Compactação (matemática)

Em matemática, em topologia geral, compactificação é o processo ou resultado de transformar um espaço topológico em um espaço compacto. Um espaço compacto é um espaço no qual cada cobertura aberta do espaço contém uma subcobertura finita. Os métodos de compactação são vários, mas cada um é uma forma de controlar pontos de "ir para o infinito" adicionando de alguma forma "pontos no infinito" ou impedindo tal "fuga".

Um exemplo

Considere a linha real com sua topologia comum. Este espaço não é compacto; em certo sentido, os pontos podem ir ao infinito para a esquerda ou para a direita. É possível transformar a linha real em um espaço compacto adicionando um único "ponto no infinito" que denotaremos por ∞. A compactificação resultante pode ser pensada como um círculo (que é compacto como um subconjunto fechado e limitado do plano euclidiano). Cada sequência que corre para o infinito na linha real irá então convergir para ∞ nesta compactificação.

Intuitivamente, o processo pode ser representado da seguinte forma: primeiro diminua a linha real para o intervalo aberto (−π,π) no eixo x; em seguida, dobre as extremidades desse intervalo para cima (na direção y positiva) e mova-as uma na direção da outra, até obter um círculo com um ponto (o mais alto) faltando. Este ponto é o nosso novo ponto ∞ "no infinito"; adicioná-lo completa o círculo compacto.

Um pouco mais formalmente: representamos um ponto no círculo unitário por seu ângulo, em radianos, indo de −π para π para simplificar. Identifique cada um desses pontos θ no círculo com o ponto correspondente na reta real tan(θ/2). Esta função é indefinida no ponto π, pois tan(π/2) é indefinido; vamos identificar este ponto com o nosso ponto ∞.

Como tangentes e tangentes inversas são contínuas, nossa função de identificação é um homeomorfismo entre a reta real e o círculo unitário sem ∞. O que construímos é chamado de compactação de um ponto de Alexandroff da reta real, discutido de forma mais geral abaixo. Também é possível compactar a reta real adicionando dois pontos, +∞ e −∞; isso resulta na linha real estendida.

Definição

Uma incorporação de um espaço topológico X como um subconjunto denso de um espaço compacto é chamada de compactificação de X. Muitas vezes é útil incorporar espaços topológicos em espaços compactos, por causa das propriedades especiais que os espaços compactos possuem.

Incorporações em espaços Hausdorff compactos podem ser de particular interesse. Como todo espaço compacto de Hausdorff é um espaço de Tychonoff, e todo subespaço de um espaço de Tychonoff é Tychonoff, concluímos que qualquer espaço que possua uma compactificação de Hausdorff deve ser um espaço de Tychonoff. Na verdade, o inverso também é verdadeiro; ser um espaço de Tychonoff é necessário e suficiente para possuir uma compactação de Hausdorff.

O fato de classes grandes e interessantes de espaços não compactos terem de fato compactações de tipos particulares torna a compactação uma técnica comum em topologia.

Compactificação de um ponto de Alexanderff

Para qualquer espaço topológico não compacto X a (Alexandroff) compactação de um ponto αX de X é obtido adicionando um ponto extra ∞ (geralmente chamado de ponto no infinito) e definindo os conjuntos abertos do novo espaço como os conjuntos abertos de X junto com os conjuntos da forma G ∪ {∞}, onde G é um subconjunto aberto de X tal que X G é fechado e compacto. A compactificação de um ponto de X é Hausdorff se e somente se X é Hausdorff, não compacto e localmente compacto.

Compactificação Stone–Čech

De particular interesse são as compactações de Hausdorff, ou seja, compactações nas quais o espaço compacto é Hausdorff. Um espaço topológico tem compactificação de Hausdorff se e somente se for Tychonoff. Neste caso, existe um único (até o homeomorfismo) "mais geral" Compactificação de Hausdorff, a compactação de Stone–Čech de X, denotada por βX; formalmente, isso exibe a categoria de espaços compactos de Hausdorff e mapas contínuos como uma subcategoria reflexiva da categoria de espaços Tychonoff e mapas contínuos.

"Mais geral" ou formalmente "reflexivo" significa que o espaço βX é caracterizado pela propriedade universal de que qualquer função contínua de X a um espaço compacto de Hausdorff K pode ser estendida a um contínuo funcionam de βX a K de forma única. Mais explicitamente, βX é um espaço Hausdorff compacto contendo X tal que a topologia induzida em X por βX é a igual à topologia dada em X, e para qualquer mapa contínuo f:X → K, onde K é um espaço de Hausdorff compacto, existe um único mapa contínuo g:βX → K para o qual g restrito a X é identicamente f.

