Augustin-Jean Fresnel

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Física óptica francesa (1788-1827)

Augustin-Jean Fresnel (10 de maio de 1788 – 14 de julho de 1827) foi um engenheiro civil e físico francês cuja pesquisa em óptica levou à aceitação quase unânime da teoria ondulatória da luz, excluindo qualquer remanescente da teoria corpuscular de Newton, desde o final da década de 1830 até o final do século XIX. Ele é talvez mais conhecido por inventar a lente Fresnel catadióptrica (refletiva/refrativa) e por ser pioneiro no uso de lentes "escalonadas" lentes para ampliar a visibilidade dos faróis, salvando inúmeras vidas no mar. A lente escalonada dióptrica (puramente refrativa) mais simples, proposta pela primeira vez por Count Buffon e reinventada independentemente por Fresnel, é usada em ampliadores de tela e em lentes condensadoras para retroprojetores.

Ao expressar o princípio de ondas secundárias de Huygens e o princípio de interferência de Young em termos quantitativos, e supondo que cores simples consistem em ondas senoidais, Fresnel deu a primeira explicação satisfatória da difração por arestas retas, incluindo a primeira explicação satisfatória baseada em ondas da propagação retilínea. Parte de seu argumento foi uma prova de que a adição de funções senoidais de mesma frequência, mas fases diferentes, é análoga à adição de forças com direções diferentes. Supondo ainda que as ondas de luz são puramente transversais, Fresnel explicou a natureza da polarização, o mecanismo da polarização cromática e os coeficientes de transmissão e reflexão na interface entre dois meios isotrópicos transparentes. Em seguida, generalizando a relação direção-velocidade-polarização para a calcita, ele considerou as direções e polarizações dos raios refratados em cristais duplamente refrativos da classe biaxial (aqueles para os quais a análise de Huygens frentes de onda secundárias não são axissimétricas). O período entre a primeira publicação de sua hipótese de onda transversal pura e a apresentação de sua primeira solução correta para o problema biaxial foi de menos de um ano.

Mais tarde, ele cunhou os termos polarização linear, polarização circular e polarização elíptica, explicou como a rotação óptica pode ser entendida como uma diferença em velocidades de propagação para as duas direções de polarização circular e (ao permitir que o coeficiente de reflexão seja complexo) representou a mudança na polarização devido à reflexão interna total, conforme explorado no losango de Fresnel. Os defensores da teoria corpuscular estabelecida não conseguiram igualar suas explicações quantitativas de tantos fenômenos com base em tão poucas suposições.

Fresnel travou uma longa batalha contra a tuberculose, da qual sucumbiu aos 39 anos. Embora não tenha se tornado uma celebridade pública em vida, viveu apenas o suficiente para receber o devido reconhecimento de seus pares, inclusive (em seu leito de morte) a Medalha Rumford da Royal Society de Londres, e seu nome é onipresente na terminologia moderna de óptica e ondas. Depois que a teoria ondulatória da luz foi incorporada pela teoria eletromagnética de Maxwell na década de 1860, alguma atenção foi desviada da magnitude da contribuição de Fresnel. No período entre a unificação da ótica física de Fresnel e a unificação mais ampla de Maxwell, uma autoridade contemporânea, Humphrey Lloyd, descreveu a teoria das ondas transversais de Fresnel como "o tecido mais nobre que já existiu". adornou o domínio da ciência física, exceto o sistema do universo de Newton."

Infância

Monumento a Augustin Fresnel na fachada de seu local de nascimento em 2 Rue Augustin Fresnel, Broglie, inaugurado em 14 de setembro de 1884. A inscrição, quando traduzida, diz:
"Augustin Fresnel, engenheiro de Bridges and Roads, membro da Academia de Ciências, criador de faróis lenticulares, nasceu nesta casa em 10 de maio de 1788. A teoria da luz deve a este emulador de Newton os conceitos mais altos e as aplicações mais úteis."

Família

Augustin-Jean Fresnel (também chamado de Augustin Jean ou simplesmente Augustin), nascido em Broglie, Normandia, em 10 de maio de 1788, foi o segundo dos quatro filhos do arquiteto Jacques Fresnel (1755–1805) e sua esposa Augustine, née Mérimée (1755–1833). Em 1790, após a Revolução, Broglie passou a fazer parte do departamento de Eure. A família mudou-se duas vezes - em 1789/90 para Cherbourg, e em 1794 para a cidade natal de Jacques, Mathieu, onde Madame Fresnel passaria 25 anos como viúva, sobrevivendo a dois de seus filhos.

O primeiro filho, Louis (1786–1809), foi admitido na École Polytechnique, tornou-se tenente da artilharia e foi morto em ação em Jaca, na Espanha, um dia antes de seu 23º aniversário. O terceiro, Léonor (1790–1869), seguiu Augustin na engenharia civil, sucedeu-o como secretário da Comissão do Farol e ajudou a editar suas obras completas. O quarto, Fulgence Fresnel (1795–1855), tornou-se um notável linguista, diplomata e orientalista, e ocasionalmente auxiliava Augustin nas negociações. Fulgence morreu em Bagdá em 1855, tendo liderado uma missão para explorar a Babilônia. Léonor aparentemente foi a única das quatro que se casou.

O irmão mais novo de sua mãe, Jean François "Léonor" Mérimée (1757–1836), pai do escritor Prosper Mérimée (1803–1870), foi um pintor que voltou sua atenção para a química da pintura. Tornou-se secretário permanente da École des Beaux-Arts e (até 1814) professor da École Polytechnique, e foi o ponto de contato inicial entre Augustin e os principais físicos ópticos da época (veja abaixo).

Educação

Os irmãos Fresnel foram inicialmente educados em casa por sua mãe. O agostiniano doentio era considerado o lento, não inclinado à memorização; mas a história popular de que ele mal começou a ler até os oito anos de idade é contestada. Na idade de nove ou dez anos, ele era indistinto, exceto por sua habilidade de transformar galhos de árvores em arcos de brinquedo e armas que funcionavam muito bem, ganhando o título de l'homme de génie (o homem de gênio) de seus cúmplices e uma repressão unida de seus anciãos.

Em 1801, Augustin foi enviado para a École Centrale em Caen, como companhia de Louis. Mas Augustin melhorou seu desempenho: no final de 1804 foi aceito na École Polytechnique, ficando em 17º lugar no vestibular. Como os registros detalhados da École Polytechnique começam em 1808, sabemos pouco sobre o tempo de Augustin lá, exceto que ele fez poucos ou nenhum amigo e - apesar de continuar com problemas de saúde - destacou-se em desenho e geometria: em seu primeiro ano, ele ganhou um prêmio por sua solução para um problema de geometria proposto por Adrien-Marie Legendre. Graduando-se em 1806, matriculou-se na École Nationale des Ponts et Chaussées (Escola Nacional de Pontes e Estradas, também conhecida como "ENPC" ou "École des Ponts"), da qual formou-se em 1809, entrando ao serviço do Corps des Ponts et Chaussées como ingénieur ordinaire aspirant (engenheiro ordinário em formação). Direta ou indiretamente, ele deveria permanecer no emprego do "Corps des Ponts" pelo resto de sua vida.

Formação religiosa

Os pais de Fresnel eram católicos romanos da seita jansenista, caracterizados por uma visão agostiniana extrema do pecado original. A religião ocupou o primeiro lugar na classificação dos meninos. Educação escolar em casa. Em 1802, sua mãe disse:

Rezo a Deus para dar ao meu filho a graça de empregar os grandes talentos, que recebeu, para seu próprio benefício, e para o Deus de todos. Muito será pedido dele a quem muito foi dado, e a maioria será exigida de quem mais recebeu.

Agostinho permaneceu um jansenista. Ele considerava seus talentos intelectuais como dons de Deus e considerava seu dever usá-los para o benefício de outros. De acordo com seu colega engenheiro Alphonse Duleau, que ajudou a cuidar dele em sua doença final, Fresnel via o estudo da natureza como parte do estudo do poder e da bondade de Deus. Ele colocou a virtude acima da ciência e do gênio. Em seus últimos dias, ele orou por "força da alma" não apenas contra a morte, mas contra "a interrupção das descobertas... das quais ele esperava obter aplicações úteis"

O jansenismo é considerado herético pela Igreja Católica Romana, e Grattan-Guinness sugere que é por isso que Fresnel nunca ganhou um posto de professor acadêmico permanente; sua única nomeação de professor foi no Athénée no inverno de 1819–1820. O artigo sobre Fresnel na Enciclopédia Católica não menciona seu jansenismo, mas o descreve como "um homem profundamente religioso e notável por seu agudo senso de dever".

Atribuições de engenharia

Fresnel foi inicialmente colocado no departamento ocidental de Vendée. Lá, em 1811, ele antecipou o que ficou conhecido como o processo Solvay para a produção de carbonato de sódio, exceto que a reciclagem da amônia não foi considerada. Essa diferença pode explicar por que os principais químicos, que souberam de sua descoberta por meio de seu tio Léonor, acabaram por considerá-la antieconômica.

Nyons, França, século XIX, desenhado por Alexandre Debelle (1805-1897)

Por volta de 1812, Fresnel foi enviado a Nyons, no departamento meridional de Drôme, para auxiliar na construção da estrada imperial que ligaria Espanha e Itália. É de Nyons que temos a primeira evidência de seu interesse pela óptica. Em 15 de maio de 1814, enquanto o trabalho era lento devido à derrota de Napoleão, Fresnel escreveu um "P.S." ao seu irmão Léonor, dizendo em parte:

Gostaria também de ter papéis que me possam contar sobre as descobertas dos físicos franceses sobre a polarização da luz. Eu vi no Monite de alguns meses atrás que Biot tinha lido ao Instituto uma memória muito interessante sobre o polarização da luz. Embora parti a cabeça, não consigo adivinhar o que é.

Até 28 de dezembro ele ainda esperava por informações, mas recebeu as memórias de Biot em 10 de fevereiro de 1815. (O Institut de France assumiu as funções do francês Académie des Sciences e outras academias em 1795. Em 1816, a Académie des Sciences recuperou seu nome e autonomia, mas permaneceu parte do instituto.)

