Classificação de grupos finitos simples

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Teorema maciço atribuindo todos menos 27 grupos simples finitos a algumas famílias infinitas

Na matemática, a classificação dos grupos simples finitos é o resultado da teoria dos grupos, afirmando que todo grupo simples finito é cíclico ou alternado, ou pertence a uma ampla classe infinita chamada grupos do tipo Lie, ou então é uma das vinte e seis ou vinte e sete exceções, chamadas esporádicas. A prova consiste em dezenas de milhares de páginas em várias centenas de artigos de periódicos escritos por cerca de 100 autores, publicados principalmente entre 1955 e 2004.

Grupos simples podem ser vistos como os blocos de construção básicos de todos os grupos finitos, lembrando a forma como os números primos são os blocos de construção básicos dos números naturais. O teorema de Jordan-Hölder é uma maneira mais precisa de afirmar esse fato sobre grupos finitos. No entanto, uma diferença significativa da fatoração inteira é que esses "blocos de construção" não necessariamente determinam um único grupo, pois pode haver muitos grupos não isomórficos com a mesma série de composição ou, dito de outra forma, o problema de extensão não tem solução única.

Gorenstein (falecido em 1992), Lyons e Solomon estão gradualmente publicando uma versão simplificada e revisada da prova.

Declaração do teorema de classificação

Teorem—Cada grupo simples finito é isomórfico para um dos seguintes grupos:

um membro de uma das três classes infinitas de tais, nomeadamente:
- os grupos cíclicos da primeira ordem,
- os grupos alternados de grau pelo menos 5,
- os grupos de Tipo de Mentira
um dos 26 grupos chamados "grupos esporádicos"
o grupo Tits (que às vezes é considerado um 27o grupo esporádico).

A classificação dos grupos simples finitos

O teorema da classificação tem aplicações em muitos ramos da matemática, pois questões sobre a estrutura de grupos finitos (e sua ação em outros objetos matemáticos) às vezes podem ser reduzidas a questões sobre grupos finitos simples. Graças ao teorema da classificação, essas questões podem às vezes ser respondidas verificando cada família de grupos simples e cada grupo esporádico.

Daniel Gorenstein anunciou em 1983 que todos os grupos simples finitos haviam sido classificados, mas isso foi prematuro, pois ele havia sido mal informado sobre a prova da classificação de grupos quasithin. A prova completa da classificação foi anunciada por Aschbacher (2004) depois que Aschbacher e Smith publicaram uma prova de 1221 páginas para o caso quasithin ausente.

Visão geral da prova do teorema da classificação

Gorenstein (1982, 1983) escreveu dois volumes descrevendo a classificação baixa e a parte característica ímpar da prova, e Michael Aschbacher, Richard Lyons e Stephen D. Smith et al. (2011) escreveu um 3º volume cobrindo o restante do caso 2 característico. A prova pode ser dividida em várias partes principais, como segue:

Grupos de pequenos 2 postos

Os grupos simples de rank 2 baixo são em sua maioria grupos do tipo Lie de rank pequeno sobre campos de característica ímpar, juntamente com cinco grupos alternados e sete do tipo 2 característico e nove grupos esporádicos.

Os grupos simples de pequenos 2 ranks incluem:

Grupos de 2-rank 0, em outras palavras grupos de ordem estranha, que são todos solváveis pelo teorema Feit-Thompson.
Grupos de 2 partidas 1. Os 2 subgrupos Sylow são cíclicos, que é fácil de lidar com o mapa de transferência, ou quaternion generalizado, que são tratados com o teorema Brauer-Suzuki: em particular não há grupos simples de 2-rank 1 exceto para o grupo cíclico da ordem dois.
Grupos de 2 partidas 2. Alperin mostrou que o subgrupo Sylow deve ser dihedral, quasidihedral, wreathed ou um Sylow 2-subgrupo de U₃(4). O primeiro caso foi feito pelo teorema de Gorenstein-Walter, que mostrou que os únicos grupos simples são isomorfos L₂(q) para q Odd ou A₇, os segundo e terceiro casos foram feitos pelo teorema de Alperin–Brauer–Gorenstein, o que implica que os únicos grupos simples são isomorfos para L₃(q) ou U₃(q) para q Odd ou M₁₁, e o último caso foi feito por Lyons que mostrou que U₃(4) é a única possibilidade simples.
Grupos de 2 partidas seccionais no máximo 4, classificados pelo teorema Gorenstein-Harada.