A compactação de Stone–Čech pode ser construída explicitamente da seguinte forma: seja C o conjunto de funções contínuas de X ao intervalo fechado [0,1]. Então cada ponto em X pode ser identificado com uma função de avaliação em C. Assim, X pode ser identificado com um subconjunto de [0,1]^C, o espaço de todas as funções de C para [0,1]. Como o último é compacto pelo teorema de Tychonoff, o fechamento de X como um subconjunto desse espaço também será compacto. Esta é a compactação Stone-Čech.

Compactificação do espaço-tempo

Walter Benz e Isaak Yaglom mostraram como a projeção estereográfica em um hiperbolóide de folha única pode ser usada para fornecer uma compactação para números complexos divididos. De fato, o hiperboloide faz parte de uma quádrica em um quadri-espaço projetivo real. O método é semelhante ao usado para fornecer uma variedade de base para ação de grupo do grupo conforme do espaço-tempo.

Espaço projetivo

Espaço projetivo real RPⁿ é uma compactificação do espaço euclidiano Rⁿ . Para cada "direção" em que pontos em Rⁿ podem "escapar", um novo ponto no infinito é adicionado (mas cada direção é identificada com o seu oposto). A compactificação Alexandroff de um ponto de R que construímos no exemplo acima é de fato homeomorfo a RP¹. Observe, entretanto, que o plano projetivo RP² não é a compactação de um ponto do plano R ² desde que mais de um ponto seja adicionado.

Espaço projetivo complexo CPⁿ também é uma compactação de Cⁿ; a compactificação de um ponto de Alexandroff do plano C é (homeomórfica a) a linha projetiva complexa CP¹, que por sua vez pode ser identificada com uma esfera, a esfera de Riemann.

Passar para o espaço projetivo é uma ferramenta comum na geometria algébrica porque os pontos adicionados no infinito levam a formulações mais simples de muitos teoremas. Por exemplo, quaisquer duas linhas diferentes em RP² se cruzam precisamente em um ponto, uma afirmação que não é verdadeira em R². De forma mais geral, o teorema de Bézout, que é fundamental na teoria da interseção, é válido no espaço projetivo, mas não no espaço afim. Esse comportamento distinto das interseções no espaço afim e no espaço projetivo é refletido na topologia algébrica nos anéis de cohomologia – a cohomologia do espaço afim é trivial, enquanto a cohomologia do espaço projetivo é não trivial e reflete as principais características da teoria da interseção (dimensão e grau de uma subvariedade, com interseção sendo Poincaré dual ao produto de copa).

A compactação de espaços de módulos geralmente requer permitir certas degenerescências – por exemplo, permitir certas singularidades ou variedades redutíveis. Isso é especialmente usado na compactação Deligne-Mumford do espaço de módulos de curvas algébricas.

Compactificação e subgrupos discretos de grupos de Lie

No estudo de subgrupos discretos de grupos de Lie, o espaço quociente de coconjuntos é frequentemente um candidato para compactificação mais sutil para preservar a estrutura em um nível mais rico do que apenas topológico.

Por exemplo, curvas modulares são compactadas pela adição de pontos únicos para cada cúspide, tornando-as superfícies de Riemann (e, portanto, por serem curvas algébricas compactas). Aqui as cúspides estão lá por um bom motivo: as curvas parametrizam um espaço de treliças, e essas treliças podem degenerar ('ir para o infinito'), muitas vezes de várias maneiras (levando em conta alguma estrutura auxiliar de nível). As cúspides representam essas diferentes "direções para o infinito".

Isso é tudo para redes no plano. No espaço euclidiano ndimensional, as mesmas questões podem ser colocadas, por exemplo, sobre SO(n)SL_n(R)/SL_n(Z). Isso é mais difícil de compactar. Há uma variedade de compactações, como a compactação de Borel-Serre, a compactação redutora de Borel-Serre e as compactações de Satake, que podem ser formadas.

Outras teorias de compactificação

• As teorias de pontas de um espaço e pontas primos.
• Algumas teorias "fronteiras" como a colagem de uma variedade aberta, fronteira Martin, fronteira de Shilov e fronteira de Furstenberg.
• A compactação de Bohr de um grupo topológico surge da consideração de funções quase periódicas.
• A linha projetiva sobre um anel para um anel topológico pode compactificá-lo.
• A compactação de Baily-Borel de um quociente de um espaço simétrico hermitiano.
• A maravilhosa compactação de um quociente de grupos algébricas.
• As compactações que são simultaneamente subconjuntos convexos em um espaço localmente convexo são chamadas de compactações convexas, sua estrutura linear adicional permitindo, por exemplo, desenvolver um cálculo diferencial e considerações mais avançadas, por exemplo, em relaxamento em cálculos ou teoria da otimização variacional.