Em março de 1815, percebendo o retorno de Napoleão de Elba como "um ataque à civilização", Fresnel partiu sem licença, apressou-se para Toulouse e ofereceu seus serviços à resistência monarquista, mas logo se viu na lista de doentes. Voltando a Nyons derrotado, foi ameaçado e teve suas janelas quebradas. Durante os Cem Dias, ele foi colocado em suspensão, que acabou sendo autorizado a passar na casa de sua mãe em Mathieu. Lá ele usou seu lazer forçado para iniciar seus experimentos ópticos.

Contribuições para a ótica física

Contexto histórico: De Newton a Biot

A apreciação da reconstrução da ótica física de Fresnel pode ser auxiliada por uma visão geral do estado fragmentado em que ele encontrou o sujeito. Nesta subseção, os fenômenos ópticos que não foram explicados ou cujas explicações foram contestadas são nomeados em negrito .

Refração ordinária de um meio de velocidade de onda superior a um meio de velocidade de onda inferior, como entendido por Huygens. Posições bem sucedidas da frente das ondas são mostradas em azul antes da refração, e em verde após a refração. Para ordinário refração, as margens de onda secundárias (curvas gray) são esféricas, de modo que os raios (linhas cinzas estreitas) são perpendiculares às margens de onda.

A teoria corpuscular da luz, favorecida por Isaac Newton e aceita por quase todos os veteranos de Fresnel, explicava facilmente a propagação retilínea: os corpúsculos obviamente se moviam muito rápido, de modo que suas trajetórias eram quase reto. A teoria das ondas, desenvolvida por Christiaan Huygens em seu Treatise on Light (1690), explica a propagação retilínea na suposição de que cada ponto atravessado por uma frente de onda se torna a fonte de uma frente de onda secundária. Dada a posição inicial de uma frente de onda em movimento, qualquer posição posterior (de acordo com Huygens) era a superfície tangente comum (envelope) das frentes de onda secundárias emitidas a partir da posição anterior. Como a extensão da tangente comum era limitada pela extensão da frente de onda inicial, a aplicação repetida da construção de Huygens a uma frente de onda plana de extensão limitada (em um meio uniforme) deu um feixe reto e paralelo. Embora essa construção realmente previsse a propagação retilínea, era difícil conciliar com a observação comum de que as frentes de onda na superfície da água podem se curvar em torno de obstruções e com o comportamento semelhante das ondas sonoras - fazendo com que Newton mantivesse, até o fim de sua vida, que se a luz consistisse em ondas, ela se "dobraria e se espalharia em todas as direções"; nas sombras.

A teoria de Huygens explicava perfeitamente a lei da reflexão ordinária e a lei da refração ordinária ("lei de Snell"), desde que as ondas secundárias viajassem mais lentamente em meios mais densos (aqueles de maior índice de refração). A teoria corpuscular, com a hipótese de que os corpúsculos estavam sujeitos a forças atuando perpendicularmente às superfícies, explicava igualmente bem as mesmas leis, embora com a implicação de que a luz viajava mais rápido em meios mais densos; essa implicação estava errada, mas não poderia ser refutada diretamente com a tecnologia da época de Newton ou mesmo da época de Fresnel (veja aparelho de Fizeau-Foucault).

Também inconclusiva foi a aberração estelar—isto é, a mudança aparente na posição de uma estrela devido à velocidade da Terra ao longo da linha de visão (não confundir com paralaxe estelar, que é devido ao deslocamento da Terra ao longo da linha de visão). Identificada por James Bradley em 1728, a aberração estelar foi amplamente considerada como uma confirmação da teoria corpuscular. Mas era igualmente compatível com a teoria das ondas, como Euler observou em 1746 – assumindo tacitamente que o éter (o suposto meio portador de ondas) perto da Terra não foi perturbado pelo movimento da Terra.

A força notável da teoria de Huygens foi sua explicação da birrefringência (refração dupla) do "cristal da Islândia" (calcita transparente), assumindo que as ondas secundárias são esféricas para a refração ordinária (que satisfaz a lei de Snell) e esferoidal para a refração extraordinária (que não satisfaz). Em geral, a construção da tangente comum de Huygens implica que os raios são caminhos de menor tempo entre posições sucessivas da frente de onda, de acordo com o princípio de Fermat. No caso especial de meios isotrópicos, as frentes de onda secundárias devem ser esféricas, e a construção de Huygens implica que os raios são perpendiculares à frente de onda; de fato, a lei da refração ordinária pode ser derivada separadamente dessa premissa, como Ignace-Gaston Pardies fez antes de Huygens.

Cores alteradas de clarabóia refletidas em uma bolha de sabão, devido a interferência de película fina (anteriormente chamado "interferência da placa fina")

Embora Newton tenha rejeitado a teoria das ondas, ele percebeu seu potencial para explicar as cores, incluindo as cores das "placas finas" (por exemplo, "anéis de Newton" e as cores da clarabóia refletidas em bolhas de sabão), na suposição de que a luz consiste em ondas periódicas, com as frequências mais baixas (comprimentos de onda mais longos) na extremidade vermelha do espectro e as frequências mais altas (comprimentos de onda mais curtos) na extremidade violeta. Em 1672, ele publicou uma forte dica nesse sentido, mas os defensores contemporâneos da teoria das ondas não agiram sobre isso: Robert Hooke tratou a luz como uma sequência periódica de pulsos, mas não usou a frequência como critério de cor, enquanto Huygens tratou as ondas como pulsos individuais sem nenhuma periodicidade; e Pardies morreu jovem em 1673. O próprio Newton tentou explicar cores de placas finas usando a teoria corpuscular, supondo que seus corpúsculos tinham a propriedade ondulatória de alternar entre "arranjos de fácil transmissão" e "ajustes de fácil reflexão", a distância entre como "ajustes" dependendo da cor e do meio e, desajeitadamente, do ângulo de refração ou reflexão nesse meio. Ainda mais desajeitadamente, essa teoria exigia que placas finas refletissem apenas na superfície posterior, embora placas espessas manifestamente refletissem também na superfície frontal. Foi somente em 1801 que Thomas Young, na Bakerian Lecture daquele ano, citou a sugestão de Newton e explicou as cores de uma placa fina como o efeito combinado dos reflexos dianteiro e traseiro, que reforçam ou cancelam cada um. outro de acordo com o comprimento de onda e a espessura. Young explicou de forma semelhante as cores das "superfícies estriadas" (por exemplo, grades) como reforço dependente do comprimento de onda ou cancelamento de reflexões de linhas adjacentes. Ele descreveu esse reforço ou cancelamento como interferência.

Thomas Young (1773–1829)

Nem Newton nem Huygens explicaram satisfatoriamente a difração—o embaçamento e franja das sombras onde, de acordo com a propagação retilínea, elas deveriam ser nítidas. Newton, que chamou a difração de "inflexão", supôs que os raios de luz passando perto de obstáculos eram curvados ("infletidos"); mas sua explicação foi apenas qualitativa. A construção da tangente comum de Huygens, sem modificações, não poderia acomodar a difração de forma alguma. Duas dessas modificações foram propostas por Young na mesma Conferência Bakeriana de 1801: primeiro, que as ondas secundárias perto da borda de um obstáculo poderiam divergir na sombra, mas apenas fracamente, devido ao reforço limitado de outras ondas secundárias; e segundo, que a difração por uma aresta foi causada pela interferência entre dois raios: um refletido na aresta e o outro infletido ao passar perto da aresta. O último raio não seria desviado se estivesse suficientemente longe da borda, mas Young não entrou em detalhes sobre esse caso. Estas foram as primeiras sugestões de que o grau de difração depende do comprimento de onda. Mais tarde, na Palestra Bakerian de 1803, Young deixou de considerar a inflexão como um fenômeno separado e produziu evidências de que as franjas de difração dentro da sombra de um obstáculo estreito eram devidas à interferência: quando a luz de um lado era bloqueadas, as franjas internas desapareceram. Mas Young estava sozinho em tais esforços até que Fresnel entrou em campo.

Huygens, em sua investigação sobre dupla refração, notou algo que não conseguia explicar: quando a luz passa por dois cristais de calcita de orientação semelhante com incidência normal, o raio ordinário que sai do primeiro cristal sofre apenas a refração ordinária do segundo, enquanto o raio extraordinário que emerge do primeiro sofre apenas a refração extraordinária do segundo; mas quando o segundo cristal é girado 90° em torno dos raios incidentes, os papéis são trocados, de modo que o raio comum que emerge do primeiro cristal sofre apenas a refração extraordinária do segundo, e vice-versa. Essa descoberta deu a Newton outro motivo para rejeitar a teoria ondulatória: os raios de luz evidentemente tinham "lados". Os corpúsculos podem ter lados (ou pólos, como seriam chamados mais tarde); mas as ondas de luz não podiam, porque (assim parecia) tais ondas precisariam ser longitudinais (com vibrações na direção de propagação). Newton ofereceu uma "Regra" pela refração extraordinária, que dependia de sua autoridade ao longo do século 18, embora ele não tenha feito "nenhuma tentativa conhecida de deduzi-la de quaisquer princípios de ótica, corpuscular ou não".

Étienne-Louis Malus (1775-1812)

Em 1808, a extraordinária refração da calcita foi investigada experimentalmente, com precisão sem precedentes, por Étienne-Louis Malus, e considerada consistente com a construção do esferoide de Huygens, não com a "Regra" de Newton #34;. Malus, encorajado por Pierre-Simon Laplace, procurou então explicar esta lei em termos corpusculares: a partir da relação conhecida entre as direções dos raios incidente e refratado, Malus derivou a velocidade corpuscular (em função da direção) que satisfaria as exigências de Maupertuis. s "menor ação" princípio. Mas, como Young apontou, a existência de tal lei de velocidade foi garantida pelo esferóide de Huygens, porque a construção de Huygens leva ao princípio de Fermat, que se torna o princípio de Maupertuis se o a velocidade do raio é substituída pelo recíproco da velocidade da partícula! Os corpuscularistas não encontraram uma lei de força que produzisse a alegada lei de velocidade, exceto por um argumento circular no qual uma força atuando na superfície do cristal inexplicavelmente dependia da direção da (possivelmente subseqüente) velocidade dentro do cristal. Pior, era duvidoso que tal força satisfizesse as condições do princípio de Maupertuis. Em contraste, Young passou a mostrar que "um meio mais facilmente compressível em uma direção do que em qualquer direção perpendicular a ele, como se consistisse em um número infinito de placas paralelas conectadas por uma substância um pouco menos elástica" admite frentes de onda longitudinais esferoidais, como supôs Huygens.

