Curva elíptica

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Curva algébrica

Um catálogo de curvas elípticas. A região mostrada é

x, Sim. \in [-3,3]

.
(Para

(um, b)) = (0, 0)

a função não é lisa e, portanto, não uma curva elíptica.)

Em matemática, uma curva elíptica é uma curva algébrica suave e projetiva de gênero um, na qual existe um ponto especificado $O$ . Uma curva elíptica é definida sobre um campo $K$ e descreve pontos em $K 2$ , o produto cartesiano de $K$ consigo mesmo. Se a característica do campo for diferente de 2 e 3, então a curva pode ser descrita como uma curva algébrica plana que consiste em soluções $(x, y)$ para:

y^{2}=x^{3}+ax+b

para alguns coeficientes $a$ e $b$ em $K$ . A curva deve ser não singular, o que significa que a curva não tem cúspides ou auto-interseções. (Isto é equivalente à condição $4 a 3 + 27 b 2 \neq 0$ , ou seja, livre de quadrados em $x$ .) É sempre entendido que a curva é realmente sentado no plano projetivo, com o ponto $O$ sendo o único ponto no infinito. Muitas fontes definem uma curva elíptica como sendo simplesmente uma curva dada por uma equação desta forma. (Quando o campo de coeficiente tem característica 2 ou 3, a equação acima não é geral o suficiente para incluir todas as curvas cúbicas não singulares; consulte § Curvas elípticas sobre um campo geral abaixo.)

Uma curva elíptica é uma variedade abeliana – isto é, tem uma lei de grupo definida algebricamente, em relação à qual é um grupo abeliano – e $O$ serve como elemento de identidade.

Se $y 2 = P (x)$ , onde $P$ é qualquer polinômio de grau três em $x$ sem raízes repetidas, o conjunto solução é uma curva plana não singular de gênero um, uma curva elíptica. Se $P$ tem grau quatro e é livre de quadrados, esta equação novamente descreve uma curva plana de gênero um; no entanto, não tem escolha natural de elemento de identidade. Mais geralmente, qualquer curva algébrica de gênero um, por exemplo, a interseção de duas superfícies quádricas embutidas no espaço projetivo tridimensional, é chamada de curva elíptica, desde que seja equipada com um ponto marcado para atuar como a identidade.

Usando a teoria das funções elípticas, pode-se mostrar que as curvas elípticas definidas sobre os números complexos correspondem a imersões do toro no plano projetivo complexo. O toro também é um grupo abeliano, e essa correspondência também é um isomorfismo de grupo.

Curvas elípticas são especialmente importantes na teoria dos números e constituem uma grande área de pesquisa atual; por exemplo, eles foram usados na prova de Andrew Wiles do Último Teorema de Fermat. Eles também encontram aplicações em criptografia de curva elíptica (ECC) e fatoração inteira.

Uma curva elíptica é não uma elipse no sentido de um conic projetivo, que tem o gênero zero: veja a integral elíptica para a origem do termo. No entanto, há uma representação natural de curvas elípticas reais com forma invariante $JJ \geq 1$ como elipses no plano hiperbólico ${displaystyle mathbb {H} ^{2}}$ . Especificamente, as interseções do hiperbolóide Minkowski com superfícies quadric caracterizadas por uma determinada propriedade constante-angular produzem as elipses Steiner em ${displaystyle mathbb {H} ^{2}}$ (gerado por collineações de preservação de orientação). Além disso, as trajetórias ortogonais dessas elipses compreendem as curvas elípticas com $JJ \leq 1$ e qualquer elipse ${displaystyle mathbb {H} ^{2}}$ descrito como um locus relativo a dois foci é exclusivamente a soma da curva elíptica de duas elipses de Steiner, obtidas adicionando os pares de interseções em cada trajetória ortogonal. Aqui, o vértice do hiperbolóide serve como a identidade em cada curva de trajetória.

Topologicamente, uma curva elíptica complexa é um toro, enquanto uma elipse complexa é uma esfera.

Curvas elípticas sobre os números reais

Gráficos de curvas

Sim. 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x 3 - Sim. x

Sim. 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x 3 - Sim. x + 1

Embora a definição formal de uma curva elíptica exija algum conhecimento em geometria algébrica, é possível descrever algumas características de curvas elípticas sobre números reais usando apenas álgebra e geometria introdutórias.

Neste contexto, uma curva elíptica é uma curva plana definida por uma equação da forma

y^{2}=x^{3}+ax+b

após uma mudança linear de variáveis ( $a$ e $b$ são números reais). Este tipo de equação é chamado de equação de Weierstrass, e diz-se que está na forma de Weierstrass, ou forma normal de Weierstrass.

A definição da curva elíptica também requer que a curva seja não-singular. Geometricamente, isso significa que o gráfico não tem cuspas, auto-interseções ou pontos isolados. Algebraicamente, isto é, se e somente se o discriminante, $Delta$ , não é igual a zero.

