Base (álgebra linear)

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Conjunto de vetores usados para definir coordenadas

O mesmo vetor pode ser representado em duas bases diferentes (setas puras e vermelhas).

Em matemática, um conjunto $B$ de vetores em um espaço vetorial $V$ é chamado de base se cada elemento de $V$ pode ser escrito de uma maneira única como uma combinação linear finita de elementos de $B$ . Os coeficientes desta combinação linear são referidos como componentes ou coordenadas do vetor em relação a $B$ . Os elementos de uma base são chamados de vetores de base .

Equivalentemente, um conjunto $B$ é uma base se seus elementos são linearmente independentes e cada elemento de $V$ é uma combinação linear de elementos de $B$ . Em outras palavras, uma base é um conjunto gerador linearmente independente.

Um espaço vetorial pode ter várias bases; porém todas as bases possuem o mesmo número de elementos, chamada dimensão do espaço vetorial.

Este artigo trata principalmente de espaços vetoriais de dimensão finita. No entanto, muitos dos princípios também são válidos para espaços vetoriais de dimensão infinita.

Definição

Uma base $B$ de um espaço vetorial $V$ sobre um campo $F$ (como os números reais $R$ ou os números complexos $C$ ) é um subconjunto linearmente independente de $V$ que abrange $V$ . Isso significa que um subconjunto $B$ de $V$ é uma base se satisfaz as duas seguintes condições:

independência linear: para cada subconjunto finito ${displaystyle {mathbf {v} _{1},dotscmathbf {v} _{m}}}$ de $B$ , se ${displaystyle c_{1}mathbf {v} _{1}+cdots +c_{m}mathbf {v} _{m}=mathbf {0} }$ para alguns ${displaystyle c_{1},dotscc_{m}}$ em $F$ , então ${displaystyle c_{1}=cdots =c_{m}=0}$ ;
propriedade de spanning: para cada vetor $v$ em $V$ , um pode escolher ${displaystyle a_{1},dotsca_{n}}$ em $F$ e ${displaystyle mathbf {v} _{1},dotscmathbf {v} _{n}}$ em $B$ tal que ${displaystyle mathbf {v} =a_{1}mathbf {v} _{1}+cdots +a_{n}mathbf {v} _{n}}$ .

Os escalares $a_{i}$ são chamadas as coordenadas do vetor $v$ em relação à base $B$ , e pela primeira propriedade eles são exclusivamente determinados.

Um espaço vetorial que tem uma base finita é chamado de dimensão finita. Nesse caso, o subconjunto finito pode ser considerado como $B$ para verificar a independência linear na definição acima.

Muitas vezes é conveniente ou mesmo necessário ter uma ordenação nos vetores de base, por exemplo, ao discutir orientação, ou quando se considera os coeficientes escalares de um vetor em relação a uma base sem referir-se explicitamente aos elementos de base. Neste caso, a ordenação é necessária para associar cada coeficiente ao elemento base correspondente. Essa ordenação pode ser feita numerando os elementos de base. Para enfatizar que uma ordem foi escolhida, fala-se de uma base ordenada, que não é simplesmente um conjunto não estruturado, mas uma sequência, uma família indexada ou similar; consulte § Bases ordenadas e coordenadas abaixo.

Exemplos

Esta imagem ilustra a base padrão em R². Os vetores azuis e laranjas são os elementos da base; o vetor verde pode ser dado em termos dos vetores de base, e assim é linearmente dependente deles.

O conjunto $R 2$ dos pares ordenados de números reais é um espaço vetorial sob as operações de componente- adição sábia

{displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}

{displaystyle lambda (a,b)=(lambda a,lambda b),}

lambda

e 1 = (1, 0)

e 2 = (0, 1)

v Não. um, b))

R 2

{displaystyle mathbf {v} =amathbf {e} _{1}+bmathbf {e} _{2}.}

R 2

(1, 1)

(-1, 2)

R 2

Mais geralmente, se $F$ é um campo, o conjunto $F^{n}$ de n-tuples de elementos de $F$ é um espaço vetorial para adição similarmente definida e multiplicação escalar. Vamos.

