Campo (matemática)

O heptágono regular não pode ser construído usando apenas uma construção de borda reta e bússola; isso pode ser provado usando o campo de números construíveis.

Na matemática, um corpo é um conjunto no qual adição, subtração, multiplicação e divisão são definidas e se comportam como as operações correspondentes em números racionais e reais. Um corpo é, portanto, uma estrutura algébrica fundamental que é amplamente utilizada em álgebra, teoria dos números e muitas outras áreas da matemática.

Os corpos mais conhecidos são o corpo dos números racionais, o corpo dos números reais e o corpo dos números complexos. Muitos outros campos, como campos de funções racionais, campos de funções algébricas, campos de números algébricos e campos p-ádicos são comumente usados e estudados em matemática, particularmente em teoria dos números e geometria algébrica. A maioria dos protocolos criptográficos depende de campos finitos, ou seja, campos com um número finito de elementos.

A relação de dois campos é expressa pela noção de uma extensão de campo. A teoria de Galois, iniciada por Évariste Galois na década de 1830, é dedicada à compreensão das simetrias das extensões de campo. Entre outros resultados, essa teoria mostra que a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo não podem ser feitas com régua e compasso. Além disso, mostra que as equações quínticas são, em geral, algebricamente insolúveis.

Os campos servem como noções fundamentais em vários domínios matemáticos. Isso inclui diferentes ramos da análise matemática, que são baseados em campos com estrutura adicional. Os teoremas básicos da análise dependem das propriedades estruturais do campo dos números reais. Mais importante para fins algébricos, qualquer corpo pode ser usado como escalar para um espaço vetorial, que é o contexto geral padrão para álgebra linear. Os campos numéricos, irmãos do corpo dos números racionais, são estudados em profundidade na teoria dos números. Os campos de função podem ajudar a descrever propriedades de objetos geométricos.

Definição

Informalmente, um campo é um conjunto, juntamente com duas operações definidas nesse conjunto: uma operação de adição escrita como a + b e uma operação de multiplicação escrita como a ⋅ b, ambas se comportando de maneira semelhante números racionais e números reais, incluindo a existência de um inverso aditivo -a para todos os elementos a, e de um inverso multiplicativo b⁻¹ para cada elemento diferente de zero b. Isso permite considerar também as chamadas operações inversas de subtração, a − b, e divisão, a / b, definindo:

um - Sim. b)? um +b)),

um / b)? um) b)^{- Sim.}.

Definição clássica

Formalmente, um campo é um conjunto F junto com duas operações binárias em F chamado adição e multiplicação. Uma operação binária em F é um mapeamento F × F → F, ou seja, uma correspondência que se associa a cada par ordenado de elementos de F um elemento exclusivamente determinado de F. O resultado da adição de a e b é chamado de soma de a e b, e é denotado a + b. Da mesma forma, o resultado da multiplicação de a e b é chamado de produto de a e b, e é denotado < span class="texhtml">ab ou a ⋅ b. Essas operações são necessárias para satisfazer as seguintes propriedades, chamadas de axiomas de campo (nesses axiomas, a, b e c são elementos arbitrários do campo F):

• Associatividade da adição e multiplicação: um +b) + c) = (um + b)) + ce um ⋅ (b)) c) = (um) b)⋅) c.
• Comutatividade de adição e multiplicação: um + b) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b) + ume um) b) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b)) um.
• Identidade aditiva e multiplicativa: existem dois elementos diferentes 0 e 1 em F tal que um + 0 = um e um ⋅ 1 = um.
• Inversos aditivos: para cada um em F, existe um elemento em F, denotado - Sim.um, chamado de aditivo inverso de um, tal que um +um) = 0.
• Inversos multiplicativos: para cada um ≠ 0 em F, existe um elemento em F, denotado por um^{- Sim.} ou 1um, chamado de inverso multiplicador de um, tal que um) um^{- Sim.} = 1.
• Distribuição da multiplicação sobre a adição: um ⋅ (b) + c) = (um) b)) + (um) c).

Isso pode ser resumido dizendo: um corpo tem duas operações, chamadas adição e multiplicação; é um grupo abeliano sob adição com 0 como identidade aditiva; os elementos diferentes de zero são um grupo abeliano sob multiplicação com 1 como a identidade multiplicativa; e a multiplicação distribui sobre a adição.

Ainda mais resumido: um campo é um anel comutativo onde ${displaystyle 0neq 1}$ e todos os elementos nonzero são invertíveis sob multiplicação.

Definição alternativa

Os campos também podem ser definidos de maneiras diferentes, mas equivalentes. Pode-se alternativamente definir um campo por quatro operações binárias (adição, subtração, multiplicação e divisão) e suas propriedades necessárias. A divisão por zero é, por definição, excluída. Para evitar quantificadores existenciais, os campos podem ser definidos por duas operações binárias (adição e multiplicação), duas operações unárias (produzindo os inversos aditivo e multiplicativo, respectivamente) e duas operações nulas (as constantes 0 e 1). Estas operações estão então sujeitas às condições acima. Evitar quantificadores existenciais é importante em matemática construtiva e computação. Pode-se definir equivalentemente um campo pelas mesmas duas operações binárias, uma operação unária (o inverso multiplicativo) e duas (não necessariamente distintas) constantes 1 e -1, pois 0 = 1 + (-1) e -a = (−1)a.

Exemplos

Números racionais

Os números racionais foram amplamente utilizados muito antes da elaboração do conceito de corpo. São números que podem ser escritos como frações a/b, onde a e b são números inteiros e b ≠ 0. O inverso aditivo de tal fração é −a/b, e o inverso multiplicativo (desde que a ≠ 0) é b/a, que pode ser visto a seguir:

$(b){a}}cdot - Sim. Não.$

Os axiomas de campo abstratamente requeridos se reduzem a propriedades padrão de números racionais. Por exemplo, a lei da distributividade pode ser provada da seguinte forma:

${displaystyle {begin{aligned}&{frac {a}{b}}cdot left({frac Não. {e}{f}}right)[6pt]={}&{frac {a}{b}}cdot left({frac - Não. - Sim. {e}{f}}cdot {frac {d}{d}}right][6pt]={}&{frac {a}{b}}cdot left({frac (cf. {ed}{fd}}right)={frac - Não. (cf+ed}{df}}[6pt]={}&{frac {a(cf+ed)}{bdf}}={frac - Não. - Não. (ac){bd)+{frac {ae}{bf}}[6pt]={}&{frac - Não. Não. Não. {a}{b}}cdot {frac {e}{f}}end{aligned}}}$

Números reais e complexos

A multiplicação de números complexos pode ser visualizada geometricamente por rotações e escalas.