Rolo impresso visto através de um cristal calcita duplamente refração e um filtro polarizador moderno (rotado para mostrar as diferentes polarizações das duas imagens)

Mas Malus, em meio a seus experimentos com dupla refração, notou outra coisa: quando um raio de luz é refletido em uma superfície não metálica no ângulo apropriado, ele se comporta como um os dois raios emergindo de um cristal de calcita. Foi Malus quem cunhou o termo polarização para descrever esse comportamento, embora o ângulo de polarização tenha se tornado conhecido como ângulo de Brewster depois que sua dependência do índice de refração foi determinada experimentalmente por David Brewster em 1815. Malus também introduziu o termo plano de polarização. No caso da polarização por reflexão, seu "plano de polarização" era o plano dos raios incidentes e refletidos; em termos modernos, este é o plano normal à vibração elétrica. Em 1809, Malus descobriu ainda que a intensidade da luz que passa por dois polarizadores é proporcional ao quadrado do cosseno do ângulo entre seus planos de polarização (Lei de Malus), se os polarizadores funcionam por reflexão ou dupla refração, e que todos os cristais birrefringentes produzem refração e polarização extraordinárias. À medida que os corpuscularistas começaram a tentar explicar essas coisas em termos de "moléculas" da luz, os teóricos das ondas não tinham nenhuma hipótese de trabalho sobre a natureza da polarização, levando Young a observar que as observações de Malus "apresentam maiores dificuldades aos defensores da teoria ondulatória do que quaisquer outros fatos com os quais estamos familiarizados."

Malus morreu em fevereiro de 1812, aos 36 anos, pouco depois de receber a Medalha Rumford por seu trabalho sobre a polarização.

Em agosto de 1811, François Arago relatou que se uma placa fina de mica fosse vista contra uma luz de fundo polarizada branca através de um cristal de calcita, as duas imagens da mica eram de cores complementares (a sobreposição tendo a mesma cor do fundo). A luz que emergia da mica era "despolarizada" no sentido de que não houve orientação da calcita que fizesse desaparecer uma imagem; no entanto, não era luz comum ("nãopolarizada"), para a qual as duas imagens seriam da mesma cor. A rotação da calcita ao redor da linha de visão mudou as cores, embora permanecessem complementares. Girar a mica alterou a saturação (não o matiz) das cores. Esse fenômeno ficou conhecido como polarização cromática. Substituir a mica por uma placa de quartzo muito mais espessa, com suas faces perpendiculares ao eixo óptico (o eixo do esferóide de Huygens ou função de velocidade de Malus), produziu um efeito semelhante, exceto que a rotação do quartzo fez nenhuma diferença. Arago tentou explicar suas observações em termos corpusculares.

François Arago (1786-1853)

Em 1812, enquanto Arago buscava novas experiências qualitativas e outros compromissos, Jean-Baptiste Biot retrabalhou o mesmo solo usando uma lâmina de gesso no lugar da mica e encontrou fórmulas empíricas para as intensidades das imagens comuns e extraordinárias. As fórmulas continham dois coeficientes, supostamente representando as cores dos raios "afetados" e "não afetado" pela placa - o "afetado" os raios sendo da mesma cor se misturam aos refletidos por finas placas amorfas de espessura proporcional, mas menor.

Jean-Baptiste Biot (1774-1862)

Arago protestou, declarando que havia feito algumas das mesmas descobertas, mas não teve tempo de escrevê-las. De fato, a sobreposição entre a obra de Arago e a de Biot foi mínima, sendo a de Arago apenas qualitativa e de escopo mais amplo (tentando incluir a polarização por reflexão). Mas a disputa desencadeou um desentendimento notório entre os dois homens.

Mais tarde naquele ano, Biot tentou explicar as observações como uma oscilação do alinhamento dos "afetados" corpúsculos a uma frequência proporcional à dos "ajustes" de Newton, devido a forças dependentes do alinhamento. Essa teoria ficou conhecida como polarização móvel. Para conciliar seus resultados com uma oscilação senoidal, Biot teve de supor que os corpúsculos surgiam com uma das duas orientações permitidas, ou seja, os extremos da oscilação, com probabilidades dependendo da fase da oscilação. A ótica corpuscular estava se tornando cara em suposições. Mas em 1813, Biot relatou que o caso do quartzo era mais simples: o fenômeno observável (agora chamado rotação óptica ou atividade óptica ou às vezes polarização rotativa) foi uma rotação gradual da direção de polarização com a distância e pode ser explicada por uma rotação correspondente (não oscilação) dos corpúsculos.

No início de 1814, revisando o trabalho de Biot sobre polarização cromática, Young observou que a periodicidade da cor em função da espessura da placa - incluindo o fator pelo qual o período excedia o de uma placa fina reflexiva e mesmo o efeito da obliquidade da placa (mas não o papel da polarização) — poderia ser explicado pela teoria ondulatória em termos dos diferentes tempos de propagação das ondas ordinárias e extraordinárias através da placa. Mas Young era então o único defensor público da teoria das ondas.

Em resumo, na primavera de 1814, enquanto Fresnel tentava em vão adivinhar o que era a polarização, os corpuscularistas pensavam que sabiam, enquanto os teóricos das ondas (se podemos usar o plural) literalmente não faziam ideia. Ambas as teorias pretendiam explicar a propagação retilínea, mas a explicação ondulatória foi considerada pouco convincente. A teoria corpuscular não poderia vincular rigorosamente a dupla refração às forças de superfície; a teoria ondulatória ainda não podia ligá-lo à polarização. A teoria corpuscular era fraca em placas finas e silenciosa em grades; a teoria das ondas era forte em ambos, mas subestimada. Com relação à difração, a teoria corpuscular não produzia previsões quantitativas, enquanto a teoria ondulatória começou a fazê-lo considerando a difração como uma manifestação de interferência, mas considerou apenas dois raios por vez. Apenas a teoria corpuscular forneceu uma visão vaga do ângulo de Brewster, da lei de Malus ou da rotação óptica. Com relação à polarização cromática, a teoria ondulatória explicava a periodicidade muito melhor do que a teoria corpuscular, mas não tinha nada a dizer sobre o papel da polarização; e sua explicação da periodicidade foi largamente ignorada. E Arago havia fundado o estudo da polarização cromática, apenas para perder a liderança, polêmica, para Biot. Tais foram as circunstâncias em que Arago ouviu pela primeira vez sobre o interesse de Fresnel pela óptica.

Rêveries

Bas-relief do tio de Fresnel Léonor Mérimée (1757-1836), na mesma parede que o monumento de Fresnel em Broglie

As cartas de Fresnel do final de 1814 revelam seu interesse na teoria das ondas, incluindo sua consciência de que ela explicava a constância da velocidade da luz e era pelo menos compatível com a aberração estelar. Eventualmente, ele compilou o que chamou de suas rêveries (reflexões) em um ensaio e o enviou por meio de Léonor Mérimée a André-Marie Ampère, que não respondeu diretamente. Mas em 19 de dezembro, Mérimée jantou com Ampère e Arago, com quem conheceu através da École Polytechnique; e Arago prometeu dar uma olhada no ensaio de Fresnel.

Em meados de 1815, a caminho de casa em Mathieu para cumprir sua suspensão, Fresnel conheceu Arago em Paris e falou sobre a teoria das ondas e a aberração estelar. Ele foi informado de que estava tentando arrombar portas abertas ("il enfonçait des portes ouvertes"), e direcionado para obras clássicas de óptica.

Difração

Primeira tentativa (1815)

Em 12 de julho de 1815, quando Fresnel estava prestes a deixar Paris, Arago deixou-lhe uma nota sobre um novo assunto:

Eu não sei de nenhum livro que contenha todas as experiências que os físicos estão fazendo no difração de luz. M'sieur Fresnel só será capaz de conhecer esta parte da óptica lendo o trabalho de Grimaldi, o de Newton, o tratado inglês por Jordan, e as memórias de Brougham e Young, que fazem parte da coleção da Transações Filosóficas.

Fresnel não teria acesso imediato a essas obras fora de Paris e não sabia ler inglês. Mas, em Mathieu – com uma fonte pontual de luz feita focalizando a luz solar com uma gota de mel, um micrômetro tosco de sua própria construção e um aparato de suporte feito por um serralheiro local – ele começou seus próprios experimentos. Sua técnica era inovadora: enquanto os investigadores anteriores haviam projetado as franjas em uma tela, Fresnel logo abandonou a tela e observou as franjas no espaço, através de uma lente com o micrômetro em seu foco, permitindo medições mais precisas e exigindo menos luz.

No final de julho, após a derrota final de Napoleão, Fresnel foi reintegrado com a vantagem de ter apoiado o lado vencedor. Ele pediu uma licença de dois meses, que foi prontamente concedida porque as obras na estrada estavam suspensas.

Em 23 de setembro ele escreveu a Arago, começando "Acho que encontrei a explicação e a lei das franjas coloridas que se percebe nas sombras dos corpos iluminados por um ponto luminoso." No mesmo parágrafo, no entanto, Fresnel reconheceu implicitamente a dúvida sobre a novidade de seu trabalho: observando que precisaria incorrer em algum gasto para melhorar suas medições, ele queria saber "se isso não é inútil e se a lei da difração ainda não foi estabelecida por experimentos suficientemente exatos." Ele explicou que ainda não teve a chance de adquirir os itens de suas listas de leitura, com exceção aparente do "livro de Young", que não poderia compreender sem a ajuda de seu irmão. ajuda. Não surpreendentemente, ele refez muitos dos passos de Young.

