Automorfismo

Um automorfismo do grupo Klein quatro mostrado como um mapeamento entre dois gráficos de Cayley, uma permutação na notação de ciclo, e um mapeamento entre duas tabelas de Cayley.

Na matemática, um automorfismo é um isomorfismo de um objeto matemático para si mesmo. É, em certo sentido, uma simetria do objeto e uma forma de mapear o objeto para si mesmo, preservando toda a sua estrutura. O conjunto de todos os automorfismos de um objeto forma um grupo, denominado grupo de automorfismos. É, grosso modo, o grupo de simetria do objeto.

Definição

No contexto da álgebra abstrata, um objeto matemático é uma estrutura algébrica como um grupo, anel ou espaço vetorial. Um automorfismo é simplesmente um homomorfismo bijetivo de um objeto consigo mesmo. (A definição de homomorfismo depende do tipo de estrutura algébrica; veja, por exemplo, homomorfismo de grupo, homomorfismo de anel e operador linear.)

O morfismo de identidade (mapeamento de identidade) é chamado de automorfismo trivial em alguns contextos. Respectivamente, outros automorfismos (não-identitários) são chamados de automorfismos não triviais.

A definição exata de um automorfismo depende do tipo de "objeto matemático" em questão e o que, precisamente, constitui um "isomorfismo" desse objeto. O cenário mais geral no qual essas palavras têm significado é um ramo abstrato da matemática chamado teoria das categorias. A teoria das categorias lida com objetos abstratos e morfismos entre esses objetos.

Na teoria das categorias, um automorfismo é um endomorfismo (ou seja, um morfismo de um objeto para si mesmo) que também é um isomorfismo (no sentido categórico da palavra, significando que existe um direito e endomorfismo inverso esquerdo).

Esta é uma definição muito abstrata já que, na teoria das categorias, morfismos não são necessariamente funções e objetos não são necessariamente conjuntos. Na maioria das configurações concretas, no entanto, os objetos serão conjuntos com alguma estrutura adicional e os morfismos serão funções que preservam essa estrutura.

Grupo de automorfismo

Se os automorfismos de um objeto X formam um conjunto (ao invés de uma classe própria), então eles formam um grupo sob composição de morfismos. Este grupo é chamado de grupo de automorfismo de X.

Encerramento

Composição de dois automorfismos é outro automorfismo.

Associação

Faz parte da definição de uma categoria que a composição dos morfismos é associativa.

Identidade

A identidade é o morfismo de identidade de um objeto para si mesmo, que é um automorfismo.

Inversos

Por definição, cada isomorfismo tem um inverso que também é um isomorfismo, e como o inverso também é um endomorfismo do mesmo objeto é um automorfismo.

O grupo de automorfismo de um objeto X em uma categoria C é denotado Aut_C( X), ou simplesmente Aut(X) se a categoria estiver clara no contexto.

