David Hilbert
David Hilbert (Alemão: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]; 23 de janeiro de 1862 - 14 de fevereiro de 1943) foi um matemático alemão, um dos matemáticos mais influentes do século XIX e início do século XX. Hilbert descobriu e desenvolveu uma ampla gama de ideias fundamentais em muitas áreas, incluindo teoria invariante, cálculo de variações, álgebra comutativa, teoria algébrica dos números, fundamentos da geometria, teoria espectral de operadores e sua aplicação a equações integrais, física matemática e os fundamentos da matemática (particularmente a teoria da prova).
Hilbert adotou e defendeu a teoria dos conjuntos de Georg Cantor e os números transfinitos. Em 1900, ele apresentou uma coleção de problemas que definiram o rumo de grande parte da pesquisa matemática do século XX.
Hilbert e seus alunos contribuíram significativamente para estabelecer o rigor e desenvolveram ferramentas importantes usadas na física matemática moderna. Hilbert é conhecido como um dos fundadores da teoria da prova e da lógica matemática.
Vida
Infância e educação
Hilbert, o primeiro de dois filhos e único filho de Otto e Maria Therese (Erdtmann) Hilbert, nasceu na Província da Prússia, Reino da Prússia, seja em Königsberg (segundo declaração do próprio Hilbert) ou em Wehlau (conhecido desde 1946 como Znamensk) perto de Königsberg, onde seu pai trabalhava na época de seu nascimento.
No final de 1872, Hilbert ingressou no Friedrichskolleg Gymnasium (Collegium fridericianum, a mesma escola que Immanuel Kant frequentou 140 anos antes); mas, após um período infeliz, ele se transferiu para (final de 1879) e se formou (início de 1880) o Wilhelm Gymnasium, mais voltado para a ciência. Após a formatura, no outono de 1880, Hilbert se matriculou na Universidade de Königsberg, a "Albertina". No início de 1882, Hermann Minkowski (dois anos mais novo que Hilbert e também natural de Königsberg, mas havia ido para Berlim por três semestres), voltou a Königsberg e ingressou na universidade. Hilbert desenvolveu uma amizade ao longo da vida com o tímido e talentoso Minkowski.
Carreira
Em 1884, Adolf Hurwitz chegou de Göttingen como um Extraordinarius (isto é, um professor associado). Iniciou-se um intenso e frutífero intercâmbio científico entre os três, e especialmente Minkowski e Hilbert exerceriam uma influência recíproca um sobre o outro em vários momentos de suas carreiras científicas. Hilbert obteve seu doutorado em 1885, com uma dissertação, escrita sob a orientação de Ferdinand von Lindemann, intitulada Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Sobre as propriedades invariantes de formas binárias especiais, em particular as funções harmônicas esféricas").
Hilbert permaneceu na Universidade de Königsberg como Privatdozent (professor sênior) de 1886 a 1895. Em 1895, como resultado da intervenção de Felix Klein em seu nome, ele obteve o cargo de professor de Matemática da Universidade de Göttingen. Durante os anos Klein e Hilbert, Göttingen tornou-se a instituição proeminente no mundo matemático. Ele permaneceu lá pelo resto de sua vida.
Escola de Göttingen
Entre os alunos de Hilbert estavam Hermann Weyl, o campeão de xadrez Emanuel Lasker, Ernst Zermelo e Carl Gustav Hempel. John von Neumann era seu assistente. Na Universidade de Göttingen, Hilbert era cercado por um círculo social de alguns dos matemáticos mais importantes do século 20, como Emmy Noether e Alonzo Church.
Entre seus 69 Ph.D. muitos alunos em Göttingen se tornaram matemáticos famosos, incluindo (com a data da tese): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) e Wilhelm Ackermann (1925). Entre 1902 e 1939, Hilbert foi editor do Mathematische Annalen, o principal periódico matemático da época.
Bom, ele não tinha imaginação suficiente para se tornar um matemático.
—A resposta de Hilbert ao ouvir que um dos seus alunos tinha deixado de estudar poesia.