{displaystyle Delta =-16left(4a^{3}+27b^{2}right)neq 0}

(Embora o fator -16 seja irrelevante para saber se a curva é ou não não singular, essa definição do discriminante é útil em um estudo mais avançado de curvas elípticas.)

O gráfico real de uma curva não singular tem dois componentes se seu discriminante for positivo, e um componente se for negativo. Por exemplo, nos gráficos mostrados na figura à direita, o discriminante no primeiro caso é 64 e no segundo caso é −368.

A lei do grupo

Ao trabalhar no plano projetivo, a equação em coordenadas homogêneas se torna:

{displaystyle {frac {Y^{2}}{Z^{2}}}={frac {X^{3}}{Z^{3}}}+a{frac {X}{Z}}+b}

Esta equação não é definida na linha no infinito, mas podemos multiplicar por ${displaystyle Z^{3}}$ para obter um que é:

{displaystyle ZY^{2}=X^{3}+aZ^{2}X+bZ^{3}}

Esta equação resultante é definida em todo o plano projetivo, e a curva que define projetos na curva elíptica de interesse. Para encontrar sua interseção com a linha no infinito, podemos apenas posit $Z=0$ . Isso implica ${displaystyle X^{3}=0}$ , que em um campo significa $X=0$ . $Y$ por outro lado pode tomar qualquer valor, assim, todos os trigêmeos ${displaystyle (0,Y,0)}$ satisfazer a equação. Na geometria projetiva este conjunto é simplesmente o ponto ${displaystyle O=[0:1:0]}$ , que é assim a interseção única da curva com a linha no infinito.

Como a curva é suave, portanto contínua, pode-se mostrar que esse ponto no infinito é o elemento identidade de uma estrutura de grupo cujo funcionamento é descrito geometricamente a seguir.

Uma vez que a curva é simétrica sobre a $x$ -axis, dado qualquer ponto $P$ Podemos tomar $- Sim. P$ para ser o ponto oposto. nós temos ${displaystyle -O=O}$ , como $O$ mentiras sobre o $XZ$ -plane, para que ${displaystyle -O}$ é também o simétrico de $O$ sobre a origem, e assim representa o mesmo ponto projetivo.

Se $P$ e $Q$ são dois pontos na curva, então podemos descrever exclusivamente um terceiro ponto $P + Q$ no seguinte caminho. Primeiro, desenhe a linha que cruza $P$ e $Q$ . Isso geralmente cruzará o cubo em um terceiro ponto, $R$ . Em seguida, consideramos $P + Q$ como $- R$ , o ponto oposto a $R$ .

Esta definição para adição funciona, exceto em alguns casos especiais relacionados ao ponto no infinito e à multiplicidade de interseção. A primeira é quando um dos pontos é $O$ . Aqui, definimos $P + O = P = O + P$ , tornando $O$ a identidade do grupo. Se $P = Q$ temos apenas um ponto, portanto não podemos definir a linha entre eles. Neste caso, usamos a linha tangente à curva neste ponto como nossa linha. Na maioria dos casos, a tangente cruzará um segundo ponto $R$ e podemos tomar o seu oposto. Se $P$ e $Q$ são opostos um do outro, definimos $P + Q = O$ . Por fim, se $P$ for um ponto de inflexão (um ponto onde a concavidade da curva muda), tomamos $R$ para ser $P$ e $P + P$ é simplesmente o ponto oposto a si mesmo, ou seja, ele mesmo.

Seja $K$ um campo sobre o qual a curva é definida (ou seja, os coeficientes da equação definidora ou equações de a curva está em $K$ ) e denota a curva por $E$ . Em seguida, os $K$ pontos racionais de $E$ são os pontos em $E$ cujas coordenadas estão todas em $K$ , incluindo o ponto no infinito. O conjunto de $K$ -pontos racionais é denotado por $E (K)$ . $E (K)$ é um grupo, porque as propriedades de equações polinomiais mostram que se $P$ está em $E (K)$ , então $- P$ também está em $E (K)$ , e se dois de $P$ , $Q$ , $R$ estão em $E (K)$ , então o terceiro também. Além disso, se $K$ for um subcampo de $L$ , então $E (K)$ é um subgrupo de $E (L)$ .

Interpretação algébrica

Os grupos acima podem ser descritos tanto algebricamente quanto geometricamente. Dada a curva $y 2 = x 3 + ax + b$ sobre o campo $K$ (cuja característica assumimos ser nem 2 nem 3), e pontos $P = (x P, y P)$ e $Q = (x Q, y Q)$ na curva, suponha primeiro que $x P \neq x Q$ (caso 1). Seja $y = sx + d$ a equação da reta que intercepta $P$ e $Q$ , que tem o seguinte inclinação:

s={frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}

A equação da linha e a equação da curva se cruzam nos pontos $x P$ , $x Q$ e $x R$ , então as equações têm valores $y$ idênticos a esses valores.

