Catenária

Uma cadeia pendurada de pontos forma um catenário.

Freely-hanging overhead power lines também formam um catenary (mais proeminentemente visível com linhas de alta tensão, e com alguma imperfeição perto dos isoladores).

A seda na teia de uma aranha formando vários catenários elásticos.

Na física e na geometria, uma catenária (,) é a curva que uma corrente ou cabo suspenso idealizado assume sob seu próprio peso quando apoiado apenas em suas extremidades em um campo gravitacional uniforme.

A curva da catenária tem uma forma de U, superficialmente semelhante a uma parábola, o que não é.

A curva aparece no desenho de certos tipos de arcos e como uma seção transversal do catenóide - a forma assumida por uma película de sabão delimitada por dois anéis circulares paralelos.

A catenária também é chamada de alisóide, corrente ou, particularmente nas ciências dos materiais, funicular. Estática de corda descreve catenárias em um problema clássico de estática envolvendo uma corda pendurada.

Matematicamente, a curva catenária é o gráfico da função cosseno hiperbólica. A superfície de revolução da curva catenária, o catenóide, é uma superfície mínima, especificamente uma superfície mínima de revolução. Uma corrente pendurada assumirá uma forma de menor energia potencial, que é uma catenária. Galileo Galilei em 1638 discutiu a catenária no livro Two New Sciences reconhecendo que era diferente de uma parábola. As propriedades matemáticas da curva catenária foram estudadas por Robert Hooke na década de 1670, e sua equação foi derivada por Leibniz, Huygens e Johann Bernoulli em 1691.

Catenárias e curvas relacionadas são usadas em arquitetura e engenharia (por exemplo, no projeto de pontes e arcos para que as forças não resultem em momentos fletores). Na indústria offshore de petróleo e gás, a "catenária" refere-se a um riser de catenária de aço, um duto suspenso entre uma plataforma de produção e o fundo do mar que adota uma forma aproximada de catenária. Na indústria ferroviária, refere-se à fiação aérea que transfere energia para os trens. (Isso geralmente suporta um fio de contato mais leve e, nesse caso, não segue uma curva catenária verdadeira.)

Em óptica e eletromagnetismo, as funções hiperbólicas de cosseno e seno são soluções básicas para as equações de Maxwell. Os modos simétricos consistindo em duas ondas evanescentes formariam uma forma de catenária.

História

Modelo catenário de Antoni Gaudí na Casa Milà

A palavra "catenária" é derivado da palavra latina catēna, que significa "corrente". A palavra inglesa "catenária" geralmente atribuído a Thomas Jefferson, que escreveu em uma carta a Thomas Paine sobre a construção de um arco para uma ponte:

Ultimamente recebi da Itália um tratado sobre o equilíbrio dos arcos, pelo Abbé Mascheroni. Parece ser um trabalho muito científico. Ainda não tive tempo de me envolver nela; mas acho que as conclusões de suas demonstrações são, que cada parte do catenário está em perfeito equilíbrio.

Costuma-se dizer que Galileu pensava que a curva de uma corrente pendurada era parabólica. No entanto, em suas Two New Sciences (1638), Galileu escreveu que uma corda pendurada é apenas uma parábola aproximada, observando corretamente que essa aproximação melhora a precisão à medida que a curvatura diminui e é quase exata quando a elevação é inferior a 45°. O fato de a curva seguida por uma cadeia não ser uma parábola foi comprovado por Joachim Jungius (1587–1657); este resultado foi publicado postumamente em 1669.

A aplicação da catenária à construção de arcos é atribuída a Robert Hooke, cuja "verdadeira forma matemática e mecânica" no contexto da reconstrução da Catedral de São Paulo aludiu a uma catenária. Alguns arcos muito mais antigos se aproximam de catenárias, um exemplo disso é o Arco de Taq-i Kisra em Ctesiphon.

Em 1671, Hooke anunciou à Royal Society que havia resolvido o problema da forma ideal de um arco e, em 1675, publicou uma solução criptografada como um anagrama latino em um apêndice de sua Descrição dos Helioscópios, onde ele escreveu que havia encontrado "uma verdadeira forma matemática e mecânica de todos os tipos de arcos para construção" Ele não publicou a solução para este anagrama durante sua vida, mas em 1705 seu executor o forneceu como ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum, significando "Como trava um cabo flexível de modo, invertidos, ficam as peças tocantes de um arco."

