Curtose

Na teoria da probabilidade e estatística, kurtosis (do grego: κυρτός, kyrtos ou kurtos, que significa "curvo, arqueado") é uma medida da "cauda" da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória de valor real. Assim como a assimetria, a curtose descreve um aspecto particular de uma distribuição de probabilidade. Existem diferentes maneiras de quantificar a curtose para uma distribuição teórica e existem maneiras correspondentes de estimá-la usando uma amostra de uma população. Diferentes medidas de curtose podem ter diferentes interpretações.

A medida padrão da curtose de uma distribuição, originária de Karl Pearson, é uma versão em escala do quarto momento da distribuição. Esse número está relacionado às caudas da distribuição, não ao seu pico; portanto, a caracterização às vezes vista de curtose como "pico" está incorreto. Para esta medida, a maior curtose corresponde à maior extremidade dos desvios (ou outliers), e não à configuração dos dados próximos da média.

É comum comparar o excesso de curtose (definido abaixo) de uma distribuição com 0, que é o excesso de curtose de qualquer distribuição normal univariada. Distribuições com excesso de curtose negativo são consideradas platykurtic, embora isso não implique que a distribuição seja "plana no topo" como às vezes é dito. Em vez disso, significa que a distribuição produz menos outliers e/ou menos extremos do que a distribuição normal. Um exemplo de distribuição platicúrtica é a distribuição uniforme, que não produz outliers. Distribuições com excesso de curtose positiva são ditas leptocúrticas. Um exemplo de distribuição leptocúrtica é a distribuição de Laplace, que tem caudas que se aproximam assintoticamente de zero mais lentamente do que uma Gaussiana e, portanto, produz mais outliers do que a distribuição normal. É prática comum usar excesso de curtose, que é definido como curtose de Pearson menos 3, para fornecer uma comparação simples com a distribuição normal. Alguns autores e pacotes de software usam "curtose" por si só para se referir ao excesso de curtose. Para maior clareza e generalidade, no entanto, este artigo indica explicitamente onde a curtose não excessiva se refere.

Medidas alternativas de curtose são: a L-curtose, que é uma versão em escala do quarto L-momento; medidas baseadas em quatro quantis populacionais ou amostrais. Estas são análogas às medidas alternativas de assimetria que não são baseadas em momentos ordinários.

Momentos Pearson

A curtose é o quarto momento padronizado, definido como

Kurt.⁡ ⁡ Não.X]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =E⁡ ⁡ Não.(X- Sim. - Sim. μ μ σ σ )4]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =E⁡ ⁡ Não.(X- Sim. - Sim. μ μ )4](E⁡ ⁡ Não.(X- Sim. - Sim. μ μ )2])2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =μ μ 4σ σ 4,{displaystyle operatorname} [Kurt] [X] {E} left[left({frac {X-mu }{sigma }}right)^{4}right]={frac {operatorname {E} left[(X-mu)^{4}right]}{left(operatorname {E} left[(X-mu)^{2}right]right)^{2}}}={frac {mu _{4}}{sigma ^{4}}},}

onde μ₄ é o quarto momento central e σ é o desvio padrão. Várias letras são usadas na literatura para denotar a curtose. Uma escolha muito comum é κ, o que é bom desde que fique claro que não se refere a um cumulante. Outras opções incluem γ₂, para ser semelhante à notação para assimetria, embora às vezes isso seja reservado para o excesso de curtose.

A curtose é limitada abaixo pela assimetria ao quadrado mais 1:

μ μ 4σ σ 4≥ ≥ (μ μ 3σ σ 3)2+1,- Não. _{4}}{sigma ^{4}}}geq left({frac {mu _{3}}{sigma ^{3}}}right)^{2}+1,}

onde μ₃ é o terceiro momento central. O limite inferior é realizado pela distribuição de Bernoulli. Não há limite superior para a curtose de uma distribuição de probabilidade geral e pode ser infinita.