{displaystyle left(sx+dright)^{2}=x^{3}+ax+b}

que é equivalente a

{displaystyle x^{3}-s^{2}x^{2}-2sdx+ax+b-d^{2}=0}

Desde $x P$ , $x Q$ e $x R$ são soluções, esta equação tem suas raízes exatamente nos mesmos valores $x$ que

{displaystyle (x-x_{P})(x-x_{Q})(x-x_{R})=x^{3}+(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})x^{2}+(x_{P}x_{Q}+x_{P}x_{R}+x_{Q}x_{R})x-x_{P}x_{Q}x_{R}}

e, portanto, deve ser o mesmo polinômio. Em seguida, igualando os coeficientes de $x 2$ em ambas as equações

{displaystyle -s^{2}=(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})}

e resolvendo para o desconhecido $x R$ .

{displaystyle x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}}

$y R$ segue da equação de linha

{displaystyle y_{R}=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})}

e este é um elemento de $K$ , porque $s$ é.

Se $x P = x Q$ , então há duas opções: se $y P = - y Q$ (caso 3), incluindo o caso em que $y P = y Q = 0$ (caso 4), então a soma é definida como 0; assim, o inverso de cada ponto na curva é encontrado refletindo-o no eixo $x$ .

Se $y P = y Q \neq 0$ , então $Q = P$ e $R = (x R, y R) = -(P + P) = -2 P = -2 Q$ (caso 2 usando $P$ como $R$ ). A inclinação é dada pela tangente à curva em (x_P, y_P).

{displaystyle {begin{aligned}s&={frac {3{x_{P}}^{2}+a}{2y_{P}}}\x_{R}&=s^{2}-2x_{P}\y_{R}&=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})end{aligned}}}

Curvas não Weierstrass

Para uma curva cúbica que não está na forma normal de Weierstrass, ainda podemos definir uma estrutura de grupo designando um de seus nove pontos de inflexão como a identidade $O$ . No plano projetivo, cada linha interceptará uma cúbica em três pontos ao contabilizar a multiplicidade. Para um ponto $P$ , $- P$ é definido como o único terceiro ponto na linha que passa por $O$ e $P$ . Então, para qualquer $P$ e $Q$ , $P + Q$ é definido como $- R$ onde $R$ é o terceiro ponto único na linha que contém o estilo $P$ e $Q$ .

Curvas elípticas sobre os números racionais

Uma curva E definida sobre o corpo dos números racionais também é definida sobre o corpo dos números reais. Portanto, a lei da adição (dos pontos com coordenadas reais) pelo método da tangente e da secante pode ser aplicada a E. As fórmulas explícitas mostram que a soma de dois pontos P e Q com coordenadas racionais tem novamente coordenadas racionais, pois a reta que une P e Q tem coeficientes racionais. Desta forma, mostra-se que o conjunto dos pontos racionais de E forma um subgrupo do conjunto dos pontos reais de E. Assim como este grupo, ele é um grupo abeliano, ou seja, P + Q = Q + P.

Pontos integrais

Esta seção trata dos pontos P = (x, y) de E tal que x é um número inteiro.

Por exemplo, a equação y² = x³ + 17 tem oito soluções integrais com y > 0:

(x, Sim.) = (−2, 3), (−1, 4), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (5234, 378661).

Como outro exemplo, a equação de Ljunggren, uma curva cuja forma de Weierstrass é y² = x³ − 2x, tem apenas quatro soluções com y ≥ 0:

(x, Sim.) = (0, 0), (−1, 1), (2, 2), (338, 6214).

A estrutura dos pontos racionais

Os pontos racionais podem ser construídos pelo método das tangentes e secantes detalhados acima, começando com um número finito de pontos racionais. Mais precisamente, o teorema de Mordell–Weil afirma que o grupo E(Q) é um grupo finitamente gerado (abeliano). Pelo teorema fundamental de grupos abelianos finitamente gerados é, portanto, uma soma direta finita de cópias de Z e grupos cíclicos finitos.

A prova do teorema envolve duas partes. A primeira parte mostra que, para qualquer número inteiro m > 1, o grupo quociente E(Q)/mE(Q) é finito (este é o Mordell fraco –Teorema de Weil). Segundo, introduzindo uma função altura h nos pontos racionais E(Q) definidos por h( P₀) = 0 e $h (P) = log max(| p |, | q |)$ se P (diferente do ponto no infinito P₀) tem como abcissa o número racional x = p/q (com coprimo p e q). Esta função de altura h tem a propriedade de que h(mP) cresce aproximadamente como o quadrado de m. Além disso, apenas um número finito de pontos racionais com altura menor que qualquer constante existe em E.

