Centro (teoria de grupo)

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Tabela de Cayley para D4 mostrando elementos do centro, {e, um2}, comutar com todos os outros elementos (isso pode ser visto notando que todas as ocorrências de um determinado elemento central são dispostas simetricamente sobre o centro diagonal ou notando que a linha e coluna começando com um determinado elemento central são transposes uns dos outros).
∘eb)umum2um3Aum2b)um3b)
e eb)umum2um3Aum2b)um3b)
b) b)eum3b)um2b)Aum3um2um
um umAum2um3eum2b)um3b)b)
um2um2um2b)um3eumum3b)b)A
um3um3um3b)eumum2b)Aum2b)
A Aumb)um3b)um2b)eum3um2
um2b) um2b)um2Ab)um3b)umeum3
um3b) um3b)um3um2b)Ab)um2ume

Na álgebra abstrata, o centro de um grupo, G, é o conjunto de elementos que comutam com cada elemento de G. É denotado Z(G), do alemão Zentrum, que significa centro. Na notação do construtor de conjuntos,

Z(G) = {zangão. ∈ G | ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀g ∈ G, O que é? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = G.?.

O centro é um subgrupo normal, Z(G) ⊲ G. Como um subgrupo, é sempre característico, mas não é necessariamente totalmente característico. O grupo quociente, G / Z(G), é isomórfico ao grupo de automorfismo interno, Pousada(G).

Um grupo G é abeliano se e somente se Z(G) = G. No outro extremo, diz-se que um grupo é sem centro se Z(G) é trivial; ou seja, consiste apenas no elemento de identidade.

Os elementos do centro às vezes são chamados de centrais.

Como um subgrupo

O centro de G é sempre um subgrupo de G. Em particular:

  1. Z(G) contém o elemento de identidade G, porque comuta com cada elemento de g, por definição: eg = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = g = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ge, onde e é a identidade;
  2. Se x e Sim. em Z(G), então assim é Xy!, por associatividade: (Xy!)g = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x(Sim.) = x(Gy!) = (xg)Sim. Não.Gx)Sim. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = g(Xy!) para cada g ∈ G; i.e., Z(G) está fechado;
  3. Se x em Z(G), então assim é x- Sim. como, para todos g em G, x- Sim. comuta com g: (Gx = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = xg) ⇒ (x- Sim.Gxxx- Sim. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x- Sim.xgx- Sim.) ⇒ (x- Sim.g = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Gx- Sim.).

Além disso, o centro de G é sempre um subgrupo normal de G . Como todos os elementos de Z(G) comutam, ele é fechado sob conjugação.

Observe que um homomorfismo f: G → H entre grupos geralmente não restrito a um homomorfismo entre seus centros. Embora f (Z (G)) comute com f (G), a menos que f seja sobrejetivo f (Z (G)) não precisa se deslocar com todos os H e, portanto, não precisa ser um subconjunto de Z (H). Dito de outra forma, não há "centro" functor entre as categorias Grp e Ab. Embora possamos mapear objetos, não podemos mapear setas.

Classes de conjugação e centralizadores

Por definição, o centro é o conjunto de elementos para os quais a classe de conjugação de cada elemento é o próprio elemento; ou seja, Cl(g) = {g}.

O centro também é a interseção de todos os centralizadores de cada elemento de G. Como os centralizadores são subgrupos, isso novamente mostra que o centro é um subgrupo.

Conjugação

Considere o mapa, f: G → Aut(G), de G ao grupo de automorfismo de G definido por f(g) = ϕg, onde ϕg é o automorfismo de G definido por

f(g)h) = φg(h) = G.- Sim..

A função, f é um homomorfismo de grupo, e seu kernel é precisamente o centro de G, e sua imagem é chamada de grupo de automorfismo interno de G, denotado Estalagem(G). Pelo primeiro teorema do isomorfismo obtemos,

G/Z(G) Inn(G).

O cokernel deste mapa é o grupo Out(G) de automorfismos externos, e estes formam a sequência exata

1 encarnação Z(G) ⟶ ⟶ G Aut (em inglês)G) encaminhar para fora(G) ⟶ ⟶ ⟶.

Exemplos

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