C*-álgebra

Na matemática, especificamente na análise funcional, uma C^∗-álgebra (pronuncia-se "C-estrela") é uma álgebra de Banach junto com uma involução satisfazendo as propriedades do adjunto. Um caso particular é o de uma álgebra complexa A de operadores lineares contínuos em um espaço de Hilbert complexo com duas propriedades adicionais:

• A é um conjunto topologicamente fechado na topologia normativa dos operadores.
• A é fechado sob a operação de tomar conjuntos de operadores.

Outra classe importante de não-Hilbert C*-algebras inclui a álgebra $(X)}$ de funções contínuas de valor complexo em X que desaparece no infinito, onde X é um espaço localmente compacto Hausdorff.

As álgebras C* foram inicialmente consideradas principalmente por seu uso na mecânica quântica para modelar álgebras de observáveis físicos. Esta linha de pesquisa começou com a mecânica matricial de Werner Heisenberg e de forma mais desenvolvida matematicamente com Pascual Jordan por volta de 1933. Posteriormente, John von Neumann tentou estabelecer uma estrutura geral para essas álgebras, que culminou em uma série de artigos sobre anéis de operadores. Esses artigos consideraram uma classe especial de C*-álgebras que agora são conhecidas como álgebras de von Neumann.

Por volta de 1943, o trabalho de Israel Gelfand e Mark Naimark produziu uma caracterização abstrata de C*-álgebras sem fazer referência a operadores em um espaço de Hilbert.

C*-álgebras são agora uma importante ferramenta na teoria de representações unitárias de grupos localmente compactos, e também são usadas em formulações algébricas da mecânica quântica. Outra área ativa de pesquisa é o programa para obter classificação, ou para determinar a extensão de qual classificação é possível, para C*-álgebras nucleares simples separáveis.

Caracterização abstrata

Começamos com a caracterização abstrata de C*-álgebras dada no artigo de 1943 por Gelfand e Naimark.

Uma C*-algebra, A, é uma álgebra de Banach sobre o campo de números complexos, juntamente com um mapa ${textstyle xmapsto x^{*}}$ para $- Sim.$ com as seguintes propriedades:

• É uma involução, para cada x em A:

$(x^{*}=(x^{*})^{*}=x}$

• Para todos x, Sim. em A:

$(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$

$(xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

• Para cada número complexo ${displaystyle lambda in mathbb Não.$ e cada ${displaystyle xin mathbf Não.$:

$(lambda x)^{*}={overline Sim.$

• Para todos x em A:

${displaystyle |x^{*}x|=|x|||x^{*}|}.}$

Observação. As três primeiras identidades dizem que A é uma *-álgebra. A última identidade é chamada de C* identity e é equivalente a:

${displaystyle |xx^{*}|=|x|^{2},}$

que às vezes é chamado de identidade B*. Para conhecer a história por trás dos nomes C*- e B*-álgebras, consulte a seção de história abaixo.

A identidade C* é um requisito muito forte. Por exemplo, juntamente com a fórmula do raio espectral, implica que a norma C* é determinada exclusivamente pela estrutura algébrica:

${displaystyle |x|^{2}=|x^{*}x|=sup{|lambda |:x^{*}x-lambda ,1{text{ não é invertível}}}.}$

Um mapa linear limitado, π: A → B, entre as álgebras C* A e < i>B é chamado de *-homomorfismo se

• Para x e Sim. em A

${displaystyle pi (xy)=pi (x)pi (y),}$

• Para x em A

${displaystyle pi (x^{*})=pi (x)^{*},}$

No caso de C*-álgebras, qualquer *-homomorfismo π entre C*-álgebras é contrativo, ou seja, limitado com norma ≤ 1. Além disso, um *-homomorfismo injetivo entre C*- álgebras é isométrica. Essas são consequências da identidade C*.

Um *-homomorfismo bijetivo π é chamado de C*-isomorfismo, caso em que A e B são ditas como isomórficas.