Os números reais R, com as operações usuais de adição e multiplicação, também formam um corpo. Os números complexos C consistem em expressões

um + b), com um, b) real,

onde i é a unidade imaginária, ou seja, um número (não real) que satisfaz i² = −1. A adição e a multiplicação de números reais são definidas de forma que as expressões desse tipo satisfaçam todos os axiomas de campo e, portanto, sejam válidas para C. Por exemplo, a lei distributiva impõe

(um + b))c + Diário) = ACÇÃO + b) + adi + B.² = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ACÇÃO- Sim.BD +b) + Anúncio)Eu....

É imediato que esta é novamente uma expressão do tipo acima, e assim os números complexos formam um corpo. Os números complexos podem ser representados geometricamente como pontos no plano, com coordenadas cartesianas dadas pelos números reais de sua expressão descritiva, ou como as setas da origem a esses pontos, especificadas por seu comprimento e um ângulo fechado com alguma direção distinta. A adição corresponde então a combinar as setas ao paralelogramo intuitivo (somando as coordenadas cartesianas), e a multiplicação é – menos intuitivamente – combinando rotação e escala das setas (somando os ângulos e multiplicando os comprimentos). Os campos de números reais e complexos são usados em matemática, física, engenharia, estatística e muitas outras disciplinas científicas.

Números construíveis

O teorema geométrico significa afirma que h² = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = PQ. Escolhendo q = 1 permite a construção da raiz quadrada de um determinado número construível p.

Na antiguidade, vários problemas geométricos diziam respeito à (in) viabilidade de construção de certos números com bússola e borda reta. Por exemplo, era desconhecido para os gregos que é, em geral, impossível trisectar um determinado ângulo desta forma. Esses problemas podem ser resolvidos usando o campo de números construíveis. Números reais construíveis são, por definição, comprimentos de segmentos de linha que podem ser construídos a partir dos pontos 0 e 1 em finitamente muitos passos usando apenas bússola e borda reta. Esses números, dotados das operações de campo de números reais, restritos aos números construtíveis, formam um campo, que inclui corretamente o campo Q de números racionais. A ilustração mostra a construção de raízes quadradas de números construíveis, não necessariamente contidas dentro Q. Usando a rotulagem na ilustração, construa os segmentos AB, BDe um semicírculo sobre ANÚNCIO (centro no meio do ponto) C), que cruza a linha perpendicular através B em um ponto F, a uma distância de exatamente $Não. H={sqrt {p}}}$ a partir de B quando BD tem um comprimento.

Nem todos os números reais são construíveis. Pode-se mostrar que $[{3}]{2}}}$ não é um número construível, o que implica que é impossível construir com bússola e straightedge o comprimento do lado de um cubo com o volume 2, outro problema colocado pelos gregos antigos.

Um campo com quatro elementos

Além dos sistemas numéricos familiares, como os racionais, existem outros exemplos de corpos menos imediatos. O exemplo a seguir é um campo que consiste em quatro elementos chamados O, I, A e B. A notação é escolhida de forma que O desempenhe o papel do elemento de identidade aditivo (denotado como 0 nos axiomas acima) e I é a identidade multiplicativa (denotada por 1 nos axiomas acima). Os axiomas de campo podem ser verificados usando um pouco mais de teoria de campo ou por computação direta. Por exemplo,

A ⋅ (B + A) = A) Eu... = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = A, que é igual A) B + A) A = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Eu... + B = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = A, conforme exigido pela distribuição.

Este campo é chamado de campo finito com quatro elementos e é denotado F₄ ou GF(4). O subconjunto que consiste em O e I (destacado em vermelho em as tabelas à direita) também é um campo, conhecido como campo binário F₂ ou GF(2). No contexto da ciência da computação e da álgebra booleana, O e I são geralmente denotados respectivamente por falso e verdadeiro, e a adição é então denotada por XOR (exclusivo ou). Em outras palavras, a estrutura do campo binário é a estrutura básica que permite a computação com bits.

Noções elementares

Nesta seção, F denota um campo arbitrário e a e b são elementos arbitrários de F.

Consequências da definição

Um tem a ⋅ 0 = 0 e −a = (− 1) ⋅ a. Em particular, pode-se deduzir o inverso aditivo de cada elemento assim que se conhece −1.

Se ab = 0 então a ou b deve ser 0, pois, se a ≠ 0, então b = (a^-1a)b = a⁻¹(ab) = a⁻¹ ⋅ 0 = 0. Isso significa que todo corpo é um domínio integral.

Além disso, as seguintes propriedades são verdadeiras para quaisquer elementos a e b:

-0 = 0

1^{- Sim.} = 1

(-)um) = um

(um⋅) b) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = um ⋅ (−)b)) = −(um) b))

(um^{- Sim.})^{- Sim.} = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = um se um ≠ 0

O grupo aditivo e multiplicativo de um campo

Os axiomas de um campo F implicam que é um grupo abeliano sob adição. Esse grupo é chamado de grupo aditivo do campo e, às vezes, é denotado por (F, +) ao denotá-lo simplesmente como F pode ser confuso.

Da mesma forma, os elementos não nulos de F formam um grupo abeliano sob multiplicação, chamado de grupo multiplicativo e denotado por (F {0}, ⋅) ou apenas F {0 } ou F^*.

Um campo pode, portanto, ser definido como um conjunto F equipado com duas operações denotadas como uma adição e uma multiplicação tal que F é um grupo abeliano sob adição, F {0} é um grupo abeliano sob multiplicação (onde 0 é o elemento de identidade da adição), e a multiplicação é distributiva sobre a adição. Algumas afirmações elementares sobre corpos podem, portanto, ser obtidas pela aplicação de fatos gerais de grupos. Por exemplo, os inversos aditivos e multiplicativos −a e a^{− 1} são determinados exclusivamente por a.

O requisito 1 ≠ 0 segue, porque 1 é o elemento identidade de um grupo que não contém 0. Assim, o anel trivial, consistindo em um único elemento, é não um campo.

Todo subgrupo finito do grupo multiplicativo de um corpo é cíclico (consulte Raiz da unidade § Grupos cíclicos).

Característica

Além da multiplicação de dois elementos de F, é possível definir o produto n ⋅ a de um elemento arbitrário a de F por um inteiro positivo n para ser o n- dobrar soma

um + um + um (que é um elemento de F.)

Se não existe um inteiro positivo tal que

n ⋅ 1 = 0,

então F é dito ter característica 0. Por exemplo, o corpo de números racionais Q tem característica 0, pois nenhum inteiro positivo n é zero. Caso contrário, se existir um inteiro positivo n satisfazendo esta equação, o menor inteiro positivo pode ser mostrado como um número primo. Geralmente é denotado por p e diz-se que o campo tem a característica p< /span> então. Por exemplo, o campo F₄ tem a característica 2, pois (na notação da tabela de adição acima) I + I = O.