Em 1691, Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens e Johann Bernoulli derivaram a equação em resposta a um desafio de Jakob Bernoulli; suas soluções foram publicadas no Acta Eruditorum de junho de 1691. David Gregory escreveu um tratado sobre a catenária em 1697 no qual forneceu uma derivação incorreta da equação diferencial correta.

Euler provou em 1744 que a catenária é a curva que, quando girada em torno do eixo x, dá a superfície de área de superfície mínima (o catenóide) para os círculos delimitadores dados. Nicolas Fuss deu equações descrevendo o equilíbrio de uma corrente sob qualquer força em 1796.

Arco catenário invertido

Os arcos catenários são frequentemente utilizados na construção de fornos. Para criar a curva desejada, a forma de uma corrente suspensa com as dimensões desejadas é transferida para uma forma que é então usada como guia para a colocação de tijolos ou outro material de construção.

O Gateway Arch em St. Louis, Missouri, Estados Unidos, às vezes é considerado uma catenária (invertida), mas isso é incorreto. É próximo a uma curva mais geral chamada de catenária achatada, com a equação y = A cosh(Bx), que é uma catenária se AB = 1. Enquanto uma catenária é a forma ideal para um arco autônomo de espessura constante, o Gateway Arch é mais estreito perto do topo. De acordo com a indicação de Marco Histórico Nacional dos EUA para o arco, é uma "catenária ponderada" em vez de. Sua forma corresponde à forma que teria uma corrente pesada, com elos mais leves no meio. O logotipo do McDonald's, os Arcos Dourados, embora pretendam ser duas parábolas unidas, também é baseado na catenária.

• 

  Arqueiros Catenários sob o telhado de Gaudí Casa MilàBarcelona, Espanha.

• 

  O Sheffield Winter Garden é cercado por uma série de arcos catenários.

• 

  O Gateway Arch (St. Louis, Missouri) é um catenário achatado.

• 

  forno de arco catenário em construção sob forma temporária

Pontes catenárias

As pontes de suspensão simples são essencialmente cabos espessados e seguem uma curva catenária.

Pontes de fita estirada, como a Ponte Leonel Viera em Maldonado, Uruguai, também seguem uma curva catenária, com cabos incorporados em um convés rígido.

Em correntes suspensas, a força exercida é uniforme em relação ao comprimento da corrente e, portanto, a corrente segue a curva da catenária. O mesmo se aplica a uma simples ponte pênsil ou "ponte catenária" onde a estrada segue o cabo.

Uma ponte de fita tensionada é uma estrutura mais sofisticada com a mesma forma de catenária.

No entanto, em uma ponte suspensa com pista suspensa, as correntes ou cabos suportam o peso da ponte e, portanto, não ficam pendurados livremente. Na maioria dos casos, a pista é plana, portanto, quando o peso do cabo é desprezível em comparação com o peso suportado, a força exercida é uniforme em relação à distância horizontal e o resultado é uma parábola, conforme discutido abaixo (embora o termo & #34;catenária" ainda é frequentemente usado, em um sentido informal). Se o cabo for pesado, a curva resultante ficará entre uma catenária e uma parábola.

Comparação de um arco catenário (curva pontilhada preta) e um arco parabólico (curva sólida vermelha) com a mesma extensão e sag. O catenário representa o perfil de uma ponte de suspensão simples, ou o cabo de uma ponte suspensa de convés suspenso em que seu convés e cabides têm massa negligível em comparação com seu cabo. A parabola representa o perfil do cabo de uma ponte suspensa do deck suspenso em que seu cabo e cabides têm massa negligível em comparação com seu convés. O perfil do cabo de uma ponte suspensa real com a mesma extensão e sag está entre as duas curvas. As equações catenárias e parabolas são, respectivamente, $- Sim. - Sim.$ e ${displaystyle y=x^{2}[({text{cosh }}1)-1]+1}$

Ancoragem de objetos marinhos

Uma cadeia de âncora pesada forma um catenário, com um ângulo baixo de puxar na âncora.