Uma razão pela qual alguns autores favorecem o excesso de curtose é que os cumulantes são extensos. Fórmulas relacionadas à propriedade extensiva são expressas mais naturalmente em termos de curtose excessiva. Por exemplo, seja X₁,..., X_n independente variáveis aleatórias para as quais existe o quarto momento, e seja Y a variável aleatória definida pela soma de X_i. O excesso de curtose de Y é

Kurt.⁡ ⁡ Não.Y]- Sim. - Sim. 3= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1(Gerenciamento Gerenciamento JJ= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nσ σ JJ2)2Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nσ σ Eu...4)) (Kurt.⁡ ⁡ Não.XEu...]- Sim. - Sim. 3),{displaystyle operatorname} {Kurt} [Y]-3={frac {1}{left(sum _{j=1}^{n}sigma _{j}^{,2}right)^{2}}}sum _{i=1}^{n}sigma _{i}^{,4}cdot left(operatorname {Kurt} left[X_{i}right]-3right),}

Onde? σ σ Eu...{displaystyle sigma _{i}} é o desvio padrão de XEu...Não. X_{i}}. Em particular, se todos os X_Eu... tem a mesma variância, então isso simplifica a

Kurt.⁡ ⁡ Não.Y]- Sim. - Sim. 3= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n2Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n(Kurt.⁡ ⁡ Não.XEu...]- Sim. - Sim. 3).{displaystyle operatorname} {Kurt} [Y]-3={1 over n^{2}}sum _{i=1}^{n}left(operatorname {Kurt} left[X_{i}right]-3right). ?

A razão para não subtrair 3 é que o simples quarto momento se generaliza melhor para distribuições multivariadas, especialmente quando a independência não é assumida. A cocurtose entre pares de variáveis é um tensor de ordem quatro. Para uma distribuição normal bivariada, o tensor de cocurtose tem termos fora da diagonal que não são nem 0 nem 3 em geral, então tentar "corrigir" pois um excesso torna-se confuso. É verdade, entretanto, que os cumulantes conjuntos de grau maior que dois para qualquer distribuição normal multivariada são zero.

Para duas variáveis aleatórias, X e Y, não necessariamente independentes, a curtose da soma, X + Y, é

Kurt.⁡ ⁡ Não.X+Y]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1σ σ X+Y4(σ σ X4Kurt.⁡ ⁡ Não.X]+4σ σ X3σ σ YCokurt⁡ ⁡ Não.X,X,X,Y]+6σ σ X2σ σ Y2Cokurt⁡ ⁡ Não.X,X,Y,Y]+4σ σ Xσ σ Y3Cokurt⁡ ⁡ Não.X,Y,Y,Y]+σ σ Y4Kurt.⁡ ⁡ Não.Y]).{displaystyle {begin{aligned}operatorname} [Kurt] [X+Y]={1 over sigma _{X+Y}^{4}}{big (}&sigma _{X}^{4}operatorname (Kurt) [X]+4sigma _{X}^{3}sigma _{Y}operatorname [X,X,X,Y]\&{}+6sigma _{X}^{2}sigma _{Y}^{2}operatorname [X,X,Y,Y]\[6pt]&{}+4sigma _{X}sigma _{Y}^{3}operatorname [X,Y,Y,Y]+sigma _{Y}^{4}operatorname Não.

Observe que os coeficientes binomiais de quarta potência (1, 4, 6, 4, 1) aparecem na equação acima.

Interpretação

A interpretação exata da medida Pearson de curtose (ou excesso de curtose) costumava ser contestada, mas agora está resolvida. Como observa Westfall em 2014, "... sua única interpretação inequívoca é em termos de extremidade da cauda; ou seja, outliers existentes (para a curtose da amostra) ou propensão a produzir outliers (para a curtose de uma distribuição de probabilidade)." A lógica é simples: a curtose é a média (ou valor esperado) da dados padronizados elevados à quarta potência. Valores padronizados menores que 1 (ou seja, dados dentro de um desvio padrão da média, onde estaria o "pico") não contribuem praticamente em nada para a curtose, pois elevar um número menor que 1 à quarta poder torna-o mais próximo de zero. Os únicos valores de dados (observados ou observáveis) que contribuem para a curtose de forma significativa são aqueles fora da região do pico; ou seja, os outliers. Portanto, a curtose mede apenas outliers; não mede nada sobre o "pico".

