Campo algebricamente fechado

Em matemática, um corpo F é algebricamente fechado se todo polinômio não constante em F[x] (o anel polinomial univariado com coeficientes em F) tem uma raiz em F.

Exemplos

Por exemplo, o corpo dos números reais não é fechado algebricamente, porque a equação polinomial x² + 1 = 0 não tem solução em números reais, embora todos os seus coeficientes (1 e 0) são reais. O mesmo argumento prova que nenhum subcorpo do corpo real é algebricamente fechado; em particular, o corpo dos números racionais não é algebricamente fechado. Além disso, nenhum corpo finito F é algebricamente fechado, porque se a₁, a₂,..., a_n são os elementos de F, então o polinômio (x − a₁)(x − a₂) ⋯ (x − a_n) + 1 não tem zero em F. Em contraste, o teorema fundamental da álgebra afirma que o corpo dos números complexos é algebricamente fechado. Outro exemplo de um corpo algebricamente fechado é o corpo de números algébricos (complexos).

Propriedades equivalentes

Dado um campo F, a asserção "F é algebricamente fechada" é equivalente a outras afirmações:

Os únicos polinômios irredutíveis são os de grau um

O corpo F é algebricamente fechado se e somente se os únicos polinômios irredutíveis no anel polinomial F[x] são aqueles de grau um.

A afirmação "os polinômios de grau um são irredutíveis" é trivialmente verdadeiro para qualquer campo. Se F é algebricamente fechado e p(x) é um polinômio irredutível de F[x], então tem alguma raiz a e, portanto, p(x) é um múltiplo de x − a. Como p(x) é irredutível, isso significa que p(x) = k(x − a), para algum k ∈ F {0}. Por outro lado, se F não é algebricamente fechado, então existe algum polinômio não constante p(x) em F [x] sem raízes em F. Seja q(x) algum fator irredutível de p(x). Como p(x) não tem raízes em F, q(x) também não tem raízes em F. Portanto, q(x) tem grau maior que um, pois todo polinômio de primeiro grau tem uma raiz em F.

Todo polinômio é um produto de polinômios de primeiro grau

O campo F é algebricamente fechado se e somente se todo polinômio p(x) de grau n ≥ 1, com coeficientes em F, divide em fatores lineares. Em outras palavras, existem os elementos k, x₁, x₂,..., x_n do campo F tal que p(x) = k(x − x₁)(x − x₂) ⋯ (x − x_n).

Se F tem esta propriedade, então claramente todo polinômio não constante em F[x] tem alguma raiz em F ; em outras palavras, F é algebricamente fechado. Por outro lado, a propriedade declarada aqui vale para F se F for algebricamente fechado segue da propriedade anterior juntamente com o fato de que, para qualquer corpo K , qualquer polinômio em K[x] pode ser escrito como um produto de polinômios irredutíveis.

Polinômios de grau primo têm raízes

Se todo polinômio sobre F de grau primo tem raiz em F, então todo polinômio não constante tem raiz em F. Segue-se que um corpo é algebricamente fechado se e somente se todo polinômio sobre F de grau primo tem uma raiz em F.

O campo não tem extensão algébrica adequada

O campo F é algebricamente fechado se e somente se não tiver extensão algébrica adequada.

Se F não tem extensão algébrica adequada, seja p(x) algum polinômio irredutível em F [x]. Então o quociente de F[x] módulo o ideal gerado por p(x) é uma extensão algébrica de F cujo grau é igual ao grau de p(x). Como não é uma extensão adequada, seu grau é 1 e, portanto, o grau de p(x) é 1.

Por outro lado, se F tiver alguma extensão algébrica adequada K, então o polinômio mínimo de um elemento em K F é irredutível e seu grau é maior que 1.

O campo não tem extensão finita adequada

O corpo F é algebricamente fechado se e somente se não possui extensão finita própria porque se, na prova anterior, o termo "extensão algébrica" for substituído pelo termo "extensão finita", então a prova ainda é válida. (Observe que extensões finitas são necessariamente algébricas.)

Todo endomorfismo de Fn tem algum autovetor

O corpo F é algebricamente fechado se e somente se, para cada número natural n, todo mapa linear de Fⁿ em si tem algum autovetor.