Um pouco de história: B*-álgebras e C*-álgebras

O termo B*-álgebra foi introduzido por C. E. Rickart em 1946 para descrever as *-álgebras de Banach que satisfazem a condição:

• ${displaystyle lVert xx^{*}r Vert = Vert xrVert ^{2}}$ para todos x na B*-algebra dada. (B*-condicionado)

Esta condição implica automaticamente que a *-involução é isométrica, ou seja, ${displaystyle lVert xr Vert = Vert x^{*}r Vert$. Assim, ${displaystyle lVert xx^{*}r Vert = Ver tudo Vert lVert x^{*}r Vert$, e, portanto, uma B*-algebra também é uma C*-algebra. Por outro lado, a C*-condição implica a B*-condição. Isso não é trivial, e pode ser provado sem usar a condição ${displaystyle lVert xr Vert = Vert x^{*}r Vert$. Por estas razões, o termo B*-algebra raramente é usado na terminologia atual, e foi substituído pelo termo 'C*-algebra'.

O termo C*-álgebra foi introduzido por I. E. Segal em 1947 para descrever subálgebras de norma fechada de B(H), ou seja, o espaço de operadores limitados em algum espaço de Hilbert H. 'C' significava 'fechado'. Em seu artigo, Segal define uma álgebra C* como uma "álgebra auto-adjunta uniformemente fechada de operadores limitados em um espaço de Hilbert".

Estrutura de C*-álgebras

As álgebras C* têm um grande número de propriedades que são tecnicamente convenientes. Algumas dessas propriedades podem ser estabelecidas usando o cálculo funcional contínuo ou por redução a álgebras C* comutativas. Neste último caso, podemos usar o fato de que a estrutura destes é completamente determinada pelo isomorfismo de Gelfand.

Elementos auto-adjuntos

Elementos autônomos são aqueles da forma ${displaystyle x=x^{*}}$. O conjunto de elementos de uma C*-algebra A da forma $- Sim.$ forma um cone convexo fechado. Este cone é idêntico aos elementos da forma ${displaystyle xx^{*}}$. Elementos deste cone são chamados não negativo (ou às vezes) positivo, embora esta terminologia conflite com o seu uso para elementos de R)

O conjunto de elementos auto-adesivos de uma C*-algebra A naturalmente tem a estrutura de um espaço vetorial parcialmente ordenado; o ordenamento é geralmente denotado $- Sim.$. Neste ordenamento, um elemento auto-ajunto ${displaystyle xin A}$ satisfaz ${displaystyle xgeq 0}$ se e somente se o espectro de $Não.$ é não negativo, se e somente se $- Sim.$ para alguns $- Sim.$. Dois elementos autônomos $Não.$ e $- Sim.$ de A satisfação $- Sim.$ se ${displaystyle x-ygeq} 0$.

Este subespaço parcialmente ordenado permite a definição de um funcional linear positivo em uma álgebra C*, que por sua vez é usada para definir os estados de uma álgebra C*, que por sua vez pode ser usada para construir o espectro de uma álgebra C*-álgebra usando a construção GNS.

Quocientes e identidades aproximadas

Qualquer C*-álgebra A tem uma identidade aproximada. De fato, existe uma família dirigida {e_λ}_λ∈I de elementos auto-adjuntos de A de tal modo que

$O que é isso? }rightarrow x$

${displaystyle 0leq e_{lambda }leq e_{mu }leq 1quad {mbox{ sempre que }}lambda leq mu.}$

Caso A é separável, A tem uma identidade sequencial aproximada. Mais geralmente, A terá uma identidade sequencial aproximada se e somente se A contém um elemento estritamente positivo, isto é, um elemento positivo h tal que HAH é densa em A.

Usando identidades aproximadas, pode-se mostrar que o quociente algébrico de uma C*-álgebra por um ideal bilateral adequado fechado, com a norma natural, é uma C*-álgebra.

Da mesma forma, um ideal bilateral fechado de uma C*-álgebra é ele próprio uma C*-álgebra.

