Autocorrelação

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Correlação de um sinal com uma cópia do tempo de si mesmo, como uma função de mudança

Acima: Um enredo de uma série de 100 números aleatórios escondendo uma função sine. Abaixo: A função sine revelada em um correlograma produzido por autocorrelação.

Comparação visual de convolução, correlação cruzada e Correlação automática. Para as operações que envolvem a função

f

, e assumindo a altura de

f

é 1.0, o valor do resultado em 5 pontos diferentes é indicado pela área sombreada abaixo de cada ponto. Além disso, a simetria de

f

é a razão

{displaystyle g*f}

fstar g

são idênticos neste exemplo.

Autocorrelação, às vezes conhecida como correlação serial no caso de tempo discreto, é a correlação de um sinal com uma cópia atrasada de si mesmo em função do atraso. Informalmente, é a similaridade entre as observações de uma variável aleatória em função do intervalo de tempo entre elas. A análise de autocorrelação é uma ferramenta matemática para encontrar padrões repetitivos, como a presença de um sinal periódico obscurecido por ruído ou identificar a frequência fundamental ausente em um sinal implícito por suas frequências harmônicas. É frequentemente usado no processamento de sinais para analisar funções ou séries de valores, como sinais no domínio do tempo.

Diferentes campos de estudo definem a autocorrelação de forma diferente, e nem todas essas definições são equivalentes. Em alguns campos, o termo é usado de forma intercambiável com autocovariância.

Processos de raiz unitária, processos estacionários de tendência, processos autorregressivos e processos de média móvel são formas específicas de processos com autocorrelação.

Autocorrelação de processos estocásticos

Nas estatísticas, a autocorrelação de um processo aleatório real ou complexo é a correlação de Pearson entre os valores do processo em diferentes momentos, como uma função das duas vezes ou do tempo lag. Vamos. ${displaystyle left{X_{t}right}}$ ser um processo aleatório, e $t$ ser qualquer ponto no tempo ( $t$ pode ser um inteiro para um processo discreto ou um número real para um processo contínuo). Então... $X_{t}$ é o valor (ou realização) produzido por uma dada execução do processo no momento $t$ . Suponha que o processo signifique $mu _{t}$ e variância $sigma _{t}^{2}$ no momento $t$ , para cada $t$ . Então a definição da função de correção automática entre tempos $t_{1}$ e $t_{2}$ o

{displaystyle operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})=operatorname {E} left[X_{t_{1}}{overline {X}}_{t_{2}}right]}

(Eq.1)

Onde? $operatorname {E}$ é o operador de valor esperado e a barra representa conjugação complexa. Note que a expectativa pode não ser bem definida.

Subtrair a média antes da multiplicação produz o função de auto-covariância entre tempos $t_{1}$ e $t_{2}$ :

{displaystyle operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=operatorname {E} left[(X_{t_{1}}-mu _{t_{1}}){overline {(X_{t_{2}}-mu _{t_{2}})}}right]=operatorname {E} left[X_{t_{1}}{overline {X}}_{t_{2}}right]-mu _{t_{1}}{overline {mu }}_{t_{2}}}

(Eq.2)

Observe que esta expressão não está bem definida para todas as séries ou processos temporais, porque a média pode não existir, ou a variância pode ser zero (para um processo constante) ou infinita (para processos com distribuição sem momentos bem comportados, como certos tipos de lei de potência).