Exemplos

• Na teoria dos conjuntos, uma permutação arbitrária dos elementos de um conjunto X é um automorfismo. O grupo de automorfismo X é também chamado de grupo simétrico em X.
• Na aritmética elementar, o conjunto de inteiros, Z., considerado como um grupo em adição, tem um automorfismo não trivial único: negação. Considerado como um anel, no entanto, tem apenas o automorfismo trivial. De um modo geral, a negação é um automorfismo de qualquer grupo abeliano, mas não de um anel ou campo.
• Um automorfismo de grupo é um isomorfismo de grupo de um grupo para si mesmo. Informalmente, é uma permutação dos elementos do grupo tal que a estrutura permanece inalterada. Para cada grupo G há um homomorfismo de grupo natural G → Aut(G) cuja imagem é o grupo Inn(G) de automorfismos internos e cujo núcleo é o centro de G. Assim, se G tem centro trivial pode ser incorporado em seu próprio grupo de automorfismo.
• Em álgebra linear, um endomorfismo de um espaço vetorial V é um operador linear V → V. Um automorfismo é um operador linear invertível em V. Quando o espaço vetorial é finito-dimensional, o grupo de automorfismo V é o mesmo que o grupo linear geral, GL(V). (A estrutura algébrica de todos os endomorfismos de V é em si uma álgebra sobre o mesmo campo de base que V, cujos elementos invertíveis consistem precisamente de GL(V).
• Um automorfismo de campo é um homomorfismo de anel bijetivo de um campo para si mesmo. Nos casos dos números racionais (Q) e os números reais (R) não há automorfismos de campo não trivial. Alguns subcampos de R têm automorfismos de campo não trivial, que no entanto não se estendem a todos R (porque não podem preservar a propriedade de um número com uma raiz quadrada R). No caso dos números complexos, C, há um automorfismo não trivial único que envia R para dentro R: conjugação complexa, mas há infinitamente (incontavelmente) muitos automorfismos "selvagens" (assumindo o axioma da escolha). Os automorfismos de campo são importantes para a teoria das extensões de campo, em particular as extensões Galois. No caso de uma extensão Galois L/KK o subgrupo de todos os automorfismos de L fixação KK pointwise é chamado o grupo Galois da extensão.
• O grupo de automorfismo das quaternões (H. H. H.) como um anel são os automorfismos internos, pelo teorema de Skolem-Noether: mapas da forma um ↦ Bab^{- Sim.}. Este grupo é isomorfo para SO(3), o grupo de rotações no espaço tridimensional.
• O grupo de automorfismo das octonões (O) é o grupo de Lie excepcional G2.
• Na teoria dos grafos, um automorfismo de um grafo é uma permutação dos nós que preserva bordas e não bordas. Em particular, se dois nós são unidos por uma borda, assim como suas imagens sob a permutação.
• Em geometria, um automorfismo pode ser chamado de movimento do espaço. A terminologia especializada também é usada:
  • Na geometria métrica, um automorfismo é uma auto-isometria. O grupo de automorfismo também é chamado de grupo de isometria.
  • Na categoria de superfícies de Riemann, um automorfismo é um mapa biholomórfico (também chamado de mapa conformado), de uma superfície para si mesmo. Por exemplo, os automorfismos da esfera de Riemann são transformações de Möbius.
  • Um automorfismo de um coletor diferencial M é um diffeomorphism de M para si mesmo. O grupo de automorfismo é às vezes denotado Diff(M).
  • Em topologia, os morfismos entre espaços topológicos são chamados de mapas contínuos, e um automorfismo de um espaço topológico é um homeomorfismo do espaço para si mesmo, ou auto-homeomorfismo (ver grupo homeomorfismo). Neste exemplo é não suficiente para um morfismo ser bijetivo para ser um isomorfismo.

História

Um dos primeiros automorfismos de grupo (automorfismo de um grupo, não simplesmente um grupo de automorfismos de pontos) foi dado pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton em 1856, em seu cálculo icosiano, onde descobriu um automorfismo de ordem dois, escrevendo:

assim μ μ - Sim. é uma nova quinta raiz da unidade, ligada à antiga quinta raiz λ λ - Sim. por relações de reciprocidade perfeita.

Automorfismos internos e externos

Em algumas categorias - notadamente grupos, anéis e álgebras de Lie - é possível separar os automorfismos em dois tipos, chamados de "internos" e "exterior" automorfismos.

No caso de grupos, os automorfismos internos são as conjugações pelos elementos do próprio grupo. Para cada elemento a de um grupo G, a conjugação por a é a operação φ_a: G → G dado por φ_a(g) = aga⁻¹ (ou a⁻¹ga; o uso varia). Pode-se verificar facilmente que a conjugação por a é um automorfismo de grupo. Os automorfismos internos formam um subgrupo normal de Aut(G), denotado por Inn(G); isso é chamado de lema de Goursat.

Os outros automorfismos são chamados de automorfismos externos. O grupo quociente Aut(G) / Inn(G) geralmente é denotado por Out(G); os elementos não triviais são os coconjuntos que contêm os automorfismos externos.

A mesma definição vale para qualquer anel unitário ou álgebra onde a é qualquer elemento invertível. Para álgebras de Lie, a definição é ligeiramente diferente.