Muitas interpretações incorretas de curtose que envolvem noções de pico foram dadas. Uma delas é que a curtose mede tanto o "pico" da distribuição e o peso de sua cauda. Várias outras interpretações incorretas foram sugeridas, como "falta de ombros" (onde o "ombro" é definido vagamente como a área entre o pico e a cauda, ou mais especificamente como a área de cerca de um desvio padrão da média) ou "bimodalidade". Balanda e MacGillivray afirmam que a definição padrão de curtose "é uma medida ruim da curtose, pico ou peso da cauda de uma distribuição" e, em vez disso, propomos "definir curtose vagamente como o movimento livre de localização e escala da massa de probabilidade dos ombros de uma distribuição em seu centro e caudas".

Mouros' interpretação

Em 1986, Moors deu uma interpretação da curtose. Deixar

Z.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =X- Sim. - Sim. μ μ σ σ ,- Sim. {X-mu }{sigma }},}

onde X é uma variável aleatória, μ é a média e σ é o desvio padrão.

Agora por definição da kurtosis κ κ - Sim., e pela identidade bem conhecida ENão.V2]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =var⁡ ⁡ Não.V]+Não.ENão.V]]2,Não. Eleft[V^{2}right]=operatorname {var} [V]+[E[V]]^{2},}

κ κ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =ENão.Z.4]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =var⁡ ⁡ Não.Z.2]+Não.ENão.Z.2]]2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =var⁡ ⁡ Não.Z.2]+Não.var⁡ ⁡ Não.Z.]]2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =var⁡ ⁡ Não.Z.2]+1{displaystyle kappa =Eleft[Z^{4}right]=operatorname {var} left[Z^{2}right]+left[Eleft[Z^{2}right]right]^{2}=operatorname {var} left[Z^{2}right]+[operatorname {var} [Z]^{2}=operatorname {var} left[Z^{2}right]+1}.

A curtose agora pode ser vista como uma medida da dispersão de Z² em torno de sua expectativa. Alternativamente, pode ser visto como uma medida da dispersão de Z em torno de +1 e −1. κ atinge seu valor mínimo em uma distribuição simétrica de dois pontos. Em termos da variável original X, a curtose é uma medida da dispersão de X em torno dos dois valores μ ± σ.

Valores altos de κ surgem em duas circunstâncias:

• onde a massa de probabilidade é concentrada em torno da média e o processo de geração de dados produz valores ocasionais longe da média,
• onde a massa de probabilidade é concentrada nas caudas da distribuição.

Curtose excessiva

A curtose excessiva é definida como curtose menos 3. Existem 3 regimes distintos, conforme descrito abaixo.

Mesocúrtico

As distribuições com zero excesso de kurtosis são chamadas mesokurtic, ou mesokurtotic. O exemplo mais proeminente de uma distribuição mesokurtic é a família de distribuição normal, independentemente dos valores de seus parâmetros. Algumas outras distribuições bem conhecidas podem ser mesokurtic, dependendo dos valores dos parâmetros: por exemplo, a distribuição binomial é mesokurtic para p= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1/2± ± 1/12{displaystyle p=1/2pm {sqrt {1/12}}}.

Leptocúrtico

Uma distribuição com excesso de curtose positiva é chamada de leptocúrtica ou leptocurtótica. "Lepto-" significa "esbelto". Em termos de forma, uma distribuição leptocúrtica tem caudas mais grossas. Exemplos de distribuições leptocúrticas incluem a distribuição t de Student, distribuição de Rayleigh, distribuição de Laplace, distribuição exponencial, distribuição de Poisson e distribuição logística. Tais distribuições às vezes são denominadas super-Gaussianas.