Definição para processo estocástico estacionário de sentido amplo

Se ${displaystyle left{X_{t}right}}$ é um processo estacionário de grande senso, então a média $mu$ e a variância $sigma ^{2}$ são independentes do tempo, e além disso a função de autocovariância depende apenas do atraso entre $t_{1}$ e $t_{2}$ : a autocovariância depende apenas da distância do tempo entre o par de valores, mas não da sua posição no tempo. Isso implica ainda que a autocovariância e auto-correlação pode ser expressa como uma função do time-lag, e que esta seria uma função uniforme do lag ${displaystyle tau =t_{2}-t_{1}}$ . Isso dá as formas mais familiares para o função de correção automática

{displaystyle operatorname {R} _{XX}(tau)=operatorname {E} left[X_{t+tau }{overline {X}}_{t}right]}

(Eq.3)

e a função de covariância automática:

{displaystyle operatorname {K} _{XX}(tau)=operatorname {E} left[(X_{t+tau }-mu){overline {(X_{t}-mu)}}right]=operatorname {E} left[X_{t+tau }{overline {X}}_{t}right]-mu {overline {mu }}}

(Eq.4)

Em particular, observe que

{displaystyle operatorname {K} _{XX}(0)=sigma ^{2}.}

Normalização

É prática comum em algumas disciplinas (por exemplo, estatística e análise de séries temporais) normalizar a função de autocovariância para obter um coeficiente de correlação de Pearson dependente do tempo. No entanto, em outras disciplinas (por exemplo, engenharia), a normalização geralmente é descartada e os termos "autocorrelação" e "autocovariância" são usados de forma intercambiável.

A definição do coeficiente de autocorrelação de um processo estocástico é

{displaystyle rho _{XX}(t_{1},t_{2})={frac {operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{sigma _{t_{1}}sigma _{t_{2}}}}={frac {operatorname {E} left[(X_{t_{1}}-mu _{t_{1}}){overline {(X_{t_{2}}-mu _{t_{2}})}}right]}{sigma _{t_{1}}sigma _{t_{2}}}}.}

Se a função ${displaystyle rho _{XX}}$ é bem definido, seu valor deve estar no intervalo $[-1,1]$ , com 1 indicando perfeita correlação e −1 indicando perfeita anti-correlação.

Para um processo estacionário de sentido amplo (WSS), a definição é

{displaystyle rho _{XX}(tau)={frac {operatorname {K} _{XX}(tau)}{sigma ^{2}}}={frac {operatorname {E} left[(X_{t+tau }-mu){overline {(X_{t}-mu)}}right]}{sigma ^{2}}}}

A normalização é importante porque a interpretação da autocorrelação como uma correlação fornece uma medida sem escala da força da dependência estatística e porque a normalização tem um efeito nas propriedades estatísticas das autocorrelações estimadas.

Propriedades

Propriedade de simetria

O fato de que a função de correção automática ${displaystyle operatorname {R} _{XX}}$ é uma função uniforme pode ser declarada como

{displaystyle operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})={overline {operatorname {R} _{XX}(t_{2},t_{1})}}}

{displaystyle operatorname {R} _{XX}(tau)={overline {operatorname {R} _{XX}(-tau)}}.}

Máximo em zero

Para um processo WSS:

{displaystyle left|operatorname {R} _{XX}(tau)right|leq operatorname {R} _{XX}(0)}

{displaystyle operatorname {R} _{XX}(0)}

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

A desigualdade de Cauchy-Schwarz, desigualdade para processos estocásticos:

{displaystyle left|operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})right|^{2}leq operatorname {E} left[|X_{t_{1}}|^{2}right]operatorname {E} left[|X_{t_{2}}|^{2}right]}

Autocorrelação de ruído branco

A autocorrelação de um sinal de ruído branco em tempo contínuo terá um pico forte (representado por uma função delta de Dirac) em $tau =0$ e será exatamente ${displaystyle 0}$ para todos os outros $tau$ .