{displaystyle mathbf {e} _{i}=(0,ldots0,1,0,ldots0)}

n

Eu...

{displaystyle mathbf {e} _{1},ldotsmathbf {e} _{n}}

{displaystyle F^{n},}

base padrão

{displaystyle F^{n}.}

Um tipo diferente de exemplo é dado por anéis polinomiais. Se $F$ for um campo, a coleção $F [X]$ de todos os polinômios em um $X$ indeterminado com coeficientes em $F$ é um espaço vetorial $F$ . Uma base para este espaço é a base monomial $B$ , consistindo de todos os monômios:

{displaystyle B={1,X,X^{2},ldots }.}

F Não. X]

Propriedades

Muitas propriedades de bases finitas resultam do lema de troca de Steinitz, que afirma que, para qualquer espaço vetorial $V$ , dado um conjunto gerador finito $S$ e um conjunto linearmente independente $L$ de $n$ elementos de $V$ , pode-se substituir $n$ elementos bem escolhidos de $S$ pelos elementos de $L$ para obter um conjunto abrangente contendo $L$ , tendo seus demais elementos em $S$ , e tendo o mesmo número de elementos que $S$ .

A maioria das propriedades resultantes do lema de troca de Steinitz permanecem verdadeiras quando não há conjunto gerador finito, mas suas provas no caso infinito geralmente requerem o axioma da escolha ou uma forma mais fraca dele, como o lema do ultrafiltro.

Se $V$ é um espaço vetorial sobre um campo $F$ , então:

Se $L$ é um subconjunto linearmente independente de um conjunto de spanning $S \subseteq V$ , então há uma base $B$ tal que ${displaystyle Lsubseteq Bsubseteq S.}$
$V$ tem uma base (esta é a propriedade precedente com $L$ ser o conjunto vazio, e $S = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = V$ ).
Todas as bases $V$ tem a mesma cardinalidade, que é chamada de dimensão de $V$ . Este é o teorema da dimensão.
Um conjunto gerador $S$ é uma base de $V$ se e somente se for mínimo, isto é, nenhum subconjunto adequado de $S$ é também um conjunto gerador de $V$ .
Um conjunto linearmente independente $L$ é uma base se e somente se for maximal, isto é, não é um subconjunto adequado de qualquer conjunto linearmente independente.

Se $V$ for um espaço vetorial de dimensão $n$ , então:

Um subconjunto de $V$ com $n$ elementos é uma base se e somente se for linearmente independente.
Um subconjunto de $V$ com $n$ elementos é uma base se e só se for um conjunto de exploração $V$ .

Coordenadas

Seja $V$ um espaço vetorial de dimensão finita $n$ sobre um campo $F$ , e

{displaystyle B={mathbf {b} _{1},ldotsmathbf {b} _{n}}}

V

v

V

{displaystyle mathbf {v} =lambda _{1}mathbf {b} _{1}+cdots +lambda _{n}mathbf {b} _{n},}

lambda _{1},ldotslambda _{n}

F

coordenadas

v

B

conjuntoconjunto

{displaystyle 3mathbf {b} _{1}+2mathbf {b} _{2}}

{displaystyle 2mathbf {b} _{1}+3mathbf {b} _{2}}

(2, 3)

base ordenadamoldura

Deixe, como de costume, $F^{n}$ ser o conjunto dos n-tuples de elementos de $F$ . Este conjunto é um $F$ - espaço do vetor, com adição e multiplicação escalar definida no sentido componente. O mapa

{displaystyle varphi:(lambda _{1},ldotslambda _{n})mapsto lambda _{1}mathbf {b} _{1}+cdots +lambda _{n}mathbf {b} _{n}}

F^{n}

V

F^{n}

V

n

{displaystyle varphi ^{-1}(mathbf {v})}

v

A imagem inversa por $varphi$ de $mathbf b_i$ é o $n$ - Tupla $mathbf {e} _{i}$ todos cujos componentes são 0, exceto o $Eu...$ que é 1. O $mathbf {e} _{i}$ forma uma base ordenada $F^{n}$ , que é chamado de sua base padrão ou base canônica. A base ordenada $B$ é a imagem por $varphi$ da base canônica de $F^{n}$ .

