Conjetura

A parte real (vermelho) e parte imaginária (azul) da função zeta Riemann ao longo da linha crítica Re(S) = 1/2. Os primeiros zeros não triviais podem ser vistos no Im(S) = ±14.135, ±21.022 e ±25.011. A hipótese de Riemann, uma famosa conjectura, diz que todos os zeros não triviais da função zeta estão ao longo da linha crítica.

Na matemática, uma conjectura é uma conclusão ou uma proposição que é proferida em uma tentativa sem prova. Algumas conjecturas, como a hipótese de Riemann (ainda uma conjectura) ou o Último Teorema de Fermat (uma conjectura até provada em 1995 por Andrew Wiles), moldaram grande parte da história da matemática à medida que novas áreas da matemática são desenvolvidas para provar eles.

Exemplos importantes

Último teorema de Fermat

Em teoria dos números, o último teorema de Fermat (às vezes chamado Conjectura de Fermat, especialmente em textos mais antigos) afirma que não há três inteiros positivos umNão., b)Não.e cNão. pode satisfazer a equação umn+b)n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =cn{displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} para qualquer valor inteiro de nNão. maior que dois.

Este teorema foi conjecturado pela primeira vez por Pierre de Fermat em 1637 na margem de uma cópia da Arithmetica, onde ele afirmava ter uma prova muito grande para caber na margem. A primeira prova bem-sucedida foi lançada em 1994 por Andrew Wiles e publicada formalmente em 1995, após 358 anos de esforço de matemáticos. O problema não resolvido estimulou o desenvolvimento da teoria algébrica dos números no século XIX e a prova do teorema da modularidade no século XX. Está entre os teoremas mais notáveis da história da matemática e, antes de sua prova, estava no Guinness Book of World Records para os "problemas matemáticos mais difíceis".

Teorema das quatro cores

Uma quatro cores de um mapa dos estados dos Estados Unidos (ignorando lagos).

Na matemática, o teorema das quatro cores, ou o teorema do mapa de quatro cores, afirma que dada qualquer separação de um plano em regiões contíguas, produzindo uma figura chamada mapa, não mais do que quatro cores são necessárias para colorir as regiões do mapa - de modo que não haja duas regiões adjacentes com a mesma cor. Duas regiões são chamadas de adjacentes se compartilham um limite comum que não é um canto, onde os cantos são os pontos compartilhados por três ou mais regiões. Por exemplo, no mapa dos Estados Unidos da América, Utah e Arizona são adjacentes, mas Utah e Novo México, que compartilham apenas um ponto que também pertence ao Arizona e Colorado, não são.

Möbius mencionou o problema em suas palestras já em 1840. A conjectura foi proposta pela primeira vez em 23 de outubro de 1852, quando Francis Guthrie, ao tentar colorir o mapa dos condados da Inglaterra, percebeu que eram necessárias apenas quatro cores diferentes. O teorema das cinco cores, que tem uma prova elementar curta, afirma que bastam cinco cores para colorir um mapa e foi provado no final do século XIX; no entanto, provar que quatro cores são suficientes acabou sendo significativamente mais difícil. Uma série de falsas provas e falsos contra-exemplos apareceram desde a primeira declaração do teorema das quatro cores em 1852.

O teorema das quatro cores foi provado em 1976 por Kenneth Appel e Wolfgang Haken. Foi o primeiro grande teorema a ser provado usando um computador. A abordagem de Appel e Haken começou mostrando que existe um conjunto particular de 1.936 mapas, cada um dos quais não pode fazer parte de um contra-exemplo de menor tamanho para o teorema das quatro cores (ou seja, se eles aparecessem, seria possível fazer uma contra-exemplo menor). Appel e Haken usaram um programa de computador específico para confirmar que cada um desses mapas tinha essa propriedade. Além disso, qualquer mapa que possa ser um contra-exemplo deve ter uma parte que se pareça com um desses 1.936 mapas. Mostrando isso com centenas de páginas de análise manual, Appel e Haken concluíram que não existe o menor contra-exemplo porque qualquer um deve conter, mas não contém, um desses 1.936 mapas. Essa contradição significa que não há nenhum contra-exemplo e que o teorema é, portanto, verdadeiro. Inicialmente, sua prova não foi aceita pelos matemáticos porque a prova assistida por computador era inviável para um ser humano verificar manualmente. No entanto, a prova desde então ganhou maior aceitação, embora ainda existam dúvidas.

Hauptvermutung

O Hauptvermutung (em alemão para conjectura principal) da topologia geométrica é a conjectura de que quaisquer duas triangulações de um espaço triangular têm um refinamento comum, uma única triangulação que é uma subdivisão de ambas. Foi originalmente formulado em 1908, por Steinitz e Tietze.

Esta conjectura é agora conhecida como falsa. A versão não múltipla foi refutada por John Milnor em 1961 usando a torção Reidemeister.

A versão do manifold é verdadeira em dimensões m ≤ 3. Os casos m = 2 e 3 foram provados por Tibor Radó e Edwin E. Moise nas décadas de 1920 e 1950, respectivamente.

