Bijeção

Uma função bijetiva, f: X → Y, onde set X é {1, 2, 3, 4} e set Y é {A, B, C, D}. Por exemplo, f(1) = D.

Em matemática, uma bijeção, também conhecida como função bijetiva, correspondência bijetiva ou função invertível , é uma função entre os elementos de dois conjuntos, onde cada elemento de um conjunto é pareado com exatamente um elemento do outro conjunto, e cada elemento do outro conjunto é pareado com exatamente um elemento do primeiro conjunto. Não há elementos não pareados. Em termos matemáticos, uma função bijetiva f: X → Y é um-para -one (injetivo) e mapeamento sobre (sobrejetivo) de um conjunto X para um conjunto Y. O termo correspondência um-para-um não deve ser confundido com função um-para-um (uma função injetiva; veja as figuras).

Uma bijeção do conjunto X para o conjunto Y tem uma função inversa de Y para X. Se X e Y são conjuntos finitos, então a existência de uma bijeção significa que eles têm o mesmo número de elementos. Para conjuntos infinitos, a imagem é mais complicada, levando ao conceito de número cardinal – uma forma de distinguir os vários tamanhos de conjuntos infinitos.

Uma função bijetiva de um conjunto para si mesmo também é chamada de permutação, e o conjunto de todas as permutações de um conjunto forma o grupo simétrico.

As funções bijetivas são essenciais para muitas áreas da matemática, incluindo as definições de isomorfismos, homeomorfismos, difeomorfismos, grupos de permutação e mapas projetivos.

Definição

Para um emparelhamento entre X e Y (onde Y não precisa ser diferente de X) ser uma bijeção, quatro propriedades devem ser mantidas:

1. cada elemento de X deve ser emparelhado com pelo menos um elemento de Y,
2. nenhum elemento de X pode ser emparelhado com mais de um elemento de Y,
3. cada elemento de Y deve ser emparelhado com pelo menos um elemento de Xe
4. nenhum elemento de Y pode ser emparelhado com mais de um elemento de X.

Satisfazer as propriedades (1) e (2) significa que um pareamento é uma função com domínio X. É mais comum ver as propriedades (1) e (2) escritas como uma única instrução: Cada elemento de X é emparelhado com exatamente um elemento de Y. Funções que satisfazem a propriedade (3) são ditas "sobre Y " e são chamados de sobrejeções (ou funções sobrejetivas). As funções que satisfazem a propriedade (4) são chamadas de "funções um-para-um" e são chamados de injeções (ou funções injetivas). Com esta terminologia, uma bijeção é uma função que é tanto uma sobrejeção quanto uma injeção, ou, usando outras palavras, uma bijeção é uma função que é tanto "um-para-um" e "onto".

Às vezes, as bijeções são indicadas por uma seta de duas pontas para a direita com cauda (U+2916 ⤖ SETA DIREITA DE DUAS PONTAS COM CAUDA), como em f: X ⤖ Y. Este símbolo é uma combinação da seta de duas pontas para a direita (U+21A0 ↠ SETA PARA A DIREITA DE DUAS CABEÇAS), às vezes usada para denotar sobrejeções, e a seta para a direita com um cauda farpada (U+21A3 ↣ SETA PARA A DIREITA COM CAUDA), às vezes usado para denotar injeções.

Exemplos

Linha de rebatidas de um time de beisebol ou críquete

Considere a escalação de rebatidas de um time de beisebol ou críquete (ou qualquer lista de todos os jogadores de qualquer equipe esportiva em que cada jogador ocupe um lugar específico na escalação). O conjunto X serão os jogadores do time (de tamanho nove no caso do beisebol) e o conjunto Y serão as posições na ordem de rebatidas (1º, 2º, 3º, etc.) O "emparelhamento" é dado por qual jogador está em que posição nesta ordem. A propriedade (1) é satisfeita, pois cada jogador está em algum lugar da lista. A propriedade (2) é satisfeita, pois nenhum jogador rebate em duas (ou mais) posições na ordem. A propriedade (3) diz que para cada posição na ordem, existe algum jogador rebatendo naquela posição e a propriedade (4) afirma que dois ou mais jogadores nunca estão rebatendo na mesma posição na lista.