Segue-se do que precede que cada base ordenada é a imagem por um isomorfismo linear da base canônica $F^{n}$ , e que todo isomorfismo linear de $F^{n}$ sobre $V$ pode ser definido como o isomorfismo que mapeia a base canônica de $F^{n}$ em uma determinada base ordenada de $V$ . Em outras palavras é equivalente a definir uma base ordenada $V$ , ou um isomorfismo linear de $F^{n}$ sobre $V$ .

Mudança de base

Vamos. $V$ ser um espaço vetorial de dimensão $n$ sobre um campo $F$ . Dadas duas bases (ordenadas) ${displaystyle B_{text{old}}=(mathbf {v} _{1},ldotsmathbf {v} _{n})}$ e ${displaystyle B_{text{new}}=(mathbf {w} _{1},ldotsmathbf {w} _{n})}$ de $V$ , é frequentemente útil expressar as coordenadas de um vetor $x$ com respeito a ${displaystyle B_{mathrm {old} }}$ em termos das coordenadas em relação a ${displaystyle B_{mathrm {new} }.}$ Isso pode ser feito pelo fórmula de mudança de base, que é descrito abaixo. Os subscritos "velho" e "novo" foram escolhidos porque é costume referir-se a ${displaystyle B_{mathrm {old} }}$ e ${displaystyle B_{mathrm {new} }}$ como o base antiga e o nova base, respectivamente. É útil descrever as coordenadas antigas em termos dos novos, porque, em geral, se tem expressões envolvendo as coordenadas antigas, e se quer obter expressões equivalentes em termos das novas coordenadas; isto é obtido substituindo as coordenadas antigas por suas expressões em termos das novas coordenadas.

Normalmente, os novos vetores de base são dados por suas coordenadas sobre a base antiga, ou seja,

{displaystyle mathbf {w} _{j}=sum _{i=1}^{n}a_{i,j}mathbf {v} _{i}.}

(x_1, ldots, x_n)

{displaystyle (y_{1},ldotsy_{n})}

x

{displaystyle x_{i}=sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}

Eu... = 1,..., n

Esta fórmula pode ser concisamente escrita em notação matriz. Vamos. $A$ ser a matriz da $a_{i,j}$ , e

{displaystyle X={begin{bmatrix}x_{1}\vdots \x_{n}end{bmatrix}}quad {text{and}}quad Y={begin{bmatrix}y_{1}\vdots \y_{n}end{bmatrix}}}

v

{displaystyle X=AY.}

A fórmula pode ser comprovada considerando a decomposição do vetor $x$ nas duas bases: uma tem

{displaystyle mathbf {x} =sum _{i=1}^{n}x_{i}mathbf {v} _{i},}

{displaystyle mathbf {x} =sum _{j=1}^{n}y_{j}mathbf {w} _{j}=sum _{j=1}^{n}y_{j}sum _{i=1}^{n}a_{i,j}mathbf {v} _{i}=sum _{i=1}^{n}left(sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}right)mathbf {v} _{i}.}

A fórmula de mudança de base resulta então da singularidade da decomposição de um vetor sobre uma base, aqui ${displaystyle B_{text{old}}}$ ; é isso.

{displaystyle x_{i}=sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}

Eu... = 1,..., n

Noções relacionadas

Módulo gratuito

Se alguém substituir o campo que ocorre na definição de um espaço vetorial por um anel, obtém-se a definição de um módulo. Para os módulos, a independência linear e os conjuntos geradores são definidos exatamente como para os espaços vetoriais, embora o "conjunto gerador" é mais comumente usado do que "spanning set".

Como para espaços vetoriais, uma base de um módulo é um subconjunto linearmente independente que também é um conjunto gerador. Uma grande diferença com a teoria dos espaços vetoriais é que nem todo módulo tem uma base. Um módulo que possui uma base é chamado de módulo livre. Os módulos livres desempenham um papel fundamental na teoria de módulos, pois podem ser usados para descrever a estrutura de módulos não livres por meio de resoluções livres.