A classificação de grupos de classificação 2 pequena, especialmente classificações no máximo 2, faz uso intenso da teoria de caráter modular e comum, que quase nunca é usada diretamente em outras partes da classificação.

Todos os grupos que não sejam de nível 2 pequeno podem ser divididos em duas classes principais: grupos de tipo de componente e grupos de tipo de característica 2. Isso ocorre porque, se um grupo tiver seções de 2 fileiras pelo menos 5, MacWilliams mostrou que seus subgrupos de Sylow 2 estão conectados, e o teorema do equilíbrio implica que qualquer grupo simples com subgrupos de Sylow 2 conectados é do tipo de componente ou do tipo de característica 2. (Para grupos de posto 2 baixo, a prova disso falha, porque teoremas como o teorema do functor sinalizador funcionam apenas para grupos com subgrupos abelianos elementares de posto pelo menos 3.)

Grupos de tipo de componente

Um grupo é dito ser do tipo componente se para algum centralizador C de uma involução, C/O(C ) tem um componente (onde O(C) é o núcleo de C, o subgrupo normal máximo de ordem ímpar). Estes são mais ou menos os grupos de tipo Lie de característica ímpar de grande escalão, e grupos alternados, juntamente com alguns grupos esporádicos. Um passo importante neste caso é eliminar a obstrução do núcleo de uma involução. Isso é realizado pelo teorema B, que afirma que todo componente de C/O(C) é a imagem de um componente de C.

A ideia é que esses grupos tenham um centralizador de uma involução com um componente que é um grupo quasisimples menor, que pode ser assumido como já conhecido por indução. Assim, para classificar esses grupos, toma-se cada extensão central de cada grupo simples finito conhecido e encontra-se todos os grupos simples com um centralizador de involução com este como um componente. Isso fornece um número bastante grande de casos diferentes para verificar: não há apenas 26 grupos esporádicos e 16 famílias de grupos do tipo Lie e grupos alternados, mas também muitos dos grupos de classificação pequena ou sobre campos pequenos se comportam de maneira diferente do geral caso e devem ser tratados separadamente, e os grupos do tipo Lie de característica par e ímpar também são bem diferentes.

Grupos do tipo de característica 2

Um grupo é do tipo de característica 2 se o subgrupo de ajuste generalizado F*(Y) de cada subgrupo 2-local Y é um 2-grupo. Como o nome sugere, esses são aproximadamente os grupos do tipo Lie sobre campos de característica 2, além de um punhado de outros que são alternados ou esporádicos ou de característica ímpar. Sua classificação é dividida em casos de rank pequeno e grande, onde o rank é o maior rank de um subgrupo abeliano ímpar normalizando um subgrupo 2 não trivial, que frequentemente (mas nem sempre) é o mesmo que o rank de uma subálgebra de Cartan quando o grupo é um grupo do tipo Lie na característica 2.

Os grupos de posto 1 são os grupos finos, classificados por Aschbacher, e os de posto 2 são os notórios grupos quasithin, classificados por Aschbacher e Smith. Estes correspondem aproximadamente a grupos do tipo Lie de postos 1 ou 2 sobre campos de característica 2.

Grupos de rank pelo menos 3 são subdivididos em 3 classes pelo teorema da tricotomia, provado por Aschbacher para rank 3 e por Gorenstein e Lyons para rank pelo menos 4. As três classes são grupos do tipo GF(2) (classificados principalmente por Timmesfeld), grupos do tipo "tipo padrão" para algum primo ímpar (classificado pelo teorema de Gilman-Griess e trabalho por vários outros), e grupos do tipo unicidade, onde um resultado de Aschbacher implica que não há grupos simples. O caso geral de classificação superior consiste principalmente em grupos do tipo Lie sobre campos de característica 2 de classificação pelo menos 3 ou 4.

Existência e singularidade dos grupos simples

A parte principal da classificação produz uma caracterização de cada grupo simples. É então necessário verificar se existe um grupo simples para cada caracterização e que é único. Isso dá um grande número de problemas separados; por exemplo, as provas originais da existência e singularidade do grupo de monstros totalizaram cerca de 200 páginas, e a identificação dos grupos Ree por Thompson e Bombieri foi uma das partes mais difíceis da classificação. Muitas das provas de existência e algumas das provas de unicidade para os grupos esporádicos originalmente usavam cálculos de computador, muitos dos quais foram substituídos por provas manuais mais curtas.