Teorema de Wiener–Khinchin

O teorema de Wiener–Khinchin relaciona a função de correção automática ${displaystyle operatorname {R} _{XX}}$ para a densidade espectral de potência ${displaystyle S_{XX}}$ através da transformação Fourier:

{displaystyle operatorname {R} _{XX}(tau)=int _{-infty }^{infty }S_{XX}(f)e^{i2pi ftau },{rm {d}}f}

{displaystyle S_{XX}(f)=int _{-infty }^{infty }operatorname {R} _{XX}(tau)e^{-i2pi ftau },{rm {d}}tau.}

Para funções de valores reais, a função de autocorrelação simétrica tem uma transformação simétrica real, de modo que o teorema de Wiener–Khinchin pode ser reexpresso apenas em termos de cossenos reais:

{displaystyle operatorname {R} _{XX}(tau)=int _{-infty }^{infty }S_{XX}(f)cos(2pi ftau),{rm {d}}f}

{displaystyle S_{XX}(f)=int _{-infty }^{infty }operatorname {R} _{XX}(tau)cos(2pi ftau),{rm {d}}tau.}

Autocorrelação de vetores aleatórios

O (potencialmente dependente do tempo) matriz de correção automática (também chamado segundo momento) de um vetor aleatório (potencialmente dependente do tempo) ${displaystyle mathbf {X} =(X_{1},ldotsX_{n})^{rm {T}}}$ é um $ntimes n$ matriz contendo como elementos as autocorrelações de todos os pares de elementos do vetor aleatório $mathbf {X}$ . A matriz de autocorrelação é usada em vários algoritmos de processamento de sinais digitais.

Para um vetor aleatório ${displaystyle mathbf {X} =(X_{1},ldotsX_{n})^{rm {T}}}$ contendo elementos aleatórios cujo valor esperado e variância existam, o matriz de correção automática é definido por

{displaystyle operatorname {R} _{mathbf {X} mathbf {X} }triangleq operatorname {E} left[mathbf {X} mathbf {X} ^{rm {T}}right]}

(Eq.5)

Onde? ${}^{rm T}$ denota a transposição e tem dimensões $ntimes n$ .

Escrito em componentes:

{displaystyle operatorname {R} _{mathbf {X} mathbf {X} }={begin{bmatrix}operatorname {E} [X_{1}X_{1}]&operatorname {E} [X_{1}X_{2}]&cdots &operatorname {E} [X_{1}X_{n}]\\operatorname {E} [X_{2}X_{1}]&operatorname {E} [X_{2}X_{2}]&cdots &operatorname {E} [X_{2}X_{n}]\\vdots &vdots &ddots &vdots \\operatorname {E} [X_{n}X_{1}]&operatorname {E} [X_{n}X_{2}]&cdots &operatorname {E} [X_{n}X_{n}]\\end{bmatrix}}}

Se $mathbf {Z}$ é um vetor aleatório complexo, a matriz de autocorrelação é definida pelo

{displaystyle operatorname {R} _{mathbf {Z} mathbf {Z} }triangleq operatorname {E} [mathbf {Z} mathbf {Z} ^{rm {H}}].}

Aqui. ${displaystyle {}^{rm {H}}}$ denota a transposição hermitiana.

Por exemplo, se ${displaystyle mathbf {X} =left(X_{1},X_{2},X_{3}right)^{rm {T}}}$ é um vetor aleatório, então ${displaystyle operatorname {R} _{mathbf {X} mathbf {X} }}$ é um $3 times 3$ matriz cuja $(i,j)$ -a entrada é ${displaystyle operatorname {E} [X_{i}X_{j}]}$ .