Um módulo sobre os inteiros é exatamente a mesma coisa que um grupo abeliano. Assim, um módulo livre sobre os inteiros também é um grupo abeliano livre. Grupos abelianos livres têm propriedades específicas que não são compartilhadas por módulos sobre outros anéis. Especificamente, cada subgrupo de um grupo abeliano livre é um grupo abeliano livre e, se $G$ é um subgrupo de um grupo abeliano livre gerado finitamente $H. H. H.$ (isto é um grupo abeliano que tem uma base finita), então há uma base ${displaystyle mathbf {e} _{1},ldotsmathbf {e} _{n}}$ de $H. H. H.$ e um inteiro $0 \leq k \leq n$ tal que ${displaystyle a_{1}mathbf {e} _{1},ldotsa_{k}mathbf {e} _{k}}$ é uma base de $G$ , para alguns inteiros nonzero $a_{1},ldotsa_{k}$ . Para obter detalhes, consulte Grupo abeliano livre § Subgrupos.

Análise

No contexto de espaços vetoriais de dimensão infinita sobre os números reais ou complexos, o termo Base de Hamel (nomeado após Georg Hamel) ou base algébrica pode ser usado para se referir a uma base como definida neste artigo. Isto é fazer uma distinção com outras noções de "basis" que existem quando espaços vetoriais de dimensão infinita são dotados de estrutura extra. As alternativas mais importantes são bases ortogonais em espaços de Hilbert, bases de Schauder e bases de Markushevich em espaços lineares normáticos. No caso dos números reais R visto como um espaço vetorial sobre o campo Q de números racionais, bases Hamel são incontáveis, e têm especificamente a cardinalidade do continuum, que é o número cardinal $2^{aleph _{0}}$ , Onde? $aleph _{0}$ é o menor cardeal infinito, o cardeal dos inteiros.

A característica comum das outras noções é que elas permitem a tomada de infinitas combinações lineares dos vetores de base para gerar o espaço. Isso, é claro, requer que somas infinitas sejam definidas significativamente nesses espaços, como é o caso de espaços vetoriais topológicos – uma grande classe de espaços vetoriais incluindo, por exemplo, espaços de Hilbert, espaços de Banach ou espaços de Fréchet.

A preferência de outros tipos de bases para espaços de dimensão infinita é justificada pelo fato de que a base Hamel se torna "muito grande" em espaços de Banach: Se X é um espaço vetorial de dimensão infinita, que é completo (i.e. X é um espaço Banach), então qualquer base Hamel de X é necessariamente incontável. Esta é uma consequência do teorema da categoria Baire. A plenitude, bem como a dimensão infinita são pressupostos cruciais na reivindicação anterior. De fato, espaços finitos-dimensionais têm por definição bases finitas e há infinita-dimensional (não-completo) espaços normáticos que têm bases Hamel contáveis. Considere $c_{00}$ , o espaço das sequências $x=(x_{n})$ de números reais que têm apenas finitamente muitos elementos não-zero, com a norma ${textstyle |x|=sup _{n}|x_{n}|}$ . Sua base padrão, que consiste nas sequências que têm apenas um elemento não-zero, que é igual a 1, é uma base Hamel contável.

Exemplo

No estudo da série de Fourier, aprende-se que as funções ${1} \cup { sin(nx), cos(nx): n = 1, 2, 3,... }$ são uma "base ortogonal" do espaço vetorial (real ou complexo) de todas as funções (valor real ou complexo) no intervalo [0, 2π] que são integráveis ao quadrado neste intervalo, ou seja, funções f satisfazendo

<math alttext="{displaystyle int _{0}^{2pi }left|f(x)right|^{2},dx∫ ∫ 02D D |f(x)|2Dx<∞ ∞ .{displaystyle int _{0}^{2pi }left|f(x)right|^{2},dx<infty.}<img alt="{displaystyle int _{0}^{2pi }left|f(x)right|^{2},dx

