Ao consultar outras fontes, muitas vezes há duas fontes de confusão. Primeiro, alguns autores definem <,⋅,> ser linear no segundo argumento em vez do primeiro. Em segundo lugar, algumas provas só são válidas quando o campo é ${displaystyle mathbb {R} } }$ e não ${displaystyle mathbb {C}.}$

Esta seção fornece provas do seguinte teorema:

Em todas as provas apresentadas abaixo, a prova no caso trivial onde pelo menos um dos vetores é zero (ou equivalente, no caso em que ${displaystyle |mathbf {u}} ||mathbf {v} Não.$) é o mesmo. É apresentado imediatamente abaixo apenas uma vez para reduzir a repetição. Ele também inclui a parte fácil da prova a Caracterização de Igualdade dada acima; isto é, prova que se $- Sim.$ e $(v)$ são linearmente dependentes então ${displaystyle left|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle right|=|mathbf {u} ||mathbf {v} - Sim.$

Proof of the trivial parts: Case where a vector is ${displaystyle mathbf {0} }$ and also one direction of the Equality Characterization

By definition, ${displaystyle mathbf {u} }$ and ${displaystyle mathbf {v} }$ are linearly dependent if and only if one is a scalar multiple of the other. If ${displaystyle mathbf {u} =cmathbf {v} }$ where ${displaystyle c}$ is some scalar then $${displaystyle |langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |=|langle cmathbf {v}mathbf {v} rangle |=|clangle mathbf {v}mathbf {v} rangle |=|c||mathbf {v} ||mathbf {v} |=|cmathbf {v} ||mathbf {v} |=|mathbf {u} ||mathbf {v} |}$$ which shows that equality holds in the Cauchy–Schwarz Inequality. The case where ${displaystyle mathbf {v} =cmathbf {u} }$ for some scalar ${displaystyle c}$ is very similar, with the main difference between the complex conjugation of ${displaystyle c:}$ $${displaystyle |langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |=|langle mathbf {u}cmathbf {u} rangle |=left|{overline {c}}langle mathbf {u}mathbf {u} rangle right|=left|{overline {c}}right||mathbf {u} ||mathbf {u} |=|c||mathbf {u} ||mathbf {u} |=|mathbf {u} ||cmathbf {u} |=|mathbf {u} ||mathbf {v} |.}$$ If at least one of ${displaystyle mathbf {u} }$ and ${displaystyle mathbf {v} }$ is the zero vector then ${displaystyle mathbf {u} }$ and ${displaystyle mathbf {v} }$ are necessarily linearly dependent (just scalar multiply the non-zero vector by the number ${displaystyle 0}$ to get the zero vector; for example, if ${displaystyle mathbf {u} =mathbf {0} }$ then let ${displaystyle c=0}$ so that ${displaystyle mathbf {u} =cmathbf {v} }$), which proves the converse of this characterization in this special case; that is, this shows that if at least one of ${displaystyle mathbf {u} }$ and ${displaystyle mathbf {v} }$ is ${displaystyle mathbf {0} }$ then the Equality Characterization holds. If ${displaystyle mathbf {u} =mathbf {0}}$ which happens if and only if ${displaystyle |mathbf {u} |=0,}$ then ${displaystyle |mathbf {u} ||mathbf {v} |=0}$ and ${displaystyle |langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |=|langle mathbf {0}mathbf {v} rangle |=|0|=0}$ so that in particular, the Cauchy–Schwarz inequality holds because both sides of it are ${displaystyle 0.}$ The proof in the case of ${displaystyle mathbf {v} =mathbf {0} }$ is identical.

Consequentemente, a desigualdade de Cauchy-Schwarz só precisa ser provada para vetores diferentes de zero e também apenas a direção não trivial da Caracterização da Igualdade deve ser mostrada.

Prova 1

O caso especial de $(v) ?$ foi comprovado acima, então é, portanto, assumido que ${displaystyle mathbf {v} neq mathbf {0}.}$ O Cauchy–Schwarz ema igualdade (e o resto do teorema) é um corolário quase imediato do seguinte igualdade:

${displaystyle {frac {1}{|mathbf {v}} |^{2}}}left||mathbf {v} |^{2}mathbf {u} -langle mathbf {u}mathbf {v} rangle mathbf {v} right|^{2}~=~|mathbf {u} |^{2}|mathbf {v} |^{2}-|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}}$

(Eq. 1)

Igualdade Eq. 1 é facilmente verificado pela expansão elementar ${displaystyle left||mathbf {v} |^{2}mathbf {u} -langle mathbf {u}mathbf {v} rangle mathbf {v} right|^{2}}$ (através da definição da norma) e depois simplificando:

Proof of Eq. 1

Let ${displaystyle V=|mathbf {v} |^{2}}$ and ${displaystyle c=langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }$ so that ${displaystyle {bar {c}}c=|c|^{2}=|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}}$ and ${displaystyle {bar {c}}={overline {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }}=langle mathbf {v}mathbf {u} rangle.}$ Then

$${displaystyle {begin{alignedat}{4}left||mathbf {v} |^{2}mathbf {u} -langle mathbf {u}mathbf {v} rangle mathbf {v} right|^{2}&=|Vmathbf {u} -cmathbf {v} |^{2}=langle Vmathbf {u} -cmathbf {v}Vmathbf {u} -cmathbf {v} rangle &&~quad {text{ By definition of the norm }}\[0.5ex]&=langle Vmathbf {u}Vmathbf {u} rangle -langle Vmathbf {u}cmathbf {v} rangle -langle cmathbf {v}Vmathbf {u} rangle +langle cmathbf {v}cmathbf {v} rangle &&~quad {text{ Expand }}\[0.5ex]&=V^{2}langle mathbf {u}mathbf {u} rangle -V{bar {c}}langle mathbf {u}mathbf {v} rangle -cVlangle mathbf {v}mathbf {u} rangle ,+c{bar {c}}langle mathbf {v}mathbf {v} rangle &&~quad {text{ Pull out scalars (note that }}V:=|mathbf {v} |^{2}{text{ is real) }}\[0.5ex]&=V^{2}|mathbf {u} |^{2}~~-V{bar {c}}c~~~~~~~~-cV{bar {c}}~~~~~~~~+c{bar {c}}V&&~quad {text{ Use definitions of }}c:=langle mathbf {u}mathbf {v} rangle {text{ and }}V\[0.5ex]&=V^{2}|mathbf {u} |^{2}~~-V{bar {c}}c~=~Vleft[V|mathbf {u} |^{2}-{bar {c}}cright]&&~quad {text{ Simplify }}\[0.5ex]&=|mathbf {v} |^{2}left[|mathbf {u} |^{2}|mathbf {v} |^{2}-|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}right]&&~quad {text{ Rewrite in terms of }}mathbf {u} {text{ and }}mathbf {v}.\end{alignedat}}}$$

Dividing by ${displaystyle |mathbf {v} |^{2}neq 0}$ completes the proof. ${displaystyle blacksquare }$

Esta expansão não requer $(v)$ ser não-zero; no entanto, $(v)$ deve ser não-zero, a fim de dividir ambos os lados por ${displaystyle |mathbf {v} |^{2}}$ e deduzir a desigualdade Cauchy-Schwarz dele. Despertar $- Sim.$ e $(v)$ dá origem a:

$${displaystyle left||mathbf {u} |^{2}mathbf {v} - Tradução e Legendagem: right|^{2}~=~|mathbf {u} |^{2}left[|mathbf {u} |^{2}|mathbf {v} |^{2}-|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}right]}$$

$${displaystyle {begin{alignedat}{4}|mathbf {u} |^{2}|mathbf {v} |^{2}left[|mathbf {u} |^{2}|mathbf {v} |^{2}-|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}right]~=~|mathbf {u} |^{2}left||mathbf {v} |^{2}mathbf {u} -langle mathbf {u}mathbf {v} rangle mathbf {v} right|^{2}\~&=|mathbf {v} |^{2}left||mathbf {u} |^{2}mathbf {v} -{overline {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }}mathbf {u} right|^{2}\end{alignedat}}}$$

Prova 2

O caso especial de $(v) ?$ foi comprovado acima, então é, portanto, assumido que ${displaystyle mathbf {v} neq mathbf {0}.}$ Vamos.

$${displaystyle mathbf {z}:=mathbf {u} -{frac {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }{langle mathbf {v}mathbf {v} rangle }}mathbf {v}.}$$

Resulta da linearidade do produto interno em seu primeiro argumento que:

$$< < < < < < < < < } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }$$

Portanto, $- Sim.$ é um vetor ortogonal para o vetor $(v)$ (Indevido, $- Sim.$ é a projeção de $- Sim.$ no avião ortogonal para ${displaystyle mathbf {v}.}$) Podemos, assim, aplicar o teorema de Pitágora

$${displaystyle mathbf {u} ={frac {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }{langle mathbf {v}mathbf {v} rangle }}mathbf {v} - Sim.$$

$${displaystyle |mathbf {u}} |^{2}=left|{frac {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }{langle mathbf (v}mathbf {v} rangle }}right|^{2}|mathbf {v} |^{2}+|mathbf {z} |^{2}={frac {|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}}{(|mathbf {v} |^{2})^{2}}}, |mathbf {v} |^{2}+|mathbf {z} |^{2}={frac {|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}}{|mathbf {v} |^{2}}}+|mathbf {z} |^{2}geq {frac {|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}}{|mathbf {v} |^{2}}}.}$$