Em um livro de memórias enviado ao instituto em 15 de outubro de 1815, Fresnel mapeou as franjas externas e internas na sombra de um fio. Ele notou, como Young antes dele, que as franjas internas desapareciam quando a luz de um lado era bloqueada e concluiu que "as vibrações de dois raios que se cruzam sob um ângulo muito pequeno podem se contradizer..." 34; Mas, enquanto Young interpretou o desaparecimento das franjas internas como confirmação do princípio da interferência, Fresnel relatou que foram as franjas internas que primeiro chamaram sua atenção para o princípio. Para explicar o padrão de difração, Fresnel construiu as franjas internas considerando as interseções de frentes de onda circulares emitidas pelas duas bordas da obstrução, e as franjas externas considerando as interseções entre ondas diretas e ondas refletidas na borda mais próxima. Para as franjas externas, para obter concordância tolerável com a observação, ele teve que supor que a onda refletida estava invertida; e ele notou que os caminhos previstos das franjas eram hiperbólicos. Na parte do livro de memórias que claramente ultrapassou Young, Fresnel explicou as leis comuns de reflexão e refração em termos de interferência, observando que se dois raios paralelos fossem refletidos ou refratados em um ângulo diferente do prescrito, eles não teriam mais o mesmo ângulo. fase em um plano perpendicular comum, e cada vibração seria cancelada por uma vibração próxima. Ele observou que sua explicação era válida desde que as irregularidades da superfície fossem muito menores que o comprimento de onda.

No dia 10 de novembro, Fresnel enviou uma nota complementar tratando dos anéis de Newton e das grades, incluindo, pela primeira vez, grades de transmissão – embora naquele caso os raios interferentes ainda estivessem assumiu ser "infletida", e a verificação experimental foi inadequada porque utilizou apenas dois threads.

Como Fresnel não era membro do instituto, o destino de suas memórias dependia muito do relato de um único membro. O repórter das memórias de Fresnel acabou sendo Arago (com Poinsot como o outro revisor). Em 8 de novembro, Arago escreveu a Fresnel:

Fui instruído pelo Instituto para examinar sua memória sobre a difração da luz; estudei-a cuidadosamente, e encontrei muitas experiências interessantes, algumas das quais já haviam sido feitas pelo Dr. Thomas Young, que em geral considera este fenômeno de uma maneira bastante análoga ao que você adotou. Mas o que nem ele nem ninguém tinham visto antes de ti é que o externo bandas coloridas não viajam em uma linha reta enquanto se afasta do corpo opaco. Os resultados que você alcançou a este respeito me parecem muito importantes; talvez eles possam servir para provar a verdade do sistema ondulatório, tantas vezes e tão fracamente combatida por físicos que não se preocuparam em compreendê-lo.

Fresnel estava preocupado, querendo saber mais precisamente onde ele havia colidido com Young. Com relação aos caminhos curvos das "bandas coloridas", Young notou os caminhos hiperbólicos das franjas no padrão de interferência de duas fontes, correspondendo aproximadamente às franjas internas de Fresnel, e descreveu as franjas hiperbólicas que aparecem na tela dentro de sombras retangulares. Ele não havia mencionado os caminhos curvos das franjas externas de uma sombra; mas, como ele explicou mais tarde, isso aconteceu porque Newton já havia feito isso. Newton evidentemente pensou que as franjas eram cáusticas. Assim, Arago errou ao acreditar que os caminhos curvos das franjas eram fundamentalmente incompatíveis com a teoria corpuscular.

A carta de Arago solicitava mais dados sobre as franjas externas. Fresnel obedeceu, até esgotar sua licença e foi designado para Rennes, no departamento de Ille-et-Vilaine. Nesse ponto, Arago intercedeu com Gaspard de Prony, chefe da École des Ponts, que escreveu a Louis-Mathieu Molé, chefe do Corps des Ponts, sugerindo que o progresso da ciência e o prestígio do Corpo seriam aumentados se Fresnel pudesse vir a Paris por um tempo. Ele chegou em março de 1816 e sua licença foi posteriormente estendida até o meio do ano.

Enquanto isso, em um experimento relatado em 26 de fevereiro de 1816, Arago verificou a previsão de Fresnel de que as franjas internas seriam deslocadas se os raios de um lado do obstáculo passassem por uma fina lâmina de vidro. Fresnel atribuiu corretamente esse fenômeno à menor velocidade da onda no vidro. Arago mais tarde usou um argumento semelhante para explicar as cores na cintilação das estrelas.

As memórias atualizadas de Fresnel foram finalmente publicadas na edição de março de 1816 dos Annales de Chimie et de Physique, do qual Arago havia se tornado recentemente co-editor. Esse problema não apareceu até maio. Em março, Fresnel já tinha concorrência: Biot leu um livro de memórias sobre difração dele e de seu aluno Claude Pouillet, contendo dados abundantes e argumentando que a regularidade das franjas de difração, como a regularidade dos anéis de Newton, deve estar ligada a Newton& #39;s "encaixa-se". Mas a nova ligação não era rigorosa, e o próprio Pouillet se tornaria um dos primeiros a adotar a teoria das ondas.

"Raio eficaz", experiência do espelho duplo (1816)

Replica do diagrama de interferência de duas fontes de Young (1807), com fontes A e B produzindo minima em C, D, Ee F

Espelho duplo de Fresnel (1816). Os segmentos de espelho M₁ e M₂ produzir imagens virtuais S₁ e S₂ da fenda S. Na região sombreada, os feixes das duas imagens virtuais se sobrepõem e interferem na maneira de Young (acima).

Em 24 de maio de 1816, Fresnel escreveu a Young (em francês), reconhecendo o quão pouco de suas próprias memórias eram novas. Mas em um "suplemento" assinado em 14 de julho e lido no dia seguinte, Fresnel observou que as franjas internas eram previstas com mais precisão ao supor que os dois raios interferentes vinham de alguma distância fora das bordas do obstáculo. Para explicar isso, ele dividiu a frente de onda incidente no obstáculo no que hoje chamamos de zonas de Fresnel, de modo que as ondas secundárias de cada zona se espalhassem por meio ciclo quando chegassem ao ponto de observação. As zonas de um lado do obstáculo foram amplamente anuladas em pares, exceto a primeira zona, que foi representada por um "raio eficaz". Essa abordagem funcionou para as franjas internas, mas a superposição do raio eficaz e do raio direto não funcionou para as franjas externas.

A contribuição do "raio eficaz" foi pensado para ser apenas parcialmente cancelado, por razões envolvendo a dinâmica do meio: onde a frente de onda era contínua, a simetria proibia vibrações oblíquas; mas perto do obstáculo que truncava a frente de onda, a assimetria permitia alguma vibração lateral em direção à sombra geométrica. Esse argumento mostrou que Fresnel (ainda) não havia aceitado totalmente o princípio de Huygens, que permitiria a radiação oblíqua de todas as porções da frente.

No mesmo suplemento, Fresnel descreveu seu conhecido espelho duplo, composto por dois espelhos planos unidos em um ângulo ligeiramente inferior a 180°, com o qual ele produziu um padrão de interferência de duas fendas a partir de duas imagens virtuais da mesma fenda. Um experimento convencional de fenda dupla exigia uma fenda única preliminar para garantir que a luz que incidia na fenda dupla fosse coerente (sincronizada). Na versão de Fresnel, a fenda única preliminar foi mantida e a fenda dupla foi substituída pelo espelho duplo - que não tinha nenhuma semelhança física com a fenda dupla e ainda assim desempenhava a mesma função. Esse resultado (que havia sido anunciado por Arago na edição de março dos Annales) tornou difícil acreditar que o padrão de duas fendas tivesse algo a ver com corpúsculos sendo desviados ao passarem perto das bordas de as fendas.

Mas 1816 foi o "Ano sem verão": as colheitas falharam; famílias de agricultores famintas se alinhavam nas ruas de Rennes; o governo central organizou "asilos de caridade" para os necessitados; e em outubro, Fresnel foi enviado de volta a Ille-et-Vilaine para supervisionar trabalhadores de caridade, além de sua equipe de estrada regular. Segundo Arago,

com a consciencia de Fresnel sempre foi a parte principal de seu caráter, e ele constantemente desempenhou seus deveres como engenheiro com a escrupulose mais rigorosa. A missão de defender as receitas do Estado, para obter para eles o melhor emprego possível, apareceu aos seus olhos à luz de uma questão de honra. O funcionalário, qualquer que seja o seu posto, que lhe apresentou uma conta ambígua, tornou-se ao mesmo tempo objeto do seu profundo desprezo... Sob tais circunstâncias, a mansidão habitual de suas maneiras desapareceu...

As cartas de Fresnel de dezembro de 1816 revelam sua consequente ansiedade. A Arago queixou-se de ser "atormentado pelas preocupações da vigilância e pela necessidade de repreender..." E para Mérimée ele escreveu: "Não acho nada mais cansativo do que ter que comandar outros homens e admito que não tenho ideia do que estou fazendo”.

Prêmio de memórias (1818) e continuação

Em 17 de março de 1817, a Académie des Sciences anunciou que a difração seria o tema do Grande Prêmio bianual de física a ser concedido em 1819. O prazo para inscrições foi fixado em 1º de agosto de 1818 para permitir tempo para replicação dos experimentos. Embora a redação do problema se referisse a raios e inflexão e não convidasse soluções baseadas em ondas, Arago e Ampère encorajaram Fresnel a entrar.

No outono de 1817, Fresnel, apoiado por de Prony, obteve uma licença do novo chefe do Corp des Ponts, Louis Becquey, e voltou para Paris. Ele retomou suas funções de engenheiro na primavera de 1818; mas a partir de então ele foi baseado em Paris, primeiro no Canal de l'Ourcq, e depois (a partir de maio de 1819) com o cadastro das calçadas.

Em 15 de janeiro de 1818, em um contexto diferente (revisitado abaixo), Fresnel mostrou que a adição de funções senoidais de mesma frequência, mas fases diferentes, é análoga à adição de forças com direções diferentes. Seu método era semelhante à representação fasorial, exceto que as "forças" eram vetores planos em vez de números complexos; eles poderiam ser adicionados e multiplicados por escalares, mas não (ainda) multiplicados e divididos entre si. A explicação era mais algébrica do que geométrica.