Platykurtic

O toss de moeda é a distribuição mais platykurtic

Uma distribuição com excesso de curtose negativa é chamada platykurtic ou platykurtotic. "Platy-" significa "amplo". Em termos de forma, uma distribuição platicúrtica tem caudas mais finas. Exemplos de distribuições platicúrticas incluem as distribuições uniformes contínua e discreta e a distribuição de cosseno elevado. A distribuição mais platicúrtica de todas é a distribuição de Bernoulli com p = 1/2 (por exemplo, o número de vezes que se obtém "cara" ao jogar uma moeda uma vez, um cara ou coroa), para o qual o excesso de curtose é -2.

Exemplos gráficos

A família Pearson tipo VII

pdf para a distribuição de Pearson tipo VII com excesso de kurtosis de infinito (vermelho); 2 (azul); e 0 (preto)

log-pdf para a distribuição Pearson tipo VII com excesso de kurtosis de infinito (vermelho); 2 (azul); 1, 1/2, 1/4, 1/8, e 1/16 (gray); e 0 (preto)

Os efeitos da curtose são ilustrados usando uma família paramétrica de distribuições cuja curtose pode ser ajustada enquanto seus momentos de ordem inferior e cumulantes permanecem constantes. Considere a família Pearson tipo VII, que é um caso especial da família Pearson tipo IV restrita a densidades simétricas. A função de densidade de probabilidade é dada por

f(x;um,m)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =)) (m)umD D )) (m- Sim. - Sim. 1/2)Não.1+(xum)2]- Sim. - Sim. m,{displaystyle f(x;a,m)={frac {Gamma (m)}{a,{sqrt {pi) }},Gamma (m-1/2)}}left[1+left({frac {x}{a}}right)^{2}right]^{-m},!}

onde a é um parâmetro de escala e m é um parâmetro de forma.

Todas as densidades nesta família são simétricas. O ko momento existe desde m>k+ 1)/2. Para que a kurtosis exista, nós exigimos m> 5/2. Então existe a média e a cegueira e são ambos idênticos zero. Configuração um²= 2m− 3 torna a variância igual à unidade. Então o único parâmetro gratuito é m, que controla o quarto momento (e cumulant) e, portanto, a kurtosis. Pode-se reparar com m= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =5/2+3/γ γ 2Não. m=5/2+3/gamma _{2}}, onde γ γ 2{displaystyle gamma _{2}} é o excesso de kurtosis como definido acima. Isso produz uma família leptokurtic de um parâmetro com zero média, variância unitária, zero cegueira e excesso arbitrário não negativo kurtosis. A densidade reparamétrica é

g(x;γ γ 2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(x;um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2+6γ γ 2,m= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =52+3γ γ 2).{displaystyle g(x;gamma _{2})=fleft(x;;a={sqrt (2+ Não. _{2}}}}},;m={frac {5}{2}}+{frac {3}{gamma _{2}}}right).!}

No limite como γ γ 2→ → ∞ ∞ {displaystyle gamma _{2}to infty } um obtém a densidade

g(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =3(2+x2)- Sim. - Sim. 52,{displaystyle g(x)=3left(2+x^{2}right)^{-{frac {5}{2}}},!}

que é mostrado como a curva vermelha nas imagens à direita.

Na outra direção como γ γ 2→ → 0{displaystyle gamma _{2}to 0 obtém-se a densidade normal padrão como a distribuição limitante, mostrada como a curva preta.

Nas imagens à direita, a curva azul representa a densidade x↦ ↦ g(x;2)(x;2)} com excesso de kurtosis de 2. A imagem superior mostra que as densidades leptokurtas nesta família têm um pico mais elevado do que a densidade normal mesokurtic, embora esta conclusão seja válida apenas para esta família selecionada de distribuições. As caudas comparativamente mais gordas das densidades leptokurtas são ilustradas na segunda imagem, que traça o logaritmo natural das densidades tipo VII de Pearson: a curva preta é o logaritmo da densidade normal padrão, que é um parabola. Pode-se ver que a densidade normal aloca pouca massa de probabilidade para as regiões distantes da média ("tem caudas finas"), em comparação com a curva azul da densidade do tipo Pearson leptokurtic VII com o excesso de kurtosis de 2. Entre a curva azul e o preto estão outras densidades tipo VII de Pearson com γ₂= 1, 1/2, 1/4, 1/8, e 1/16. A curva vermelha mostra novamente o limite superior da família Pearson tipo VII, com γ γ 2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∞ ∞ {displaystyle gamma _{2}=infty } (que, estritamente falando, significa que o quarto momento não existe). A curva vermelha diminui a mais lenta à medida que se move para fora da origem ("tem caudas gordas").

