Axioma de regularidade

Na matemática, o axioma da regularidade (também conhecido como axioma da fundação) é um axioma da teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel que afirma que todo conjunto não vazio A contém um elemento que é separado de A. Na lógica de primeira ordem, o axioma diz:

Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas x(x≠ ≠ ∅ ∅ → → Detalhe Detalhe Sim.(Sim.∈ ∈ x∧ ∧ Sim.─ ─ x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∅ ∅ )).{displaystyle forall x,(xneq varnothing rightarrow exists y(yin x land ycap x=varnothing)). ?

O axioma da regularidade junto com o axioma do pareamento implica que nenhum conjunto é um elemento de si mesmo, e que não existe uma sequência infinita (a_n) tal que a_i+1 é um elemento de a_i para todo i. Com o axioma da escolha dependente (que é uma forma enfraquecida do axioma da escolha), esse resultado pode ser revertido: se não houver tais sequências infinitas, então o axioma da regularidade é verdadeiro. Portanto, neste contexto, o axioma da regularidade é equivalente à sentença de que não há cadeias de pertinência infinitas descendentes.

O axioma foi introduzido por von Neumann (1925); foi adotado em uma formulação mais próxima do encontrado em livros de texto contemporâneos por Zermelo (1930). Praticamente todos os resultados nos ramos da matemática baseados na teoria dos conjuntos mantêm mesmo na ausência de regularidade; veja o capítulo 3 de Kunen (1980). No entanto, a regularidade torna mais fácil provar algumas propriedades de ordinais; e não só permite que a indução seja feita em conjuntos bem ordenados, mas também em classes adequadas que são estruturas relacionais bem fundamentadas, como a ordenação lexicográfico em ((n,α α )∣ ∣ n∈ ∈ ω ω ∧ ∧ α α é um ordinal?.{displaystyle {(n,alpha)mid nin omega land alpha {text{ é um ordinal }}},.}

Dados os outros axiomas da teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel, o axioma da regularidade é equivalente ao axioma da indução. O axioma da indução tende a ser usado no lugar do axioma da regularidade nas teorias intuicionistas (aquelas que não aceitam a lei do terceiro excluído), onde os dois axiomas não são equivalentes.

Além de omitir o axioma da regularidade, as teorias de conjuntos não-padrão postularam de fato a existência de conjuntos que são elementos de si mesmos.

Implicações elementares da regularidade

Nenhum conjunto é um elemento de si mesmo

Vamos. A ser um conjunto, e aplicar o axioma da regularidade a {A}, que é um conjunto pelo axioma do emparelhamento. Veremos que deve haver um elemento de {AO que é disjunto deA} Desde o único elemento de {AÉ... ADeve ser isso A é disjunto de {A} Então, desde A─ ─ (A?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∅ ∅ Não. Acap {A}=varnothing }, não podemos ter A ∈ A (por definição de disjunção).

Não existe uma sequência descendente infinita de conjuntos

Suponha, ao contrário, que exista uma função, f, nos números naturais com f(n+1) e elemento de f(n) para cada n. Defina S = {f(n): n um número natural}, o intervalo de f , que pode ser visto como um conjunto do esquema do axioma da substituição. Aplicando o axioma da regularidade a S, seja B um elemento de S disjunto de S. Pela definição de S, B deve ser f(k) para algum número natural k. No entanto, sabemos que f(k) contém f(k+1) que também é um elemento de S. Então f(k+1) está na interseção de f(k) e S. Isso contradiz o fato de serem conjuntos disjuntos. Já que nossa suposição levou a uma contradição, não deve haver tal função, f.

A inexistência de um conjunto contendo a si mesmo pode ser vista como um caso especial onde a sequência é infinita e constante.

Observe que este argumento só se aplica às funções f que pode ser representado como conjuntos em oposição a classes indefiníveis. Os conjuntos hereditários finitos, V_ω, satisfazer o axioma da regularidade (e todos os outros axiomas de ZFC exceto o axioma do infinito). Então, se uma forma uma ultrapotência não trivial de V_ω, então também vai satisfazer o axioma da regularidade. O modelo resultante conterá elementos, chamados números naturais não padronizados, que satisfazem a definição de números naturais nesse modelo, mas não são números realmente naturais. Eles são "fake" números naturais que são "maiores" do que qualquer número natural real. Este modelo conterá infinitas sequências descendentes de elementos. Por exemplo, suponha n é um número natural não padrão, então (n- Sim. - Sim. 1)∈ ∈ n(n-1)in n} e (n- Sim. - Sim. 2)∈ ∈ (n- Sim. - Sim. 1)(n-2)in (n-1)}E assim por diante. Para qualquer número natural real k, (n- Sim. - Sim. k- Sim. - Sim. 1)∈ ∈ (n- Sim. - Sim. k)(n-k-1)in (n-k)}. Esta é uma sequência descendente incessante de elementos. Mas essa sequência não é definida no modelo e, portanto, não é um conjunto. Portanto, nenhuma contradição com a regularidade pode ser provada.