Vida pessoal
Em 1892, Hilbert casou-se com Käthe Jerosch (1864–1945), que era filha de um comerciante de Königsberg, uma jovem franca com uma independência de espírito que combinava com [a de Hilbert]. Enquanto estavam em Königsberg, eles tiveram um filho, Franz Hilbert (1893–1969). Franz sofreu ao longo de sua vida de uma doença mental não diagnosticada. Seu intelecto inferior foi uma terrível decepção para seu pai e esse infortúnio foi motivo de angústia para os matemáticos e estudantes de Göttingen.
Hilbert considerava o matemático Hermann Minkowski seu "melhor e mais verdadeiro amigo".
Hilbert foi batizado e criado como calvinista na Igreja Evangélica Prussiana. Mais tarde, ele deixou a Igreja e tornou-se agnóstico. Ele também argumentou que a verdade matemática era independente da existência de Deus ou de outras suposições a priori. Quando Galileu Galilei foi criticado por não defender suas convicções sobre a teoria heliocêntrica, Hilbert objetou: “Mas [Galileu] não era um idiota. Só um idiota poderia acreditar que a verdade científica precisa do martírio; isso pode ser necessário na religião, mas os resultados científicos provam-se no devido tempo."
Anos posteriores
Como Albert Einstein, Hilbert tinha contatos mais próximos com o Grupo de Berlim, cujos principais fundadores estudaram com Hilbert em Göttingen (Kurt Grelling, Hans Reichenbach e Walter Dubislav).
Por volta de 1925, Hilbert desenvolveu anemia perniciosa, uma deficiência de vitaminas então intratável cujo principal sintoma é a exaustão; seu assistente Eugene Wigner o descreveu como sujeito a "enorme fadiga" e como ele "parecia bastante velho" e que mesmo depois de eventualmente ser diagnosticado e tratado, ele "dificilmente era um cientista depois de 1925, e certamente não era um Hilbert".
Hilbert viveu para ver os nazistas expurgarem muitos dos proeminentes membros do corpo docente da Universidade de Göttingen em 1933. Os expulsos incluíam Hermann Weyl (que assumiu a cadeira de Hilbert quando se aposentou em 1930), Emmy Noether e Edmund Landau. Um que teve que deixar a Alemanha, Paul Bernays, colaborou com Hilbert em lógica matemática e foi co-autor com ele do importante livro Grundlagen der Mathematik (que acabou aparecendo em dois volumes, em 1934 e 1939).. Esta foi uma sequência do livro de Hilbert-Ackermann Principles of Mathematical Logic de 1928. O sucessor de Hermann Weyl foi Helmut Hasse.
Cerca de um ano depois, Hilbert participou de um banquete e sentou-se ao lado do novo Ministro da Educação, Bernhard Rust. Rust perguntou se "o Instituto de Matemática realmente sofreu tanto com a partida dos judeus". Hilbert respondeu: "Sofreu? Não existe mais, não é?"
Morte
Wir Müssen Wir
Wir Werden wissen
Na época em que Hilbert morreu em 1943, os nazistas haviam recolocado quase completamente a equipe na universidade, já que muitos dos ex-professores eram judeus ou casados com judeus. O funeral de Hilbert contou com a presença de menos de uma dúzia de pessoas, apenas duas das quais eram colegas acadêmicos, entre elas Arnold Sommerfeld, um físico teórico e também natural de Königsberg. A notícia de sua morte só se tornou conhecida no mundo vários meses depois de sua morte.
O epitáfio em sua lápide em Göttingen consiste nas famosas linhas que ele proferiu na conclusão de seu discurso de aposentadoria à Sociedade de Cientistas e Médicos Alemães em 8 de setembro de 1930. As palavras foram dadas em resposta à máxima latina: &# 34;Ignoramus et ignorabimus" ou "Não sabemos, não saberemos":
Wir müssen wissen. | Temos de saber. |
Um dia antes de Hilbert pronunciar essas frases na reunião anual de 1930 da Sociedade de Cientistas e Médicos Alemães, Kurt Gödel - em uma mesa redonda durante a Conferência de Epistemologia realizada em conjunto com as reuniões da Sociedade - anunciou provisoriamente a primeira expressão de seu teorema da incompletude. Os teoremas da incompletude de Gödel mostram que mesmo sistemas axiomáticos elementares, como a aritmética de Peano, são autocontraditórios ou contêm proposições lógicas que são impossíveis de provar ou refutar dentro desse sistema.