Outras distribuições conhecidas

Funções de densidade de probabilidade para distribuições selecionadas com média 0, variância 1 e diferente excesso kurtosis

Logaritmos de funções de densidade de probabilidade para distribuições selecionadas com média 0, variância 1 e diferente excesso de kurtosis

Várias distribuições bem conhecidas, unimodais e simétricas de diferentes famílias paramétricas são comparadas aqui. Cada um tem uma média e assimetria de zero. Os parâmetros foram escolhidos para resultar em uma variância igual a 1 em cada caso. As imagens à direita mostram curvas para as sete densidades a seguir, em escala linear e escala logarítmica:

• D: Distribuição de Laplace, também conhecida como distribuição exponencial dupla, curva vermelha (duas linhas retas na parcela de log-scale), excesso de kurtosis = 3
• S: distribuição secante hiperbólica, curva laranja, excesso de kurtosis = 2
• L: distribuição logística, curva verde, excesso de kurtosis = 1,2
• N: distribuição normal, curva preta (parabola invertida na trama de log-scale), excesso de kurtosis = 0
• C: distribuição cosina elevada, curva ciana, excesso de kurtosis = −0.593762...
• W: distribuição semicírculo Wigner, curva azul, excesso de kurtosis = −1
• U: distribuição uniforme, curva magenta (mostrada para clareza como retângulo em ambas as imagens), excesso de kurtosis = −1.2.

Observe que nestes casos as densidades platicúrticas têm suporte limitado, enquanto as densidades com excesso de curtose positivo ou nulo são suportadas em toda a linha real.

Não se pode inferir que as distribuições de alta ou baixa curtose tenham as características indicadas por esses exemplos. Existem densidades platicúrticas com suporte infinito,

• por exemplo, distribuições de energia exponencial com parâmetro de forma suficientemente grande b)

e existem densidades leptocúrticas com suporte finito.

• por exemplo, uma distribuição uniforme entre −3 e −0.3, entre −0.3 e 0.3 e entre 0.3 e 3, com a mesma densidade nos intervalos (−3, −0.3) e (0,3, 3), mas com 20 vezes mais densidade no intervalo (−0.3, 0.3)

Além disso, existem densidades platicúrticas com picos infinitos,

• por exemplo, uma mistura igual da distribuição beta com parâmetros 0.5 e 1 com sua reflexão sobre 0,0

e existem densidades leptocúrticas que parecem achatadas,

• por exemplo, uma mistura de distribuição uniforme entre -1 e 1 com T(4.0000001) T-distribuição do estudante, com probabilidades de mistura 0,999 e 0,001.

Amostra de curtose

Definições

Um estimador natural, mas tendencioso

Para uma amostra de n valores, um método de estimação de momentos da curtose excessiva da população pode ser definido como

g2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =m4m22- Sim. - Sim. 3= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nGerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n(xEu...- Sim. - Sim. x? ? )4Não.1nGerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n(xEu...- Sim. - Sim. x? ? )2]2- Sim. - Sim. 3Não. G_{2}={frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={frac {{tfrac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{overline {x}}^{4}}{left[{tfrac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{overline {x}}^{2}right]^{2}}}-3}

Onde? m₄ é o quarto momento de amostra sobre a média, m₂ é o segundo momento da amostra sobre a média (ou seja, a variância da amostra), x_Eu... é o Eu...^{O quê?} valor, e x? ? {displaystyle {overline {x}}} é a amostra média.