Definição teórica de conjuntos mais simples do par ordenado

O axioma da regularidade permite definir o par ordenado (a,b) como {a,{a,b}}; consulte par ordenado para detalhes. Esta definição elimina um par de chaves da definição canônica de Kuratowski (a,b) = {{a},{a,b}}.

Cada conjunto tem uma classificação ordinal

Na verdade, essa era a forma original do axioma na axiomatização de von Neumann.

Suponha x é qualquer conjunto. Vamos. ) ser o fechamento transitivo de {x} Vamos. u ser o subconjunto de ) consistindo em conjuntos não classificados. Se u está vazio, então x é classificado e estamos acabados. Caso contrário, aplicar o axioma da regularidade a u para obter um elemento O quê? de u que é disjunto de u. Desde então O quê? em u, O quê? está sem classificação. O quê? é um subconjunto de ) por definição de fechamento transitivo. Desde então O quê? é disjunto de u, cada elemento de O quê? está classificado. Aplicando os axiomas de substituição e união para combinar as fileiras dos elementos de O quê?, temos uma classificação ordinal para O quê?, a wit classificação⁡ ⁡ (O quê?)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Telecomunicações Telecomunicações (classificação⁡ ⁡ (zangão.)+1∣ ∣ zangão.∈ ∈ O quê??{displaystyle textstyle operatorname {rank} (w)=cup {operatorname {rank} (z)+1mid zin w}}. Isso contradiz a conclusão de que O quê? está sem classificação. Então a suposição de que u não era vazio deve ser falso e x deve ter posto.

Para cada dois conjuntos, apenas um pode ser elemento do outro

Seja X e Y conjuntos. Em seguida, aplique o axioma da regularidade ao conjunto {X,Y} (que existe pelo axioma do pareamento). Vemos que deve haver um elemento de {X,Y} que também é disjunto dele. Deve ser X ou Y. Pela definição de disjunto, então, devemos ter ou Y não é um elemento de X ou vice-versa.

O axioma da escolha dependente e nenhuma sequência descendente infinita de conjuntos implica regularidade

Deixe o conjunto não vazio S ser um contra-exemplo para o axioma da regularidade; isto é, cada elemento de S tem uma interseção não vazia com S. Definimos uma relação binária R sobre S por umRb): ⇔ b)∈ ∈ S─ ─ umNão. aRb:Leftrightarrow bin Scap a}, que é inteiro pela suposição. Assim, pelo axioma da escolha dependente, há alguma seqüência (um_n) em S satisfazendo um_nRa_Não. para todos n em N. Como esta é uma cadeia descendente infinita, chegamos a uma contradição e assim, não tal S existe.

Regularidade e o restante dos axiomas ZF(C)

A regularidade mostrou-se relativamente consistente com o resto do ZF por Skolem (1923) e von Neumann (1929), o que significa que se ZF sem regularidade é consistente, então ZF (com regularidade) também é consistente. Para sua prova em notação moderna, veja Vaught (2001, §10.1), por exemplo.

O axioma da regularidade também se mostrou independente dos demais axiomas de ZF(C), assumindo que são consistentes. O resultado foi anunciado por Paul Bernays em 1941, embora ele não tenha publicado uma prova até 1954. A prova envolve (e levou ao estudo de) modelos de permutação de Rieger-Bernays (ou método), que foram usados para outras provas de independência para sistemas não bem fundamentados (Rathjen 2004, p. 193 e Forster 2003, pp. 210–212).

Regularidade e o paradoxo de Russell

A teoria ingênua dos conjuntos (o esquema do axioma da compreensão irrestrita e o axioma da extensionalidade) é inconsistente devido ao paradoxo de Russell. Nas primeiras formalizações de conjuntos, os matemáticos e os lógicos evitaram essa contradição substituindo o esquema axiomático da compreensão pelo esquema axiomático muito mais fraco da separação. No entanto, este passo sozinho leva a teorias de conjuntos que são consideradas muito fracas. Portanto, parte do poder de compreensão foi adicionado de volta por meio de outros axiomas de existência da teoria dos conjuntos ZF (emparelhamento, união, conjunto de potências, substituição e infinito) que podem ser considerados casos especiais de compreensão. Até agora, esses axiomas não parecem levar a nenhuma contradição. Posteriormente, o axioma da escolha e o axioma da regularidade foram adicionados para excluir modelos com algumas propriedades indesejáveis. Esses dois axiomas são conhecidos por serem relativamente consistentes.

Na presença do esquema do axioma da separação, o paradoxo de Russell torna-se uma prova de que não existe um conjunto de todos os conjuntos. O axioma da regularidade junto com o axioma do emparelhamento também proíbem tal conjunto universal. No entanto, o paradoxo de Russell fornece uma prova de que não existe um "conjunto de todos os conjuntos" usando o esquema de axioma de separação sozinho, sem quaisquer axiomas adicionais. Em particular, ZF sem o axioma da regularidade já proíbe tal conjunto universal.

