Comutador

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Em matemática, o comutador indica até que ponto uma certa operação binária falha em ser comutativa. Existem diferentes definições usadas na teoria dos grupos e na teoria dos anéis.

Teoria de grupos

O comutador de dois elementos, estilo g e h, de um grupo G, é o elemento

Não.g, hNão. g- Sim.h- Sim.Não..

Este elemento é igual à identidade do grupo se e somente se g e h comutar (da definição gh = hg [< i>g, h], sendo [g, h] igual à identidade se e somente se gh = hg).

O conjunto de todos os comutadores de um grupo não é geralmente fechado sob a operação de grupo, mas o subgrupo de G gerado por todos os comutadores é fechado e é chamado de grupo derivado ou o subgrupo do comutador de G. Os comutadores são usados para definir grupos nilpotentes e solúveis e o maior grupo de quociente abeliano.

A definição do comutador acima é usada ao longo deste artigo, mas muitos outros teóricos do grupo definem o comutador como

Não.g, hNão. G.- Sim.h- Sim..

Identidades (teoria de grupo)

Identidades de comutador são uma ferramenta importante na teoria de grupos. A expressão ax denota o conjugado de a por x, definido como x-1ax.

  1. e
  2. e
  3. e

Identidade (5) também é conhecida como identidade Hall-Witt, em homenagem a Philip Hall e Ernst Witt. É um análogo da teoria de grupo da identidade de Jacobi para o comutador da teoria do anel (veja a próxima seção).

N.B., a definição acima do conjugado de um por x é usado por alguns teóricos do grupo. Muitos outros teóricos do grupo definem a conjugação de um por x como xax- Sim.. Isto é frequentemente escrito . Ideias semelhantes mantêm para estas convenções.

Muitas identidades são usadas que são verdadeiros módulos de certos subgrupos. Estes podem ser particularmente úteis no estudo de grupos solúveis e grupos nilpotentes. Por exemplo, em qualquer grupo, as segundas potências se comportam bem:

Se o subgrupo derivado for central, então

Teoria dos anéis

Os anéis geralmente não suportam divisão. Assim, o comutador de dois elementos a e b de um anel (ou qualquer álgebra associativa) é definido diferentemente por

O comutador é zero se e somente se a e b comutam. Na álgebra linear, se dois endomorfismos de um espaço são representados por matrizes comutantes em termos de uma base, então eles são representados em termos de todas as bases. Usando o comutador como colchete de Lie, toda álgebra associativa pode ser transformada em uma álgebra de Lie.

O anticomutador de dois elementos a e b de um anel ou álgebra associativa é definido por

Às vezes é usado para denotar anticomutador, enquanto é então usado para comutador. O anticomutador é usado menos frequentemente, mas pode ser usado para definir álgebras de Clifford e álgebras de Jordan e na derivação da equação de Dirac na física de partículas.

O comutador de dois operadores atuando em um espaço de Hilbert é um conceito central na mecânica quântica, pois quantifica o quão bem os dois observáveis descritos por esses operadores podem ser medidos simultaneamente. O princípio da incerteza é, em última análise, um teorema sobre tais comutadores, em virtude da relação de Robertson-Schrödinger. No espaço de fase, comutadores equivalentes de produtos estrela de função são chamados de colchetes de Moyal e são completamente isomórficos às estruturas de comutador de espaço de Hilbert mencionadas.

Identidades (teoria dos anéis)

O comutador tem as seguintes propriedades:

Identidades de álgebra de mentira

A relação (3) é chamada de anticomutatividade, enquanto (4) é a identidade de Jacobi.

Identidades adicionais

Se A é um elemento fixo de um anel R, identidade (1) pode ser interpretado como uma regra de Leibniz para o mapa por . Em outras palavras, o anúncio do mapaA define uma derivação no anel R. Identidades (2), (3) representam regras de Leibniz para mais de dois fatores, e são válidos para qualquer derivação. Identidades (4)–(6) também podem ser interpretadas como regras de Leibniz. Identidades (7), (8) expressa Z.-bilinearidade.

Algumas das identidades acima podem ser estendidas para o anticomutador usando a notação ± subscrita acima. Por exemplo:

Identidades exponenciais

Considere um anel ou álgebra em que o exponencial pode ser definida de forma significativa, como uma álgebra de Banach ou um anel de série de poder formal.

Em tal anel, o lema de Hadamard aplicado a comutadores aninhados dá: (Para a última expressão, ver Derivação conjunta abaixo.) Esta fórmula baseia-se na expansão Baker-Campbell-Hausdorff de log(exp(A) exp(B)).

Uma expansão semelhante expressa o grupo comutador de expressões (análogo a elementos de um grupo de Lie) em termos de uma série de comutadores aninhados (calças de lie),

Anéis graduados e álgebras

Ao lidar com álgebras graduadas, o comutador geralmente é substituído pelo comutador graduado, definido em componentes homogêneos como

Derivação adjunta

Especialmente se alguém lida com vários comutadores em um anel R, outra notação resulta ser útil. Para um elemento , definemos o mapeamento conjunto por:

Este mapeamento é uma derivação no anel r :

Pela identidade de Jacobi, também é uma derivação sobre a operação de comutação:

Composição de tais mapeamentos, nós obtemos por exemplo e

R

Por contraste, é não sempre um homomorfismo do anel: geralmente .

Regra geral de Leibniz

A regra geral de Leibniz, expandindo derivadas repetidas de um produto, pode ser escrita abstratamente usando a representação adjunta:

Substituição x pelo operador de diferenciação e Sim. pelo operador de multiplicação , nós temos , e aplicando ambos os lados a uma função g, a identidade torna-se a regra habitual de Leibniz para o n-o derivado .

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