A catenária produzida pela gravidade oferece uma vantagem para ancoragens pesadas. Uma corda de ancoragem (ou linha de ancoragem) geralmente consiste em corrente ou cabo ou ambos. As âncoras são usadas por navios, plataformas de petróleo, docas, turbinas eólicas flutuantes e outros equipamentos marítimos que devem ser ancorados no fundo do mar.

Quando a corda está frouxa, a curva da catenária apresenta um ângulo de tração menor na âncora ou dispositivo de amarração do que seria se fosse quase reta. Isso melhora o desempenho da âncora e aumenta o nível de força que ela resistirá antes de ser arrastada. Para manter a forma de catenária na presença de vento, é necessária uma corrente pesada, de modo que apenas navios maiores em águas mais profundas possam contar com esse efeito. Barcos menores também contam com a catenária para manter o poder de retenção máximo.

Descrição matemática

Equação

Catenários para diferentes valores de um

A equação de uma catenária em coordenadas cartesianas tem a forma

$${displaystyle y=acosh left({frac {x}{a}}right)={frac {a}{2}}left(e^{frac {x}{a}}+e^{-{frac {x}{a}}}right,}$$

A equação de Whewell para a catenária é

$${displaystyle tan varphi ={frac Não.$$

$- Sim.$

Diferenciar dá

$$(dvarphi - Sim. {cos ^{2}varphi }{a}},}$$

$- Sim.$

$${displaystyle kappa ={frac {a}{s^{2}+a^{2}}}}$$

$- Sim.$

O raio de curvatura é então

$${displaystyle rho = asec ^{2}varphi$$

Relação com outras curvas

Quando uma parábola é rolada ao longo de uma linha reta, a curva da roleta traçada por seu foco é uma catenária. A envoltória da diretriz da parábola também é uma catenária. A envolvente do vértice, ou seja, a roleta traçada por um ponto que começa no vértice quando uma linha é rolada em uma catenária, é a tractriz.

Outra roleta, formada por rolar uma linha em uma catenária, é outra linha. Isso implica que as rodas quadradas podem rolar perfeitamente suavemente em uma estrada feita de uma série de saliências na forma de uma curva catenária invertida. As rodas podem ser qualquer polígono regular exceto um triângulo, mas a catenária deve ter parâmetros correspondentes à forma e dimensões das rodas.

Propriedades geométricas

Em qualquer intervalo horizontal, a razão entre a área sob a catenária e seu comprimento é igual a a, independentemente do intervalo selecionado. A catenária é a única curva plana diferente de uma linha horizontal com esta propriedade. Além disso, o centróide geométrico da área sob um trecho de catenária é o ponto médio do segmento perpendicular que conecta o centróide da própria curva e o x< /span>-eixo.

Ciência

Uma carga em movimento em um campo elétrico uniforme viaja ao longo de uma catenária (que tende a uma parábola se a velocidade da carga for muito menor que a velocidade da luz c).

A superfície de revolução com raios fixos em cada extremidade que tem área de superfície mínima é uma catenária girada em torno do eixo x.

Análise

Modelo de correntes e arcos

No modelo matemático a corrente (ou corda, cabo, corda, barbante, etc.) pela corrente é paralelo à corrente. A análise da curva para um arco ótimo é semelhante, exceto que as forças de tensão se tornam forças de compressão e tudo é invertido. Um princípio subjacente é que a corrente pode ser considerada um corpo rígido uma vez que tenha atingido o equilíbrio. As equações que definem a forma da curva e a tensão da corrente em cada ponto podem ser derivadas de uma inspeção cuidadosa das várias forças que atuam em um segmento usando o fato de que essas forças devem estar em equilíbrio se a corrente estiver em equilíbrio estático.

Deixe o caminho seguido pela cadeia ser dado parametricamente por r = (x, y) = (x(s), y(s)) onde s representa o comprimento do arco e r é o vetor de posição. Esta é a parametrização natural e tem a propriedade de

$$(dmathbf {r} {{ds}}=mathbf u$$

onde u é um vetor tangente unitário.

Diagrama de forças atuando em um segmento de um catenário de c para R. As forças são a tensão T₀ em c, a tensão T em R, e o peso da cadeia (0, −λgs). Uma vez que a cadeia está em repouso, a soma dessas forças deve ser zero.