A prova do teorema é, portanto, uma variante do método da descida infinita e se baseia na aplicação repetida de divisões euclidianas em E: seja P ∈ E(Q) seja um ponto racional na curva, escrevendo P como a soma 2P₁ + Q₁ onde Q₁ é um representante fixo de P em E(Q)/2E(Q), a altura de P ₁ é cerca de 1/4 de um de P (mais geralmente, substituindo 2 por qualquer m > 1, e 1/4 por 1/ m²). Refazendo o mesmo com P₁, ou seja P₁ = 2P₂ + Q₂, então P₂ = 2P ₃ + Q₃, etc. finalmente expressa P como uma combinação linear integral de pontos Q_i e de pontos cuja altura é limitada por uma constante fixa previamente escolhida: pelo teorema fraco de Mordell–Weil e pela segunda propriedade da função altura P é assim expresso como uma combinação linear integral de um número finito de pontos fixos.

O teorema, entretanto, não fornece um método para determinar quaisquer representantes de E(Q)/mE( Q).

A classificação de E(Q), que é o número de cópias de Z em E(Q) ou, de forma equivalente, o número de pontos independentes de ordem infinita, é chamado de rank de E. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer preocupa-se com a determinação do posto. Pode-se conjecturar que pode ser arbitrariamente grande, mesmo que apenas exemplos com classificação relativamente pequena sejam conhecidos. A curva elíptica com a maior classificação exatamente conhecida atualmente é

Sim.² + Xy! + Sim. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x³ - Sim. x² - Sim. 244537673336319601463803487168961769270757573821859853707x + 961710182053183034546222979258806817743270682028964434238957830989898438151121499931

Ele tem classificação 20, encontrado por Noam Elkies e Zev Klagsbrun em 2020. Curvas de classificação superior a 20 são conhecidas desde 1994, com limites inferiores em suas classificações variando de 21 a 28, mas suas classificações exatas não são conhecidas e em particular, não está comprovado qual deles tem classificação mais alta que os outros ou qual é o verdadeiro "atual campeão".

Quanto aos grupos que constituem o subgrupo de torção de E(Q), é conhecido o seguinte: o subgrupo de torção de E(Q) é um dos 15 grupos seguintes (um teorema devido a Barry Mazur): Z/NZ para N = 1, 2,..., 10 ou 12, ou Z/2Z × Z /2NZ com N = 1, 2, 3, 4. Exemplos para cada caso são conhecidos. Além disso, curvas elípticas cujos grupos de Mordell-Weil sobre Q possuem os mesmos grupos de torção pertencem a uma família parametrizada.

A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer (BSD) é um dos problemas do Milênio do Clay Mathematics Institute. A conjectura se baseia em objetos analíticos e aritméticos definidos pela curva elíptica em questão.

No lado analítico, um ingrediente importante é uma função de uma variável complexa, L, a função zeta de Hasse–Weil de E sobre Q. Esta função é uma variante da função zeta de Riemann e das funções L de Dirichlet. É definido como um produto de Euler, com um fator para cada número primo p.

Para uma curva E sobre Q dada por uma equação mínima

y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}

com coeficientes integrais $a_{i}$ , reduzindo os coeficientes modulo p define uma curva elíptica sobre o campo finito F_p (exceto para um número finito de primos p, onde a curva reduzida tem uma singularidade e, portanto, não é elíptica, em que caso E é dito ser de má redução em p).

A função zeta de uma curva elíptica sobre um campo finito F_p é, em certo sentido, uma função geradora que reúne as informações de o número de pontos de E com valores nas extensões de campo finito F_pⁿ de F_p. é dado por

{displaystyle Z(E(mathbf {F} _{p}))=exp left(sum #left[E({mathbf {F} }_{p^{n}})right]{frac {T^{n}}{n}}right)}

A soma interior da exponencial se assemelha ao desenvolvimento do logaritmo e, de fato, a função zeta assim definida é uma função racional:

{displaystyle Z(E(mathbf {F} _{p}))={frac {1-a_{p}T+pT^{2}}{(1-T)(1-pT)}},}

onde o termo "traço de Frobenius" $a_{p}$ é definida como a diferença entre o número "esperado" $p+1$ e o número de pontos na curva elíptica $E$ sobre $mathbb {F} _{p}$ Viz.

{displaystyle a_{p}=p+1-#E(mathbb {F} _{p})}

ou equivalente,

{displaystyle #E(mathbb {F} _{p})=1-a_{p}+p}

Podemos definir as mesmas quantidades e funções sobre um campo arbitrário finito de característica $p$ , com ${displaystyle q=p^{n}}$ substituição $p$ Em todo o lado.