História da prova

Programa de Gorenstein

Em 1972, Gorenstein (1979, Apêndice) anunciou um programa para completar a classificação de grupos simples finitos, consistindo nas 16 etapas a seguir:

Grupos de baixa 2 partidas. Isso foi essencialmente feito por Gorenstein e Harada, que classificaram os grupos com 2 partidas seccionais no máximo 4. A maioria dos casos de 2-rank no máximo 2 foi feito pelo tempo Gorenstein anunciou seu programa.
A semisimplicidade de 2 camadas. O problema é provar que a 2-camada do centralizador de uma involução em um grupo simples é semisimple.
Forma padrão em característica estranha. Se um grupo tem uma involução com um 2-componente que é um grupo de Lie tipo de característica ímpar, o objetivo é mostrar que tem um centralizador de involução em "forma padrão" significa que um centralizador de involução tem um componente que é de Lie tipo em característica ímpar e também tem um centralizador de 2-rank 1.
Classificação de grupos de tipo estranho. O problema é mostrar que se um grupo tem um centralizador de involução em "forma padrão" então é um grupo de Lie tipo de característica estranha. Isso foi resolvido pelo teorema de involução clássica de Aschbacher.
Formulário padrão Quasi
InvoluçÃμes centrais
Classificação de grupos alternados.
Alguns grupos esporádicos
Grupos finos. Os grupos finitos finos simples, aqueles com 2-local p-rank no máximo 1 para primos estranhos p, foram classificados por Aschbacher em 1978
Grupos com um subgrupo fortemente p-embedded para p O quê?
O método do funtor do sinalizador para primos estranhos. O principal problema é provar um teorema do funtor do sinalizador para funtores de sinalizador não solváveis. Isso foi resolvido por McBride em 1982.
Grupos de características p Tipo. Este é o problema dos grupos com um forte p-subgrupo 2-local com p estranho, que foi tratado por Aschbacher.
Grupos Quasithin. Um grupo quasithin é um cujos subgrupos 2-local têm p-rank no máximo 2 para todos os primos ímpares p, e o problema é classificar os simples de característica 2 tipo. Isso foi concluído por Aschbacher e Smith em 2004.
Grupos de baixa 2-local 3-rank. Isso foi essencialmente resolvido pelo teorema da trichotomia de Aschbacher para grupos com e(G)=3. A principal mudança é que 2-local 3rank é substituído por 2-local p- para os primos estranhos.
Centralizadores de 3 elementos em forma padrão. Isto foi essencialmente feito pelo teorema da Trichotomia.
Classificação de grupos simples de característica 2 tipo. Isso foi tratado pelo teorema de Gilman–Griess, com 3 elementos substituídos por p-elementos para primos estranhos.

Cronograma da prova

Muitos dos itens da lista abaixo foram retirados de Solomon (2001). A data fornecida geralmente é a data de publicação da prova completa de um resultado, que às vezes é vários anos depois da prova ou do primeiro anúncio do resultado; portanto, alguns dos itens aparecem na seção "errada" ordem.