Um endomorfismo de Fⁿ tem um autovetor se e somente se seu polinômio característico tem alguma raiz. Portanto, quando F é algebricamente fechado, todo endomorfismo de Fⁿ possui algum autovetor. Por outro lado, se todo endomorfismo de Fⁿ tem um autovetor, seja p(x) um elemento de F[x]. Dividindo por seu coeficiente principal, obtemos outro polinômio q(x) que tem raízes se e somente se p(x i>) tem raízes. Mas se q(x) = xⁿ + a_{n − 1}x^{n − 1}+ ⋯ + a₀, então q(x) é o polinômio característico da matriz companheira n×n

(00⋯ ⋯ 0- Sim. - Sim. um010⋯ ⋯ 0- Sim. - Sim. um101⋯ ⋯ 0- Sim. - Sim. um2FORMAÇÃO FORMAÇÃO FORMAÇÃO FORMAÇÃO ⋱ ⋱ FORMAÇÃO FORMAÇÃO FORMAÇÃO FORMAÇÃO 00⋯ ⋯ 1- Sim. - Sim. umn- Sim. - Sim. 1).{displaystyle {begin{pmatrix}0&0&cdots &0&-a_{0}\1&0&cdots &0&-a_{1}\0&1&cdots &0&-a_{2}\vdots &vdots &ddots &vdots &vdots \0&0&cdots &1&-a_{n-1}end{pmatrix}}.}

Decomposição de expressões racionais

O corpo F é algebricamente fechado se e somente se toda função racional em uma variável x, com coeficientes em F, pode ser escrita como a soma de uma função polinomial com funções racionais na forma a/(x − b)ⁿ, onde n é um número natural e a e b são elementos de F.

Se F é algebricamente fechado então, uma vez que os polinômios irredutíveis em F[x] são todos de grau 1, a propriedade declarada acima é sustentado pelo teorema da decomposição de frações parciais.

Por outro lado, suponha que a propriedade declarada acima seja válida para o campo F. Seja p(x) um elemento irredutível em F[x]. Então a função racional 1/p pode ser escrita como a soma de uma função polinomial q com funções racionais da forma a/(x – b)ⁿ. Portanto, a expressão racional

1p(x)- Sim. - Sim. q(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1- Sim. - Sim. p(x)q(x)p(x){displaystyle {frac {1}{p(x)}}-q(x)={frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}}

pode ser escrito como um quociente de dois polinômios em que o denominador é um produto de polinômios de primeiro grau. Como p(x) é irredutível, ele deve dividir esse produto e, portanto, também deve ser um polinômio de primeiro grau.

Polinômios e raízes relativamente primos

Para qualquer campo F, se dois polinômios p(x),q(x ) ∈ F[x] são relativamente primos, então eles não têm uma raiz comum, pois se a ∈ F era uma raiz comum, então p(x) e q(x) seriam ambos seriam múltiplos de x − a e, portanto, não seriam relativamente primos. Os corpos para os quais a implicação inversa é válida (isto é, os corpos tais que sempre que dois polinômios não têm raiz comum, então eles são relativamente primos) são precisamente os corpos algebricamente fechados.

Se o campo F for algebricamente fechado, sejam p(x) e q( x) sejam dois polinômios que não são relativamente primos e seja r(x) seu máximo divisor comum. Então, como r(x) não é constante, ele terá alguma raiz a, que será então uma raiz comum de p(x) e q(x).

Se F não for algebricamente fechado, seja p(x) um polinômio cujo grau seja pelo menos 1 sem raízes. Então p(x) e p(x) não são relativamente primos, mas não têm raízes comuns (já que nenhum deles tem raízes).

Outras propriedades

Se F é um corpo algebricamente fechado e n é um número natural, então F contém todos os n eª raízes da unidade, porque são (por definição) os n (não necessariamente distintos) zeros do polinômio xⁿ − 1. A a extensão de campo que está contida em uma extensão gerada pelas raízes da unidade é uma extensão ciclotômica, e a extensão de um campo gerado por todas as raízes da unidade às vezes é chamada de fechamento ciclotômico. Assim, campos algebricamente fechados são ciclotomicamente fechados. O inverso não é verdadeiro. Mesmo assumindo que todo polinômio da forma xⁿ − a se divide em fatores lineares não é suficiente para garantir que o corpo seja algebricamente fechado.

Se uma proposição que pode ser expressa na linguagem da lógica de primeira ordem é verdadeira para um corpo algebricamente fechado, então ela é verdadeira para todo corpo algebricamente fechado com a mesma característica. Além disso, se tal proposição é válida para um corpo algebricamente fechado com característica 0, então não só é válida para todos os outros campos algebricamente fechados com característica 0, mas existe algum número natural N tal que o a proposição é válida para todo corpo algebricamente fechado com característica p quando p > N.

Todo campo F tem alguma extensão que é algebricamente fechada. Tal extensão é chamada de extensão algebricamente fechada. Entre todas essas extensões existe uma e apenas uma (até isomorfismo, mas não isomorfismo único) que é uma extensão algébrica de F; é chamado de fechamento algébrico de F.

A teoria de corpos algebricamente fechados tem eliminação de quantificadores.