A desigualdade Cauchy-Schwarz segue multiplicando-se ${displaystyle |mathbf {v} |^{2}}$ e depois tomar a raiz quadrada. Além disso, se a relação $- Sim.$ na expressão acima é realmente uma igualdade, então ${displaystyle |mathbf {z} |^{2}=0}$ e daí ${displaystyle mathbf {z} =mathbf {0}$ a definição de $- Sim.$ então estabelece uma relação de dependência linear entre $- Sim.$ e ${displaystyle mathbf {v}.}$ O converso foi provado no início desta seção, então a prova está completa. $- Sim.$

Prova de produtos internos reais

Vamos. $(V,langle cdotcdot rangle)}$ ser um espaço de produto interno real. Considere um par arbitrário ${displaystyle mathbf {u}mathbf {v} in V}$ e a função ${displaystyle p:mathbb] (R) a mathbb Não.$ definido por ${displaystyle p(t)=langle tmathbf {u} +mathbf {v}tmathbf {u} +mathbf {v} rangle.}$ Uma vez que o produto interno é positivo-definido, $(T)}$ só leva valores não negativos. Por outro lado, $(T)}$ pode ser expandido usando a bilinearidade do produto interno e usando o fato de que ${displaystyle langle mathbf {u}mathbf {v} rangle =langle mathbf {v}mathbf {u} rangle }$ para produtos internos reais:

$${displaystyle p(t)=Vert mathbf {u} Vert ^{2}t^{2}+tleft[langle mathbf {u}mathbf {v} rangle +langle mathbf {v}mathbf {u} rangle right]+ Ver também Vert ^{2}=Vert mathbf {u} Vert ^{2}t^{2}+2tlangle mathbf {u}mathbf {v} rangle +\ Ver também Vert ^{2}.}$$

$Não.$

$Não. 2$

$Não.$

$Não.$

$${displaystyle Delta =4left(langle mathbf {u}mathbf {v} rangle ^{2}-Vert mathbf {u} Vert ^{2} Ver também Vert ^{2}right)leqslant O quê?$$

Para o caso da igualdade, observe que ${displaystyle Delta =0}$ acontece se e somente se ${displaystyle p(t)=(tVert mathbf {u} Vert +Vert mathbf {v} Vert)^{2}.}$ Se $Não. t_{0}=-Vert mathbf {v} Vert /Vert mathbf {u} Vert}$ então ${displaystyle p(t_{0})=langle t_{0}mathbf {u} +mathbf {v}t_{0}mathbf {u} +mathbf {v} rangle =0,}$ e daí $(v) =-t_{0}mathbf {u}.}$

Prova do produto escalar

A desigualdade Cauchy-Schwarz no caso em que o produto interno é o produto do ponto no ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ está agora provado. A desigualdade Cauchy-Schwarz pode ser reescrita como ${displaystyle left|mathbf {a} cdot mathbf {b} right|^{2}leq left|mathbf {a} right|^{2},left|mathbf {b} right|^{2}}$ ou equivalente, ${displaystyle left(mathbf {a} cdot mathbf {b} right)^{2}leq left(mathbf {a} cdot mathbf {a} right),left(mathbf {b} cdot mathbf {b} right)}$ para ${displaystyle mathbf {a}:=left(a_{1},ldotsa_{n}right),mathbf {b}:=left(b_{1},ldotsb_{n}right)in mathbb {R} ^{n},}$ que se expande para:

$${displaystyle left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+cdots +a_{n}^{2}right)left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+cdots +b_{n}^{2}right)geq left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+cdots +a_{n}b_{n}right)^{2}.}$$

Para simplificar, vamos

$${displaystyle {begin{aligned}A&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+cdots +a_{n}^{2},B&=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+cdots +b_{n}^{2}\D&=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+cdots +a_{n}b_{n}\end{aligned}}}$$