Propriedades da matriz de autocorrelação

A matriz de autocorrelação é uma matriz hermitiana para vetores aleatórios complexos e uma matriz simétrica para vetores aleatórios reais.
A matriz de autocorrelação é uma matriz semidefinita positiva, ou seja. ${displaystyle mathbf {a} ^{mathrm {T} }operatorname {R} _{mathbf {X} mathbf {X} }mathbf {a} geq 0quad {text{for all }}mathbf {a} in mathbb {R} ^{n}}$ para um vetor aleatório real, e respectivamente ${displaystyle mathbf {a} ^{mathrm {H} }operatorname {R} _{mathbf {Z} mathbf {Z} }mathbf {a} geq 0quad {text{for all }}mathbf {a} in mathbb {C} ^{n}}$ em caso de um vetor aleatório complexo.
Todos os eigenvalues da matriz de autocorrelação são reais e não negativos.
O matriz de auto-covariância está relacionado à matriz de autocorrelação da seguinte forma: ${displaystyle operatorname {K} _{mathbf {X} mathbf {X} }=operatorname {E} [(mathbf {X} -operatorname {E} [mathbf {X} ])(mathbf {X} -operatorname {E} [mathbf {X} ])^{rm {T}}]=operatorname {R} _{mathbf {X} mathbf {X} }-operatorname {E} [mathbf {X} ]operatorname {E} [mathbf {X} ]^{rm {T}}}$ Respectivamente para vetores aleatórios complexos: ${displaystyle operatorname {K} _{mathbf {Z} mathbf {Z} }=operatorname {E} [(mathbf {Z} -operatorname {E} [mathbf {Z} ])(mathbf {Z} -operatorname {E} [mathbf {Z} ])^{rm {H}}]=operatorname {R} _{mathbf {Z} mathbf {Z} }-operatorname {E} [mathbf {Z} ]operatorname {E} [mathbf {Z} ]^{rm {H}}}$

Autocorrelação de sinais determinísticos

No processamento de sinal, a definição acima é freqüentemente usada sem a normalização, ou seja, sem subtrair a média e dividir pela variância. Quando a função de autocorrelação é normalizada por média e variância, às vezes ela é chamada de coeficiente de autocorrelação ou função de autocovariância.

Autocorrelação do sinal de tempo contínuo

Dado um sinal $f(t)$ , a autocorrelação contínua $R_{ff}(tau)$ é mais frequentemente definido como a integral contínua de correlação cruzada $f(t)$ com si mesmo, em lag $tau$ .

{displaystyle R_{ff}(tau)=int _{-infty }^{infty }f(t+tau){overline {f(t)}},{rm {d}}t=int _{-infty }^{infty }f(t){overline {f(t-tau)}},{rm {d}}t}

(Eq.6)

Onde? ${displaystyle {overline {f(t)}}}$ representa o complexo conjugado de $f(t)$ . Note que o parâmetro $t$ na integral é uma variável fictícia e só é necessário calcular a integral. Não tem significado específico.

Autocorrelação de sinal de tempo discreto

A autocorrelação discreta $R$ em lag $ell$ para um sinal discreto $y(n)$ o

{displaystyle R_{yy}(ell)=sum _{nin Z}y(n),{overline {y(n-ell)}}}

(Eq.7)

As definições acima funcionam para sinais que são integráveis ao quadrado ou somados ao quadrado, ou seja, de energia finita. Sinais que "duram para sempre" são tratados como processos aleatórios, caso em que diferentes definições são necessárias, com base nos valores esperados. Para processos aleatórios estacionários de sentido amplo, as autocorrelações são definidas como

{displaystyle {begin{aligned}R_{ff}(tau)&=operatorname {E} left[f(t){overline {f(t-tau)}}right]\R_{yy}(ell)&=operatorname {E} left[y(n),{overline {y(n-ell)}}right].end{aligned}}}

Para processos que não são estacionários, estes também serão funções de $t$ ou $n$ .

Para processos também ergódicos, a expectativa pode ser substituída pelo limite de uma média de tempo. A autocorrelação de um processo ergódico às vezes é definida ou igualada a

{displaystyle {begin{aligned}R_{ff}(tau)&=lim _{Trightarrow infty }{frac {1}{T}}int _{0}^{T}f(t+tau){overline {f(t)}},{rm {d}}t\R_{yy}(ell)&=lim _{Nrightarrow infty }{frac {1}{N}}sum _{n=0}^{N-1}y(n),{overline {y(n-ell)}}.end{aligned}}}

Essas definições têm a vantagem de fornecer resultados sensatos e bem definidos de um único parâmetro para funções periódicas, mesmo quando essas funções não são a saída de processos ergódicos estacionários.