Se F tiver a característica p, então p ⋅ a = 0 para todos os a em F. Isso implica que

(um + b))^p = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = um^p + b)^p,

uma vez que todos os outros coeficientes binomiais que aparecem na fórmula binomial são divisíveis por p. Aqui, a^p:= a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a (p fatores) é o p-ésima potência, ou seja, o produto p-dobra do elemento a. Portanto, o mapa de Frobenius

Pe. F → F, x ⟼ x^p

é compatível com a adição em F (e também com a multiplicação) e, portanto, é um homomorfismo de corpo. A existência desse homomorfismo torna os campos da característica p bem diferentes dos campos da característica 0.

Subcampos e campos primos

Um subcampo E de um campo F é um subconjunto de F que é um campo em relação às operações de campo de F. Equivalentemente, E é um subconjunto de F que contém 1, e é fechado sob adição, multiplicação, inverso aditivo e inverso multiplicativo de um elemento diferente de zero. Isso significa que 1 ∊ E, que para todos os a, b ∊ E ambos a + b e a ⋅ b estão em E, e que para todo a ≠ 0 em E, ambos < span class="texhtml">−a e 1/a estão em E.

Homomorfismos de campo são aplicações φ: E → F entre dois campos tais que φ(e₁ + e₂) = φ(e₁) + φ(e₂ ), φ(e₁e₂) = φ(e₁) φ(e ₂), e φ(1_E) = 1_F, onde e₁ e < i>e₂ são elementos arbitrários de E. Todos os homomorfismos de campo são injetivos. Se φ também é sobrejetivo, ele é chamado de isomorfismo (ou os campos E e F são chamados isomórficos).

Um campo é chamado de campo principal se não tiver subcampos apropriados (ou seja, estritamente menores). Qualquer campo F contém um campo primo. Se a característica de F for p (um número primo), o corpo primo é isomorfo ao corpo finito F_p apresentado abaixo. Caso contrário, o campo primo é isomorfo a Q.

Campos finitos

Campos finitos (também chamados Campos de Galois) são campos com um número finito de elementos, cujo número também é referido como a ordem do campo. O exemplo introdutório acima F₄ é um campo com quatro elementos. Seu subcampo F₂ é o menor campo, porque por definição um campo possui pelo menos dois elementos distintos 1 ≠ 0.

Em modulo aritmético modular 12, 9 + 4 = 1 desde então 9 + 4 = 13 em Z., que dividido por 12 folhas restante 1. No entanto, Z./12Z. não é um campo porque 12 não é um número primo.

Os corpos finitos mais simples, com ordem primária, são mais diretamente acessíveis usando aritmética modular. Para um inteiro positivo fixo n, aritmética "modulo n" significa trabalhar com os números

Z./nZ. (0, 1,..., n - 1}.

A adição e a multiplicação neste conjunto são feitas realizando a operação em questão no conjunto Z de inteiros, dividindo por n e tomando o restante como resultado. Essa construção produz um campo precisamente se n for um número primo. Por exemplo, tomar o primo n = 2 resulta no campo acima mencionado F₂. Para n = 4 e mais geralmente, para qualquer número composto (ou seja, qualquer número n que pode ser expresso como um produto n = r⋅s de dois números naturais estritamente menores), Z/nZ não é um campo: o produto de dois elementos diferentes de zero é zero desde r⋅s = 0 em Z/nZ, que, conforme explicado acima, impede Z/nZ de ser um campo. O campo Z/pZ com p elementos (p sendo primos) construídos dessa maneira geralmente são denotados por F_p.

Todo corpo finito F tem q = pⁿ, onde p é primo e n ≥ 1. Essa declaração é válida, pois F pode ser visto como um espaço vetorial sobre seu campo primo. A dimensão deste espaço vetorial é necessariamente finita, digamos n, o que implica a afirmação afirmada.

Um campo com q = pⁿ elementos podem ser construídos como o campo de divisão do polinômio

f(x) = x^q - Sim. x.

Esse campo de divisão é uma extensão de F_p em que o polinômio f tem q zeros. Isso significa que f tem tantos zeros quanto possível desde o grau de f é q. Para q = 2² = 4, pode ser verificado caso a caso usando a tabela de multiplicação acima que todos os quatro elementos de F₄ satisfazem a equação x⁴ = x, então eles são zeros de f. Por outro lado, em F₂, f< /span> tem apenas dois zeros (ou seja, 0 e 1), então f não se divide em fatores lineares neste campo menor. Elaborando ainda mais as noções básicas da teoria de campo, pode-se mostrar que dois corpos finitos com a mesma ordem são isomórficos. Assim, costuma-se falar do corpo finito com elementos q, denotados por F_q ou GF(q).

História

Historicamente, três disciplinas algébricas levaram ao conceito de um corpo: a questão da resolução de equações polinomiais, a teoria algébrica dos números e a geometria algébrica. Um primeiro passo em direção à noção de um corpo foi dado em 1770 por Joseph-Louis Lagrange, que observou que permutando os zeros x₁, x₂, x₃ de um polinômio cúbico na expressão

(x₁ + ωx₂ + ω²x₃)³

(com ω sendo uma terceira raiz da unidade) produz apenas dois valores. Dessa forma, Lagrange explicou conceitualmente o método clássico de solução de Scipione del Ferro e François Viète, que procede reduzindo uma equação cúbica para uma incógnita x a uma equação quadrática para x³. Juntamente com uma observação semelhante para equações de grau 4, Lagrange ligou o que acabou se tornando o conceito de corpos e o conceito de grupos. Vandermonde, também em 1770, e em maior extensão, Carl Friedrich Gauss, em suas Disquisitiones Arithmeticae (1801), estudou a equação

x^p = 1

para um p primo e, novamente usando linguagem moderna, o grupo Galois cíclico resultante. Gauss deduziu que um p-gon regular pode ser construído se p = 2^{2k< /sup> + 1}. Com base no trabalho de Lagrange, Paolo Ruffini afirmou (1799) que as equações quínticas (equações polinomiais de grau 5) não podem ser resolvidas algebricamente; no entanto, seus argumentos eram falhos. Essas lacunas foram preenchidas por Niels Henrik Abel em 1824. Évariste Galois, em 1832, concebeu critérios necessários e suficientes para que uma equação polinomial fosse algebricamente solúvel, estabelecendo assim de fato o que hoje é conhecido como teoria de Galois. Tanto Abel quanto Galois trabalharam com o que hoje é chamado de corpo numérico algébrico, mas não conceberam uma noção explícita de corpo, nem de grupo.

Em 1871 Richard Dedekind introduziu, para um conjunto de números reais ou complexos que é fechado sob as quatro operações aritméticas, a palavra alemã Körper, que significa "corpo" ou "corpus" (para sugerir uma entidade organicamente fechada). O termo inglês "campo" foi introduzido por Moore (1893).