Conjecturas de Weil

Na matemática, as conjecturas de Weil foram algumas propostas altamente influentes de André Weil (1949) sobre as funções geradoras (conhecidas como funções zeta locais) derivadas da contagem do número de pontos em variedades algébricas em campos finitos.

Uma variedade V sobre um corpo finito com elementos q tem um número finito de pontos racionais, bem como pontos sobre todo corpo finito com q^k elementos que contêm esse campo. A função geradora tem coeficientes derivados dos números N_k de pontos sobre o campo (essencialmente único) com q ^k elementos.

Weil conjecturou que tais funções zeta deveriam ser funções racionais, deveriam satisfazer uma forma de equação funcional e deveriam ter seus zeros em lugares restritos. As duas últimas partes foram conscientemente modeladas na função zeta de Riemann e na hipótese de Riemann. A racionalidade foi provada por Dwork (1960), a equação funcional por Grothendieck (1965), e o análogo da hipótese de Riemann foi provado por Deligne (1974).

Conjectura de Poincaré

Em matemática, a conjectura de Poincaré é um teorema sobre a caracterização da 3-esfera, que é a hiperesfera que limita a bola unitária no espaço quadridimensional. A conjectura afirma que:

Cada simples conectado, fechado 3-manifold é homeomorphic para a 3 esferas.

Uma forma equivalente da conjectura envolve uma forma mais grosseira de equivalência do que o homeomorfismo chamada equivalência de homotopia: se uma variedade 3 é equivalente à homotopia para a esfera 3, então é necessariamente homeomórfica para ele.

Originalmente conjecturado por Henri Poincaré em 1904, o teorema diz respeito a um espaço que localmente se parece com um espaço tridimensional comum, mas é conectado, de tamanho finito e sem qualquer limite (uma variedade tridimensional fechada). A conjectura de Poincaré afirma que, se tal espaço tem a propriedade adicional de que cada volta no espaço pode ser continuamente apertada a um ponto, então é necessariamente uma esfera tridimensional. Um resultado análogo é conhecido em dimensões superiores há algum tempo.

Depois de quase um século de esforços de matemáticos, Grigori Perelman apresentou uma prova da conjectura em três artigos disponibilizados em 2002 e 2003 no arXiv. A prova seguiu o programa de Richard S. Hamilton para usar o fluxo de Ricci para tentar resolver o problema. Mais tarde, Hamilton introduziu uma modificação do fluxo de Ricci padrão, chamado fluxo de Ricci com cirurgia para excisar sistematicamente regiões singulares à medida que se desenvolvem, de maneira controlada, mas não conseguiu provar que esse método "convergia' 34; em três dimensões. Perelman completou esta parte da prova. Várias equipes de matemáticos verificaram que a prova de Perelman está correta.

A conjectura de Poincaré, antes de ser provada, era uma das questões em aberto mais importantes da topologia.

Hipótese de Riemann

Na matemática, a hipótese de Riemann, proposta por Bernhard Riemann (1859), é uma conjectura de que todos os zeros não triviais da função zeta de Riemann têm parte real 1/2. O nome também é usado para alguns análogos intimamente relacionados, como a hipótese de Riemann para curvas sobre corpos finitos.

A hipótese de Riemann implica resultados sobre a distribuição de números primos. Juntamente com generalizações adequadas, alguns matemáticos o consideram o problema não resolvido mais importante da matemática pura. A hipótese de Riemann, juntamente com a conjectura de Goldbach, faz parte do oitavo problema de Hilbert na lista de 23 problemas não resolvidos de David Hilbert; é também um dos Problemas do Prêmio do Milênio do Clay Mathematics Institute.

Problema P versus NP

O problema P versus NP é um grande problema não resolvido na ciência da computação. Informalmente, pergunta se todo problema cuja solução pode ser rapidamente verificada por um computador também pode ser rapidamente resolvido por um computador; é amplamente conjecturado que a resposta é não. Foi essencialmente mencionado pela primeira vez em uma carta de 1956 escrita por Kurt Gödel para John von Neumann. Gödel perguntou se um certo problema NP-completo poderia ser resolvido em tempo quadrático ou linear. A declaração precisa do problema P=NP foi introduzida em 1971 por Stephen Cook em seu artigo seminal "A complexidade dos procedimentos de prova de teoremas" e é considerado por muitos como o problema em aberto mais importante no campo. É um dos sete Problemas do Prêmio do Milênio selecionados pelo Clay Mathematics Institute para levar um prêmio de US$ 1.000.000 para a primeira solução correta.

Outras conjecturas

• Conjectura de Goldbach
• A conjectura primo gêmea
• A conjectura de Collatz
• A conjectura de Manin
• A conjectura de Maldacena
• A conjectura Euler, proposta por Euler no século XVIII, mas para o qual contra-exemplos para um número de expoentes (começando com n=4) foram encontrados começando em meados do século 20
• As conjecturas Hardy-Littlewood são um par de conjecturas relativas à distribuição de números primos, a primeira das quais se expande sobre a conjectura gêmea acima mencionada. Ninguém foi provado ou desprovido, mas ele ele tem foi provado que ambos não podem ser simultaneamente verdadeiros (ou seja, pelo menos um deve ser falso). Não foi provado qual é falso, mas é amplamente acreditado que a primeira conjectura é verdadeira e a segunda é falsa.
• O programa de Langlands é uma teia abrangente dessas ideias de "conjecturas unificantes" que ligam diferentes subcampos de matemática (por exemplo, entre teoria dos números e teoria da representação dos grupos de Lie). Algumas dessas conjecturas foram provadas desde então.