Uma equação diferencial para a curva pode ser derivada da seguinte forma. Seja c o ponto mais baixo da cadeia, chamado de vértice da catenária. A inclinação dy/dx da curva é zero em c pois é um ponto mínimo. Assuma que r está à direita de c já que o outro caso é implícito por simetria. As forças que atuam na seção da cadeia de c a r são a tensão da corrente em c, a tensão da corrente em r e o peso da corrente. A tensão em c é tangente à curva em c e é, portanto, horizontal sem qualquer componente vertical e puxa a seção para a esquerda para que possa ser escrita (−T₀, 0)< /span> onde T₀ é a magnitude da força. A tensão em r é paralela à curva em r e puxa a seção para a direita. A tensão em r pode ser dividida em dois componentes, então pode ser escrita T u = (T cos φ, T sen φ), onde T é a magnitude da força e φ é o ângulo entre a curva em r e o eixo x (ver ângulo tangencial). Finalmente, o peso da corrente é representado por (0, −λgs) onde λ é a massa por unidade de comprimento, g é a intensidade do campo gravitacional e s é o comprimento do segmento da cadeia entre c e r.

A corrente está em equilíbrio, então a soma das três forças é 0, portanto

$$Não. Tcos varphi =T_{0}}$$

$$Não. Tsin varphi =lambda gs,}$$

e dividindo isso dá

$${displaystyle {frac {dy}{dx}}=tan varphi ={frac {displaystyle {displaystyle varphi}{dx}}=tan varphi ={frac {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle varphi}{dx}}}}}=tan varphi ={frac {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {displaystyle {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{d}}}{dx}}}{dx}}}{dx}}}}}{dx}}}{dx}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}= }{dx}}= }}}= gs}{T_{0}}},.}$$

É conveniente escrever

$${displaystyle a={frac {T_{0}}{lambda g}}}$$

que é o comprimento da corrente cujo peso é igual em magnitude à tensão em c. Então

$$- Sim. Não.$$

é uma equação que define a curva.

O componente horizontal da tensão, T cos φ = T₀ é constante e a componente vertical da tensão, T sin φ = λgs é proporcional ao comprimento da cadeia entre r e o vértice.

Depois de derivar as equações da curva (na próxima seção) ${textstyle y=acosh left({frac {x}{a}}right)}$, pode-se ligar a equação de volta para obter a equação simples $Não. T=lambda gs/sin varphi =lambda gy}$.

Derivação de equações para a curva

A equação diferencial fornecida acima pode ser resolvida para produzir equações para a curva.

De

$$- Sim. Não.$$

a fórmula para o comprimento do arco dá

$${displaystyle {frac {ds}{dx}}={sqrt {1+left({dfrac {dy}{dx}}right)^{2}}}={frac {sqrt {a^{2}+s^{2}}}{a}},.}$$

Então

$$- Sim. Não. - Não. Não. {a^{2}+s^{2}}}$$

e

$$- Sim. - Sim. - Não. Não. {a^{2}+s^{2}},.}$$

A segunda dessas equações pode ser integrada para fornecer

$$- Sim. {a^{2}+s^{2}}}+beta ?$$

e deslocando a posição do eixo x, β pode ser considerado 0. Então

$$- Sim. {a^{2}+s^{2}}},quad y^{2}=a^{2}+s^{2},.}$$

O eixo x assim escolhido é chamado de diretriz da catenária.

Segue-se que a magnitude da tensão em um ponto (x, y) é T = λgy, que é proporcional à distância entre o ponto e a diretriz.

Essa tensão também pode ser expressa como T = T₀ y/a.

A integral da expressão para dx/ds pode ser encontrado usando técnicas padrão, fornecendo

$${displaystyle x=aoperatorname {arsinh} left({frac {s}{a}}right)+alpha ,.}$$

e, novamente, deslocando a posição do eixo y, α pode ser considerado 0. Então

$${displaystyle x=aoperatorname {arsinh} left({frac {s}{a}}right),quad s=asinh left({frac {x}{a}}right),.}$$

O eixo y assim escolhido passa pelo vértice e é chamado de eixo da catenária.