As funções ${1} \cup { sin(nx), cos(nx): n = 1, 2, 3,... }$ são linearmente independentes, e toda função f que é integrável ao quadrado em [0, 2π] é uma "combinação linear infinita& #34; deles, no sentido de que

{displaystyle lim _{nto infty }int _{0}^{2pi }left|a_{0}+sum _{k=1}^{n}left(a_{k}cos left(kxright)+b_{k}sin left(kxright)right)-f(x)right|^{2}dx=0}

para coeficientes adequados (reais ou complexos) a_k, b_k. Mas muitas funções integráveis ao quadrado não podem ser representadas como combinações lineares finitas dessas funções de base, que, portanto, não compreendem uma base de Hamel. Cada base de Hamel deste espaço é muito maior do que este conjunto meramente contável de funções infinitas. As bases Hamel de espaços desse tipo normalmente não são úteis, enquanto as bases ortonormais desses espaços são essenciais na análise de Fourier.

Geometria

As noções geométricas de um espaço afine, espaço projetivo, conjunto convexo e cone têm noções relacionadas de base. Um base de afinação para um n- o espaço afine dimensional é $n+1$ pontos em posição linear geral. A base projetiva o $n+2$ pontos em posição geral, em um espaço projetivo de dimensão n. A base convexa de um politope é o conjunto dos vértices de seu casco convexo. A base cone consiste em um ponto por borda de um cone poligonal. Ver também uma base Hilbert (programação linear).

Base aleatória

Para uma distribuição de probabilidade em $R n$ com uma função de densidade de probabilidade, como como a equidistribuição em uma bola ndimensional em relação à medida de Lebesgue, pode-se mostrar que $n$ vetores escolhidos aleatoriamente e independentemente formarão uma base com probabilidade um, devido ao fato de que $n$ vetores linearmente dependentes $x 1$ ,..., $x n$ em $R n$ deve satisfazer a equação $det[x 1 \dots x n] = 0$ (determinante zero da matriz com colunas $x i$ ), e o conjunto de zeros de um polinômio não trivial tem medida zero. Esta observação levou a técnicas de aproximação de bases aleatórias.

Distribuição empírica de comprimentos N de cadeias quase ortogonais pares de vetores que são amostrados aleatoriamente aleatoriamente aleatoriamente a partir dos n- cubo dimensional

[-1, 1] n

como uma função de dimensão, n. Boxplots mostrar o segundo e terceiro quartis destes dados para cada n, barras vermelhas correspondem às medianas, e estrelas azuis indicam meios. A curva vermelha mostra o limite teórico dado pelo Eq. (1) e a curva verde mostra uma estimativa refinada.

É difícil verificar numericamente a dependência linear ou a ortogonalidade exata. Portanto, a noção de ε-ortogonalidade é usada. Para espaços com produto interno, x é ε-ortogonal para Sim. se $<math alttext="{displaystyle left|leftlangle x,yrightrangle right|/left(left|xright|left|yright|right)|⟨x,Sim.)|/(‖x‖‖Sim.‖)<ε ε {displaystyle left|leftlangle x,yrightrangle right|/left(left|xright|left|yright|right)<varepsilon } <img alt="{displaystyle left|leftlangle x,yrightrangle right|/left(left|xright|left|yright|right)$ (isto é, cosseno do ângulo entre $x$ e $Sim.$ menos do que $ε$ ).

Em altas dimensões, dois vetores aleatórios independentes são com alta probabilidade quase ortogonais, e o número de vetores aleatórios independentes, que são todos com alta probabilidade emparelhados quase ortogonais, cresce exponencialmente com a dimensão. Mais precisamente, considere a equidistribuição em uma bola ndimensional. Escolha N vetores aleatórios independentes de uma bola (eles são independentes e identicamente distribuídos). Seja θ um pequeno número positivo. Então para

{displaystyle Nleq e^{frac {varepsilon ^{2}n}{4}}[-ln(1-theta)]^{frac {1}{2}}}

(Eq. 1)

$N$ vetores aleatórios são todos pares ε-orthogonal com probabilidade $1 - θ$ . Isto é... $N$ crescimento exponencialmente com dimensão $n$ e ${displaystyle Ngg n}$ para suficientemente grande $n$ . Esta propriedade de bases aleatórias é uma manifestação do chamado fenômeno de concentração de medida.