A função L de E sobre Q é então definida coletando essas informações juntas, para todos os primos p. É definido por

{displaystyle L(E(mathbf {Q}),s)=prod _{pnot mid N}left(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}right)^{-1}cdot prod _{pmid N}left(1-a_{p}p^{-s}right)^{-1}}

onde N é o condutor de E, ou seja, o produto de primos com redução ruim, caso em que a_p é definido de forma diferente do método acima: veja Silverman (1986) abaixo.

Este produto converge para Re(s) > 3/2 apenas. A conjectura de Hasse afirma que a função L admite uma continuação analítica para todo o plano complexo e satisfaz uma equação funcional relacionando, para qualquer s, L (E, s) para L(E, 2 − s). Em 1999, isso se mostrou uma consequência da prova da conjectura de Shimura–Taniyama–Weil, que afirma que toda curva elíptica sobre Q é uma curva modular, o que implica que seu L é a função L de uma forma modular cuja continuação analítica é conhecida. Pode-se, portanto, falar sobre os valores de L(E, s) em qualquer número complexo s.

Em s=1 (o produto condutor pode ser descartado por ser finito), a função L se torna

${displaystyle L(E(mathbf {Q}),1)=prod _{pnot mid N}left(1-a_{p}p^{-1}+p^{-1}right)^{-1}=prod _{pnot mid N}{frac {p}{p-a_{p}+1}}=prod _{pnot mid N}{frac {p}{#E(mathbb {F} _{p})}}}$

A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer relaciona a aritmética da curva ao comportamento desta função L em s = 1. Ele afirma que a ordem decrescente da função L em s = 1 é igual ao posto de E e prevê o termo principal da série de Laurent de L(E, s) naquele ponto em termos de várias quantidades anexadas à curva elíptica.

Muito parecido com a hipótese de Riemann, a verdade da conjectura BSD teria várias consequências, incluindo as duas seguintes:

Um número congruente é definido como um inteiro ímpar sem quadrados n que é a área de um triângulo direito com comprimentos laterais racionais. Sabe-se que n é um número congruente se e somente se a curva elíptica $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ tem um ponto racional de ordem infinita; assumindo BSD, isso é equivalente a sua L- função ter um zero em S= 1. Túnel tem mostrado um resultado relacionado: assumindo BSD, n é um número congruente se e somente se o número de trigêmeos de inteiros (x, Sim., zangão.) satisfação $2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n$ é o dobro do número de triplos satisfazendo $2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n$ . O interesse nesta declaração é que a condição é fácil de verificar.
Em uma direção diferente, certos métodos analíticos permitem uma estimativa da ordem de zero no centro da faixa crítica para certo L- funções. Admitindo BSD, essas estimativas correspondem a informações sobre a classificação de famílias das curvas elípticas correspondentes. Por exemplo: assumindo a hipótese geral de Riemann e BSD, a classificação média de curvas dada por $y^{2}=x^{3}+ax+b$ é menor que 2.

Curvas elípticas sobre campos finitos

Conjunto de pontos afinos de curva elíptica Sim.² = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x³ - Sim. x sobre o campo finito F₆₁.

Seja K = F_q o corpo finito com elementos q e E uma curva elíptica definida sobre K. Embora o número preciso de pontos racionais de uma curva elíptica E sobre K seja geralmente difícil de calcular, o teorema de Hasse sobre curvas elípticas fornece a seguinte desigualdade:

${displaystyle |#E(K)-(q+1)|leq 2{sqrt {q}}}$

Em outras palavras, o número de pontos na curva cresce proporcionalmente ao número de elementos no campo. Este fato pode ser compreendido e comprovado com a ajuda de alguma teoria geral; ver função zeta local e cohomologia étale, por exemplo.

O conjunto de pontos E(F_q) é um grupo abeliano finito. É sempre cíclico ou o produto de dois grupos cíclicos, dependendo se q é par ou ímpar. Por exemplo, a curva definida por

$y^{2}=x^{3}-x$

sobre F₇₁ tem 72 pontos (71 pontos afins incluindo (0,0) e um ponto no infinito) sobre este campo, cuja estrutura de grupo é dada por Z/2Z × Z/36Z. O número de pontos em uma curva específica pode ser calculado com o algoritmo de Schoof.

Estudar a curva sobre as extensões de campo de F_q é facilitado pela introdução da função zeta local de E sobre F_q, definido por uma série geradora (veja também acima)

${displaystyle Z(E(K),T)=exp left(sum _{n=1}^{infty }#left[E(K_{n})right]{T^{n} over n}right)}$

onde o campo K_n é a extensão (única até o isomorfismo) de K = F_q de grau n (isto é, F_qⁿ).