Por um campo vamos significar cada sistema infinito de números reais ou complexos tão fechados em si mesmo e perfeito que a adição, subtração, multiplicação e divisão de qualquer dois desses números novamente rende um número do sistema.

—Richard Dedekind, 1871

Em 1881, Leopold Kronecker definiu o que chamou de domínio da racionalidade, que é um campo de frações racionais em termos modernos. A noção de Kronecker não cobria o corpo de todos os números algébricos (que é um corpo no sentido de Dedekind), mas, por outro lado, era mais abstrata do que a de Dedekind, pois não fazia nenhuma suposição específica sobre a natureza dos elementos de um campo. Kronecker interpretou um campo como Q(π) abstratamente como o campo de função racional Q(X). Antes disso, exemplos de números transcendentes eram conhecidos desde o trabalho de Joseph Liouville em 1844, até Charles Hermite (1873) e Ferdinand von Lindemann (1882) provarem a transcendência de e e π, respectivamente.

A primeira definição clara de um campo abstrato deve-se a Weber (1893). Em particular, a noção de Heinrich Martin Weber incluía o campo F_p. Giuseppe Veronese (1891) estudou o campo das séries de potências formais, o que levou Hensel (1904) a introduzir o corpo dos números p-ádicos. Steinitz (1910) sintetizou o conhecimento da teoria abstrata de campos acumulado até então. Ele estudou axiomaticamente as propriedades dos campos e definiu muitos conceitos importantes da teoria dos campos. A maioria dos teoremas mencionados nas seções Teoria de Galois, Construindo campos e Noções elementares podem ser encontrados na obra de Steinitz. Artin & Schreier (1927) vinculou a noção de ordenação em um campo e, portanto, a área de análise, a propriedades puramente algébricas. Emil Artin redesenvolveu a teoria de Galois de 1928 a 1942, eliminando a dependência do teorema do elemento primitivo.

Construindo campos

Construindo campos a partir de anéis

Um anel comutativo é um conjunto, equipado com uma operação de adição e multiplicação, satisfazendo todos os axiomas de um corpo, exceto a existência de inversos multiplicativos a< sup>-1. Por exemplo, os inteiros Z formam um anel comutativo, mas não um campo: o recíproco de um inteiro n não é um número inteiro, a menos que n = ±1.

Na hierarquia das estruturas algébricas, os campos podem ser caracterizados como os anéis comutativos R em que cada elemento diferente de zero é uma unidade (o que significa que cada elemento é invertível). Da mesma forma, os corpos são os anéis comutativos com precisamente dois ideais distintos, (0) e R. Os campos também são precisamente os anéis comutativos nos quais (0) é o único ideal primo.

Dado um anel comutativo R, existem duas maneiras de construir um campo relacionado a R , ou seja, duas maneiras de modificar R de modo que todos os elementos diferentes de zero se tornem inversíveis: formando o corpo de frações e formando campos residuais. O corpo de frações de Z é Q, os racionais, enquanto os campos residuais de Z são os campos finitos F_p.

Campo de frações

Dado um domínio integral R, seu corpo de frações Q(< i>R) é construído com as frações de dois elementos de R exatamente como Q é construído a partir dos inteiros. Mais precisamente, os elementos de Q(R) são as frações a/b onde a e b estão em R e b ≠ 0. Duas frações a/b e c/< i>d são iguais se e somente se ad = bc. A operação nas frações funciona exatamente como para os números racionais. Por exemplo,

$Não. (a){b)+{frac Não. {ad+bc}{bd}}.}$

É fácil mostrar que, se o anel é um domínio inteiro, o conjunto das frações forma um corpo.

O corpo F(x) das frações racionais sobre um corpo (ou um domínio integral) F é o corpo de frações do anel polinomial F[x]. O campo F((x)) da série Laurent

${displaystyle sum _{i=k}^{infty }a_{i}x^{i} (kin mathbb {Z}a_{i}in F)}$

sobre um campo F é o corpo de frações do anel F [[x]] de séries de potências formais (em que k ≥ 0). Como qualquer série de Laurent é uma fração de uma série de potências dividida por uma potência de x (em oposição a uma série de potências arbitrária), a representação de frações é menos importante nesta situação, no entanto.

Campos de resíduos

Além do corpo de frações, que incorpora R de forma injetável em um corpo, um corpo pode ser obtido de um anel comutativo R por meio de um mapa sobrejetivo em um campo F. Qualquer campo obtido dessa maneira é um quociente R / m, onde m é um ideal maximal de R. Se R tiver apenas um ideal maximal m, este campo será chamado de campo residual de R.

O ideal gerado por um único polinômio f no anel polinomial R = E[X] (sobre um campo E) é máximo se e somente se f for irredutível em E, ou seja, se f não puder ser expresso como o produto de dois polinômios em E[X] de menor grau. Isso gera um campo

F = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ENão.XNão.f(X)).

Este campo F contém um elemento x (ou seja a classe de resíduo de X) que satisfaz a equação

f(x) = 0.

Por exemplo, C é obtido de R por adjacente ao símbolo da unidade imaginária i, que satisfaz f (< i>i) = 0, onde f (X) = X² + 1. Além disso, f é irredutível sobre R, o que implica que o mapa que envia um polinômio f (X) ∊ R[X] para f (i ) produz um isomorfismo

${displaystyle mathbf {R} [X]/left(X^{2}+1rightarrow }}\mathbf {C}}}$

Construindo campos dentro de um campo maior

Os campos podem ser construídos dentro de um determinado campo de contêiner maior. Suponha que dado um campo E e um campo F contendo < span class="texhtml">E como um subcampo. Para qualquer elemento x de F, existe um subcampo menor de F contendo E e x, chamado de subcampo de F gerado por x e denotado E(x). A passagem de E para E(x) é referido por juntar um elemento a E. Mais geralmente, para um subconjunto S ⊂ F, há um subcampo mínimo de F contendo E e S , denotado por E(S).

A composição de dois subcampos E e E' de algum campo F é o menor subcampo de F contendo E e E'.< /span> O compositum pode ser usado para construir o maior subcampo de F satisfazendo uma determinada propriedade, por exemplo, o maior subcampo de F, que é, na linguagem apresentada abaixo, algébrico sobre E.

Extensões de campo

A noção de um subcampo E ⊂ F também pode ser considerada do ponto de vista oposto, referindo-se para F sendo uma extensão de campo (ou apenas extensão) de E , denotado por

F / E,

e leia "F sobre E ".

Um dado básico de uma extensão de campo é seu grau [F: E], ou seja, a dimensão de F como um espaço vetorial E. Satisfaz a fórmula

Não.G: ENão.G: FNão.F: E].