Contribuições para matemática e física
Hilbert resolve o problema de Gordan
O primeiro trabalho de Hilbert sobre funções invariantes o levou à demonstração em 1888 de seu famoso teorema da finitude. Vinte anos antes, Paul Gordan havia demonstrado o teorema da finitude dos geradores para formas binárias usando uma abordagem computacional complexa. As tentativas de generalizar seu método para funções com mais de duas variáveis falharam devido à enorme dificuldade dos cálculos envolvidos. Para resolver o que ficou conhecido em alguns círculos como Problema de Gordan, Hilbert percebeu que era necessário seguir um caminho completamente diferente. Como resultado, ele demonstrou o teorema da base de Hilbert, mostrando a existência de um conjunto finito de geradores, para os invariantes da quântica em qualquer número de variáveis, mas de forma abstrata. Ou seja, ao demonstrar a existência de tal conjunto, não foi uma prova construtiva - não exibiu "um objeto" - mas sim, foi uma prova de existência e baseou-se no uso da lei dos excluídos meio em uma extensão infinita.
Hilbert enviou seus resultados para o Mathematische Annalen. Gordan, o especialista da casa na teoria dos invariantes para o Mathematische Annalen, não pôde apreciar a natureza revolucionária do teorema de Hilbert e rejeitou o artigo, criticando a exposição porque era insuficientemente abrangente. Seu comentário foi:
Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie. | Isto não é Matemática. Esta é a Teologia. |
Klein, por outro lado, reconheceu a importância da obra e garantiu que ela seria publicada sem alterações. Incentivado por Klein, Hilbert estendeu seu método em um segundo artigo, fornecendo estimativas sobre o grau máximo do conjunto mínimo de geradores, e o enviou mais uma vez ao Annalen. Depois de ler o manuscrito, Klein escreveu para ele, dizendo:
Sem dúvida, este é o trabalho mais importante na álgebra geral que a Annalen. já publicou.
Mais tarde, depois que a utilidade do método de Hilbert foi universalmente reconhecida, o próprio Gordan diria:
Convenci-me que mesmo a teologia tem seus méritos.
Apesar de todos os seus sucessos, a natureza de sua prova criou mais problemas do que Hilbert poderia ter imaginado. Embora Kronecker tivesse concedido, Hilbert responderia mais tarde às críticas dos outros. críticas semelhantes de que "muitas construções diferentes são agrupadas em uma ideia fundamental" - em outras palavras (para citar Reid): "Através de uma prova de existência, Hilbert foi capaz de obter uma construção"; "a prova" (ou seja, os símbolos na página) era "o objeto". Nem todos ficaram convencidos. Embora Kronecker morresse logo depois, sua filosofia construtivista continuaria com o jovem Brouwer e sua "escola" intuicionista em desenvolvimento, para grande tormento de Hilbert em seus últimos anos. De fato, Hilbert perderia seu "aluno talentoso" Weyl ao intuicionismo - "Hilbert ficou perturbado com o fascínio de seu ex-aluno pelas idéias de Brouwer, que despertou em Hilbert a memória de Kronecker". Brouwer, o intuicionista, em particular, se opôs ao uso da Lei do Terceiro Excluído sobre conjuntos infinitos (como Hilbert a havia usado). Hilberto respondeu:
Tomar o Princípio do Meio Excluído do matemático é o mesmo que proibir o boxer o uso de seus punhos.
Axiomatização da geometria
O texto Grundlagen der Geometrie (tr.: Fundamentos da Geometria) publicado por Hilbert em 1899 propõe um conjunto formal, chamado de axiomas de Hilbert, substituindo os axiomas tradicionais de Euclides. Evitam as fragilidades identificadas nas de Euclides, cujas obras à época ainda eram utilizadas à moda dos livros didáticos. É difícil especificar os axiomas usados por Hilbert sem referir-se à história da publicação dos Grundlagen, pois Hilbert os alterou e modificou várias vezes. A monografia original foi rapidamente seguida por uma tradução francesa, na qual Hilbert acrescentou V.2, o Axioma da Completude. Uma tradução para o inglês, autorizada por Hilbert, foi feita por E.J. Townsend e registrado em 1902. Esta tradução incorporou as alterações feitas na tradução francesa e, portanto, é considerada uma tradução da 2ª edição. Hilbert continuou a fazer alterações no texto e várias edições foram publicadas em alemão. A 7ª edição foi a última a aparecer durante a vida de Hilbert. Novas edições seguiram a 7, mas o texto principal não foi revisado.