Assentos e alunos de uma sala de aula

Em uma sala de aula há um certo número de cadeiras. Um grupo de alunos entra na sala e o instrutor pede que se sentem. Após um rápido olhar ao redor da sala, o instrutor declara que existe uma bijeção entre o conjunto de alunos e o conjunto de cadeiras, onde cada aluno é pareado com a cadeira em que está sentado. O que o instrutor observou para chegar a essa conclusão foi isso:

1. Cada aluno estava em um lugar (não havia ninguém em pé),
2. Nenhum aluno estava em mais de um lugar,
3. Cada assento tinha alguém sentado lá (não havia lugares vazios), e
4. Nenhum lugar tinha mais de um aluno.

O instrutor concluiu que havia tantos assentos quanto alunos, sem precisar contar nenhum dos conjuntos.

Mais exemplos matemáticos

• Para qualquer conjunto X, a função de identidade 1_X: X → X, 1_X(x) = x é bijetivo.
• A função f: R → R, f(x) = 2x + 1 é bijetivo, desde para cada Sim. há um único x Não.Sim. - 1)/2 tal que f(x) = Sim.. Mais geralmente, qualquer função linear sobre os reais, f: R → R, f(x) = Ax + b) (onde) um is non-zero) é uma bijeção. Cada número real Sim. é obtido a partir de (ou emparelhado com) o número real x Não.Sim. - Sim. b))um.
• A função f: R → (−π/2, π/2), dado por f(x) = rctan(x) é bijetivo, já que cada número real x é emparelhado com exatamente um ângulo Sim. no intervalo (−π/2, π/2) para que tan(Sim.) = x (isto é, Sim. = arctan(x)). Se o codomínio (−π/2, π/2) foi feito maior para incluir um inteiro múltiplo de π/2, então esta função não estaria mais sobre (surjetiva), uma vez que não há um número real que poderia ser emparelhado com o múltiplo de π/2 por esta função do arconte.
• A função exponencial, g: R → R, g(x) = e^x, não é bijetivo: por exemplo, não há x em R tal que g(x) = −1, mostrando que g não está sobre (surjetivo). No entanto, se o codomínio é restrito aos números reais positivos R+)) (0,∞ ∞ ){displaystyle mathbb {R} ^{+}equiv left(0,infty right)}, então g seria bijetivo; seu inverso (veja abaixo) é a função logaritmo natural ln.
• A função h: R → R⁺, h(x) = x² não é bijetivo: por exemplo, h(−1) = h(1) = 1, mostrando que h não é um a um (injetivo). No entanto, se o domínio for restrito a R0+)) Não.0,∞ ∞ ){displaystyle mathbb {R} _{0}^{+}equiv left[0,infty right)}, então h seria bijetivo; seu inverso é a função raiz quadrada positiva.
• Por Cantor-Bernstein-Schröder teorema, dado qualquer dois conjuntos X e Y, e duas funções injetáveis f: X → Y e g: Y → X, existe uma função bijetiva h: X → Y.

Inversas

Uma bijeção f com domínio X (indicado por f: X → Y em notação funcional) também define uma relação inversa começando em Y e indo para X (girando as setas). O processo de "virar as setas" pois uma função arbitrária não em geral produz uma função, mas as propriedades (3) e (4) de uma bijeção dizem que esta relação inversa é uma função com domínio Y. Além disso, as propriedades (1) e (2) dizem então que essa função inversa é uma sobrejeção e uma injeção, ou seja, a função inversa existe e também é uma bijeção. Funções que possuem funções inversas são ditas invertíveis. Uma função é invertível se e somente se for uma bijeção.

Declarada em notação matemática concisa, uma função f: X → Y é bijetiva se e somente se satisfaz a condição

para todos Sim. em Y há um único x em X com Sim. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = f(x).