As extensões cujo grau é finito são referidas como extensões finitas. As extensões C / R e F₄ / F₂ são de grau 2, enquanto R / Q é uma extensão infinita.

Extensões algébricas

Uma noção fundamental no estudo das extensões de campo F / E são elementos algébricas. Um elemento ${displaystyle xin F}$ o Algébrica sobre E se for uma raiz de um polinômio com coeficientes em E, isto é, se satisfaz uma equação polinomial

e_nxⁿ + e_{n- Sim.}x^{n- Sim.} + e₁x + e₀ = 0,

com e_n,..., e₀ em E e e_n ≠ 0. Por exemplo, a unidade imaginária i em C é algébrica sobre R, e até mesmo acima de Q, pois satisfaz a equação

Eu...² + 1 = 0.

Uma extensão de campo em que cada elemento de F é algébrico sobre E é chamado de extensão algébrica. Qualquer extensão finita é necessariamente algébrica, como pode ser deduzido da fórmula de multiplicatividade acima.

O subcampo E(x) gerado por um elemento x, como acima, é uma extensão algébrica de E se e somente se x é um elemento algébrico. Ou seja, se x for algébrico, todos os outros elementos de E(x) são necessariamente algébricos também. Além disso, o grau da extensão E(x) / E, ou seja, o dimensão de E(x) como um E -espaço vetorial, igual ao grau mínimo n tal que existe uma equação polinomial envolvendo x, como acima. Se este grau for n, então os elementos de E(x ) tem o formulário

${displaystyle sum _{k=0}^{n-1}a_{k}x^{k}, a_{k}in E.}$

Por exemplo, o campo Q(i) dos racionais Gaussianos é o subcampo de C que consiste em todos os números da forma a + bi onde a e b são números racionais: somas de a forma i² (e da mesma forma para expoentes superiores) não precisa ser considerada aqui, pois < span class="texhtml">a + bi + ci² pode ser simplificado para < span class="texhtml">a − c + bi.

Bases de transcendência

O corpo acima mencionado de frações racionais E(X), onde X é um indeterminado, não é uma extensão algébrica de E já que não há equação polinomial com coeficientes em E cujo zero é X. Elementos, como X, que não são algébricos são chamados de transcendentais. Informalmente falando, o indeterminado X e seus poderes não interagem com elementos de E . Uma construção semelhante pode ser realizada com um conjunto de indeterminados, em vez de apenas um.

Mais uma vez, a extensão de campo E(x) / E discutida acima é um exemplo importante: se x não for algébrico (ou seja, x não é a raiz de um polinômio com coeficientes em E), então E(x) é isomorfo a E(X). Este isomorfismo é obtido substituindo x por X em frações racionais.

Um subconjunto S de um campo F é um base de transcendência se for algebricamente independente (não satisfaz nenhuma relação polinomial) sobre E e se < i>F é uma extensão algébrica de E(S). Qualquer extensão de campo F / E tem uma base de transcendência. Assim, as extensões de campo podem ser divididas nas formas E(S) / E (extensões puramente transcendentais) e extensões algébricas.

Operações de fechamento

Um corpo é algebricamente fechado se não tiver extensões algébricas estritamente maiores ou, de forma equivalente, se houver alguma equação polinomial

f_nxⁿ + f_{n- Sim.}x^{n- Sim.} + f₁x + f₀ = 0, com coeficientes f_n, f₀ ∈ F, n > 0,

tem uma solução x ∊ F. Pelo teorema fundamental da álgebra, C é algebricamente fechado, ou seja, qualquer equação polinomial com coeficientes complexos tem uma solução complexa. Os números racionais e reais não são algebricamente fechados, pois a equação

x² + 1 = 0

não tem nenhuma solução racional ou real. Um campo contendo F é chamado de fechamento algébrico de F se for algébrico sobre F (a grosso modo, não muito grande em comparação com F) e é algebricamente fechado (grande o suficiente para conter soluções de todas as equações polinomiais).

Pelo exposto acima, C é um fechamento algébrico de R. A situação em que o fechamento algébrico é uma extensão finita do corpo F é bastante especial: pelo teorema de Artin-Schreier, o grau dessa extensão é necessariamente 2, e F é elementarmente equivalente a R. Esses campos também são conhecidos como campos reais fechados.

Qualquer campo F tem um fechamento algébrico, que além disso é único até (não único) isomorfismo. É comumente referido como o fechamento algébrico e denotado F. Por exemplo, o fechamento algébrico Q de Q é chamado de corpo de números algébricos. O campo F geralmente é bastante implícito, pois sua construção requer o lema do ultrafiltro, um axioma da teoria dos conjuntos que é mais fraco que o axioma da escolha. Nesse sentido, o fechamento algébrico de F_q é excepcionalmente simples. É a união dos corpos finitos contendo F_q (os de ordem < span class="texhtml">qⁿ). Para qualquer campo algebricamente fechado F da característica 0, o fechamento algébrico do campo F(t)) da série de Laurent é o corpo da série de Puiseux, obtido pela junção de raízes de t.

Campos com estrutura adicional

Como os campos são onipresentes na matemática e além, vários refinamentos do conceito foram adaptados às necessidades de áreas matemáticas específicas.

Campos ordenados

Um campo F é chamado de campo ordenado se quaisquer dois elementos puderem ser comparados, de modo que x + y ≥ 0 e xy ≥ 0 sempre que x ≥ 0 e y ≥ 0. Por exemplo, os números reais formam um campo ordenado, com a ordenação usual ≥. O teorema de Artin-Schreier afirma que um corpo pode ser ordenado se e somente se for um corpo formalmente real, o que significa que qualquer equação quadrática

$Não. x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+dots +x_{n}^{2}=0}$

só tem a solução x₁ = x₂ = ⋯ = x_n = 0. O conjunto de todas as ordens possíveis em um campo fixo F é isomórfico ao conjunto de homomorfismos de anel do anel de Witt W(F) de formas quadráticas sobre F, até < b>Z.

Um campo arquimediano é um campo ordenado tal que para cada elemento existe uma expressão finita

1 + 1 + 1 + 1

cujo valor é maior que aquele elemento, ou seja, não há elementos infinitos. Equivalentemente, o corpo não contém infinitesimais (elementos menores que todos os números racionais); ou, ainda equivalente, o campo é isomórfico a um subcampo de R.

Cada conjunto real limitado tem um limite mínimo superior.

Um campo ordenado é Dedekind-completo se todos os limites superiores, limites inferiores (ver corte de Dedekind) e limites, que deveriam existir, existirem. Mais formalmente, cada subconjunto limitado de F deve ter um limite mínimo superior. Qualquer corpo completo é necessariamente arquimediano, uma vez que em qualquer corpo não arquimediano não existe nem o maior infinitesimal nem o menor racional positivo, daí a sequência 1/2, 1/3, 1/4,..., cada elemento do qual é maior que todo infinitesimal, não tem limite.