Esses resultados podem ser usados para eliminar s dando

$${displaystyle y=acosh left({frac {x}{a}}right),.}$$

Derivação alternativa

A equação diferencial pode ser resolvida usando uma abordagem diferente. De

$${displaystyle s=atan varphi ?$$

segue-se que

$$- Não. }}={frac {dx}{ds}}{frac {ds}{dvarphi }}=cos varphi cdot asec ^{2}varphi =asec varphi ?$$

$$Não. - Sim. - Não. Não. }}=sin varphi cdot asec ^{2}varphi =atan varphi sec varphi ,.}$$

Integrar dá,

$${displaystyle x=aln(sec varphi +tan varphi)+alpha }$$

$${displaystyle y=asec varphi +beta ,.}$$

Como antes, x e y podem ser deslocados para α e β pode ser considerado 0. Então

$${displaystyle sec varphi +tan varphi =e^{frac {x}{a}},}$$

$${displaystyle sec varphi -tan varphi =e^{-{frac {x}{a}}},.}$$

Adicionar e subtrair as duas últimas equações fornece a solução

$${displaystyle y=asec varphi =acosh left({frac {x}{a}}right),}$$

$${displaystyle s=atan varphi =asinh left({frac {x}{a}}right),.}$$

Determinação de parâmetros

Três catenários através dos mesmos dois pontos, dependendo da força horizontal T_{H. H. H.}.

Em geral, o parâmetro a é a posição do eixo. A equação pode ser determinada neste caso da seguinte forma:

Reetiquete, se necessário, para que P₁ fique à esquerda de < i>P₂ e seja H a horizontal e < span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">v seja a distância vertical de P₁ para P₂. Traduza os eixos para que o vértice da catenária fique no eixo y e sua altura a é ajustado para que a catenária satisfaça a equação padrão da curva

$${displaystyle y=acosh left({frac {x}{a}}right)}$$

e deixe as coordenadas de P₁ e P₂ ser (x₁, y ₁) e (x₂, y₂) respectivamente. A curva passa por esses pontos, então a diferença de altura é

$${displaystyle v=acosh left({frac {x_{2}}{a}}right)-acosh left({frac {x_{1}}{a}}right),.}$$

e o comprimento da curva de P₁ a P₂ é

$${displaystyle L=asinh left({frac {x_{2}}{a}}right)-asinh left({frac {x_{1}}{a}}right),.}$$

Quando L² − v² é expandido usando essas expressões, o resultado é

$${displaystyle L^{2}-v^{2}=2a^{2}left(cosh left({frac {x_{2}-x_{1}}{a}}right)-1right)=4a^{2}sinh ^{2}left({frac {H}{2a}}right),, ?$$

$${displaystyle {frac {1}{H}}{sqrt {L^{2}-v^{2}}}={frac {2a}{H}}sinh left({frac {H}{2a}}right),.}$$

Esta é uma equação transcendental um e deve ser resolvido numericamente. Desde então ${displaystyle sinh(x)/x}$ é estritamente monotônico em $- Sim.$, há no máximo uma solução com um > 0 e assim há no máximo uma posição de equilíbrio.

No entanto, se ambas as extremidades da curva (P₁ e < i>P₂) estão no mesmo nível (y₁ = y₂), pode-se mostrar que

$${displaystyle a={frac {{frac} {1}{4}}L^{2}-h^{2}}{2h}},}$$

Também pode ser mostrado que

$${displaystyle L=2asinh {frac {H}{2a}},}$$

$${displaystyle H=2aoperatorname} Não. {h+a}{a}},}$$

A força de tração horizontal em P₁ e P₂ é T₀ = λga< /span>, onde λ é a massa por unidade de comprimento da corrente ou cabo.

Formulação variacional

Considere uma cadeia de comprimento $Não. L.$ suspenso de dois pontos de altura igual e à distância $Não.$. A curva tem de minimizar sua energia potencial

$$- Sim. _{0}^{D}grho y{sqrt {1+y'^{2}}}dx}$$

$${displaystyle int _{0}^{D}{sqrt {1+y'^{2}}}dx=L,}$$

O Lagrangeano modificado é, portanto,

$${displaystyle {mathcal {L}}=(grho y-lambda){sqrt {1+y'^{2}}}}$$

$- Sim.$

$Não.$

$${displaystyle {mathcal {L}}-y'{frac {partial {mathcal} {L}}} Sim.$$

$Não. C.$

$$(grho y-lambda)}{sqrt {1+y'^{2}}=-C}$$

Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis. Sua solução é o cosseno hiperbólico usual onde os parâmetros são obtidos das restrições.