Se uma teoria é estendida pela adição de um axioma ou axiomas, então quaisquer consequências (possivelmente indesejáveis) da teoria original permanecem consequências da teoria estendida. Em particular, se ZF sem regularidade for estendido adicionando regularidade para obter ZF, então qualquer contradição (como o paradoxo de Russell) que se seguiu da teoria original ainda seguiria na teoria estendida.

A existência de átomos de Quine (conjuntos que satisfazem a equação da fórmula x = {x}, ou seja, têm a si mesmos como seus únicos elementos) é consistente com a teoria obtida por removendo o axioma da regularidade do ZFC. Várias teorias de conjuntos não bem fundamentadas permitem uma análise "segura" conjuntos circulares, como os átomos de Quine, sem se tornarem inconsistentes por meio do paradoxo de Russell.

Regularidade, hierarquia cumulativa e tipos

Em ZF pode ser provado que a classe ⋃ ⋃ α α Vα α {displaystyle bigcup _{alpha Não.), chamado de universo von Neumann, é igual à classe de todos os conjuntos. Esta declaração é equivalente ao axioma da regularidade (se trabalharmos em ZF com este axioma omitido). De qualquer modelo que não satisfaça o axioma da regularidade, um modelo que o satisfaz pode ser construído tomando apenas conjuntos em ⋃ ⋃ α α Vα α {displaystyle bigcup _{alpha Não.).

Herbert Enderton (1977, p. 206) escreveu que "A ideia de classificação é descendente do conceito de tipo" de Russell. Comparando ZF com a teoria dos tipos, Alasdair Urquhart escreveu que o sistema de "Zermelo'tem a vantagem de não conter quaisquer variáveis tipificadas explicitamente, embora na verdade possa ser visto como tendo uma estrutura de tipo implícita embutida nele, pelo menos menos se o axioma da regularidade for incluído. Os detalhes dessa digitação implícita são explicados em [Zermelo 1930] e novamente em um conhecido artigo de George Boolos [Boolos 1971]."

Dana Scott (1974) foi além e afirmou que:

A verdade é que há apenas uma maneira satisfatória de evitar os paradoxos: ou seja, o uso de alguma forma do teoria dos tipos. Isso foi baseado nas intuições de Russell e Zermelo. De fato, a melhor maneira de considerar a teoria de Zermelo é como uma simplificação e extensão de Russell. Nós queremos dizer o Russell. simples teoria dos tipos, é claro.) A simplificação era fazer os tipos cumulativo. Assim, a mistura de tipos é mais fácil e as repetições irritantes são evitadas. Uma vez que os tipos posteriores são autorizados a acumular os anteriores, podemos então facilmente imaginar extensão os tipos no transfinito - o quão longe queremos ir deve necessariamente ser deixado aberto. Agora o Russell fez os seus tipos. explícita em sua notação e Zermelo deixou-os implícito. [enfase no original]

No mesmo artigo, Scott mostra que um sistema axiomático baseado nas propriedades inerentes da hierarquia cumulativa acaba por ser equivalente a ZF, incluindo a regularidade.

História

O conceito de bem-fundado e posto de um conjunto foram ambos introduzidos por Dmitry Mirimanoff (1917) cf. Lévy (2002, p. 68) e Hallett (1996, §4.4, esp. p. 186, 188). Mirimanoff chamou um conjunto x "regular" (Francês: "ordinaire") se cada cadeia descendente x ∋ x₁ ∋ x ₂ ∋... é finito. Mirimanoff, entretanto, não considerava sua noção de regularidade (e bem fundamentada) como um axioma a ser observado por todos os conjuntos; em artigos posteriores, Mirimanoff também explorou o que agora é chamado de conjuntos não bem fundamentados ("extraordinário" na terminologia de Mirimanoff).

Skolem (1923) e von Neumann (1925) apontaram que conjuntos não bem fundamentados são supérfluos (na p. 404 na tradução de van Heijenoort) e na mesma publicação von Neumann dá um axioma (p.. 412 na tradução) que exclui alguns, mas não todos, conjuntos não bem fundamentados. Em uma publicação subsequente, von Neumann (1928) deu o seguinte axioma (traduzido em notação moderna por A. Rieger):

Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas x(x≠ ≠ ∅ ∅ → → Detalhe Detalhe Sim.∈ ∈ x(Sim.─ ─ x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∅ ∅ )){displaystyle forall x,(xneq emptyset rightarrow exists yin x,(ycap x=emptyset)}.

Regularidade na presença de urelementos

Urelementos são objetos que não são conjuntos, mas que podem ser elementos de conjuntos. Na teoria dos conjuntos ZF, não há urelements, mas em algumas outras teorias de conjuntos como ZFA, existem. Nestas teorias, o axioma da regularidade deve ser modificado. A declaração "x≠ ≠ ∅ ∅ {displaystyle xneq emptyset }" precisa ser substituído por uma declaração que xNão. não está vazio e não é um urelemento. Um substituto adequado é (Detalhe Detalhe Sim.)Não.Sim.∈ ∈ x](exists y)[yin x]}, que afirma que x é habitada.