Como todo subcampo próprio dos reais também contém tais lacunas, R é o único campo completo ordenado, até o isomorfismo. Vários resultados fundamentais em cálculo decorrem diretamente dessa caracterização dos reais.

Os hiper-reais R^* formam um campo ordenado que não é arquimediano. É uma extensão dos reais obtidos pela inclusão de números infinitos e infinitesimais. Estes são maiores, respectivamente menores do que qualquer número real. Os hiper-reais formam a base fundamental da análise não padronizada.

Campos topológicos

Outro refinamento da noção de um campo é um campo topológico, no qual o conjunto F é um espaço topológico, tal que todas as operações de o campo (adição, multiplicação, os mapas a ↦ −a e a ↦ a⁻¹) são mapas contínuos em relação à topologia do espaço. A topologia de todos os campos discutidos abaixo é induzida a partir de uma métrica, ou seja, uma função

D: F × F → R,

que mede uma distância entre quaisquer dois elementos de F.

O preenchimento de F é outro campo em que, informalmente falando, as "lacunas" no campo original F são preenchidos, se houver. Por exemplo, qualquer número irracional x, como x = √2, é uma "lacuna" nos racionais Q no sentido de que é um número real que pode ser aproximado arbitrariamente por números racionais < i>p/q, no sentido de que a distância de x e p/q dado pelo valor absoluto | x − p/q | é tão pequeno quanto desejado. A tabela a seguir lista alguns exemplos dessa construção. A quarta coluna mostra um exemplo de sequência zero, ou seja, uma sequência cujo limite (para n → ∞) é zero.

O campo Q_p é usado na teoria dos números e na análise p-ádica. O fechamento algébrico Q_p carrega uma norma única que estende a de Q_p, mas não está completo. A conclusão deste fechamento algébrico, no entanto, é algebricamente fechada. Por causa de sua analogia grosseira com os números complexos, às vezes é chamado de corpo dos números p-ádicos complexos e é denotado por C_p.

Campos locais

Os seguintes campos topológicos são chamados de campos locais:

• extensões finitas de Q_p (campos locais de característica zero)
• extensões finitas de F_p()), o campo da série Laurent sobre F_p (campos locais de característica p).

Esses dois tipos de campos locais compartilham algumas semelhanças fundamentais. Nesta relação, os elementos p ∈ Q_p e t ∈ F_p((t)) (referido como uniformizador) correspondem entre si. A primeira manifestação disso é em nível elementar: os elementos de ambos os campos podem ser expressos como séries de potências no uniformizador, com coeficientes em F_p. (No entanto, uma vez que a adição em Q_p é feita usando transporte, o que não é o caso em F_p((t)), esses campos não são isomórficos.) Os seguintes fatos mostram que essa semelhança superficial é muito mais profunda:

• Qualquer declaração de primeira ordem que é verdadeira para quase todos Q_p também é verdade para quase todos F_p()). Uma aplicação disso é o teorema Ax-Kochen descrevendo zeros de polinômios homogêneos em Q_p.
• Extensões significativamente ramificadas de ambos os campos estão em bijeção uns aos outros.
• Aderindo arbitrário p- raízes de poder de p (em Q_p), respectivamente ) (em F_p())), produz (infinito) extensões destes campos conhecidos como campos perfectoid. Strikingly, os grupos Galois destes dois campos são isomorphic, que é o primeiro vislumbre de um paralelo notável entre estes dois campos:
  $${displaystyle operatorname} {Gal} left(mathbf {Q} _{p}left(p^{1/p^{infty }}right)right)cong operatorname {Gal} left(mathbf {F} _{p}((t))left(t^{1/p^{infty }}right)right). ?$$

  

Campos diferenciais

Campos diferenciais são campos equipados com uma derivação, ou seja, permitem obter derivadas de elementos no campo. Por exemplo, o campo R(X), junto com a derivada padrão de polinômios forma um campo diferencial. Esses campos são centrais para a teoria diferencial de Galois, uma variante da teoria de Galois que lida com equações diferenciais lineares.

Teoria de Galois

A teoria de Galois estuda extensões algébricas de um corpo estudando a simetria nas operações aritméticas de adição e multiplicação. Uma noção importante nesta área é a das extensões finitas de Galois F / E, que são, por definição, aquelas que são separáveis e normais. O teorema do elemento primitivo mostra que extensões finitas separáveis são necessariamente simples, ou seja, da forma

F = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ENão.XNão. f(X),

onde f é um polinômio irredutível (como acima). Para tal extensão, ser normal e separável significa que todos os zeros de f estão contidos em F e que f tem apenas zeros simples. A última condição é sempre satisfeita se E tiver característica 0.

Para uma extensão Galois finita, o grupo Galois Gal(F/E) é o grupo de automorfismos de campo F que é trivial E (i.e., as bijeções σ: F → F que preservam adição e multiplicação e que enviam elementos de E a si mesmos). A importância deste grupo deriva do teorema fundamental da teoria Galois, que constrói uma correspondência explícita entre o conjunto de subgrupos de Gal(F/E) e o conjunto de extensões intermediárias da extensão F/E. Por meio desta correspondência, as propriedades teórico-grupo traduzem-se em fatos sobre campos. Por exemplo, se o grupo Galois de uma extensão Galois como acima não for solvável (não pode ser construído a partir de grupos abelianos), então os zeros de f não pode ser expressa em termos de adição, multiplicação e radicais, ou seja, expressões envolvendo $Não.)$. Por exemplo, os grupos simétricos S_n não é solvável para n ≥ 5. Consequentemente, como pode ser mostrado, os zeros dos seguintes polinômios não são expressáveis por somas, produtos e radicais. Para o último polinomial, este fato é conhecido como o teorema Abel-Ruffini:

f(X) = X⁵ - 4X + 2 (e E = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Q),

f(X) = Xⁿ + um_{n- Sim.}X^{n- Sim.} + um₀ (onde) f é considerado como um polinomial em E(um₀, um_{n- Sim.}), para alguns indeterminados um_Eu..., E é qualquer campo, e n ≥ 5).

O produto tensorial de campos geralmente não é um corpo. Por exemplo, uma extensão finita F / E de grau n é uma extensão de Galois se e somente se houver um isomorfismo de F-álgebras

F ⭐_E F Gerenciamento Fⁿ.

Este fato é o começo da teoria de Galois de Grothendieck, uma extensão de longo alcance da teoria de Galois aplicável a objetos algebro-geométricos.