Generalizações com força vertical

Cadeias não uniformes

Se a densidade da cadeia for variável, então a análise acima pode ser adaptada para produzir equações para a curva dada a densidade, ou dada a curva para encontrar a densidade.

Deixe w denotar o peso por unidade de comprimento da corrente, então o peso da corrente tem magnitude

$$[displaystyle int] }^{mathbf {r} }w,ds,}$$

onde os limites de integração são c e r. Equilibrar as forças como na cadeia uniforme produz

$$Não. Tcos varphi =T_{0}}$$

$$Não. Tsin varphi =int _{mathbf {c} }^{mathbf {r} }w,ds,}$$

$${displaystyle {frac {dy}{dx}}=tan varphi ={frac {1}{T_{0}}}int _{mathbf {c} }^{mathbf {r} }w,ds,.}$$

A diferenciação então dá

$$Não. *T_{0} (d){ds){frac Não. {T_{0} {d^{2}y}{dx^{2}}}}{sqrt {1+left({dfrac {dy}{dx}}right)^{2}},}$$

Em termos de φ e o raio de curvatura ρ isso se torna

$$- Sim. {T_{0}}{rho cos ^{2}varphi }},.}$$

Curva da ponte pênsil

Ponte Golden Gate. A maioria dos cabos de ponte suspensa segue uma curva parabólica, não uma curva catenária, porque a estrada é muito mais pesada do que o cabo.

Uma análise semelhante pode ser feita para encontrar a curva seguida pelo cabo que suporta uma ponte pênsil com uma pista horizontal. Se o peso da via por unidade de comprimento for w e o peso do cabo e do fio que sustenta a ponte for insignificante em comparação, então o peso no cabo (veja a figura em Catenária#Modelo de correntes e arcos) de c para r é wx onde x é a distância horizontal entre c e r . Procedendo como antes dá a equação diferencial

$${displaystyle {frac {dy}{dx}}=tan varphi ={frac {w}{T_{0}}}x,}$$

Isto é resolvido por integração simples para obter

$$- Sim. {w}{2T_{0}}}x^{2}+beta ?$$

e assim o cabo segue uma parábola. Se o peso do cabo e dos fios de suporte não for desprezível, a análise é mais complexa.

Catenária de igual resistência

Em uma catenária de igual resistência, o cabo é reforçado de acordo com a magnitude da tensão em cada ponto, de modo que sua resistência à ruptura é constante ao longo de seu comprimento. Supondo que a resistência do cabo seja proporcional à sua densidade por unidade de comprimento, o peso, w, por unidade de comprimento da corrente pode ser escrito T< span class="sr-only">/c, onde c é constante, e a análise para cadeias não uniformes pode ser aplicada.

Nesse caso, as equações para tensão são

$$Não. Tcos varphi &=T_{0},Tsin varphi &={frac Não. T,ds,.end{aligned}}}$$

Combinar dá

$${displaystyle ctan varphi =int sec varphi ,ds}$$

e por diferenciação

$${displaystyle c=rho cos varphi }$$

onde ρ é o raio de curvatura.

A solução para isso é

$${displaystyle y=cln left(sec left({frac {x}{c}}right)right),.}$$

Nesse caso, a curva tem assíntotas verticais e isso limita o span a πc. Outras relações são

$${displaystyle x=cvarphi ,quad s=ln left(tan left({frac {pi +2varphi }{4}}right)right,.}$$

A curva foi estudada em 1826 por Davies Gilbert e, aparentemente de forma independente, por Gaspard-Gustave Coriolis em 1836.

Recentemente, foi demonstrado que esse tipo de catenária poderia atuar como um bloco de construção da metasuperfície eletromagnética e era conhecida como "catenária de gradiente de fase igual".