Esta fórmula tem a representação mais simples,

g2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nGerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nzangão.Eu...4- Sim. - Sim. 3Não. g_{2}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}z_{i}^{4}-3}

onde o zangão.Eu...Não. Z_{i}} valores são os valores de dados padronizados usando o desvio padrão definido usando n em vez de n- 1 no denominador.

Por exemplo, suponha que os valores de dados sejam 0, 3, 4, 1, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 2, 0, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 999.

Então, zangão.Eu...Não. Z_{i}} valores são −0.239, −0.225, −0.221, −0.234, −0.230, −0.225, −0.239, −0.230, −0.234, −0.225, −0.230, −0.230, −0.230, −0.230, −0.216, −0.230, −0.230, −0.225, 4.359

e o zangão.Eu...4Não. z_{i}^{4}} valores são 0,003, 0,003, 0,002, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,002, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 360,976.

A média desses valores é 18,05 e o excesso de curtose é, portanto, 18,05 − 3 = 15,05. Este exemplo deixa claro que os dados próximos ao "meio" ou "pico" da distribuição não contribuem para a estatística de curtose, portanto, a curtose não mede o "pico". É simplesmente uma medida do outlier, 999 neste exemplo.

Estimador imparcial padrão

Dado um subconjunto de amostras de uma população, a amostra em excesso kurtosis g2Não. g_{2}} acima é um estimador tendencioso da população excesso de kurtosis. Um estimador alternativo da população em excesso de kurtosis, que é imparcial em amostras aleatórias de uma distribuição normal, é definido como segue:

G 2 = k 4 k 2 2 = n 2 [ ( n + 1 ) m 4 − 3 ( n − 1 ) m 2 2 ] ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) ( n − 1 ) 2 n 2 m 2 2 = n − 1 ( n − 2 ) ( n − 3 ) [ ( n + 1 ) m 4 m 2 2 − 3 ( n − 1 ) ] = n − 1 ( n − 2 ) ( n − 3 ) [ ( n + 1 ) g 2 + 6 ] = ( n + 1 ) n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 4 ( ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 ) 2 − 3 ( n − 1 ) 2 ( n − 2 ) ( n − 3 ) = ( n + 1 ) n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 4 k 2 2 − 3 ( n − 1 ) 2 ( n − 2 ) ( n − 3 ) {displaystyle {begin{aligned}G_{2}&={frac {k_{4}}{k_{2}^{2}}}\[6pt]&={frac {n^{2},[(n+1),m_{4}-3,(n-1),m_{2}^{2}]}{(n-1),(n-2),(n-3)}};{frac {(n-1)^{2}}{n^{2},m_{2}^{2}}}\[6pt]&={frac {n-1}{(n-2),(n-3)}}left[(n+1),{frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3,(n-1)right]\[6pt]&={frac {n-1}{(n-2),(n-3)}}left[(n+1),g_{2}+6right]\[6pt]&={frac {(n+1),n,(n-1)}{(n-2),(n-3)}};{frac {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{bar {x}})^{4}}{left(sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{bar {x}})^{2}right)^{2}}}-3,{frac {(n-1)^{2}}{(n-2),(n-3)}}\[6pt]&={frac {(n+1),n}{(n-1),(n-2),(n-3)}};{frac {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{bar {x}})^{4}}{k_{2}^{2}}}-3,{frac {(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}end{aligned}}}

Onde? k₄ é o único simétrico estimativa imparcial do quarto cumulant, k₂ é a estimativa imparcial do segundo cumulant (identical à estimativa imparcial da variância da amostra), m₄ é o quarto momento de amostra sobre a média, m₂ é o segundo momento de amostra sobre a média, x_Eu... é o Eu...^{O quê?} valor, e x? ? (x) é a amostra média. Este coeficiente de momento padronizado Fisher-Pearson ajustado G2Não. G_{2}} é a versão encontrada no Excel e vários pacotes estatísticos, incluindo Minitab, SAS e SPSS.