Data de publicação
1832	Galois introduz subgrupos normais e encontra os grupos simples A_n (n ≥ 5) e PSL2 (Fp) (p ≥ 5)
1854	Cayley define grupos abstratos
1861	Mathieu descreve os dois primeiros grupos Mathieu M₁₁, M₁₂, os primeiros grupos simples esporádicos, e anuncia a existência de M_24..
1870	Jordan lista alguns grupos simples: os lineares especiais alternados e projetivos, e enfatiza a importância dos grupos simples.
1872	Sylow prova os teoremas de Sylow
1873	Mathieu apresenta mais três Grupos de Mathieu M₂₂, M₂₃, M_24..
1892	Hölder prova que a ordem de qualquer grupo simples finito não-abelian deve ser um produto de pelo menos quatro primos (não necessariamente distintos) e pede uma classificação de grupos simples finitos.
1893	Cole classifica grupos simples de ordem até 660
1896	Frobenius e Burnside começam o estudo da teoria dos caracteres de grupos finitos.
1899	Burnside classifica os grupos simples de que o centralizador de cada involução é um abeliano não trivial elementar 2-grupo.
1901	Frobenius prova que um grupo Frobenius tem um kernel Frobenius, então em particular não é simples.
1901	Dickson define grupos clássicos sobre campos finitos arbitrários e grupos excepcionais de tipo G₂ sobre campos de característica estranha.
1901	Dickson apresenta os grupos simples finitos excepcionais de tipo E₆.
1904	Burnside usa a teoria do personagem para provar o teorema de Burnside que a ordem de qualquer grupo simples finito não-abelian deve ser divisível por pelo menos 3 primos distintos.
1905	Dickson apresenta grupos simples de tipo G₂ sobre campos de até característica
1911	Conjecturas de Burnside que cada grupo simples finito não-abelian tem mesmo ordem
1928	Hall prova a existência de subgrupos Hall de grupos solvíveis
1933	Hall começa seu estudo de p-grupos
1935	Brauer começa o estudo de caracteres modulares.
1936	Zassenhaus classifica grupos de permutação finitos nitidamente 3transitivos
1938	Fitting apresenta o subgrupo Fitting e prova o teorema de Fitting que para grupos solváveis o subgrupo Fitting contém seu centralizador.
1942	Brauer descreve os caracteres modulares de um grupo divisível por um primo para o primeiro poder.
1954	Brauer classifica grupos simples com GL₂(F_q) como centralizador de uma involução.
1955	O teorema Brauer-Fowler implica que o número de grupos simples finitos com dado centralizador de involução é finito, sugerindo um ataque à classificação usando centralizadores de involuções.
1955	Chevalley apresenta os grupos de Chevalley, introduzindo, em particular, grupos simples excepcionais de tipos F₄, E₇e E₈.
1956	O teorema Hall-Higman descreve as possibilidades para o polinômio mínimo de um elemento de ordem de poder primo para uma representação de um grupo p-solvável.
1957	Suzuki mostra que todos os grupos de CA simples finitos de ordem ímpar são cíclicos.
1958	O teorema Brauer–Suzuki–Wall caracteriza os grupos lineares especiais projectivos da classificação 1 e classifica os grupos simples de CA.
1959	Steinberg apresenta os grupos Steinberg, dando alguns novos grupos simples finitos, de tipos ³D₄ e ²E₆ (os últimos foram encontrados independentemente ao mesmo tempo por Tits).
1959	O teorema de Brauer-Suzuki sobre grupos com quaternion generalizado Sylow 2-subgrupos mostra em particular que nenhum deles é simples.
1960	Thompson prova que um grupo com um automorfismo sem ponto fixo da ordem principal é nilpotente.
1960	Feit, Marshall Hall e Thompson mostram que todos os grupos finitos simples de CN de ordem ímpar são cíclicos.
1960	Suzuki apresenta os grupos Suzuki, com tipos ²B₂.
1961	Ree apresenta os grupos Ree, com tipos ²F₄ e ²G₂.
1963	O Feit e o Thompson provam o teorema da ordem.
1964	Tits apresenta pares BN para grupos de tipo Lie e encontra o grupo Tits
1965	O teorema de Gorenstein-Walter classifica grupos com um subgrupo de Sylow 2 dihedral.
1966	Glauberman prova o teorema Z*
1966	Janko apresenta o grupo Janko J1, o primeiro novo grupo esporádico por cerca de um século.
1968	Glauberman prova o teorema de ZJ
1968	Higman e Sims apresentam o grupo Higman–Sims
1968	Conway apresenta os grupos Conway
1969	O teorema de Walter classifica grupos com abeliano Sylow 2-subgrupos
1969	Introdução do grupo esporádico Suzuki, o grupo Janko J2, o grupo Janko J3, o grupo McLaughlin e o grupo Held.
1969	Gorenstein apresenta funtores de sinalizador com base nas ideias de Thompson.
