Conjunto vazio

O conjunto vazio é o conjunto que não contém elementos.

Em matemática, o conjunto vazio é o único conjunto sem elementos; seu tamanho ou cardinalidade (contagem de elementos em um conjunto) é zero. Algumas teorias de conjuntos axiomáticos garantem que o conjunto vazio existe, incluindo um axioma de conjunto vazio, enquanto em outras teorias, sua existência pode ser deduzida. Muitas propriedades possíveis de conjuntos são vagamente verdadeiras para o conjunto vazio.

Qualquer conjunto diferente do conjunto vazio é chamado de não vazio.

Em alguns livros didáticos e popularizações, o conjunto vazio é chamado de "conjunto nulo". No entanto, conjunto nulo é uma noção distinta dentro do contexto da teoria da medida, na qual descreve um conjunto de medida zero (que não é necessariamente vazio). O conjunto vazio também pode ser chamado de conjunto vazio.

Notação

Um símbolo para o conjunto vazio

Noções comuns para o conjunto vazio incluem "{}", "∅ ∅ {displaystyle emptyset }", e "".". Os dois últimos símbolos foram introduzidos pelo grupo Bourbaki (especificamente André Weil) em 1939, inspirado na letra Ø no alfabeto dinamarquês e norueguês. No passado, "0" foi ocasionalmente usado como um símbolo para o conjunto vazio, mas agora é considerado um uso inadequado de notação.

O símbolo. está disponível no ponto Unicode U+2205. Pode ser codificado em HTML como ∅ e ∅. Pode ser codificado em LaTeX como varnothing. O símbolo ∅ ∅ {displaystyle emptyset } é codificado em LaTeX como emptyset.

Ao escrever em idiomas como dinamarquês e norueguês, onde o caractere de conjunto vazio pode ser confundido com a letra alfabética Ø (como ao usar o símbolo em lingüística), o caractere Unicode U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰ pode ser usado em seu lugar.

Propriedades

Na teoria axiomática padrão dos conjuntos, pelo princípio da extensionalidade, dois conjuntos são iguais se tiverem os mesmos elementos. Como resultado, pode haver apenas um conjunto sem elementos, daí o uso de "o conjunto vazio" em vez de "um conjunto vazio".

O conjunto vazio tem as seguintes propriedades:

• Seu único subconjunto é o próprio conjunto vazio:

  Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas A:A⊆ ⊆ ∅ ∅ ⇒ ⇒ A= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∅ ∅ {displaystyle forall A:Asubseteq varnothing Rightarrow A=varnothing }

• O conjunto de energia do conjunto vazio é o conjunto contendo apenas o conjunto vazio:

  2∅ ∅ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(∅ ∅ ?{displaystyle 2^{varnothing] }= {varnothing }}

• O número de elementos do conjunto vazio (ou seja, sua cardinalidade) é zero:

  |∅ ∅ |= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0{displaystyle mathrm {|} varnothing mathrm {|} =0}}

Para qualquer conjunto A:

• O conjunto vazio é um subconjunto de A:

  Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas A:∅ ∅ ⊆ ⊆ A{displaystyle forall A:varnothing subseteq A}

• A união de A com o conjunto vazio é A:

  Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas A:ATelecomunicações Telecomunicações ∅ ∅ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =A{displaystyle forall A:Acup varnothing =A}

• A interseção A com o conjunto vazio é o conjunto vazio:

  Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas A:A─ ─ ∅ ∅ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∅ ∅ {displaystyle forall A:Acap varnothing =varnothing }

• O produto cartesiano de A e o conjunto vazio é o conjunto vazio:

  Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas A:A× × ∅ ∅ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∅ ∅ {displaystyle forall A:Atimes varnothing =varnothing }

Para qualquer propriedade P:

• Para cada elemento de ∅ ∅ - Sim., a propriedade P (verdade caduca).
• Não há elemento de ∅ ∅ - Sim. para o qual a propriedade P Detém.