Como alternativa, sinais que duram para sempre podem ser tratados por uma análise de função de autocorrelação de curto prazo, usando integrais de tempo finito. (Veja transformada de Fourier de tempo curto para um processo relacionado.)

Definição de sinais periódicos

Se $f$ é uma função periódica contínua do período $T$ , a integração $-infty$ para $infty$ é substituído pela integração em qualquer intervalo ${displaystyle [t_{0},t_{0}+T]}$ de comprimento $T$ :

{displaystyle R_{ff}(tau)triangleq int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t+tau){overline {f(t)}},dt}

que é equivalente a

{displaystyle R_{ff}(tau)triangleq int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t){overline {f(t-tau)}},dt}

Propriedades

A seguir, descreveremos propriedades de autocorrelações unidimensionais apenas, uma vez que a maioria das propriedades é facilmente transferida do caso unidimensional para os casos multidimensionais. Essas propriedades são válidas para processos estacionários de sentido amplo.

Uma propriedade fundamental da autocorrelação é a simetria, Rff(? ? )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Rff(- Sim. - Sim. ? ? ){displaystyle R_{ff}(tau)=R_{ff}(-tau)} ${displaystyle R_{ff}(tau)=R_{ff}(-tau)}$ , que é fácil de provar da definição. No caso contínuo,
- a autocorrelação é uma função uniforme ${displaystyle R_{ff}(-tau)=R_{ff}(tau)}$ quando $f$ é uma função real, e
- a autocorrelação é uma função hermitiana ${displaystyle R_{ff}(-tau)=R_{ff}^{*}(tau)}$ quando $f$ é uma função complexa.
A função de autocorrelação contínua atinge seu pico na origem, onde leva um valor real, ou seja, para qualquer atraso $tau$ , ${displaystyle |R_{ff}(tau)|leq R_{ff}(0)}$ . Esta é uma consequência da desigualdade de rearranjo. O mesmo resultado é o caso discreto.
A autocorrelação de uma função periódica é, em si, periódica com o mesmo período.
A autocorrelação da soma de duas funções completamente não relacionadas (a correlação cruzada é zero para todos $tau$ ) é a soma das autocorrelações de cada função separadamente.
Uma vez que a autocorrelação é um tipo específico de correlação cruzada, mantém todas as propriedades da correlação cruzada.
Usando o símbolo $*$ representar a convolução e $g_{-1}$ é uma função que manipula a função $f$ e é definido como ${displaystyle g_{-1}(f)(t)=f(-t)}$ , a definição para $R_{ff}(tau)$ pode ser escrito como: ${displaystyle R_{ff}(tau)=(f*g_{-1}({overline {f}}))(tau)}$

Autocorrelação multidimensional

A autocorrelação multidimensional é definida de forma semelhante. Por exemplo, em três dimensões, a autocorrelação de um sinal discreto de soma quadrada seria

{displaystyle R(j,k,ell)=sum _{n,q,r}x_{n,q,r},{overline {x}}_{n-j,q-k,r-ell }.}

Quando os valores médios são subtraídos dos sinais antes de calcular uma função de autocorrelação, a função resultante geralmente é chamada de função de autocovariância.

Cálculo eficiente

Para dados expressos como sequência discreta, é frequentemente necessário calcular a autocorrelação com alta eficiência computacional. Um método de força bruta baseado na definição de processamento de sinal $R_{xx}(j)=sum _{n}x_{n},{overline {x}}_{n-j}$ pode ser usado quando o tamanho do sinal é pequeno. Por exemplo, para calcular a autocorrelação da sequência de sinal real ${displaystyle x=(2,3,-1)}$ (i.e. ${displaystyle x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1}$ e $x_{i}=0$ para todos os outros valores de $Eu...$ ) à mão, reconhecemos pela primeira vez que a definição dada é a mesma que a multiplicação "usual", mas com turnos certos, onde cada adição vertical dá a autocorrelação para valores de lag particulares:

{displaystyle {begin{array}{rrrrrr}&2&3&-1\times &2&3&-1\hline &-2&-3&1\&&6&9&-3\+&&&4&6&-2\hline &-2&3&14&3&-2end{array}}}

Assim, a sequência de autocorrelação necessária é ${displaystyle R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)}$ , onde $R_{xx}(0)=14,$ ${displaystyle R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,}$ e ${displaystyle R_{xx}(-2)=R_{xx}(2)=-2,}$ a autocorrelação para outros valores de lag sendo zero. Neste cálculo não realizamos a operação de transporte durante a adição como é habitual na multiplicação normal. Note que podemos reduzir o número de operações necessárias, explorando a simetria inerente da autocorrelação. Se o sinal for periódico, ou seja, ${displaystyle x=(ldots2,3,-1,2,3,-1,ldots),}$ então obtemos uma autocorrelação circular (semelhante à convolução circular) onde as caudas esquerda e direita da sequência de autocorrelação anterior se sobrepõem e dão ${displaystyle R_{xx}=(ldots14,1,1,14,1,1,ldots)}$ que tem o mesmo período que a sequência de sinal $x.$ O procedimento pode ser considerado como uma aplicação da propriedade de convolução de Z-transforma de um sinal discreto.

Enquanto o algoritmo de força bruta é de ordem $n 2$ , existem vários algoritmos eficientes que podem calcular a autocorrelação em ordem $n log(n)$ . Por exemplo, o teorema de Wiener–Khinchin permite calcular a autocorrelação dos dados brutos $X (t)$ com dois Fourier rápidos transformadas (FFT):

{displaystyle {begin{aligned}F_{R}(f)&=operatorname {FFT} [X(t)]\S(f)&=F_{R}(f)F_{R}^{*}(f)\R(tau)&=operatorname {IFFT} [S(f)]end{aligned}}}

onde IFFT denota a transformada de Fourier rápida inversa. O asterisco denota complexo conjugado.

Como alternativa, uma correlação múltipla de $τ$ pode ser executada usando o cálculo de força bruta para baixo $τ$ valores e, em seguida, categorizando progressivamente os valores $X (t)$ dados com uma densidade logarítmica para calcular valores mais altos, resultando na mesma eficiência $n log(n)$ , mas com requisitos de memória mais baixos.

Estimativa

Para um processo discreto com média e variância conhecida para o qual observamos $n$ observações ${X_{1},,X_{2},,ldots,X_{n}}$ , uma estimativa do coeficiente de autocorrelação pode ser obtida como

{displaystyle {hat {R}}(k)={frac {1}{(n-k)sigma ^{2}}}sum _{t=1}^{n-k}(X_{t}-mu)(X_{t+k}-mu)}

para qualquer inteiro positivo $<math alttext="{displaystyle kk<n- Sim. <img alt="k$ . Quando o verdadeiro significa $mu$ e variância $sigma ^{2}$ são conhecidos, esta estimativa é imparcial. Se a verdadeira média e variância do processo não forem conhecidas, existem várias possibilidades:

Se $mu$ e $sigma ^{2}$ são substituídos pelas fórmulas padrão para a média da amostra e variância da amostra, então este é um estimativa tendenciosa.
Uma estimativa baseada em periodograma substitui $n-k$ na fórmula acima com $n$ . Esta estimativa é sempre tendenciosa; no entanto, geralmente tem um erro quadrado médio menor.
Outras possibilidades derivam do tratamento das duas porções de dados ${X_{1},,X_{2},,ldots,X_{n-k}}$ e ${X_{k+1},,X_{k+2},,ldots,X_{n}}$ separadamente e calculando meios de amostra separados e/ou variações de amostra para uso na definição da estimativa.