1970	MacWilliams mostra que os 2-grupos sem subgrupo abeliano normal do rank 3 têm 2-rank seccional no máximo 4. (Os grupos simples com subgrupos Sylow satisfazendo a última condição foram posteriormente classificados por Gorenstein e Harada.)
1970	Bender introduziu o subgrupo de ajuste generalizado
1970	O teorema de Alperin–Brauer–Gorenstein classifica grupos com subgrupos Sylow quase-dihedral ou wreathed, completando a classificação dos grupos simples de 2-rank no máximo 2
1971	Fischer apresenta os três grupos Fischer
1971	Thompson classifica pares quadráticos
1971	Bender classifica grupo com um subgrupo fortemente incorporado
1972	Gorenstein propõe um programa de 16 passos para classificar grupos simples finitos; a classificação final segue seu esboço bastante de perto.
1972	Lyons apresenta o grupo Lyons
1973	Rudvalis apresenta o grupo Rudvalis
1973	Fischer descobre o grupo de monstros do bebê (não publicado), que Fischer e Griess usam para descobrir o grupo de monstros, que por sua vez leva Thompson ao grupo esporádico Thompson e Norton ao grupo Harada-Norton (também encontrado de uma forma diferente por Harada).
1974	Classificar Thompson N-grupos, grupos todos cujos subgrupos locais são solváveis.
1974	O teorema de Gorenstein-Harada classifica os grupos simples de 2-rank seccional no máximo 4, dividindo os grupos simples finitos remanescentes em aqueles do tipo de componente e aqueles do tipo 2 característico.
1974	Tits mostra que grupos com pares BN de classificação pelo menos 3 são grupos de tipo Lie
1974	Aschbacher classifica os grupos com um núcleo de 2 geração adequada
1975	Gorenstein e Walter provam o teorema de L-balance
1976	Glauberman prova o teorema do funtor do sinalizador solvável
1976	Aschbacher prova o teorema componente, mostrando aproximadamente que grupos de tipo estranho satisfazendo algumas condições têm um componente na forma padrão. Os grupos com um componente da forma padrão foram classificados em uma grande coleção de artigos por muitos autores.
1976	O'Nan apresenta o grupo O'Nan
1976	Janko apresenta o grupo Janko J4, o último grupo esporádico a ser descoberto
1977	Aschbacher caracteriza os grupos de Lie tipo de característica estranha em seu teorema de involução clássica. Após este teorema, que em algum sentido lida com "mais" dos grupos simples, foi geralmente sentida que o fim da classificação estava à vista.
1978	Timmesfeld prova o O₂ teorema extraespecial, quebrando a classificação de grupos do tipo GF(2) em vários problemas menores.
1978	Aschbacher classifica os grupos finitos finos, que são principalmente classificar 1 grupos de tipo Lie sobre campos de até característica.
1981	Bombieri usa a teoria da eliminação para completar o trabalho de Thompson sobre a caracterização dos grupos Ree, um dos passos mais difíceis da classificação.
1982	McBride prova o teorema do funtor do sinalizador para todos os grupos finitos.
1982	Griess constrói o grupo monstro à mão
1983	O teorema de Gilman–Griess classifica grupos de características 2 tipo e ranqueia pelo menos 4 com componentes padrão, um dos três casos do teorema da trichotomia.
1983	Aschbacher prova que nenhum grupo finito satisfaz a hipótese do caso de singularidade, um dos três casos dados pelo teorema da trichotomia para grupos de tipo 2 característicos.
1983	Gorenstein e Lyons provam o teorema da trichotomia para grupos de tipo 2 característicos e classificam pelo menos 4, enquanto Aschbacher faz o caso da classificação 3. Isso divide esses grupos em 3 subcasos: o caso de singularidade, grupos do tipo GF(2) e grupos com um componente padrão.
1983	Gorenstein anuncia que a prova da classificação é completa, um tanto prematuramente como a prova do caso quasithin foi incompleta.
1994	Gorenstein, Lyons e Solomon começam a publicação da classificação revisada
2004	Aschbacher e Smith publicam seu trabalho em grupos quasithin (que são principalmente grupos de Lie tipo de classificação no máximo 2 sobre campos de até mesmo característica), preenchendo a última lacuna na classificação conhecida naquela época.
2008	Harada e Salomão preenchem uma pequena lacuna na classificação descrevendo grupos com um componente padrão que é uma cobertura do grupo Mathieu M22, um caso que foi acidentalmente omitido da prova da classificação devido a um erro no cálculo do multiplicador Schur de M22.
2012	Gonthier e colaboradores anunciam uma versão verificada por computador do teorema Feit–Thompson usando o assistente de prova Coq.