O conhecimento deste método foi assumido em uma nota preliminar sobre difração, datada de 19 de abril de 1818 e depositada em 20 de abril, na qual Fresnel delineou a teoria elementar da difração encontrada em livros modernos. Ele reafirmou o princípio de Huygens em combinação com o princípio da superposição, dizendo que a vibração em cada ponto de uma frente de onda é a soma das vibrações que seriam enviadas a ele naquele momento por todos os elementos da frente de onda em qualquer um dos suas posições anteriores, todos os elementos agindo separadamente (veja o princípio de Huygens–Fresnel). Para uma frente de onda parcialmente obstruída em uma posição anterior, o somatório deveria ser feito sobre a parte desobstruída. Em direções diferentes da normal à frente de onda primária, as ondas secundárias foram enfraquecidas devido à obliquidade, mas muito mais enfraquecidas pela interferência destrutiva, de modo que apenas o efeito da obliquidade pode ser ignorado. Para a difração por uma borda reta, a intensidade em função da distância da sombra geométrica poderia então ser expressa com precisão suficiente em termos do que agora é chamado de integral de Fresnel normalizado:

Integrações de Fresnel Normalizadas C(x),S(x)

franjas de diffraction perto do limite da sombra geométrica de uma borda reta. As intensidades de luz foram calculadas a partir dos valores das integrais normalizadas C(x),S(x)

{displaystyle C(x)=!int _{0}^{x}!cos {big (}{tfrac {1}{2}}pi z^{2}{big)},dz}

{displaystyle S(x)=!int _{0}^{x}!sin {big (}{tfrac {1}{2}}pi z^{2}{big)},dz,.}

A mesma nota incluía uma tabela de integrais, para um limite superior variando de 0 a 5,1 em passos de 0,1, calculado com um erro médio de 0,0003, mais uma tabela menor de máximos e mínimos da intensidade resultante.

Em sua última "Memória sobre a difração da luz", depositada em 29 de julho e com a epígrafe latina "Natura simplex et fecunda" ("Natureza simples e fértil"), Fresnel ampliou ligeiramente as duas tabelas sem alterar os números existentes, exceto por uma correção ao primeiro mínimo de intensidade. Para completar, ele repetiu sua solução para "o problema da interferência", em que funções senoidais são adicionadas como vetores. Ele reconheceu a direcionalidade das fontes secundárias e a variação em suas distâncias do ponto de observação, principalmente para explicar por que essas coisas fazem uma diferença insignificante no contexto, desde que, é claro, as fontes secundárias não irradiem na direção retrógrada. Então, aplicando sua teoria de interferência às ondas secundárias, ele expressou a intensidade da luz difratada por uma única aresta reta (meio plano) em termos de integrais que envolviam as dimensões do problema, mas que poderiam ser convertidas nas formas normalizadas acima. Com referência às integrais, ele explicou o cálculo dos máximos e mínimos da intensidade (franjas externas) e observou que a intensidade calculada cai muito rapidamente à medida que nos movemos para a sombra geométrica. O último resultado, como diz Olivier Darrigol, "equivale a uma prova da propagação retilínea da luz na teoria ondulatória, na verdade a primeira prova que um físico moderno ainda aceitaria".

Para o teste experimental de seus cálculos, Fresnel usou luz vermelha com um comprimento de onda de 638 nm, que ele deduziu do padrão de difração no caso simples em que a luz incide sobre uma única fenda era focalizada por uma lente cilíndrica. Para uma variedade de distâncias da fonte ao obstáculo e do obstáculo ao ponto de campo, ele comparou as posições calculadas e observadas das franjas para difração por um meio plano, uma fenda e uma faixa estreita – concentrando-se nos mínimos, que eram visualmente mais nítidos que os máximos. Para a fenda e a faixa, ele não poderia usar a tabela de máximos e mínimos previamente calculada; para cada combinação de dimensões, a intensidade tinha que ser expressa em termos de somas ou diferenças de integrais de Fresnel e calculada a partir da tabela de integrais, e o extremo tinha que ser calculado novamente. A concordância entre cálculo e medição foi superior a 1,5% em quase todos os casos.

Perto do final do livro de memórias, Fresnel resumiu a diferença entre o uso de ondas secundárias de Huygens e o seu próprio: enquanto Huygens diz que há luz apenas onde as ondas secundárias coincidem exatamente, Fresnel diz que há escuridão completa apenas onde as ondas secundárias se anulam exatamente.

Siméon Denis Poisson (1781–1840)

A comissão julgadora era composta por Laplace, Biot e Poisson (todos corpuscularistas), Gay-Lussac (descomprometido) e Arago, que acabou escrevendo o relatório da comissão. Embora as inscrições na competição devessem ser anônimas para os juízes, as de Fresnel devem ter sido reconhecidas pelo conteúdo. Houve apenas uma outra entrada, da qual nem o manuscrito nem qualquer registro do autor sobreviveram. Essa entrada (identificada como "no. 1") foi mencionada apenas no último parágrafo da avaliação dos juízes. relatório, observando que o autor havia demonstrado ignorância dos trabalhos anteriores relevantes de Young e Fresnel, usado métodos de observação insuficientemente precisos, negligenciado fenômenos conhecidos e cometido erros óbvios. Nas palavras de John Worrall, "A competição enfrentada por Fresnel dificilmente poderia ter sido menos dura." Podemos inferir que o comitê tinha apenas duas opções: conceder o prêmio a Fresnel ("no. 2") ou recusá-lo.

Sombra elenco por um 5.8obstáculo mm-diâmetro em uma tela 183cm atrás, na luz do sol passando por um pinhole 153cm na frente. As cores fracas das franjas mostram a dependência de comprimento de onda do padrão de difração. No centro está o lugar de Poisson /Arago.

O comitê deliberou sobre o ano novo. Então Poisson, explorando um caso em que a teoria de Fresnel fornecia integrais fáceis, previu que se um obstáculo circular fosse iluminado por uma fonte pontual, deveria haver (de acordo com a teoria) um ponto brilhante no centro da sombra., iluminado tão intensamente quanto o exterior. Isso parece ter sido planejado como uma reductio ad absurdum. Arago, implacável, montou um experimento com um obstáculo de 2 mm de diâmetro – e ali, no centro da sombra, estava o ponto de Poisson.

O relatório unânime do comitê, lido na reunião da Académie em 15 de março de 1819, concedeu o prêmio ao "memoir marcado no. 2, e tendo como epígrafe: Natura simplex et fecunda." Na mesma reunião, após o julgamento, o presidente da Académie abriu uma nota lacrada que acompanhava o livro de memórias, revelando o autor como Fresnel. O prêmio foi anunciado na reunião pública da Académie uma semana depois, em 22 de março.

A verificação de Arago da previsão contra-intuitiva de Poisson passou para o folclore como se tivesse decidido o prêmio. Essa visão, no entanto, não é apoiada pela opinião dos juízes. relatório, que deu ao assunto apenas duas frases no penúltimo parágrafo. Nem o triunfo de Fresnel converteu imediatamente Laplace, Biot e Poisson à teoria das ondas, por pelo menos quatro razões. Em primeiro lugar, embora a profissionalização da ciência na França tenha estabelecido padrões comuns, uma coisa era reconhecer que uma pesquisa atendia a esses padrões e outra coisa era considerá-la conclusiva. Em segundo lugar, foi possível interpretar as integrais de Fresnel como regras para combinar raios. Arago até encorajou essa interpretação, presumivelmente para minimizar a resistência às ideias de Fresnel. Até mesmo Biot começou a ensinar o princípio Huygens-Fresnel sem se comprometer com uma base ondulatória. Em terceiro lugar, a teoria de Fresnel não explicou adequadamente o mecanismo de geração de ondas secundárias ou por que elas tinham qualquer dispersão angular significativa; essa questão incomodava particularmente Poisson. Quarto, a questão que mais preocupava os físicos ópticos naquela época não era a difração, mas a polarização – na qual Fresnel vinha trabalhando, mas ainda não havia feito sua descoberta crítica.

Polarização

Antecedentes: Emissionismo e selecionismo

Uma teoria de emissão da luz era aquela que considerava a propagação da luz como o transporte de algum tipo de matéria. Enquanto a teoria corpuscular era obviamente uma teoria de emissão, o inverso não acontecia: em princípio, alguém poderia ser um emissista sem ser um corpuscularista. Isso era conveniente porque, além das leis comuns de reflexão e refração, os emissistas nunca conseguiram fazer previsões quantitativas testáveis a partir de uma teoria de forças agindo sobre corpúsculos de luz. Mas eles fizeram previsões quantitativas a partir das premissas de que os raios eram objetos contáveis, que eram conservados em suas interações com a matéria (exceto meios absorventes) e que tinham orientações particulares em relação às suas direções de propagação. De acordo com essa estrutura, a polarização e os fenômenos relacionados de dupla refração e reflexão parcial envolviam alterar as orientações dos raios e/ou selecioná-los de acordo com a orientação, e o estado de polarização de um feixe (um feixe de raios) era uma questão de quantos raios estavam em quais orientações: em um feixe totalmente polarizado, as orientações eram todas iguais. Essa abordagem, que Jed Buchwald chamou de selecionismo, foi iniciada por Malus e perseguida diligentemente por Biot.

Fresnel, ao contrário, decidiu introduzir a polarização em experimentos de interferência.

Interferência de luz polarizada, polarização cromática (1816–21)

Em julho ou agosto de 1816, Fresnel descobriu que quando um cristal birrefringente produzia duas imagens de uma única fenda, ele não conseguia obter o padrão de interferência usual de duas fendas, mesmo que compensasse as diferentes tempos de propagação. Um experimento mais geral, sugerido por Arago, descobriu que se os dois feixes de um dispositivo de dupla fenda fossem polarizados separadamente, o padrão de interferência aparecia e desaparecia quando a polarização de um feixe era girada, dando interferência total para polarizações paralelas, mas sem interferência para polarizações perpendiculares (consulte as leis de Fresnel–Arago). Esses experimentos, entre outros, acabaram sendo relatados em um breve livro de memórias publicado em 1819 e posteriormente traduzido para o inglês.

Em um livro de memórias redigido em 30 de agosto de 1816 e revisado em 6 de outubro, Fresnel relatou um experimento no qual colocou duas lâminas finas correspondentes em um aparelho de fenda dupla - uma sobre cada fenda, com seus eixos ópticos perpendiculares - e obteve duas padrões de interferência deslocados em direções opostas, com polarizações perpendiculares. Isso, em combinação com as descobertas anteriores, significava que cada lâmina dividia a luz incidente em componentes polarizados perpendicularmente com diferentes velocidades - exatamente como um cristal birrefringente normal (espesso) e contrário à "polarização móvel" de Biot. 34; hipótese.