Resolução de conjecturas

Prova

A matemática formal é baseada na verdade provável. Em matemática, qualquer número de casos que suportem uma conjectura quantificada universalmente, não importa quão grande seja, é insuficiente para estabelecer a veracidade da conjectura, uma vez que um único contra-exemplo poderia derrubar imediatamente a conjectura. Os periódicos matemáticos às vezes publicam os resultados menores de equipes de pesquisa que estenderam a busca por um contra-exemplo mais longe do que antes. Por exemplo, a conjectura de Collatz, que diz respeito ao término ou não de certas sequências de inteiros, foi testada para todos os inteiros até 1,2 × 10¹² (mais de um trilhão). No entanto, a falha em encontrar um contra-exemplo após extensa pesquisa não constitui uma prova de que a conjectura é verdadeira - porque a conjectura pode ser falsa, mas com um contra-exemplo mínimo muito grande.

No entanto, os matemáticos muitas vezes consideram uma conjectura como fortemente apoiada por evidências, embora ainda não provadas. Essas evidências podem ser de vários tipos, como a verificação de suas consequências ou fortes interconexões com resultados conhecidos.

Uma conjectura é considerada provada apenas quando foi demonstrado que é logicamente impossível que ela seja falsa. Existem vários métodos para fazer isso; veja métodos de prova matemática para mais detalhes.

Um método de prova, aplicável quando há apenas um número finito de casos que podem levar a contra-exemplos, é conhecido como "força bruta": nesta abordagem, todos os casos possíveis são considerados e mostrados não dar contra-exemplos. Em algumas ocasiões, o número de casos é bastante grande, caso em que uma prova de força bruta pode exigir, na prática, o uso de um algoritmo de computador para verificar todos os casos. Por exemplo, a validade das provas de força bruta de 1976 e 1997 do teorema das quatro cores por computador foi inicialmente questionada, mas acabou sendo confirmada em 2005 por um software de prova de teorema.

Quando uma conjectura foi provada, ela não é mais uma conjectura, mas um teorema. Muitos teoremas importantes já foram conjecturas, como o teorema da Geometrização (que resolveu a conjectura de Poincaré), o Último Teorema de Fermat e outros.

Reprovação

As conjecturas refutadas através do contra-exemplo são algumas vezes referidas como falsas conjecturas (cf. a conjectura de Pólya e a conjectura da soma de poderes de Euler). No caso deste último, o primeiro contra-exemplo encontrado para o caso n=4 envolveu números na casa dos milhões, embora tenha sido descoberto posteriormente que o contra-exemplo mínimo é realmente menor.

Conjecturas independentes

Nem toda conjectura acaba sendo provada verdadeira ou falsa. A hipótese do contínuo, que tenta determinar a cardinalidade relativa de certos conjuntos infinitos, acabou se mostrando independente do conjunto geralmente aceito de axiomas de Zermelo-Fraenkel da teoria dos conjuntos. É possível, portanto, adotar essa afirmação, ou sua negação, como um novo axioma de maneira consistente (tanto quanto o postulado das paralelas de Euclides pode ser considerado verdadeiro ou falso em um sistema axiomático de geometria).

Nesse caso, se uma prova usar esta declaração, os pesquisadores geralmente procurarão uma nova prova que não requeira a hipótese (da mesma forma que é desejável que declarações em A geometria euclidiana pode ser provada usando apenas os axiomas da geometria neutra, ou seja, sem o postulado das paralelas). A única grande exceção a isso na prática é o axioma da escolha, já que a maioria dos pesquisadores geralmente não se preocupa se um resultado exige isso — a menos que estejam estudando esse axioma em particular.

Provas condicionais

Às vezes, uma conjectura é chamada de hipótese quando é usada frequentemente e repetidamente como uma suposição em provas de outros resultados. Por exemplo, a hipótese de Riemann é uma conjectura da teoria dos números que — entre outras coisas — faz previsões sobre a distribuição de números primos. Poucos teóricos dos números duvidam que a hipótese de Riemann seja verdadeira. De fato, em antecipação à sua prova final, alguns até desenvolveram outras provas que dependem da verdade dessa conjectura. São as chamadas provas condicionais: as conjecturas assumidas aparecem nas hipóteses do teorema, por enquanto.

Essas "provas", no entanto, cairiam por terra se descobrisse que a hipótese era falsa, por isso há um interesse considerável em verificar a veracidade ou falsidade de conjecturas desse tipo.

Em outras ciências

Karl Popper foi pioneiro no uso do termo "conjectura" na filosofia científica. A conjectura está relacionada à hipótese, que na ciência se refere a uma conjectura testável.