${displaystyle ABgeq D^{2},}$

$Não. D^{2}-ABleq 0.}$

$Não. Ax^{2}+2Dx+B}$

$Não. 4D^{2}-4AB.}$

Portanto, para completar a prova é suficiente provar que esta quadrática ou não tem raízes reais ou tem exatamente uma raiz real, porque isso implicará:

$${displaystyle 4left(D^{2}-ABright)leq O quê?$$

Substituir os valores de $A.B.D.$ para dentro $Não. Ax^{2}+2Dx+B}$ dá:

$${displaystyle {begin{alignedat}{4}Ax^{2}+2Dx+B&=left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+cdots +a_{n}^{2}right)x^{2}+2left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+cdots +a_{n}b_{n}right)x+left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+cdots +b_{n}^{2}right)\&=left(a_{1}^{2}x^{2}+2a_{1}b_{1}x+b_{1}^{2}right+left(a_{2}^{2}x^{2}) 0end{alignedat}}}$$

${displaystyle ,geq 0,}$

${displaystyle r^{2}geq} 0$

${displaystyle rin mathbb Não.$

$Não. a_{i}x=-b_{i}}$

$${displaystyle left(a_{1}x+b_{1}right)^{2}+left (a_{2}x+b_{2}right)^{2}+cdots +left(a_{n}x+b_{n}right)^{2}geq 0,$$

$- Sim.$

Generalizações

Existem várias generalizações da desigualdade Cauchy-Schwarz. A desigualdade de Hölder generaliza-a para $Não. L^{p}}$ Normas. Mais geralmente, pode ser interpretado como um caso especial da definição da norma de um operador linear em um espaço de Banach (Namely, quando o espaço é um espaço de Hilbert). Outras generalizações estão no contexto da teoria do operador, por exemplo, para funções de convexo de operador e álgebras de operador, onde o domínio e/ou intervalo são substituídos por uma C*-algebra ou W*-algebra.

Um produto interno pode ser usado para definir um funcional linear positivo. Por exemplo, dado um espaço de Hilbert $(m),m}$ sendo uma medida finita, o produto interno padrão dá origem a um funcional positivo $- Sim.$ por ${displaystyle varphi (g)=langle g,1rangle.}$ Por outro lado, cada funcional linear positivo $- Sim.$ sobre $(m)}$ pode ser usado para definir um produto interno ${displaystyle langle f,grangle _{varphi }:=varphi left(g^{*}fright),}$ Onde? ${displaystyle g^{*}}$ é o conjugado complexo pontual de $Não.$ Nesta linguagem, a desigualdade Cauchy-Schwarz torna-se

$${displaystyle left|varphi left(g^{*}fright)right|^{2}leq varphi left(f^{*}fright)varphi left(g^{*}gright),}$$

que se estende literalmente a funcionais positivos em álgebras C*:

Os próximos dois teoremas são exemplos adicionais em álgebra de operadores.

Isso estende o fato ${displaystyle varphi left(a^{*}aright)cdot 1geq varphi (a)^{*}varphi (a)=|varphi (a)|^{2},}$ quando $- Sim.$ é um funcional linear. O caso quando $Não.$ é auto-conjunto, isto é, $- Sim.$ às vezes é conhecido como A desigualdade de Kadison.

Igualdade de Cauchy-Schwarz(Igualdade de Schwarz modificada para mapas 2 positivos)—Para um mapa 2 positivo $- Sim.$ entre C*-algebras, para todos $Não.$ em seu domínio,

$${displaystyle varphi (a)^{*}varphi (a)leq) Vert varphi (1) Vert varphi left(a^{*}aright),{text{ e }}}$$

$$Não. Vert varphi left(a^{*}bright) Vert ^{2}leq Vert varphi left(a^{*}aright) Ver tudo Vert varphi left(b^{*}bright)Vert.}$$

Outra generalização é um refinamento obtido pela interpolação entre ambos os lados da desigualdade de Cauchy-Schwarz:

Igualdade de Callebaut—Para reais ${displaystyle 0leqslant sleqslant tleqslant 1,}$

$${displaystyle left(sum) _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}right)^{2}~leqslant ~left(sum) _{i=1}^{n}a_{i}^{1+s}b_{i}^{1-s}right)left(sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-s}b_{i}^{1+s}right)~leqslant ~left(sum) _{i=1}^{n}a_{i}^{1+t}b_{i}^{1-t}right)left(sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-t}b_{i}^{1+t}right)~leqslant ~left(sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}right)left(sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}right).}$$

Este teorema pode ser deduzido da desigualdade de Hölder. Existem também versões não comutativas para operadores e produtos tensoriais de matrizes.

Está disponível um levantamento de versões matriciais da desigualdade de Cauchy-Schwarz e da desigualdade de Kantorovich.