Conseqüentemente, no mesmo livro de memórias, Fresnel ofereceu sua primeira tentativa de uma teoria ondulatória da polarização cromática. Quando a luz polarizada passava por uma lâmina de cristal, ela era dividida em ondas ordinárias e extraordinárias (com intensidades descritas pela lei de Malus), e estas eram polarizadas perpendicularmente e, portanto, não interferiam, de modo que nenhuma cor era produzida (ainda). Mas se eles passassem por um analisador (segundo polarizador), suas polarizações seriam alinhadas (com intensidades novamente modificadas de acordo com a lei de Malus), e eles iriam interferir. Essa explicação, por si só, prevê que, se o analisador for girado 90°, as ondas ordinárias e extraordinárias simplesmente trocam de papéis, de modo que, se o analisador assumir a forma de um cristal de calcita, as duas imagens da lâmina devem ter a mesma tonalidade. (esta questão é revisitada abaixo). Mas, na verdade, como descobriram Arago e Biot, são de cores complementares. Para corrigir a previsão, Fresnel propôs uma regra de inversão de fase em que uma das ondas constituintes de uma das duas imagens sofria uma mudança de fase adicional de 180° em seu caminho através da lâmina. Essa inversão era um ponto fraco da teoria relativa à de Biot, como reconheceu Fresnel, embora a regra especificasse qual das duas imagens tinha a onda invertida. Além disso, Fresnel só poderia lidar com casos especiais, porque ainda não havia resolvido o problema da superposição de funções senoidais com diferenças de fase arbitrárias devido à propagação em diferentes velocidades através da lâmina.

Ele resolveu esse problema em um "suplemento" assinado em 15 de janeiro de 1818 (mencionado acima). No mesmo documento, ele acomodou a lei de Malus propondo uma lei subjacente: se a luz polarizada incide em um cristal birrefringente com seu eixo óptico em um ângulo θ em relação ao " plano de polarização", as vibrações ordinárias e extraordinárias (como funções do tempo) são dimensionadas pelos fatores cos θ e sin θ, respectivamente. Embora os leitores modernos facilmente interpretem esses fatores em termos de componentes perpendiculares de uma oscilação transversal, Fresnel (ainda) não os explicou dessa forma. Portanto, ele ainda precisava da regra de inversão de fase. Ele aplicou todos esses princípios a um caso de polarização cromática não contemplado pelas fórmulas de Biot, envolvendo duas lâminas sucessivas com eixos separados por 45°, e obteve previsões que discordavam das de Biot. experimentos (exceto em casos especiais), mas concordaram com os seus.

Fresnel aplicou os mesmos princípios ao caso padrão de polarização cromática, no qual uma lâmina birrefringente foi cortada paralelamente ao seu eixo e colocada entre um polarizador e um analisador. Se o analisador tomasse a forma de um cristal de calcita espesso com seu eixo no plano de polarização, Fresnel previu que as intensidades das imagens ordinárias e extraordinárias da lâmina seriam respectivamente proporcionais a

{displaystyle I_{o}=cos ^{2}i,cos ^{2}(i{-}s)+sin ^{2}i,sin ^{2}(i{-}s)+{tfrac {1}{2}}sin 2i,sin 2(i{-}s)cos phi ,,}

{displaystyle I_{e}=cos ^{2}i,sin ^{2}(i{-}s)+sin ^{2}i,cos ^{2}(i{-}s)-{tfrac {1}{2}}sin 2i,sin 2(i{-}s)cos phi ,,}

Onde? $i$ é o ângulo do plano inicial de polarização para o eixo óptico da lâmina, $s$ é o ângulo do plano inicial de polarização para o plano de polarização da imagem ordinária final, e $phi$ é a fase lag da onda extraordinária relativa à onda comum devido à diferença de tempos de propagação através da lâmina. Os termos $phi$ são os termos dependentes de frequência e explicar por que a lâmina deve ser fino para produzir cores discerníveis: se a lâmina é muito grossa, ${displaystyle cos phi }$ passará por muitos ciclos à medida que a frequência varia através da faixa visível, e o olho (que divide o espectro visível em apenas três bandas) não será capaz de resolver os ciclos.

A partir dessas equações é facilmente verificado que ${displaystyle ,I_{o}+I_{e}=1,}$ para todos $phi,$ para que as cores sejam complementares. Sem a regra de inversão de fase, haveria uma mais sinal na frente do último termo na segunda equação, de modo que o $phi$ - termo independente seria o mesmo em ambas as equações, implicando (incorretamente) que as cores eram da mesma tonalidade.

Essas equações foram incluídas em uma nota sem data que Fresnel deu a Biot, à qual Biot acrescentou algumas linhas de sua autoria. Se substituirmos

{displaystyle U=cos ^{2}{tfrac {phi }{2}}}

{displaystyle A=sin ^{2}{tfrac {phi }{2}},,}

então as fórmulas de Fresnel podem ser reescritas como

{displaystyle !I_{o}=Ucos ^{2}s+Acos ^{2}(2i-s),,}

{displaystyle I_{e}=Usin ^{2}s+Asin ^{2}(2i-s),,}

que não são mais do que as fórmulas empíricas da Biot de 1812, exceto que a Biot interpretou $U$ e $A$ como as seleções "não afetadas" e "afetadas" dos raios incidente na lâmina. Se as substituições de Biot fossem precisas, elas implicariam que seus resultados experimentais fossem mais explicados pela teoria de Fresnel do que por sua própria.

Arago atrasou a reportagem sobre os trabalhos de Fresnel sobre polarização cromática até junho de 1821, quando ele os usou em um amplo ataque à teoria de Biot. Em sua resposta escrita, Biot protestou que o ataque de Arago foi além do escopo adequado de um relatório sobre as obras nomeadas de Fresnel. Mas Biot também afirmou que as substituições para $U$ e $A,$ e, portanto, as expressões de Fresnel para $I_o$ e ${displaystyle I_{e},}$ foram empiricamente errados porque quando as intensidades de Fresnel de cores espectrais foram misturadas de acordo com as regras de Newton, as funções cossenas e sine quadradas variaram muito suavemente para explicar a sequência observada de cores. Essa alegação atraiu uma resposta escrita de Fresnel, que contestou se as cores mudaram tão abruptamente como Biot afirmou, e se o olho humano poderia julgar a cor com suficiente objetividade para o propósito. Na última questão, Fresnel apontou que diferentes observadores podem dar nomes diferentes à mesma cor. Além disso, ele disse, um único observador só pode comparar as cores lado a lado; e mesmo que sejam julgados como iguais, a identidade é de sensação, não necessariamente de composição. O ponto mais antigo e mais forte de Fresnel – que cristais finos estavam sujeitos às mesmas leis que as grossas e não precisavam ou permitiam uma teoria separada – Biot deixou sem resposta. Arago e Fresnel ganharam o debate.

Além disso, nessa época Fresnel tinha uma explicação nova e mais simples de suas equações de polarização cromática.

Descoberta: ondas transversais puras (1821)

André-Marie Ampère (1775-1836)

No rascunho de memórias de 30 de agosto de 1816, Fresnel mencionou duas hipóteses – uma das quais ele atribuiu a Ampère – pelas quais a não interferência de feixes ortogonalmente polarizados poderia ser explicada se as ondas de luz polarizadas fossem parcialmente transversal. Mas Fresnel não conseguiu desenvolver nenhuma dessas ideias em uma teoria abrangente. Já em setembro de 1816, de acordo com seu relato posterior, ele percebeu que a não interferência de feixes polarizados ortogonalmente, juntamente com a regra de inversão de fase na polarização cromática, seria mais facilmente explicada se as ondas fossem puramente transversal, e Ampère "teve o mesmo pensamento" na regra de inversão de fase. Mas isso levantaria uma nova dificuldade: como a luz natural parecia ser nãopolarizada e suas ondas eram, portanto, consideradas longitudinais, seria preciso explicar como o componente longitudinal da vibração desapareceu na polarização e por que não reaparecia quando a luz polarizada era refletida ou refratada obliquamente por uma placa de vidro.

Independentemente, em 12 de janeiro de 1817, Young escreveu a Arago (em inglês) observando que uma vibração transversal constituiria uma polarização e que, se duas ondas longitudinais se cruzassem em um ângulo significativo, elas não poderiam se cancelar sem deixar uma vibração transversal residual. Young repetiu essa ideia em um artigo publicado em um suplemento da Encyclopædia Britannica em fevereiro de 1818, no qual acrescentou que a lei de Malus seria explicada se a polarização consistisse em um movimento transversal.

Assim, Fresnel, por seu próprio testemunho, pode não ter sido a primeira pessoa a suspeitar que as ondas de luz poderiam ter um componente transversal, ou que as ondas polarizadas eram exclusivamente transversais. E foi Young, e não Fresnel, quem primeiro publicou a ideia de que a polarização depende da orientação de uma vibração transversal. Mas essas teorias incompletas não reconciliaram a natureza da polarização com a aparente existência de luz não polarizada; essa conquista seria apenas de Fresnel.

Em uma nota que Buchwald data do verão de 1818, Fresnel cogitou a ideia de que ondas não polarizadas poderiam ter vibrações da mesma energia e obliquidade, com suas orientações distribuídas uniformemente sobre a normal da onda, e que o grau de polarização era o grau de não-uniformidade na distribuição. Duas páginas depois, ele observou, aparentemente pela primeira vez por escrito, que sua regra de inversão de fase e a não interferência de feixes ortogonalmente polarizados seriam facilmente explicadas se as vibrações de ondas totalmente polarizadas fossem "perpendiculares ao normal". à onda"-isto é, puramente transversal.

Mas se ele pudesse explicar a falta de polarização calculando a média do componente transversal, ele também não precisava assumir um componente longitudinal. Bastava supor que as ondas de luz são puramente transversais, portanto sempre polarizadas no sentido de terem uma orientação transversal particular, e que as ondas "não polarizadas" estado de natural ou "direto" a luz se deve a variações rápidas e aleatórias nessa orientação, caso em que duas porções coerentes de "não polarizadas" a luz ainda irá interferir porque suas orientações serão sincronizadas.