A abordagem de Hilbert sinalizou a mudança para o método axiomático moderno. Nisso, Hilbert foi antecipado pelo trabalho de Moritz Pasch de 1882. Axiomas não são tomados como verdades auto-evidentes. A geometria pode tratar coisas, sobre as quais temos poderosas intuições, mas não é necessário atribuir nenhum significado explícito aos conceitos indefinidos. Os elementos, como ponto, linha, plano e outros, poderiam ser substituídos, como Hilbert teria dito a Schoenflies e Kötter, por mesas, cadeiras, copos de cerveja e outros objetos semelhantes. São seus relacionamentos definidos que são discutidos.
Hilbert primeiro enumera os conceitos indefinidos: ponto, linha, plano, deitado (uma relação entre pontos e linhas, pontos e planos, e linhas e planos), intermediação, congruência de pares de pontos (segmentos de linha) e congruência de ângulos. Os axiomas unificam tanto a geometria plana quanto a geometria sólida de Euclides em um único sistema.
Os 23 problemas
Hilbert apresentou a lista mais influente composta por 23 problemas não resolvidos no Congresso Internacional de Matemáticos em Paris em 1900. Esta é geralmente considerada a compilação de problemas em aberto mais bem-sucedida e profundamente considerada já produzida por um matemático individual.
Depois de retrabalhar os fundamentos da geometria clássica, Hilbert poderia ter extrapolado para o resto da matemática. Sua abordagem diferia, no entanto, do último "fundacionalista" Russell-Whitehead ou "enciclopedista" Nicolas Bourbaki, e de seu contemporâneo Giuseppe Peano. A comunidade matemática como um todo podia se envolver em problemas que ele havia identificado como aspectos cruciais de áreas importantes da matemática.
O conjunto de problemas foi lançado como uma palestra "Os problemas da matemática" apresentado durante o Segundo Congresso Internacional de Matemáticos realizado em Paris. A introdução do discurso que Hilbert fez dizia:
Quem entre nós não seria feliz em levantar o véu atrás do qual está escondido o futuro; olhar para os próximos desenvolvimentos da nossa ciência e nos segredos do seu desenvolvimento nos séculos vindouros? Quais serão os fins para os quais o espírito das futuras gerações de matemáticos tenderá? Que métodos, que novos fatos revelarão o novo século no vasto e rico campo de pensamento matemático?
Ele apresentou menos da metade dos problemas do Congresso, que foram publicados nas atas do Congresso. Em uma publicação subsequente, ele ampliou o panorama e chegou à formulação dos agora canônicos 23 Problemas de Hilbert. Veja também o vigésimo quarto problema de Hilbert. O texto completo é importante, pois a exegese das questões ainda pode ser matéria de inevitável debate, sempre que se pergunta quantas foram resolvidas.
Alguns deles foram resolvidos em pouco tempo. Outros foram discutidos ao longo do século 20, com alguns agora considerados inadequadamente abertos para serem encerrados. Alguns continuam a ser desafios.
Formalismo
Em um relato que se tornou padrão em meados do século, o conjunto de problemas de Hilbert também foi uma espécie de manifesto que abriu caminho para o desenvolvimento da escola formalista, uma das três principais escolas de matemática da século 20. De acordo com o formalista, a matemática é a manipulação de símbolos de acordo com regras formais acordadas. É, portanto, uma atividade autônoma do pensamento. Há, no entanto, espaço para duvidar se as próprias visões de Hilbert eram formalistas simplistas nesse sentido.
Programa de Hilbert
Em 1920, Hilbert propôs um projeto de pesquisa em metamatemática que ficou conhecido como o programa de Hilbert. Ele queria que a matemática fosse formulada em uma base lógica sólida e completa. Ele acreditava que, em princípio, isso poderia ser feito mostrando que:
- toda a matemática segue de um sistema finito corretamente escolhido de axiomas; e
- que um tal sistema de axioma é provavelmente consistente através de alguns meios como o cálculo de epsilon.