Exemplos

Álgebras C* de dimensão finita

A álgebra M(n, C) de matrizes n × n sobre C torna-se uma álgebra C* se considerarmos as matrizes como operadores no espaço euclidiano, Cⁿ, e usarmos a norma do operador | |·|| em matrizes. A involução é dada pela transposta conjugada. Mais geralmente, pode-se considerar somas diretas finitas de álgebras matriciais. De fato, todas as álgebras C* que são de dimensão finita como espaços vetoriais são desta forma, até o isomorfismo. O requisito auto-adjunto significa que as álgebras C* de dimensão finita são semisimples, fato a partir do qual se pode deduzir o seguinte teorema do tipo Artin-Wedderburn:

Theorem. Uma Álgebra C* de dimensão finita, A, é canonicamente isomórfica a uma soma direta finita

$Não. A=bigoplus _{ein min A}Ae}$

onde min A é o conjunto de nonzero mínimo auto-junto projeções centrais de A.

Cada C*-álgebra, Ae, é isomórfica (de forma não canônica) à álgebra matricial completa M(dim(e), C). A família finita indexada em min A dada por {dim(e)}_e é chamada de vetor de dimensão de A. Este vetor determina exclusivamente a classe de isomorfismo de uma álgebra C* de dimensão finita. Na linguagem da teoria K, este vetor é o cone positivo do grupo K₀ de A.

Uma †-álgebra (ou, mais explicitamente, uma †-álgebra fechada) é o nome ocasionalmente usado em física para uma C*-álgebra de dimensão finita. A adaga, †, é usada no nome porque os físicos normalmente usam o símbolo para denotar um adjunto hermitiano e muitas vezes não estão preocupados com as sutilezas associadas a um número infinito de dimensões. (Matemáticos geralmente usam o asterisco, *, para denotar o adjunto hermitiano.) †-álgebras aparecem com destaque na mecânica quântica e, especialmente, na ciência da informação quântica.

Uma generalização imediata das C*-álgebras de dimensão finita são as C*-álgebras de dimensão aproximadamente finita.

C*-álgebras de operadores

O exemplo prototípico de uma álgebra C* é a álgebra B(H) de operadores lineares limitados (equivalentemente contínuos) definidos em um espaço de Hilbert complexo H; aqui x* denota o operador adjunto do operador x: H → H. De fato, toda C*-álgebra, A, é *-isomórfica a uma subálgebra fechada adjunta de norma fechada de B(H) para um espaço de Hilbert adequado, H; este é o conteúdo do teorema de Gelfand–Naimark.

C*-álgebras de operadores compactos

Seja H um espaço de Hilbert de dimensão infinita separável. A álgebra K(H) de operadores compactos em H é uma subálgebra fechada de norma de B( H). Também é fechado sob involução; portanto, é uma álgebra C*.

C*-álgebras concretas de operadores compactos admitem uma caracterização similar ao teorema de Wedderburn para C*-álgebras de dimensão finita:

Theorem. Se A é um C*-subalgebra de KK(H. H. H.), então existe Espaços Hilbert {H. H. H._Eu...?_{Eu...∈Eu...} tal que

$Não. Acong bigoplus _{iin I}K(H_{i}),}$

onde a soma directa (C*-) consiste em elementos (T_Eu...) do produto cartesiano Π KK(H. H. H._Eu...) com ||T_Eu...| → 0.

Embora K(H) não tenha um elemento de identidade, uma identidade aproximada sequencial para K(H) podem ser desenvolvidos. Para ser específico, H é isomórfico ao espaço de sequências quadradas somáveis l²; podemos assumir que H = l². Para cada número natural n seja H_n o subespaço de sequências de l² que desaparece para índices k ≥ n e seja e_n a projeção ortogonal sobre H< sub>n. A sequência {e_n}_n é uma identidade aproximada para K(< i>H).

K(H) é um ideal fechado bilateral de B(H). Para espaços de Hilbert separáveis, é o ideal único. O quociente de B(H) por K(H) é a álgebra de Calkin.