Inversamente, se para alguma propriedade P e algum conjunto V, as duas declarações a seguir são válidas:

• Para cada elemento de V a propriedade P detenção
• Não há elemento de V para o qual a propriedade P detenção

então V= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∅ ∅ .Não. V=varnothing.}

Pela definição de subconjunto, o conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto A. Isso é, cada um elemento x de ∅ ∅ - Sim. pertence a A. De fato, se não fosse verdade que cada elemento de ∅ ∅ - Sim. em A, então haveria pelo menos um elemento de ∅ ∅ - Sim. que não está presente em A. Desde que há Não. elementos de ∅ ∅ - Sim. em absoluto, não há elemento de ∅ ∅ - Sim. que não está dentro A. Qualquer declaração que começa "para cada elemento de ∅ ∅ - Sim." não está fazendo qualquer reivindicação substantiva; é uma verdade vacunha. Isso é muitas vezes parafraseado como "tudo é verdadeiro dos elementos do conjunto vazio".

Na definição usual da teoria dos conjuntos de números naturais, o zero é modelado pelo conjunto vazio.

Operações no conjunto vazio

Ao falar da soma dos elementos de um conjunto finito, somos inevitavelmente levados à convenção de que a soma dos elementos do conjunto vazio é zero. A razão para isso é que o zero é o elemento de identidade para a adição. Da mesma forma, o produto dos elementos do conjunto vazio deve ser considerado um (ver produto vazio), pois um é o elemento identidade para a multiplicação.

Um desregulamento é uma permutação de um conjunto sem pontos fixos. O conjunto vazio pode ser considerado um desmembramento de si mesmo, porque tem apenas uma permutação (0!= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1Não.), e é vacuously verdade que nenhum elemento (do conjunto vazio) pode ser encontrado que retém sua posição original.

Em outras áreas da matemática

Números reais estendidos

Uma vez que o conjunto vazio não tem nenhum membro quando é considerado como um subconjunto de qualquer conjunto ordenado, cada membro desse conjunto será um limite superior e inferior para o conjunto vazio. Por exemplo, quando considerado como um subconjunto dos números reais, com o seu ordenamento habitual, representado pela linha de número real, cada número real é tanto um limite superior e inferior para o conjunto vazio. Quando considerado como um subconjunto dos reais estendidos formados adicionando dois "números" ou "pontos" aos números reais (nomeadamente infinidade negativa, denotado - Sim. - Sim. ∞ ∞ ,{displaystyle !,} que é definido para ser menos do que qualquer outro número real estendido, e infinito positivo, denotado +∞ ∞ ,{displaystyle +infty !,} que é definido para ser maior do que qualquer outro número real estendido), temos que:

Vamos.∅ ∅ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =min((- Sim. - Sim. ∞ ∞ ,+∞ ∞ ?Telecomunicações Telecomunicações R)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. ∞ ∞ ,{displaystyle sup varnothing =min({-infty+infty }cup mathbb Não.

inf∅ ∅ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =máx.((- Sim. - Sim. ∞ ∞ ,+∞ ∞ ?Telecomunicações Telecomunicações R)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =+∞ ∞ .{displaystyle inf varnothing =max({-infty+infty }cup mathbb Não.

Isto é, o menor limite superior (sup ou supremo) do conjunto vazio é infinito negativo, enquanto o maior limite inferior (inf ou infimum) é infinito positivo. Por analogia com o anterior, no domínio dos reais estendidos, o infinito negativo é o elemento de identidade para os operadores máximo e supremo, enquanto o infinito positivo é o elemento de identidade para os operadores mínimo e mínimo.

Topologia

Em qualquer espaço topológico X, o conjunto vazio é aberto por definição, assim como X. Como o complemento de um conjunto aberto é fechado e o conjunto vazio e X são complementares um do outro, o conjunto vazio também é fechado, tornando-o um conjunto clopen. Além disso, o conjunto vazio é compacto pelo fato de que todo conjunto finito é compacto.

O fechamento do conjunto vazio está vazio. Isso é conhecido como "preservação de uniões nulas"

Teoria da categoria

Se ANão. A. é um conjunto, então existe precisamente uma função fNão. a partir de ∅ ∅ - Sim. para A,Não. A, a função vazia. Como resultado, o conjunto vazio é o objeto inicial único da categoria de conjuntos e funções.

O conjunto vazio pode ser transformado em um espaço topológico, chamado de espaço vazio, de apenas uma maneira: definindo o conjunto vazio como aberto. Este espaço topológico vazio é o único objeto inicial na categoria de espaços topológicos com mapas contínuos. Na verdade, é um objeto inicial estrito: apenas o conjunto vazio tem uma função para o conjunto vazio.