Catenária elástica

Em uma catenária elástica, a corrente é substituída por uma mola que pode se esticar em resposta à tensão. Supõe-se que a mola se estique de acordo com a Lei de Hooke. Especificamente, se p é o comprimento natural de uma seção da mola, então o comprimento da mola com tensão T aplicado tem comprimento

$${displaystyle s=left(1+{frac {T}{E}}right)p,}$$

onde E é uma constante igual a kp, onde k é a rigidez da mola. Na catenária, o valor de T é variável, mas a proporção permanece válida em nível local, portanto

$$Não. (dp)=1+{frac {T}{E}},.}$$

As equações para a tensão da mola são

$$Não. Tcos varphi =T_{0},,}$$

$$Não. Tsin varphi =lambda _{0}gp,}$$

de onde

$${displaystyle {frac {dy}{dx}}=tan varphi ={frac _{0}gp}{T_{0}}},quad T={sqrt {T_{0}^{2}+lambda _{0}^{2}g^{2}p^{2}}},}$$

onde p é o comprimento natural do segmento de c para r e λ₀ é a massa por unidade de comprimento da mola sem tensão e g é a intensidade do campo gravitacional. Escrever

$${displaystyle a={frac {T_{0}}{lambda _{0}g}}$$

então

$${displaystyle {frac {dy}{dx}}=tan varphi ={frac {p}{a}}quad {text{and}}quad T={frac {T_{0}}{a}}{sqrt {a^{2}+p^{2}}},.}$$

Então

$${displaystyle {begin{aligned}{frac {dx}{ds}}&=cos varphi ={frac {T_{0}}{T}}[6pt]{frac {dy}{ds}}&=sin varphi ={frac {lambda _{0}gp}{T}},end{aligned}}}$$

$${displaystyle {begin{alignedat}{3}{frac {dx}{dp}}&={frac {T_{0}}{T}}{frac {ds}{dp}}&=T_{0}left({frac {1}{T}}+{frac {1}{E}}right)&&={frac {a}{sqrt {a^{2}+p^{2}}+{frac {T_{0}}{E}}[6pt]{frac {dy}{dp}}&={frac Não. _{0}gp}{T}}{frac {ds}{dp}}&&&={frac {T_{0}p}{a}}left({frac {1}{T}}+{frac {1}{E}}right)&&={frac Não. {a^{2}+p^{2}}+{frac {T_{0}p}{Ea}},.end{alignedat}}}$$

A integração fornece as equações paramétricas

$${displaystyle {begin{aligned}x&=aoperatorname {arsinh} left({frac {p}{a}}right)+{frac {T_{0}}{E}}p+alpha ,\[6pt]y&={sqrt (a^{2}+p^{2}}}+{frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}+beta ,.end{aligned}}}$$

Novamente, x e y-eixos podem ser deslocados para α e β pode ser considerado 0. Então

$${displaystyle {begin{aligned}x&=aoperatorname {arsinh} left({frac {p}{a}}right)+{frac {T_{0}}{E}}p,\[6pt]y&={sqrt (a^{2}+p^{2}}}+{frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}end{aligned}}}$$

são equações paramétricas para a curva. No limite rígido onde E é grande, a forma da curva se reduz a uma cadeia não elástica.

Outras generalizações

Corrente sob uma força geral

Sem fazer suposições sobre a força G atuando na corrente, a seguinte análise pode ser feita.

Primeiro, seja T = T(s) a força de tração em função de s. A corrente é flexível, de modo que só pode exercer uma força paralela a si mesma. Como a tensão é definida como a força que a corrente exerce sobre si mesma, T deve ser paralela à corrente. Em outras palavras,

$${displaystyle mathbf {T} =Tmathbf {u} ,,}$$

onde T é a magnitude de T e u é o vetor tangente unitário.

Em segundo lugar, seja G = G(s) a força externa por comprimento da unidade atuando em um pequeno segmento de uma cadeia como uma função de s. As forças que atuam no segmento da cadeia entre s e s + Δs são a força de tensão T(s + Δ s) em uma extremidade do segmento, a força quase oposta −T(s) na outra extremidade, e a força externa atuando no segmento que é aproximadamente GΔs. Essas forças devem se equilibrar de modo

$${displaystyle mathbf {T} (s+Delta s)-mathbf {T} (s)+mathbf {G} Delta sapprox mathbf {0} ,.}$$

Divida por Δs e tome o limite como Δs → 0 para obter

$$(em inglês) (T) {G} =mathbf {0} ,}$$

Essas equações podem ser usadas como ponto de partida na análise de uma corrente flexível agindo sob qualquer força externa. No caso da catenária padrão, G = (0, −λg) onde a cadeia tem massa λ por unidade de comprimento e g é a intensidade do campo gravitacional.