Ele parece ter tido razões técnicas e filosóficas para formular esta proposta. Afirmou sua antipatia pelo que se tornou conhecido como o ignorabimus, ainda uma questão ativa em seu tempo no pensamento alemão, e remontava nessa formulação a Emil du Bois-Reymond.
Este programa ainda é reconhecível na filosofia da matemática mais popular, onde é geralmente chamado de formalismo. Por exemplo, o grupo Bourbaki adotou uma versão diluída e seletiva dela como adequada aos requisitos de seus projetos gêmeos de (a) escrever obras fundamentais enciclopédicas e (b) apoiar o método axiomático como uma ferramenta de pesquisa. Essa abordagem foi bem-sucedida e influente em relação ao trabalho de Hilbert em álgebra e análise funcional, mas falhou em se envolver da mesma forma com seus interesses em física e lógica.
Hilbert escreveu em 1919:
Não estamos falando aqui de arbitrariedade em qualquer sentido. Matemática não é como um jogo cujas tarefas são determinadas por regras arbitrariamente estipuladas. Em vez disso, é um sistema conceitual que possui a necessidade interna que só pode ser assim e por nenhum meio diferente.
Hilbert publicou seus pontos de vista sobre os fundamentos da matemática na obra de 2 volumes, Grundlagen der Mathematik.
Trabalho de Gödel
Hilbert e os matemáticos que trabalharam com ele em seu empreendimento estavam comprometidos com o projeto. Sua tentativa de apoiar a matemática axiomatizada com princípios definitivos, que poderiam banir as incertezas teóricas, terminou em fracasso.
Gödel demonstrou que qualquer sistema formal não contraditório, que fosse abrangente o suficiente para incluir pelo menos aritmética, não pode demonstrar sua completude por meio de seus próprios axiomas. Em 1931, seu teorema da incompletude mostrou que o grande plano de Hilbert era impossível, conforme declarado. O segundo ponto não pode ser combinado de forma razoável com o primeiro ponto, enquanto o sistema de axiomas for genuinamente finito.
No entanto, as conquistas subsequentes da teoria da prova, no mínimo, esclareceram a consistência no que se refere às teorias de interesse central para os matemáticos. O trabalho de Hilbert iniciou a lógica neste curso de esclarecimento; a necessidade de entender o trabalho de Gödel levou ao desenvolvimento da teoria da recursão e, em seguida, da lógica matemática como uma disciplina autônoma na década de 1930. A base para a ciência da computação teórica posterior, no trabalho de Alonzo Church e Alan Turing, também surgiu diretamente desse "debate".
Análise funcional
Por volta de 1909, Hilbert dedicou-se ao estudo das equações diferenciais e integrais; seu trabalho teve consequências diretas para partes importantes da análise funcional moderna. Para realizar esses estudos, Hilbert introduziu o conceito de um espaço euclidiano de dimensão infinita, mais tarde chamado de espaço de Hilbert. Seu trabalho nesta parte da análise forneceu a base para importantes contribuições para a matemática da física nas duas décadas seguintes, embora de uma direção imprevista. Mais tarde, Stefan Banach ampliou o conceito, definindo os espaços Banach. Os espaços de Hilbert são uma importante classe de objetos na área de análise funcional, particularmente da teoria espectral de operadores lineares auto-adjuntos, que cresceu em torno dela durante o século XX.
Física
Até 1912, Hilbert era quase exclusivamente um matemático puro. Ao planejar uma visita de Bonn, onde estava imerso no estudo da física, seu colega matemático e amigo Hermann Minkowski brincou que teria que passar 10 dias em quarentena antes de poder visitar Hilbert. Na verdade, Minkowski parece responsável pela maioria das investigações de física de Hilbert antes de 1912, incluindo seu seminário conjunto sobre o assunto em 1905.
Em 1912, três anos após a morte de seu amigo, Hilbert voltou seu foco para o assunto quase que exclusivamente. Ele conseguiu um "tutor de física" para ele mesmo. Ele começou a estudar a teoria cinética dos gases e passou para a teoria elementar da radiação e a teoria molecular da matéria. Mesmo após o início da guerra em 1914, ele continuou seus seminários e aulas onde os trabalhos de Albert Einstein e outros eram seguidos de perto.