Teoria dos conjuntos

Na construção de von Neumann dos ordinals, 0 é definido como o conjunto vazio, e o sucessor de um ordinal é definido como S(α α )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =α α Telecomunicações Telecomunicações (α α ?{displaystyle S(alpha)=alpha cup {alpha Sim.. Assim, temos 0= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∅ ∅ - Não., 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Telecomunicações Telecomunicações (0?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(∅ ∅ ?{displaystyle 1=0cup {0}={varnothing }}, 2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1Telecomunicações Telecomunicações (1?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(∅ ∅ ,(∅ ∅ ??{displaystyle 2=1cup {1}={varnothing{varnothing }}}E assim por diante. A construção de von Neumann, juntamente com o axioma do infinito, que garante a existência de pelo menos um conjunto infinito, pode ser usado para construir o conjunto de números naturais, N0{displaystyle mathbb {N} _{0}}, tal que os axiomas de Peano da aritmética estão satisfeitos.

Existência questionada

Teoria axiomática dos conjuntos

Na teoria dos conjuntos de Zermelo, a existência do conjunto vazio é assegurada pelo axioma do conjunto vazio, e sua unicidade decorre do axioma da extensionalidade. No entanto, o axioma do conjunto vazio pode ser mostrado redundante de pelo menos duas maneiras:

• A lógica padrão de primeira ordem implica, apenas dos axiomas lógicos, que Alguma coisa? existe, e na linguagem da teoria dos conjuntos, essa coisa deve ser um conjunto. Agora a existência do conjunto vazio segue facilmente do axioma da separação.
• Mesmo usando a lógica livre (que não implica logicamente que algo existe), já existe um axioma que implica a existência de pelo menos um conjunto, ou seja, o axioma do infinito.

Questões filosóficas

Embora o conjunto vazio seja um conceito matemático padrão e amplamente aceito, ele continua sendo uma curiosidade ontológica, cujo significado e utilidade são debatidos por filósofos e lógicos.

O conjunto vazio não é a mesma coisa que nada; em vez disso, é um conjunto sem nada dentro e um conjunto é sempre algo. Esse problema pode ser superado vendo um conjunto como uma sacola - uma sacola vazia sem dúvida ainda existe. Darling (2004) explica que o conjunto vazio não é nada, mas sim "o conjunto de todos os triângulos com quatro lados, o conjunto de todos os números maiores que nove, mas menores que oito, e o conjunto de todos os movimentos de abertura no xadrez que envolve um rei."

O silogismo popular

Nada é melhor do que a felicidade eterna; um sanduíche de presunto é melhor do que nada; portanto, um sanduíche de presunto é melhor do que a felicidade eterna

é frequentemente usado para demonstrar a relação filosófica entre o conceito de nada e o conjunto vazio. Darling escreve que o contraste pode ser visto por reescrever as declarações "Nada é melhor do que a felicidade eterna" e "[A] sanduíche de presunto é melhor do que nada" em um tom matemático. De acordo com Darling, o primeiro é equivalente a "O conjunto de todas as coisas que são melhores do que a felicidade eterna é ∅ ∅ - Sim."e o último a "O conjunto {ham sanduíche} é melhor do que o conjunto ∅ ∅ - Sim.". O primeiro compara elementos de conjuntos, enquanto o segundo compara os próprios conjuntos.

Jonathan Lowe argumenta que enquanto o conjunto vazio:

"foi, sem dúvida, um marco importante na história da matemática,... não devemos assumir que sua utilidade no cálculo é dependente de seu denotar realmente algum objeto."

também é o caso que:

"Tudo o que somos informados sobre o conjunto vazio é que (1) é um conjunto, (2) não tem membros, e (3) é único entre os conjuntos em não ter membros. No entanto, há muitas coisas que 'não têm membros', no sentido set-theoretical—nomeadamente, todos os não-sets. É perfeitamente claro por que essas coisas não têm membros, pois não são conjuntos. O que não é claro é como pode haver, exclusivamente entre os conjuntos, um conjunto que não tem membros. Não podemos conjurar tal entidade à existência por mera estipulação."

George Boolos argumentou que muito do que foi obtido até agora pela teoria dos conjuntos pode ser facilmente obtido pela quantificação plural sobre indivíduos, sem reificar conjuntos como entidades singulares tendo outras entidades como membros.