Continuando com o exemplo de alinhamento de rebatidas de beisebol, a função que está sendo definida recebe como entrada o nome de um dos jogadores e exibe a posição desse jogador na ordem de rebatidas. Como esta função é uma bijeção, ela possui uma função inversa que toma como entrada uma posição na ordem de rebatidas e dá como saída o jogador que estará rebatendo naquela posição.

Composição

A composição g∘ ∘ f{displaystyle g,circ ,f} de duas bijeções f: X → Y e g: Y → Z é uma bijeção, cujo inverso é dado por g∘ ∘ f{displaystyle g,circ ,f} o (g∘ ∘ f)- Sim. - Sim. 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(f- Sim. - Sim. 1)∘ ∘ (g- Sim. - Sim. 1)(g,circ ,f)^{-1};=;(f^{-1}),circ ,(g^{-1})}.

Inversamente, se a composição g∘ ∘ f{displaystyle g,circ ,f} de duas funções é bijetiva, só segue que f é injetável e g é subjetivo.

Uma bijeção composta por uma injeção (esquerda) e uma surjeção (direita).

Cardinalidade

Se X e Y são conjuntos finitos, então existe uma bijeção entre os dois conjuntos X e Y se e somente se X e Y tiverem o mesmo número de elementos. De fato, na teoria axiomática dos conjuntos, isso é considerado a definição de "mesmo número de elementos" (equinumerosidade), e generalizar essa definição para conjuntos infinitos leva ao conceito de número cardinal, uma forma de distinguir os vários tamanhos de conjuntos infinitos.

Propriedades

• Uma função f: R → R é bijetivo se e somente se o seu grafo encontra todas as linhas horizontais e verticais exatamente uma vez.
• Se X é um conjunto, então as funções bijetivas de X para si mesmo, juntamente com a operação da composição funcional (),), formar um grupo, o grupo simétrico de X, que é denotado várias vezes por S(X), S_Xou X! (X factorial).
• Bijeções preservam cardinalidades de conjuntos: para um subconjunto A do domínio com cardinalidade |A| e subconjunto B do codomínio com cardinalidade |B|, um tem as seguintes equalidades:

  |f(A| = |A| e |f^{- Sim.}(B| = |B|.

• Se X e Y são conjuntos finitos com a mesma cardinalidade, e f: X → Y, então os seguintes são equivalentes:
  1. f é uma bijeção.
  2. f é uma surjeção.
  3. f é uma injeção.
• Para um conjunto finito S, há uma bijeção entre o conjunto de possíveis ordenações totais dos elementos e o conjunto de bijeções de S para S. Ou seja, o número de permutações de elementos de S é o mesmo que o número de encomendas totais desse conjunto —nomeadamente, n!

Teoria da categoria

As bijeções são precisamente os isomorfismos na categoria Conjunto de conjuntos e funções de conjunto. No entanto, as bijeções nem sempre são os isomorfismos para categorias mais complexas. Por exemplo, na categoria Grp de grupos, os morfismos devem ser homomorfismos, pois devem preservar a estrutura do grupo, portanto os isomorfismos são isomorfismos de grupos que são homomorfismos bijetivos.

Generalização para funções parciais

A noção de correspondência um-para-um se generaliza para funções parciais, onde são chamadas de bijeções parciais, embora as bijeções parciais precisem apenas ser injetivas. A razão para esse relaxamento é que uma função parcial (própria) já está indefinida para uma parte de seu domínio; portanto, não há razão convincente para restringir sua inversa a uma função total, ou seja, definida em todos os lugares de seu domínio. O conjunto de todas as bijeções parciais em um determinado conjunto de base é chamado de semigrupo inverso simétrico.

Outra forma de definir a mesma noção é dizer que uma bijeção parcial de A para B é qualquer relação R (que acaba sendo uma função parcial) com a propriedade de que R é o gráfico de uma bijeção f:A′ →B′, onde A′ é um subconjunto de A e B′ é um subconjunto de B.

Quando a bijeção parcial está no mesmo conjunto, às vezes ela é chamada de transformação parcial injetora. Um exemplo é a transformação de Möbius simplesmente definida no plano complexo, em vez de sua conclusão no plano complexo estendido.

Galeria