A função zeta é uma função racional em T. Para ver isto, o inteiro $a_{n}$ tal que

${displaystyle #E(K_{n})=1-a_{n}+q^{n}}$

tem um número complexo associado $alpha$ tal que

${displaystyle 1-a_{n}+q^{n}=1-alpha ^{n}-{bar {alpha }}^{n}+q^{n}}$

Onde? ${displaystyle {bar {alpha }}}$ é a conjugação complexa. Nós escolhemos $alpha$ para que seu valor absoluto seja $sqrt{q}$ , isto é ${displaystyle alpha =q^{frac {1}{2}}e^{itheta },{bar {alpha }}=q^{frac {1}{2}}e^{-itheta }}$ e isso ${displaystyle cos ntheta ={frac {a_{n}}{2{sqrt {q}}}}}$ , para que ${displaystyle alpha ^{n}{bar {alpha }}^{n}=q^{n}}$ e ${displaystyle alpha ^{n}+{bar {alpha }}^{n}=a_{n}}$ ou em outras palavras, ${displaystyle (1-alpha ^{n})(1-{bar {alpha }}^{n})=1-a_{n}+q^{n}}$ .

$alpha$ pode então ser usado na função local zeta como seus valores quando levantados para os vários poderes de $n$ pode ser dito para razoavelmente aproximar o comportamento de $a_{n}$ .

${displaystyle {begin{alignedat}{2}Z_{E}(T)&=exp left(sum _{n=1}^{infty }left(1-alpha ^{n}-{bar {alpha }}^{n}+q^{n}right){T^{n} over n}right)\&=exp left(sum _{n=1}^{infty }{T^{n} over n}-sum _{n=1}^{infty }alpha ^{n}{T^{n} over n}-sum _{n=1}^{infty }{bar {alpha }}^{n}{T^{n} over n}+sum _{n=1}^{infty }q^{n}{T^{n} over n}right)\&=exp left(-ln(1-T)+ln(1-alpha T)+ln(1-{bar {alpha }}T)-ln(1-qT)right)\&=exp left(ln {frac {(1-alpha T)(1-{bar {alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}right)\&={frac {(1-alpha T)(1-{bar {alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\end{alignedat}}}$

Então... ${displaystyle (1-alpha T)(1-{bar {alpha }}T)=1-aT+qT^{2}}$ , então finalmente

$Z(E(K),T)={frac {1-aT+qT^{2}}{(1-qT)(1-T)}}$

Por exemplo, a função zeta de E: y² + y = x³ sobre o campo F₂ é dado por

${frac {1+2T^{2}}{(1-T)(1-2T)}}$

que segue de:

$left|E(mathbf {F} _{2^{r}})right|={begin{cases}2^{r}+1&r{text{ odd}}\2^{r}+1-2(-2)^{frac {r}{2}}&r{text{ even}}end{cases}}$

A equação funcional é

${displaystyle Zleft(E(K),{frac {1}{qT}}right)={frac {1-a{frac {1}{qT}}+qleft({frac {1}{qT}}right)^{2}}{(1-q{frac {1}{qT}})(1-{frac {1}{qT}})}}={frac {q^{2}T^{2}-aqT+q}{(qT-q)(qT-1)}}=Z(E(K),T)}$

Como estamos apenas interessados no comportamento de $a_{n}$ , podemos usar uma função zeta reduzida

${displaystyle Z(a,T)=exp left(sum _{n=1}^{infty }-a_{n}{T^{n} over n}right)}$

${displaystyle Z(a,T)=exp left(sum _{n=1}^{infty }-alpha ^{n}{T^{n} over n}-{bar {alpha }}^{n}{T^{n} over n}right)}$

e assim

${displaystyle Z_{a}(T)=exp left(ln(1-alpha T)+ln(1-{bar {alpha }}T)right)}$

que leva diretamente às funções L locais

${displaystyle L(E(K),T)=1-aT+qT^{2}}$

A conjectura Sato-Tate é uma declaração sobre como o termo de erro ${displaystyle 2{sqrt {q}}}$ no teorema de Hasse varia com os diferentes primos q, se uma curva elíptica E sobre Q é reduzido modulo q. Foi provado (para quase todas essas curvas) em 2006 devido aos resultados de Taylor, Harris e Shepherd-Barron, e diz que os termos de erro são equidistribuídos.

Curvas elípticas sobre corpos finitos são notavelmente aplicadas em criptografia e para a fatoração de grandes números inteiros. Esses algoritmos geralmente usam a estrutura de grupo nos pontos de E. Algoritmos aplicáveis a grupos gerais, por exemplo, o grupo de elementos inversíveis em campos finitos, F*_q, podem assim ser aplicados ao grupo de pontos em uma curva elíptica. Por exemplo, o logaritmo discreto é um algoritmo desse tipo. O interesse nisso é que escolher uma curva elíptica permite mais flexibilidade do que escolher q (e, portanto, o grupo de unidades em F_q). Além disso, a estrutura do grupo de curvas elípticas é geralmente mais complicada.