A vantagem de estimativas do último tipo é que o conjunto de autocorrelações estimadas, como uma função de $k$ , então formar uma função que é uma autocorrelação válida no sentido de que é possível definir um processo teórico tendo exatamente essa autocorrelação. Outras estimativas podem sofrer do problema que, se forem usadas para calcular a variância de uma combinação linear da $X$ 's, a variância calculada pode resultar negativo.

Análise de regressão

Na análise de regressão usando dados de séries temporais, a autocorrelação em uma variável de interesse é tipicamente modelada com um modelo autorregressivo (AR), um modelo de média móvel (MA), sua combinação como um modelo autorregressivo de média móvel (ARMA), ou uma extensão do último chamado modelo de média móvel integrado autorregressivo (ARIMA). Com múltiplas séries de dados inter-relacionados, a auto-regressão vetorial (VAR) ou suas extensões são usadas.

Em mínimos quadrados ordinários (OLS), a adequação de uma especificação de modelo pode ser verificada em parte estabelecendo se há autocorrelação dos resíduos da regressão. A autocorrelação problemática dos erros, que não são observados, geralmente pode ser detectada porque produz autocorrelação nos resíduos observáveis. (Os erros também são conhecidos como "termos de erro" em econometria.) A autocorrelação dos erros viola a suposição dos mínimos quadrados comuns de que os termos de erro não são correlacionados, o que significa que o teorema de Gauss Markov não se aplica e que os estimadores OLS não são mais os Melhores Estimadores Lineares Imparciais (BLUE). Embora não influencie as estimativas do coeficiente OLS, os erros padrão tendem a ser subestimados (e os escores t superestimados) quando as autocorrelações dos erros em defasagens baixas são positivas.

O teste tradicional para a presença de autocorrelação de primeira ordem é a estatística Durbin-Watson ou, se as variáveis explicativas incluem uma variável dependente de lagged, estatística de Durbin. O Durbin-Watson pode ser linearmente mapeado no entanto para a correlação de Pearson entre os valores e seus atrasos. Um teste mais flexível, cobrindo autocorrelação de ordens mais altas e aplicável se os caracteres incluem atrasos da variável dependente, é o teste Breusch-Godfrey. Isso envolve uma regressão auxiliar, em que os resíduos obtidos da estimativa do modelo de interesse são regressados em (a) os indicadores originais e (b) k lags dos resíduos, onde 'k' é a ordem do teste. A versão mais simples da estatística do teste desta regressão auxiliar é TRIBUNAL², onde T é o tamanho da amostra e R² é o coeficiente de determinação. Sob a hipótese nula de nenhuma autocorrelação, esta estatística é assintoticamente distribuído como $chi ^{2}$ com k graus de liberdade.

As respostas à autocorrelação diferente de zero incluem mínimos quadrados generalizados e o estimador Newey–West HAC (Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent).

Na estimativa de um modelo médio móvel (MA), a função de autocorrelação é usada para determinar o número adequado de termos de erro lagged a ser incluído. Isso é baseado no fato de que para um processo de MA de ordem qnós temos ${displaystyle R(tau)neq 0}$ , para ${displaystyle tau =0,1,ldotsq}$ e ${displaystyle R(tau)=0}$ , para $q}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">? ? >q- Sim. q}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5854152d5c5f77112d870942e86482b8a417df0a" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.37ex; height:2.176ex;"/>$ .