Invariantes de campos

As invariantes básicas de um campo F incluem a característica e o grau de transcendência de F sobre seu campo principal. O último é definido como o número máximo de elementos em F que são algebricamente independentes sobre o campo primo. Dois corpos algebricamente fechados E e F são isomórficos precisamente se dois dados concordam. Isso implica que quaisquer dois campos algebricamente fechados incontáveis com a mesma cardinalidade e a mesma característica são isomórficos. Por exemplo, Q_p, C_p e C são isomórficos (mas não isomórficos como campos topológicos).

Modelo de teoria de campos

Na teoria do modelo, um ramo da lógica matemática, dois campos E e F são chamados elementarmente equivalentes se todas as declarações matemáticas verdadeiras para E também forem verdadeiras para F e vice-versa. As declarações matemáticas em questão devem ser sentenças de primeira ordem (envolvendo 0, 1, adição e multiplicação). Um exemplo típico, para n > 0, n um inteiro, é

φ (E) = "qualquer polinomial de grau n em E tem um zero em E"

O conjunto de tais fórmulas para todos os n expressa que E é algebricamente fechado. O princípio de Lefschetz afirma que C é elementarmente equivalente a qualquer campo algebricamente fechado F< /span> de característica zero. Além disso, qualquer declaração fixa φ vale em C se e somente se valer em qualquer algebricamente fechado campo de característica suficientemente alta.

Se U for um ultrafiltro em um conjunto I, e F_i é um campo para cada i em I, o ultraproduto da F _i em relação a U é um campo. É denotado por

Ulim_{Eu...- Sim.} F_Eu...,

uma vez que se comporta de várias maneiras como limite dos campos F_i: o teorema de Łoś' afirma que qualquer declaração de primeira ordem válida para todos, exceto para muitos F_i, também vale para o ultraproduto. Aplicado à frase acima φ, isso mostra que existe um isomorfismo

${displaystyle operatorname {ulim} _{pto infty }{overline {mathbf {F} }}_{p}cong mathbf {C}.}$

O teorema de Ax–Kochen mencionado acima também decorre disso e de um isomorfismo dos ultraprodutos (em ambos os casos sobre todos os primos p)

Ulim_p Q_p Gerenciamento de contas_p F_p()).

Além disso, a teoria dos modelos também estuda as propriedades lógicas de vários outros tipos de campos, como campos fechados reais ou campos exponenciais (que são equipados com uma função exponencial exp: F → F^x).

O absoluto grupo Galois

Para corpos que não são fechados algebricamente (ou não fechados de forma separável), o grupo absoluto de Galois Gal(F) é fundamentalmente importante: estender o No caso de extensões finitas de Galois descritas acima, este grupo rege todas as extensões finitas separáveis de F. Por meios elementares, o grupo Gal(F_q) pode ser mostrado como o Grupo Prüfer, a conclusão definitiva de Z. Esta declaração inclui o fato de que as únicas extensões algébricas de Gal(F_q) são os campos Gal(F_qⁿ) para n > 0, e que os grupos de Galois dessas extensões finitas são dados por

Gal(F_qⁿ / F_q) = Z./nZ..

Também é conhecida uma descrição em termos de geradores e relações para os grupos de Galois de campos de números p-ádicos (extensões finitas de Q_p).

Representações de grupos de Galois e de grupos relacionados, como o grupo de Weil, são fundamentais em muitos ramos da aritmética, como o programa de Langlands. O estudo cohomológico de tais representações é feito usando a cohomologia de Galois. Por exemplo, o grupo de Brauer, que é classicamente definido como o grupo de F-álgebras simples centrais, pode ser reinterpretado como um grupo de cohomologia de Galois, ou seja

Br(F) = H²(F, G_m).

Teoria K

A teoria Milnor K é definida como

$Não. K_{n}^{M}(F)=F^{times }otimes cdots otimes F^{times }/leftlangle xotimes (1-x)mid xin Fsetminus {0,1}rightrangle.}$

O teorema do isomorfismo do resíduo norma, provado por volta de 2000 por Vladimir Voevodsky, relaciona-o com a cohomologia de Galois por meio de um isomorfismo

$Não. K_{n}^{M}(F)/p=H^{n}(F,mu _{l}^{otimes n}).}$

A K-teoria algébrica está relacionada ao grupo de matrizes invertíveis com coeficientes do corpo dado. Por exemplo, o processo de obtenção do determinante de uma matriz invertível leva a um isomorfismo K₁(F) = F^{×< /sup>. O teorema de Matsumoto mostra que K₂(F) concorda com K₂M( F). Em graus mais altos, a teoria K diverge da teoria K de Milnor e permanece difícil de calcular em geral.}

Aplicativos

Álgebra linear e álgebra comutativa

Se a ≠ 0, então a equação

Ax = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b)

tem uma solução única x em um campo F, $- Sim.$ Esta consequência imediata da definição de um campo é fundamental na álgebra linear. Por exemplo, é um ingrediente essencial da eliminação gaussiana e da prova de que qualquer espaço vetorial tem uma base.

A teoria dos módulos (a analogia dos espaços vetoriais sobre anéis em vez de campos) é muito mais complicada, porque a equação acima pode ter várias ou nenhuma solução. Em sistemas particulares de equações lineares sobre um anel são muito mais difíceis de resolver do que no caso de campos, mesmo no caso especialmente simples do anel ${displaystyle mathbb {Z} } }$ dos inteiros.

Campos finitos: criptografia e teoria da codificação

A soma de três pontos P, Qe R em uma curva elíptica E (vermelho) é zero se houver uma linha (azul) passando por esses pontos.

Uma rotina criptográfica amplamente aplicada usa o fato de que a exponenciação discreta, ou seja, a computação

umⁿ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = um) um ⋅ < < < < < < < < <) < < < < < < < < <) < < < < < <) < < <) < < < < < < < <) < < < < < < < < < < < < < < < <) < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < <) < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < um (n fatores, para um inteiro n ≥ 1)

em um (grande) campo finito F_q pode ser executado muito mais eficientemente do que o logaritmo discreto, que é a operação inversa, ou seja, determinar a solução n para uma equação

umⁿ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b).

Na criptografia de curva elíptica, a multiplicação em um corpo finito é substituída pela operação de adição de pontos em uma curva elíptica, ou seja, as soluções de uma equação da forma

Sim.² = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x³ + Ax + b).

Campos finitos também são usados em teoria de codificação e combinatória.

Geometria: campo de funções

Uma superfície compacta de Riemann do gênero dois (duas alças). O gênero pode ser lido fora do campo de funções meromórficas na superfície.

Funciona em um espaço topológico adequado X em um campo k pode ser adicionado e multiplicado pontualmente, por exemplo, o produto de duas funções é definido pelo produto de seus valores dentro do domínio:

(f) g)x) = f(x⋅) g(x).

Isso torna essas funções uma k-álgebra comutativa.