Álgebras C* comutativas

Vamos. X ser um espaço Hausdorff localmente compacto. O espaço $(X)}$ de funções contínuas de valor complexo em X que desaparecer no infinito (definidos no artigo sobre compactação local) formam uma C*-algebra comutativa $(X)}$ sob a multiplicação pontual e adição. A involução é conjugação pontual. $(X)}$ tem um elemento de unidade multiplicador se e somente se $- Sim.$ é compacto. Como qualquer C*-algebra, $(X)}$ tem uma identidade aproximada. No caso de $(X)}$ isto é imediato: considerar o conjunto direcionado de subconjuntos compactos de $- Sim.$, e para cada compacto $Não.$ Deixa-me. $Não. f_{K}}$ ser uma função de suporte compacto que é idêntico 1 em $Não.$. Tais funções existem pelo teorema de extensão Tietze, que se aplica aos espaços Hausdorff localmente compactos. Qualquer sequência de funções $Não. {f_{K}}}$ é uma identidade aproximada.

A representação de Gelfand afirma que cada C*-algebra comutativa é *-isomorfo para a álgebra $(X)}$, onde $- Sim.$ é o espaço de personagens equipados com a topologia fraca*. Além disso, se $(X)}$ isomorfo para $(Y)}$ como C*-algebras, segue-se que $- Sim.$ e $Não. Sim.$ são homeomorfos. Esta caracterização é uma das motivações para a topologia não-comutativa e programas de geometria não-commutativa.

Álgebra C*-envolvente

Dada uma *-álgebra A de Banach com uma identidade aproximada, existe uma única (até C*-isomorfismo) C*-álgebra E( A) e *-morfismo π de A para E(A) que é universal, isto é, todos os outros * contínuos -morfismo π ': A → B fatora exclusivamente por meio de π. A álgebra E(A) é chamada de álgebra envolvente C* da *-álgebra A de Banach.

De particular importância é a C*-álgebra de um grupo localmente compacto G. Isso é definido como a álgebra C* envolvente da álgebra de grupo de G. A álgebra C* de G fornece contexto para a análise harmônica geral de G no caso de G não ser abeliano. Em particular, o dual de um grupo localmente compacto é definido como sendo o espaço ideal primitivo do grupo C*-álgebra. Ver espectro de uma álgebra C*.

Álgebras de Von Neumann

As álgebras de Von Neumann, conhecidas como álgebras W* antes da década de 1960, são um tipo especial de C*-álgebra. Eles devem ser fechados na topologia do operador fraco, que é mais fraca do que a topologia da norma.

O teorema de Sherman–Takeda implica que qualquer C*-álgebra tem uma W*-álgebra envolvente universal, tal que qualquer homomorfismo para uma W*-álgebra fatora através dela.

Tipo para C*-álgebras

Uma C*-álgebra A é do tipo I se e somente se para todas as representações não degeneradas π de A a álgebra de von Neumann π(A)” (isto é, o bicomutante de π(A)) é uma álgebra tipo I de von Neumann. De fato, é suficiente considerar apenas representações fatoriais, ou seja, representações π para as quais π(A)” é um fator.

Diz-se que um grupo localmente compacto é do tipo I se e somente se seu grupo C*-álgebra for do tipo I.

No entanto, se uma álgebra C* possui representações não do tipo I, então, pelos resultados de James Glimm, ela também possui representações do tipo II e do tipo III. Assim, para C*-álgebras e grupos localmente compactos, só faz sentido falar de propriedades do tipo I e não do tipo I.

C*-álgebras e teoria quântica de campos

Na mecânica quântica, descreve-se tipicamente um sistema físico com uma C*-álgebra A com elemento unitário; os elementos auto-adjuntos de A (elementos x com x* = x) são pensados como o < i>observáveis, as quantidades mensuráveis do sistema. Um estado do sistema é definido como um funcional positivo em A (um mapa C-linear φ: A → C com φ(u*u) ≥ 0 para todo u ∈ A) tal que φ(1) = 1. O valor esperado do observável x, se o sistema está no estado φ, é então φ(x).

Esta abordagem de álgebra C* é usada na axiomatização de Haag-Kastler da teoria quântica de campos locais, onde cada conjunto aberto do espaço-tempo de Minkowski está associado a uma álgebra C*.