A figura (à direita) ilustra a distribuição de comprimentos N de cadeias quase ortogonais emparelhadas de vetores que são independentemente amostrados aleatoriamente do cubo ndimensional $[-1, 1] n$ em função da dimensão, n. Um ponto é primeiro selecionado aleatoriamente no cubo. O segundo ponto é escolhido aleatoriamente no mesmo cubo. Se o ângulo entre os vetores estava dentro de $π/2 \pm 0.037π/2$ então o vetor foi retido. Na próxima etapa, um novo vetor é gerado no mesmo hipercubo, e seus ângulos com os vetores gerados anteriormente são avaliados. Se esses ângulos estiverem dentro de $π/2 \pm 0.037π/2$ , o vetor será retido. O processo é repetido até que a cadeia de quase ortogonalidade se quebre, e o número desses vetores quase ortogonais aos pares (comprimento da cadeia) é registrado. Para cada n, 20 pares de cadeias quase ortogonais foram construídas numericamente para cada dimensão. A distribuição do comprimento dessas cadeias é apresentada.

Prova de que todo espaço vetorial tem uma base

Seja $V$ qualquer espaço vetorial sobre algum campo $F$ . Seja $X$ o conjunto de todos os subconjuntos linearmente independentes de $V$ .

O conjunto $X$ não é vazio, pois o conjunto vazio é um subconjunto independente de $V$ , e é parcialmente ordenado por inclusão, que é denotada, como sempre, por $\subseteq$ .

Seja $Y$ um subconjunto de $X$ que é totalmente ordenado por $\subseteq$ , e seja $L Y$ a união de todos os elementos de $Y$ (que são certos subconjuntos de $V).$

Como $(Y, \subseteq)$ é totalmente ordenado, todo subconjunto finito de $L Y$ é um subconjunto de um elemento de $Y$ , que é um subconjunto linearmente independente de $V$ e, portanto, $L Y$ é linearmente independente. Assim, $L Y$ é um elemento de $X$ . Portanto, $L Y$ é um limite superior para $Y$ em $(X, \subseteq)$ : é um elemento de $X$ , que contém todos os elementos de $Y$ .

Como $X$ não é vazio, e todo subconjunto totalmente ordenado de $(X, \subseteq)$ tem um limite superior em $X$ , o lema de Zorn afirma que $X$ tem um elemento maximal. Em outras palavras, existe algum elemento $L max$ de $X$ satisfazendo a condição de que sempre que $L max \subseteq L$ para algum elemento $L$ de $X$ , então $L = L max$ .

Resta provar que $L max$ é uma base de $V$ . Como $L max$ pertence a $X$ , já sabemos que $L max$ é um subconjunto linearmente independente de $V$ .

Se houvesse algum vetor $w$ de $V$ que não está no intervalo de $L max$ , então $w$ também não seria um elemento de $L max$ . Seja $L w = L max \cup {w}$ . Este conjunto é um elemento de $X$ , ou seja, é um subconjunto linearmente independente de $V$ (porque w não está no intervalo de L_max e $L max$ é independente). Como $L max \subseteq L w$ e $L max \neq L w$ (porque $L w$ contém o vetor $w$ que não está contido em $L max$ ), isso contradiz a maximalidade de $L max$ . Assim, isso mostra que $L max$ abrange $V$ .

Portanto, $L max$ é linearmente independente e abrange $V$ . É, portanto, uma base de $V$ , e isso prova que todo espaço vetorial tem uma base.

Esta prova se baseia no lema de Zorn, que é equivalente ao axioma da escolha. Por outro lado, foi provado que se todo espaço vetorial tem uma base, então o axioma da escolha é verdadeiro. Assim, as duas afirmações são equivalentes.

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