Em 1907, Einstein havia elaborado os fundamentos da teoria da gravidade, mas depois lutou por quase 8 anos para colocar a teoria em sua forma final. No início do verão de 1915, o interesse de Hilbert pela física se concentrou na relatividade geral e ele convidou Einstein a Göttingen para dar uma semana de palestras sobre o assunto. Einstein teve uma recepção entusiástica em Göttingen. Durante o verão, Einstein soube que Hilbert também estava trabalhando nas equações de campo e redobrou seus próprios esforços. Em novembro de 1915, Einstein publicou vários artigos que culminaram em As equações de campo da gravidade (consulte as equações de campo de Einstein). Quase simultaneamente, Hilbert publicou "The Foundations of Physics", uma derivação axiomática das equações de campo (ver ação de Einstein-Hilbert). Hilbert creditou totalmente a Einstein como o criador da teoria e nenhuma disputa de prioridade pública sobre as equações de campo surgiu entre os dois homens durante suas vidas. Veja mais em prioridade.
Além disso, o trabalho de Hilbert antecipou e ajudou vários avanços na formulação matemática da mecânica quântica. Seu trabalho foi um aspecto fundamental do trabalho de Hermann Weyl e John von Neumann sobre a equivalência matemática da mecânica matricial de Werner Heisenberg e da equação de onda de Erwin Schrödinger, e seu homônimo espaço de Hilbert desempenha um papel importante na teoria quântica. Em 1926, von Neumann mostrou que, se os estados quânticos fossem entendidos como vetores no espaço de Hilbert, eles corresponderiam à teoria da função de onda de Schrödinger e às matrizes de Heisenberg.
Ao longo dessa imersão na física, Hilbert trabalhou para colocar rigor na matemática da física. Embora altamente dependentes da matemática superior, os físicos tendiam a ser "desleixados" com isso. Para um matemático puro como Hilbert, isso era feio e difícil de entender. Quando ele começou a entender a física e como os físicos estavam usando a matemática, ele desenvolveu uma teoria matemática coerente para o que descobriu – o mais importante na área de equações integrais. Quando seu colega Richard Courant escreveu o agora clássico Methoden der mathematischen Physik (Métodos de Física Matemática), incluindo algumas das ideias de Hilbert, ele acrescentou as de Hilbert nome como autor, embora Hilbert não tenha contribuído diretamente para a redação. Hilbert disse que "a física é muito difícil para os físicos", sugerindo que a matemática necessária geralmente estava além deles; o livro de Courant-Hilbert tornou isso mais fácil para eles.
Teoria dos números
Hilbert unificou o campo da teoria algébrica dos números com seu tratado de 1897 Zahlbericht (literalmente "relatório sobre números"). Ele também resolveu um problema significativo de teoria dos números formulado por Waring em 1770. Como no teorema da finitude, ele usou uma prova de existência que mostra que deve haver soluções para o problema em vez de fornecer um mecanismo para produzir as respostas. Ele então tinha pouco mais a publicar sobre o assunto; mas o surgimento de formas modulares de Hilbert na dissertação de um aluno significa que seu nome está ainda mais ligado a uma área principal.
Ele fez uma série de conjecturas sobre a teoria dos campos de classe. Os conceitos foram altamente influentes, e sua própria contribuição vive nos nomes do campo de classe de Hilbert e do símbolo de Hilbert da teoria de campo de classe local. Os resultados foram comprovados principalmente em 1930, após o trabalho de Teiji Takagi.
Hilbert não trabalhou nas áreas centrais da teoria analítica dos números, mas seu nome ficou conhecido pela conjectura de Hilbert-Pólya, por razões que são anedóticas.
Funciona
Suas obras completas (Gesammelte Abhandlungen) foram publicadas várias vezes. As versões originais de seus artigos continham "muitos erros técnicos de vários graus"; quando a coleção foi publicada pela primeira vez, os erros foram corrigidos e descobriu-se que isso poderia ser feito sem grandes mudanças nas declarações dos teoremas, com uma exceção - uma alegada prova da hipótese do contínuo. Os erros, no entanto, foram tão numerosos e significativos que Olga Taussky-Todd levou três anos para fazer as correções.
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