Curvas elípticas sobre um campo geral

Curvas elípticas podem ser definidas sobre qualquer campo K; a definição formal de uma curva elíptica é uma curva algébrica projetiva não singular sobre K com gênero 1 e dotada de um ponto distinto definido sobre K.

Se a característica de K não for nem 2 nem 3, então toda curva elíptica sobre K pode ser escrita na forma

$y^{2}=x^{3}-px-q$

após uma mudança linear de variáveis. Aqui p e q são elementos de K tal que o polinômio do lado direito x³ − px − q não possui raízes duplas. Se a característica for 2 ou 3, então mais termos precisam ser mantidos: na característica 3, a equação mais geral é da forma

$y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}x+b_{6}$

para constantes arbitrárias b₂, b₄, b₆ tal que o polinômio do lado direito tem raízes distintas (a notação é escolhida por razões históricas). Na característica 2, nem isso é possível, e a equação mais geral é

$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$

desde que a variedade que define seja não singular. Se a característica não fosse uma obstrução, cada equação se reduziria às anteriores por uma mudança linear adequada de variáveis.

Normalmente, considera-se que a curva é o conjunto de todos os pontos (x,y) que satisfazem a equação acima e de modo que ambos x e y são elementos do fechamento algébrico de K. Os pontos da curva cujas coordenadas pertencem a K são chamados de Kpontos racionais.

Muitos dos resultados anteriores permanecem válidos quando o campo de definição de E é um campo numérico K, ou seja, uma extensão de corpo finito de Q. Em particular, o grupo E(K) de K pontos racionais de uma curva elíptica E definida sobre K é finitamente gerado, o que generaliza o teorema de Mordell-Weil acima. Um teorema devido a Loïc Merel mostra que, para um dado inteiro d, existem (até o isomorfismo) apenas um número finito de grupos que podem ocorrer como os grupos de torção de E(K) para uma curva elíptica definida sobre um campo numérico K de grau d. Mais precisamente, existe um número B(d) tal que para qualquer curva elíptica E definida sobre um campo numérico K de grau d, qualquer ponto de torção de E(K) é de ordem menor que B(d). O teorema é válido: para d > 1, se um ponto de torção é de ordem p, com p linha, então

$<math alttext="{displaystyle pp<D3D2{displaystyle p<d^{3d^{2}}}<img alt="p$

Quanto aos pontos integrais, o teorema de Siegel generaliza para o seguinte: Seja E uma curva elíptica definida sobre um corpo numérico K, x e y as coordenadas Weierstrass. Então há apenas um número finito de pontos de E(K) cuja coordenada x está no anel de inteiros O_K.

As propriedades da função zeta de Hasse–Weil e a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer também podem ser estendidas para esta situação mais geral.

Curvas elípticas sobre os números complexos

Uma curva elíptica sobre os números complexos é obtida como um quociente do plano complexo por uma treliça $:$ , aqui abrangedo por dois períodos fundamentais $ω 1$ e $ω 2$ . A quatro-torsão também é mostrada, correspondendo ao treliça $1 / 4 :$ contendo $:$ .

A formulação de curvas elípticas como a imersão de um toro no plano projetivo complexo decorre naturalmente de uma curiosa propriedade das funções elípticas de Weierstrass. Essas funções e sua primeira derivada estão relacionadas pela fórmula

$wp '(z)^{2}=4wp (z)^{3}-g_{2}wp (z)-g_{3}$

Aqui, $g 2$ e $g 3$ são constantes; $℘(z)$ é a função elíptica de Weierstrass e $℘' (z)$ sua derivada. Deve ficar claro que esta relação está na forma de uma curva elíptica (sobre os números complexos). As funções de Weierstrass são duplamente periódicas; isto é, eles são periódicos em relação a uma rede $Λ$ ; em essência, as funções de Weierstrass são naturalmente definidas em um toro $T = C /Λ$ . Este toro pode ser inserido no plano projetivo complexo por meio do mapa

${displaystyle zmapsto left[1:wp (z):{tfrac {1}{2}}wp '(z)right]}$

Este mapa é um isomorfismo de grupo do toro (considerado com sua estrutura de grupo natural) com a lei de grupo corda-e-tangente na curva cúbica que é a imagem deste mapa. É também um isomorfismo das superfícies de Riemann do toro à curva cúbica, portanto, topologicamente, uma curva elíptica é um toro. Se a rede $Λ$ estiver relacionada por multiplicação por um número complexo diferente de zero $c$ a uma rede $c Λ$ , então as curvas correspondentes são isomórficas. As classes de isomorfismo de curvas elípticas são especificadas pelo invariante j.