Infelizmente, em amostras nãonormais G2Não. G_{2}} é geralmente tendencioso.

Limite superior

Um limite superior para a curtose de amostra de n (n > 2) números reais é

g2≤ ≤ 12n- Sim. - Sim. 3n- Sim. - Sim. 2g12+n2- Sim. - Sim. 3.{displaystyle g_{2}leq {frac {1}{2}}{frac {n-3}{n-2}}g_{1}^{2}+{frac {n}{2}}-3.}

Onde? g1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =m3/m23/2Não. g_{1}=m_{3}/m_{2}^{3/2}} é o espeto de amostra correspondente.

Variação sob normalidade

A variância da curtose amostral de uma amostra de tamanho n da distribuição normal é

var⁡ ⁡ (g2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =24.n(n- Sim. - Sim. 1)2(n- Sim. - Sim. 3)(n- Sim. - Sim. 2)(n+3)(n+5){displaystyle operatorname {var} (g_{2})={frac {24n(n-1)^{2}}{(n-3)(n-2)(n+3)(n+5)}}}

Declarado de forma diferente, sob a suposição de que a variável aleatória subjacente X- Sim. é normalmente distribuído, pode ser mostrado que ng2→DN(0,24.){displaystyle {sqrt {n}}g_{2}{xrightarrow {d}}{mathcal {N}}(0,24)}.

Aplicativos

A curtose de amostra é uma medida útil para saber se há um problema com outliers em um conjunto de dados. Curtose maior indica um problema de outlier mais sério e pode levar o pesquisador a escolher métodos estatísticos alternativos.

O teste K-quadrado de Agostino é um teste de normalidade de ajuste baseado em uma combinação de assimetria e curtose da amostra, assim como o teste de Jarque-Bera para normalidade.

Para amostras não normais, a variância da variância da amostra depende da curtose; para obter detalhes, consulte a variação.

A definição de curtose de Pearson é usada como um indicador de intermitência na turbulência. Também é usado em imagens de ressonância magnética para quantificar a difusão não gaussiana.

Um exemplo concreto é o seguinte lema de He, Zhang e Zhang: Assuma uma variável aleatória X- Sim. tem expectativa ENão.X]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =μ μ E[X]=mu }, variância ENão.(X- Sim. - Sim. μ μ )2]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =σ σ 2{displaystyle Eleft[(X-mu)^{2}right]=sigma ^{2}} e kurtosis κ κ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1σ σ 4ENão.(X- Sim. - Sim. μ μ )4]{displaystyle kappa ={tfrac {1}{sigma ^{4}}}Eleft[(X-mu)^{4}right]}. Assuma que amostramos n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =23+33κ κ log⁡ ⁡ 1δ δ Não. (2 {3}}+3}{3}}kappa log {displaystyle tfrac Não.) muitas cópias independentes. Então...

PrNão.máx.Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nXEu...≤ ≤ μ μ ]≤ ≤ δ δ ePrNão.minEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1nXEu...≥ ≥ μ μ ]≤ ≤ δ δ Não. Pr left[max _{i=1}^{n}X_{i}leq mu right]leq delta quad {text{and}}quad Pr left[min _{i=1}^{n}X_{i}geq mu right]leq delta }.

Isso mostra que com Θ Θ (κ κ log⁡ ⁡ 1δ δ )Não. Theta (kappa log {tfrac {1}{delta }})} muitas amostras, veremos uma que está acima da expectativa com probabilidade pelo menos 1- Sim. - Sim. δ δ - Sim.. Em outras palavras: Se a kurtosis é grande, podemos ver muitos valores abaixo ou acima da média.

Convergência da curtose

Aplicando filtros passa-faixa a imagens digitais, os valores de curtose tendem a ser uniformes, independentemente do alcance do filtro. Esse comportamento, denominado convergência de curtose, pode ser usado para detectar emendas de imagens em análises forenses.

Outras medidas

Uma medida diferente de "curtose" é fornecido usando L-momentos em vez dos momentos ordinários.