Classificação de segunda geração

A prova do teorema, como estava por volta de 1985, pode ser chamada de primeira geração. Devido ao tamanho extremo da prova de primeira geração, muito esforço tem sido dedicado a encontrar uma prova mais simples, chamada de prova de classificação de segunda geração. Este esforço, chamado de "revisionismo", foi originalmente liderado por Daniel Gorenstein.

A partir de 2021, nove volumes da prova de segunda geração foram publicados (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b, 2021). Em 2012, Solomon estimou que o projeto precisaria de mais 5 volumes, mas disse que o andamento deles era lento. Estima-se que a nova prova ocupe aproximadamente 5.000 páginas. (Esse comprimento decorre em parte da prova de segunda geração sendo escrita em um estilo mais relaxado.) No entanto, com a publicação do volume 9 da série GLS e incluindo a contribuição de Aschbacher-Smith, essa estimativa já foi alcançada, com vários outros volumes ainda em preparação (o restante do que foi originalmente planejado para o volume 9, mais os volumes 10 e 11 projetados). Aschbacher e Smith escreveram seus dois volumes dedicados ao caso quasithin de tal forma que esses volumes podem fazer parte da prova de segunda geração.

Gorenstein e seus colaboradores deram várias razões pelas quais uma prova mais simples é possível.

O mais importante é que a declaração final correta do teorema é agora conhecida. Técnicas mais simples podem ser aplicadas que são conhecidas por serem adequadas para os tipos de grupos que sabemos ser simples. Em contraste, aqueles que trabalharam na prova de primeira geração não sabiam quantos grupos esporádicos havia, e na verdade alguns dos grupos esporádicos (por exemplo, os grupos de Janko) foram descobertos ao provar outros casos do teorema de classificação. Como resultado, muitas das peças do teorema foram provadas usando técnicas que eram excessivamente gerais.
Como a conclusão foi desconhecida, a prova de primeira geração consiste em muitos teoremas autônomos, lidando com casos especiais importantes. Grande parte do trabalho de provar estes teoremas foi dedicado à análise de vários casos especiais. Dada uma prova maior, orquestrada, lidar com muitos desses casos especiais pode ser adiada até que os pressupostos mais poderosos possam ser aplicados. O preço pago sob esta estratégia revisada é que esses teoremas de primeira geração já não têm provas comparativamente curtas, mas em vez disso dependem da classificação completa.
Muitos teoremas de primeira geração se sobrepõem, e assim dividem os casos possíveis de maneiras ineficientes. Como resultado, famílias e subfamílias de grupos simples finitos foram identificadas várias vezes. A prova revisada elimina essas redundâncias, contando com uma subdivisão diferente dos casos.
Os teóricos do grupo finito têm mais experiência neste tipo de exercício, e têm novas técnicas à sua disposição.

Aschbacher (2004) chamou o trabalho sobre o problema de classificação de Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth e alguns outros de programa de terceira geração. Um dos objetivos disso é tratar todos os grupos na característica 2 uniformemente usando o método do amálgama.

Tamanho da prova

Gorenstein discutiu algumas das razões pelas quais pode não haver uma prova curta da classificação semelhante à classificação de grupos de Lie compactos.

A razão mais óbvia é que a lista de grupos simples é bastante complicada: com 26 grupos esporádicos é provável que haja muitos casos especiais que têm de ser considerados em qualquer prova. Até agora ninguém ainda encontrou uma descrição uniforme limpa dos grupos simples finitos semelhantes à parametrização dos grupos de Lie compactos por diagramas de Dynkin.
Atiyah e outros sugeriram que a classificação deveria ser simplificada através da construção de algum objeto geométrico que os grupos atuam e, em seguida, classificando essas estruturas geométricas. O problema é que ninguém tem sido capaz de sugerir uma maneira fácil de encontrar tal estrutura geométrica associada a um grupo simples. Em algum sentido, a classificação funciona encontrando estruturas geométricas como BN-pairs, mas isso só vem no final de uma análise muito longa e difícil da estrutura de um grupo simples finito.
Outra sugestão para simplificar a prova é fazer maior uso da teoria da representação. O problema aqui é que a teoria da representação parece exigir controle muito apertado sobre os subgrupos de um grupo, a fim de trabalhar bem. Para grupos de pequena posição, um tem tal controle e teoria da representação funciona muito bem, mas para grupos de maior nível ninguém conseguiu usá-lo para simplificar a classificação. Nos primeiros dias da classificação, houve um esforço considerável feito para usar a teoria da representação, mas isso nunca alcançou muito sucesso no caso de maior classificação.

Consequências da classificação

Esta seção lista alguns resultados que foram provados usando a classificação de grupos simples finitos.

A conjectura Schreier
O teorema do funtor do sinalizador
A conjectura B
O teorema de Schur–Zassenhaus para todos os grupos (embora isso só use o teorema de Feit–Thompson).
Um grupo transitivo de permutação em um conjunto finito com mais de 1 elemento tem um elemento livre de ponto fixo da ordem de poder principal.
A classificação de grupos de permutação 2-transitivos.
A classificação dos grupos de permutação de classificação 3.
A conjectura de Sims
Conjectura de Frobenius sobre o número de soluções xⁿ = 1.

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