As classes de isomorfismo também podem ser compreendidas de forma mais simples. As constantes $g 2$ e $g 3$ , chamados de invariantes modulares, são determinados exclusivamente pela rede, ou seja, pela estrutura do toro. No entanto, todos os polinômios reais fatorizam completamente em fatores lineares sobre os números complexos, uma vez que o corpo dos números complexos é o fechamento algébrico dos reais. Assim, a curva elíptica pode ser escrita como

$y^{2}=x(x-1)(x-lambda)$

Acha-se que

${displaystyle {begin{aligned}g_{2}'&={frac {sqrt[{3}]{4}}{3}}left(lambda ^{2}-lambda +1right)\[4pt]g_{3}'&={frac {1}{27}}(lambda +1)left(2lambda ^{2}-5lambda +2right)end{aligned}}}$

${displaystyle j(tau)=1728{frac {{g_{2}'}^{3}}{{g_{2}'}^{3}-27{g_{3}'}^{2}}}=256{frac {left(lambda ^{2}-lambda +1right)^{3}}{lambda ^{2}left(lambda -1right)^{2}}}}$

com invariante j $j (τ)$ e $λ (τ)$ às vezes é chamada de função lambda modular. Por exemplo, seja $τ = 2 i$ , então $λ (2 i) = (-1 + \sqrt 2) 4$ que implica $g' 2$ , $g' 3$ e, portanto, $g' 23 - 27 g' 32$ da fórmula acima são todos números algébricos se $τ$ envolver um campo quadrático imaginário. Na verdade, ele produz o inteiro $j (2 i) = 66 3 = 287496$ .

Em contraste, o discriminante modular

${displaystyle Delta (tau)=g_{2}(tau)^{3}-27g_{3}(tau)^{2}=(2pi)^{12},eta ^{24}(tau)}$

é geralmente um número transcendental. Em particular, o valor da função eta de Dedekind $η (2 i)$ é

${displaystyle eta (2i)={frac {Gamma left({frac {1}{4}}right)}{2^{frac {11}{8}}pi ^{frac {3}{4}}}}}$

Observe que o teorema da uniformização implica que toda superfície compacta de Riemann do gênero um pode ser representada como um toro. Isso também permite uma fácil compreensão dos pontos de torção em uma curva elíptica: se a rede $Λ$ é gerada pelos períodos fundamentais $ω 1$ e $ω 2$ , então a $n$ -pontos de torção são os (classes de equivalência de) pontos da forma

${frac {a}{n}}omega _{1}+{frac {b}{n}}omega _{2}$

para inteiros $a$ e $b$ no intervalo $0 \leq (a, b) < n$ .

${displaystyle E:y^{2}=4(x-e_{1})(x-e_{2})(x-e_{3})}$

é uma curva elíptica sobre os números complexos e

${displaystyle a_{0}={sqrt {e_{1}-e_{3}}},qquad b_{0}={sqrt {e_{1}-e_{2}}},qquad c_{0}={sqrt {e_{2}-e_{3}}},}$

então um par de períodos fundamentais de $E$ pode ser calculado muito rapidamente por

${displaystyle omega _{1}={frac {pi }{operatorname {M} (a_{0},b_{0})}},qquad omega _{2}={frac {pi }{operatorname {M} (c_{0},ib_{0})}}}$

$M(w, z)$ é a média aritmética-geométrica de $w$ e $z$ . Em cada etapa da iteração da média aritmética-geométrica, os sinais de $z n$ decorrentes da ambigüidade de iterações de média geométrica são escolhidas de modo que $| w n - z n | \leq | w n + z n |$ onde $w n$ e $z n$ denotam a média aritmética individual e iterações da média geométrica de $w$ e $z$ , respectivamente. Quando $| w n - z n | = | w n + z n |$ , há uma condição adicional que $Im (z n / w n) > 0$ .

Sobre os números complexos, cada curva elíptica tem nove pontos de inflexão. Cada linha que passa por dois desses pontos também passa por um terceiro ponto de inflexão; os nove pontos e 12 linhas formados desta forma formam uma realização da configuração de Hesse.

Algoritmos que usam curvas elípticas

Curvas elípticas sobre campos finitos são usadas em algumas aplicações criptográficas, bem como para fatoração de números inteiros. Normalmente, a ideia geral nessas aplicações é que um algoritmo conhecido que faz uso de certos grupos finitos é reescrito para usar os grupos de pontos racionais de curvas elípticas. Para mais veja também:

Criptografia de curva elíptica
Troca de chaves Elliptic-curve Diffie-Hellman
troca de chaves isogenia supersingular
Algoritmo digital de assinatura da curva elíptica
Algoritmo digital de assinatura EdDSA
Gerador de números aleatórios Dual EC DRBG
Fatorização elíptica da curva Lenstra
Prova da primalidade da curva elíptica

Representações alternativas de curvas elípticas

Curva hessiana
Curva de Edwards
Curva torcida
Curva hessiana torcida
Curva de Edwards torcida
Doche orientado para duplicação– curva de carretel-Kohel
Curva Doche–Icart–Kohel orientada a triplos
Curva Jacobiana
Curva de Montgomery

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