Aplicativos

A análise de autocorrelação é usada fortemente na espectroscopia de correlação de fluorescência para fornecer insights quantitativos sobre difusão de nível molecular e reações químicas.
Outra aplicação de autocorrelação é a medição de espectros ópticos e a medição de pulsos de luz de longa duração produzidos por lasers, ambos usando autocorreladores ópticos.
Autocorrelação é usada para analisar dados dinâmicos de dispersão de luz, o que permite, nomeadamente, a determinação das distribuições de tamanho de partículas de partículas ou micelas suspensas em um fluido. Um laser que brilha na mistura produz um padrão de espectro que resulta do movimento das partículas. A correção automática do sinal pode ser analisada em termos de difusão das partículas. Deste modo, conhecendo a viscosidade do fluido, os tamanhos das partículas podem ser calculados.
Utilizado no sistema GPS para corrigir para o atraso de propagação, ou turno de tempo, entre o ponto de tempo na transmissão do sinal de transportadora nos satélites, e o ponto de tempo no receptor no chão. Isso é feito pelo receptor gerando um sinal de réplica do código C/A de 1.033 bits (C/A) e gerando linhas de chips de código [-1,1] em pacotes de dez de cada vez, ou 10,230 chips (1,023 × 10), deslocando-se ligeiramente como ele vai, a fim de acomodar para a mudança doppler no sinal de satélite de entrada, até que o código do receptor corresponda.
A intensidade de dispersão de raios X de pequeno ângulo de um sistema nanoestruturado é a transformação Fourier da função de autocorrelação espacial da densidade de elétrons.
Na ciência superficial e microscopia da sonda de varredura, a autocorrelação é usada para estabelecer uma ligação entre a morfologia superficial e as características funcionais.
Em óptica, autocorrelações normalizadas e correlações cruzadas dão o grau de coerência de um campo eletromagnético.
No processamento de sinal, a autocorrelação pode dar informações sobre repetir eventos como batidas musicais (por exemplo, para determinar o tempo) ou frequências de pulsar, embora não possa dizer a posição no tempo da batida. Também pode ser usado para estimar o tom musical.
Na gravação de música, a autocorrelação é usada como um algoritmo de detecção de pitch antes do processamento vocal, como um efeito de distorção ou para eliminar erros indesejados e imprecisões.
Autocorrelação no espaço em vez de tempo, através da função Patterson, é usado por difração de raios-X para ajudar a recuperar a "informações de fase superficial" em posições atom não disponíveis através da difração sozinho.
Em estatísticas, a autocorrelação espacial entre locais de amostragem também ajuda a estimar incertezas de valor médio ao amostrar uma população heterogênea.
O algoritmo SEQUEST para analisar espectros de massa faz uso de autocorrelação em conjunto com a correlação cruzada para marcar a semelhança de um espectro observado a um espectro idealizado que representa um peptídeo.
Na astrofísica, a autocorrelação é usada para estudar e caracterizar a distribuição espacial de galáxias no universo e em observações multi-comprimento de binários de raios X de baixa massa.
Nos dados do painel, a autocorrelação espacial refere-se à correlação de uma variável com si mesmo através do espaço.
Na análise dos dados da cadeia Markov Monte Carlo, a autocorrelação deve ser levada em conta para a determinação correta do erro.
Em geociências (especificamente em geofísica) pode ser usado para calcular um atributo sísmico de autocorrelação, de uma pesquisa sísmica 3D do subterrâneo.
Na imagem de ultrassonografia médica, a autocorrelação é usada para visualizar o fluxo sanguíneo.
Na escolha do portfólio intertemporal, a presença ou ausência de autocorrelação na taxa de retorno de um ativo pode afetar a parte ideal do portfólio para segurar nesse ativo.
Autocorrelação foi usado para medir com precisão a frequência do sistema de energia em relés numéricos.

Dependência serial

Dependência serial está intimamente ligada à noção de autocorrelação, mas representa um conceito distinto (ver Correlação e dependência). Em particular, é possível ter dependência serial, mas não correlação (linear). Em alguns campos, no entanto, os dois termos são usados como sinônimos.

Uma série de tempo de uma variável aleatória tem dependência serial se o valor em algum momento $t$ na série é estatisticamente dependente do valor em outro momento $s$ . Uma série é seriamente independente se não houver dependência entre qualquer par.

Se uma série de tempo ${displaystyle left{X_{t}right}}$ é estacionário, então dependência estatística entre o par ${displaystyle (X_{t},X_{s})}$ implicaria que há dependência estatística entre todos os pares de valores no mesmo lag ${displaystyle tau =s-t}$ .

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