Por ter um campo de funções, deve-se considerar álgebras de funções que são domínios inteiros. Neste caso, as razões de duas funções, ou seja, expressões da forma

${displaystyle {frac {f(x)}{g(x)}}, ?$

formam um campo, chamado campo de funções.

Isso ocorre em dois casos principais. Quando X é uma variedade complexa X. Neste caso, considera-se a álgebra de funções holomorfas, ou seja, funções diferenciáveis complexas. Suas proporções formam o campo de funções meromorfas em X.

O campo de função de uma variedade algébrica X (um objeto geométrico definido como os zeros comuns de equações polinomiais) consiste em proporções de funções regulares, ou seja, razões de funções polinomiais na variedade. O campo de função do espaço n-dimensional sobre um campo k é k(x₁,..., x_n), ou seja, o campo que consiste em razões de polinômios em n indeterminados. O campo de função de X é o mesmo de qualquer subvariedade densa aberta. Em outras palavras, o campo de função é insensível à substituição de X por uma subvariedade (ligeiramente) menor.

O campo da função é invariante sob isomorfismo e equivalência birracional de variedades. É, portanto, uma ferramenta importante para o estudo de variedades algébricas abstratas e para a classificação de variedades algébricas. Por exemplo, a dimensão, que é igual ao grau de transcendência de k(X), é invariante sob equivalência birracional. Para curvas (ou seja, a dimensão é uma), o campo de função k(X) é muito próximo de X: se X for suave e adequado (o análogo de ser compacto), X pode ser reconstruído, até o isomorfismo, a partir de seu campo de funções. Na dimensão superior, o campo de função lembra menos, mas ainda informações decisivas sobre X. O estudo dos campos de funções e seu significado geométrico em dimensões superiores é conhecido como geometria birracional. O programa de modelo mínimo tenta identificar as variedades algébricas mais simples (em certo sentido preciso) com um campo de função prescrito.

Teoria dos números: campos globais

Os campos globais estão no centro das atenções na teoria algébrica dos números e na geometria aritmética. Eles são, por definição, campos numéricos (extensões finitas de Q) ou campos de função sobre F_q (extensões finitas de F_q(t)). Quanto aos campos locais, esses dois tipos de campos compartilham várias características semelhantes, embora sejam de característica 0 e característica positiva, respectivamente. Essa analogia de campo de função pode ajudar a moldar as expectativas matemáticas, geralmente primeiro ao entender questões sobre campos de função e, posteriormente, ao tratar o caso de campo de número. Este último costuma ser mais difícil. Por exemplo, a hipótese de Riemann sobre os zeros da função zeta de Riemann (aberta a partir de 2017) pode ser considerada paralela às conjecturas de Weil (comprovadas em 1974 por Pierre Deligne).

As quintas raízes da unidade formam um pentágono regular.

Campos ciclotômicos estão entre os campos numéricos mais intensamente estudados. Eles estão no formato Q(ζ_n), onde ζ_n é uma n-ésima raiz primitiva de unidade, isto é, um número complexo que satisfaz ζⁿ = 1 e ζ^m ≠ 1 para todos os m < n. Por n ser um primo regular, Kummer usou campos ciclotômicos para provar o Último Teorema de Fermat, que afirma a inexistência de soluções racionais diferentes de zero para a equação

xⁿ + Sim.ⁿ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = zangão.ⁿ.

Campos locais são complementações de campos globais. O teorema de Ostrowski afirma que as únicas conclusões de Q, um campo global, são os campos locais < b>Q_p e R. O estudo de questões aritméticas em campos globais pode, às vezes, ser feito observando as questões correspondentes localmente. Essa técnica é chamada de princípio local-global. Por exemplo, o teorema de Hasse-Minkowski reduz o problema de encontrar soluções racionais de equações quadráticas para resolver essas equações em R e Q_p, cujas soluções podem ser facilmente descritas.

Ao contrário dos campos locais, os grupos de Galois dos campos globais não são conhecidos. A teoria de Galois inversa estuda o problema (não resolvido) se algum grupo finito é o grupo de Galois Gal(F/Q) para algum campo numérico F. A teoria de campos de classe descreve as extensões abelianas, isto é, aquelas com grupo abeliano de Galois, ou equivalentemente os grupos abelianos de Galois de campos globais. Uma declaração clássica, o teorema de Kronecker-Weber, descreve a extensão abeliana Q^ab maximal de Q: é o campo

Q(em inglês)_n, n ≥ 2)

obtido por adjoining todo primitivo n- as raízes da unidade. Jugendtraum de Kronecker pede uma descrição similarmente explícita de F^A de campos de número geral F. Para campos quadráticos imaginários, ${displaystyle F=mathbf] (Q} ({sqrt {-d}})}$, D > 0, a teoria da multiplicação complexa descreve F^A usando curvas elípticas. Para campos de número geral, nenhuma descrição explícita é conhecida.

Noções relacionadas

Além da estrutura adicional que os campos podem ter, os campos admitem várias outras noções relacionadas. Como em qualquer campo 0 ≠ 1, qualquer campo possui pelo menos dois elementos. No entanto, existe um conceito de corpo com um elemento, que é sugerido como um limite dos corpos finitos F_p , pois p tende a 1. Além dos anéis de divisão, existem várias outras estruturas algébricas mais fracas relacionadas a corpos como quasicampos, campos próximos e semicampos.

Também existem classes próprias com estrutura de campo, que às vezes são chamadas de Campos, com F maiúsculo. Os números surreais formam um Campo contendo os reais, e seriam um campo, exceto pelo fato de que eles são uma classe adequada, não um conjunto. Os nimbers, um conceito da teoria dos jogos, também formam esse campo.

Anéis de divisão

O teorema de bola peluda afirma que uma bola não pode ser penteada. Mais formalmente, não há campo de vetor tangente contínuo na esfera S², que é em todo lugar não-zero.

A eliminação de um ou vários axiomas na definição de um corpo leva a outras estruturas algébricas. Como foi mencionado acima, anéis comutativos satisfazem todos os axiomas de corpo, exceto pela existência de inversos multiplicativos. Em vez disso, descartar a comutatividade da multiplicação leva ao conceito de um anel de divisão ou campo enviesado; às vezes, a associatividade também é enfraquecida. Os únicos anéis de divisão que são espaços vetoriais R de dimensão finita são R< /span> em si, C (que é um campo) e os quaternions H (em que a multiplicação não é comutativa). Este resultado é conhecido como teorema de Frobenius. Os octonions O, para os quais a multiplicação não é nem comutativa nem associativa, é uma álgebra de divisão alternativa normada, mas não é um anel de divisão. Este fato foi provado usando métodos de topologia algébrica em 1958 por Michel Kervaire, Raoul Bott e John Milnor. A inexistência de uma álgebra de divisão de dimensão ímpar é mais clássica. Pode ser deduzido do teorema da bola cabeluda ilustrado à direita.