Não se sabe exatamente quando Fresnel deu este último passo, porque não há documentação relevante de 1820 ou início de 1821 (talvez porque ele estava muito ocupado trabalhando em protótipos de lentes de farol; veja abaixo). Mas ele primeiro publicou a ideia em um artigo sobre "Calcul des teintes…" ("cálculo das tonalidades..."), serializado nos Anais de Arago para maio, junho e julho de 1821. Na primeira parcela, Fresnel descreveu "direto" (não polarizada) como "a rápida sucessão de sistemas de ondas polarizadas em todas as direções", e deu o que é essencialmente a explicação moderna da polarização cromática, embora em termos da analogia entre a polarização e a resolução de forças em um plano, mencionando ondas transversais apenas em nota de rodapé. A introdução de ondas transversais no argumento principal foi adiada para a segunda parcela, na qual ele revelou a suspeita que ele e Ampère nutriam desde 1816, e a dificuldade que isso levantava. Ele continuou:

Tem sido apenas por alguns meses que, ao meditar mais atentamente sobre este assunto, percebi que era muito provável que os movimentos oscilatórios de ondas de luz fossem executados unicamente ao longo do plano dessas ondas, para luz direta, bem como para luz polarizada.

De acordo com essa nova visão, ele escreveu, "o ato de polarização consiste não em criar esses movimentos transversais, mas em decompô-los em duas direções perpendiculares fixas e em separar os dois componentes".

Embora os selecionistas pudessem insistir em interpretar as integrais de difração de Fresnel em termos de raios discretos e contáveis, eles não poderiam fazer o mesmo com sua teoria da polarização. Para um selecionista, o estado de polarização de um feixe dizia respeito à distribuição de orientações sobre a população de raios, e presumia-se que essa distribuição fosse estática. Para Fresnel, o estado de polarização de um feixe dizia respeito à variação de um deslocamento ao longo do tempo. Esse deslocamento pode ser restrito, mas não estático, e os raios são construções geométricas, não objetos contáveis. A lacuna conceitual entre a teoria das ondas e o selecionismo tornou-se intransponível.

A outra dificuldade colocada pelas ondas transversais puras, é claro, era a aparente implicação de que o éter era um sólido elástico, exceto que, ao contrário de outros sólidos elásticos, era incapaz de transmitir ondas longitudinais. A teoria das ondas era barata em suposições, mas sua última suposição era cara em credulidade. Para que essa suposição fosse amplamente aceita, seu poder explicativo precisaria ser impressionante.

Reflexão parcial (1821)

Na segunda parte de "Calcul des teintes" (junho de 1821), Fresnel supôs, por analogia com as ondas sonoras, que a densidade do éter em um meio refrativo era inversamente proporcional ao quadrado da velocidade da onda e, portanto, diretamente proporcional ao quadrado do índice de refração. Para reflexão e refração na superfície entre dois meios isotrópicos de diferentes índices, Fresnel decompôs as vibrações transversais em duas componentes perpendiculares, agora conhecidas como componentes s e p, que são paralelo à superfície e ao plano de incidência, respectivamente; em outras palavras, as componentes s e p são respectivamente quadradas e paralelas ao plano de incidência. Para o componente s, Fresnel supôs que a interação entre os dois meios era análoga a uma colisão elástica, e obteve uma fórmula para o que hoje chamamos de refletividade: a razão de a intensidade refletida para a intensidade incidente. A refletividade prevista foi diferente de zero em todos os ângulos.

A terceira parcela (julho de 1821) foi um curto "pós-escrito" em que Fresnel anunciou que havia encontrado, por uma "solução mecânica", uma fórmula para a refletividade do componente p, que previa que a refletividade era zero no Ângulo de Brewster. Assim, a polarização por reflexão foi considerada - mas com a condição de que a direção da vibração no modelo de Fresnel fosse perpendicular ao plano de polarização definido por Malus. (Sobre a controvérsia que se seguiu, consulte Plano de polarização.) A tecnologia da época não permitia que as refletividades s e p fossem medidas com precisão suficiente para testar as fórmulas de Fresnel em ângulos de incidência arbitrários. Mas as fórmulas poderiam ser reescritas em termos do que agora chamamos de coeficiente de reflexão: a proporção com sinal da amplitude refletida para a amplitude incidente. Então, se o plano de polarização do raio incidente estava em 45° em relação ao plano de incidência, a tangente do ângulo correspondente para o raio refletido era obtida a partir da razão dos dois coeficientes de reflexão, e este ângulo pode ser medido. Fresnel o havia medido para uma gama de ângulos de incidência, para vidro e água, e a concordância entre os ângulos calculados e medidos era melhor que 1,5° em todos os casos.

Fresnel deu detalhes da "solução mecânica" em um livro de memórias lido para a Académie des Sciences em 7 de janeiro de 1823. A conservação de energia foi combinada com a continuidade da vibração tangencial na interface. As fórmulas resultantes para os coeficientes de reflexão e refletividade ficaram conhecidas como equações de Fresnel. Os coeficientes de reflexão para as polarizações s e p são expressos de forma mais sucinta como

{displaystyle r_{s}=-{frac {sin(i-r)}{sin(i+r)}}}

{displaystyle r_{p}={frac {tan(i-r)}{tan(i+r)}},,}

Onde? $i$ e $r$ são os ângulos de incidência e refração; estas equações são conhecidas respectivamente como A lei pecaminosa de Fresnel e A lei tangente do Fresnel. Ao permitir que os coeficientes sejam complexo, Fresnel até contou para as diferentes mudanças de fase dos S e p componentes devido à reflexão interna total.

Esse sucesso inspirou James MacCullagh e Augustin-Louis Cauchy, a partir de 1836, a analisar a reflexão dos metais usando as equações de Fresnel com um índice de refração complexo. A mesma técnica é aplicável a meios opacos não metálicos. Com essas generalizações, as equações de Fresnel podem prever a aparência de uma ampla variedade de objetos sob iluminação – por exemplo, em computação gráfica (consulte Renderização com base física).

Polarização circular e elíptica, rotação óptica (1822)

Uma onda polarizada circularmente direita/horário, como definida a partir do ponto de vista da fonte. Seria considerado de esquerda / anti-horário circularmente polarizado se definido a partir do ponto de vista do receptor. Se o vetor rotativo é resolvido em componentes horizontais e verticais (não mostrado), estes são um quarto ciclo fora da fase uns com os outros.

Em um livro de memórias datado de 9 de dezembro de 1822, Fresnel cunhou os termos polarização linear (francês: polarização retilínea) para o caso simples em que os componentes perpendiculares da vibração estão em fase ou 180° fora de fase, polarização circular para o caso em que são de igual magnitude e um quarto de ciclo (±90°) fora de fase, e polarização elíptica para outros casos em que os dois componentes têm uma relação de amplitude fixa e uma diferença de fase fixa. Ele então explicou como a rotação óptica poderia ser entendida como uma espécie de birrefringência. A luz polarizada linearmente pode ser dividida em dois componentes polarizados circularmente girando em direções opostas. Se esses componentes se propagassem em velocidades ligeiramente diferentes, a diferença de fase entre eles – e, portanto, a direção de sua resultante polarizada linearmente – variaria continuamente com a distância.

Esses conceitos exigiam uma redefinição da distinção entre luz polarizada e não polarizada. Antes de Fresnel, pensava-se que a polarização poderia variar em direção e grau (por exemplo, devido à variação no ângulo de reflexão de um corpo transparente) e que poderia ser uma função da cor (polarização cromática), mas não isso pode variar em tipo. Por isso, pensava-se que o grau de polarização era o grau em que a luz poderia ser suprimida por um analisador com a orientação apropriada. A luz que foi convertida de polarização linear para elíptica ou circular (por exemplo, pela passagem através de uma lâmina de cristal ou por reflexão interna total) foi descrita como parcialmente ou totalmente "despolarizada" devido ao seu comportamento em um analisador. Depois de Fresnel, a característica definidora da luz polarizada era que os componentes perpendiculares da vibração tinham uma proporção fixa de amplitudes e uma diferença fixa de fase. Por essa definição, a luz polarizada de forma elíptica ou circular é totalmente polarizada, embora não possa ser totalmente suprimida por um analisador sozinho. A lacuna conceitual entre a teoria das ondas e o selecionismo havia aumentado novamente.

Reflexão interna total (1817–23)

Seção transversal de um tom Fresnel (azul) com gráficos mostrando o p componente de vibração (paralelo ao avião de incidência) no eixo vertical, vs. o S componente (quadrado quadrado ao plano de incidência e paralelo ao superfície) no eixo horizontal. Se a luz de entrada é linearmente polarizado, os dois componentes estão em fase (gráfico superior). Depois de uma reflexão no ângulo apropriado, o p componente é avançado por 1/8 de um ciclo em relação ao S componente (gráfico médio). Após duas dessas reflexões, a diferença de fase é de 1/4 de um ciclo (gráfico inferior), de modo que a polarização é elíptica com eixos no Sep direções. Se o Sep os componentes foram inicialmente de magnitude igual, a polarização inicial (gráfico superior) seria de 45° para o plano de incidência, e a polarização final (gráfico inferior) seria circular circular.

Em 1817, foi descoberto por Brewster, mas não relatado adequadamente, que a luz plano-polarizada era parcialmente despolarizada por reflexão interna total se inicialmente polarizada em um ângulo agudo em relação ao plano de incidência. Fresnel redescobriu esse efeito e o investigou incluindo a reflexão interna total em um experimento de polarização cromática. Com a ajuda de sua primeira teoria da polarização cromática, ele descobriu que a luz aparentemente despolarizada era uma mistura de componentes polarizados paralelamente e perpendicularmente ao plano de incidência, e que a reflexão total introduzia uma diferença de fase entre eles. A escolha de um ângulo de incidência apropriado (ainda não exatamente especificado) deu uma diferença de fase de 1/8 de um ciclo (45°). Duas dessas reflexões das "faces paralelas" de "dois prismas acoplados" deu uma diferença de fase de 1/4 de um ciclo (90°). Essas descobertas foram contidas em um livro de memórias submetido à Académie em 10 de novembro de 1817 e lido quinze dias depois. Uma nota marginal sem data indica que os dois prismas acoplados foram posteriormente substituídos por um único "paralelepípedo em vidro" - agora conhecido como losango de Fresnel.

Este foi o livro de memórias cujo "suplemento", datado de janeiro de 1818, continha o método de superposição de funções senoidais e a reformulação da lei de Malus em termos de amplitudes. No mesmo suplemento, Fresnel relatou sua descoberta de que a rotação óptica poderia ser emulada passando a luz polarizada através de um losango de Fresnel (ainda na forma de "prismas acoplados"), seguido por uma lâmina birrefringente comum cortada paralelamente a seu eixo, com o eixo a 45° do plano de reflexão do losango de Fresnel, seguido por um segundo losango de Fresnel a 90° do primeiro. Em outro livro de memórias lido em 30 de março, Fresnel relatou que se a luz polarizada fosse totalmente "despolarizada" por um losango de Fresnel – agora descrito como um paralelepípedo – suas propriedades não foram mais modificadas por uma passagem subsequente por um meio ou dispositivo de rotação óptica.

A conexão entre rotação óptica e birrefringência foi explicada em 1822, no livro de memórias sobre polarização elíptica e circular. Isso foi seguido pelo livro de memórias sobre reflexão, lido em janeiro de 1823, no qual Fresnel quantificou as mudanças de fase na reflexão interna total e, a partir daí, calculou o ângulo preciso em que um losango de Fresnel deveria ser cortado para converter a polarização linear em polarização circular. Para um índice de refração de 1,51, havia duas soluções: cerca de 48,6° e 54,6°.

Refração dupla

Antecedentes: Cristais uniaxiais e biaxiais; Leis de Biot

Quando a luz passa por uma fatia de calcita cortada perpendicularmente ao seu eixo óptico, a diferença entre os tempos de propagação das ondas ordinárias e extraordinárias tem uma dependência de segunda ordem do ângulo de incidência. Se a fatia for observada em um cone de luz altamente convergente, essa dependência torna-se significativa, de modo que um experimento de polarização cromática mostrará um padrão de anéis concêntricos. Mas a maioria dos minerais, quando observados dessa maneira, mostra um padrão mais complicado de anéis envolvendo dois focos e uma curva lemniscata, como se tivessem dois eixos ópticos. As duas classes de minerais tornam-se naturalmente conhecidas como uniaxal e biaxal—ou, na literatura posterior, uniaxial e biaxial.

Em 1813, Brewster observou o padrão concêntrico simples em "berilo, esmeralda, rubi &c." O mesmo padrão foi posteriormente observado na calcita por Wollaston, Biot e Seebeck. Biot, assumindo que o padrão concêntrico era o caso geral, tentou calcular as cores com sua teoria da polarização cromática, e conseguiu melhor para alguns minerais do que para outros. Em 1818, Brewster explicou tardiamente o porquê: sete dos doze minerais empregados por Biot tinham o padrão lemniscata, que Brewster havia observado já em 1812; e os minerais com anéis mais complicados também tinham uma lei de refração mais complicada.

Em um cristal uniforme, de acordo com a teoria de Huygens, a frente de onda secundária que se expande a partir da origem na unidade de tempo é a superfície de velocidade do raio - ou seja, a superfície cuja &# 34;distância" da origem em qualquer direção é a velocidade do raio nessa direção. Na calcita, essa superfície tem duas folhas, consistindo de uma esfera (para a onda comum) e um esferóide oblato (para a onda extraordinária) tocando-se em pontos opostos de um eixo comum - tocando nos pólos norte e sul, se podemos usar uma analogia geográfica. Mas de acordo com a teoria corpuscular de Malus da dupla refração, a velocidade do raio era proporcional ao recíproco daquele dado pela teoria de Huygens, caso em que a lei da velocidade era da forma

{displaystyle v_{o}^{2!}-v_{e}^{2}=ksin ^{2}theta ,,}

Onde? $v_o$ e $v_{e}$ eram as velocidades de raio ordinárias e extraordinárias segundo a teoria corpusculare $theta$ era o ângulo entre o raio e o eixo óptico. Por definição de Malus, o plano de polarização de um raio era o plano do raio e do eixo óptico se o raio fosse comum, ou o plano perpendicular (contendo o raio) se o raio fosse extraordinário. No modelo de Fresnel, a direção da vibração era normal para o plano de polarização. Assim, para a esfera (a onda ordinária), a vibração estava ao longo das linhas de latitude (continuando a analogia geográfica); e para o esferóide (a onda extraordinária), a vibração estava ao longo das linhas de longitude.

Em 29 de março de 1819, Biot apresentou um livro de memórias no qual propunha generalizações simples das regras de Malus para um cristal com dois eixos, e relatou que ambas as generalizações pareciam ser confirmadas por experimentos. Para a lei da velocidade, o seno ao quadrado foi substituído pelo produto dos senos dos ângulos do raio aos dois eixos (Lei do seno de Biot). E para a polarização do raio ordinário, o plano do raio e o eixo foram substituídos pelo plano que divide o ângulo diedro entre os dois planos, cada um contendo o raio e um eixo (Lei do diedro de Biot ). As leis de Biot significavam que um cristal biaxial com eixos em um ângulo pequeno, clivado no plano desses eixos, se comportava quase como um cristal uniaxial com incidência quase normal; isso foi uma sorte porque o gesso, que havia sido usado em experimentos de polarização cromática, é biaxial.

Primeiro livro de memórias e suplementos (1821–22)

Até que Fresnel voltou sua atenção para a birrefringência biaxial, supunha-se que uma das duas refrações era comum, mesmo em cristais biaxiais. Mas, em um livro de memórias enviado em 19 de novembro de 1821, Fresnel relatou dois experimentos em topázio mostrando que nenhuma das refrações era comum no sentido de satisfazer a lei de Snell; isto é, nenhum dos raios foi produto de ondas secundárias esféricas.

O mesmo livro de memórias continha a primeira tentativa de Fresnel na lei da velocidade biaxial. Para a calcita, se trocarmos os raios equatorial e polar do esferoide achatado de Huygens enquanto preservamos a direção polar, obtemos um esferoide prolato tocando a esfera no equador. Um plano através do centro/origem corta este esferoide prolato em uma elipse cujos semi-eixos maiores e menores dão as magnitudes das velocidades dos raios extraordinário e ordinário na direção normal ao plano e (disse Fresnel) as direções de suas respectivas vibrações. A direção do eixo óptico é a normal ao plano para o qual a elipse de interseção se reduz a um círculo. Assim, para o caso biaxial, Fresnel simplesmente substituiu o esferóide prolato por um elipsóide triaxial, que deveria ser seccionado por um plano da mesma maneira. Em geral haveria dois planos passando pelo centro do elipsóide e cortando-o em um círculo, e as normais a esses planos dariam dois eixos ópticos. Da geometria, Fresnel deduziu a lei senoidal de Biot (com as velocidades dos raios substituídas por seus recíprocos).

O elipsóide realmente forneceu as velocidades corretas dos raios (embora a verificação experimental inicial tenha sido apenas aproximada). Mas não deu as direções corretas de vibração, para o caso biaxial ou mesmo para o caso uniaxial, porque as vibrações no modelo de Fresnel eram tangentes à frente de onda - o que, para um raio extraordinário, não é geralmente normal ao raio. Esse erro (que é pequeno se, como na maioria dos casos, a birrefringência é fraca) foi corrigido em um "extrato" que Fresnel leu para a Académie uma semana depois, em 26 de novembro. Começando com o esferoide de Huygens, Fresnel obteve uma superfície de 4º grau que, quando seccionada por um plano como acima, produziria as velocidades normais de onda para uma frente de onda naquele plano, junto com suas direções de vibração. Para o caso biaxial, ele generalizou a equação para obter uma superfície com três dimensões principais desiguais; isso ele posteriormente chamou de "superfície de elasticidade". Mas ele manteve o elipsóide anterior como uma aproximação, a partir do qual deduziu a lei diédrica de Biot.

A derivação inicial de Fresnel da superfície de elasticidade foi puramente geométrica e não dedutivamente rigorosa. Sua primeira tentativa de derivação mecânica, contida em um "suplemento" datado de 13 de janeiro de 1822, assumiu que (i) havia três direções mutuamente perpendiculares nas quais um deslocamento produzia uma reação na mesma direção, (ii) a reação era, caso contrário, uma função linear do deslocamento e (iii) o raio do superfície em qualquer direção era a raiz quadrada do componente, naquela direção, da reação a um deslocamento unitário naquela direção. A última suposição reconhecia a exigência de que, se uma onda deveria manter uma direção fixa de propagação e uma direção fixa de vibração, a reação não deveria estar fora do plano dessas duas direções.

No mesmo suplemento, Fresnel considerou como poderia encontrar, para o caso biaxial, a frente de onda secundária que se expande a partir da origem na unidade de tempo - ou seja, a superfície que se reduz à esfera e ao esferoide de Huygens no caso uniaxial. Ele observou que essa "superfície de onda" (surface de l'onde) é tangente a todas as frentes de onda planas possíveis que poderiam ter cruzado a origem uma unidade de tempo atrás, e ele listou as condições matemáticas que devem satisfazer. Mas ele duvidou da viabilidade de derivar a superfície de essas condições.

Em um "segundo suplemento", Fresnel acabou explorando dois fatos relacionados: (i) a "superfície da onda" também era a superfície de velocidade do raio, que poderia ser obtida seccionando o elipsóide que ele havia inicialmente confundido com a superfície de elasticidade, e (ii) a "superfície da onda" intersetou cada plano de simetria do elipsóide em duas curvas: um círculo e uma elipse. Assim, ele descobriu que a "superfície da onda" é descrita pela equação do 4º grau

{displaystyle r^{2}{big (}a^{2}x^{2!}+b^{2}y^{2!}+c^{2}z^{2}{big)}-a^{2}{big (}b^{2!}+c^{2}{big)}x^{2}-b^{2}{big (}c^{2!}+a^{2}{big)}y^{2}-c^{2}{big (}a^{2!}+b^{2}{big)}z^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}=,0,,}

Onde? ${displaystyle ,r^{2}=x^{2!}+y^{2!}+z^{2},,}$ e ${displaystyle ,a,b,c,}$ são as velocidades de propagação em direções normais aos eixos de coordenadas para vibrações ao longo dos eixos (o raio e as velocidades normais de onda são as mesmas nesses casos especiais). Os comentaristas posteriores colocam a equação na forma mais compacta e memorável

{displaystyle {frac {x^{2}}{r^{2}-a^{2}}}+{frac {y^{2}}{r^{2}-b^{2}}}+{frac {z^{2}}{r^{2}-c^{2}}},=,1,.}

No início do "segundo suplemento", Fresnel modelou o meio como uma matriz de massas pontuais e descobriu que a relação força-deslocamento era descrita por uma matriz simétrica, confirmando a existência de três eixos mutuamente perpendiculares em que o deslocamento produziu uma força paralela. Mais adiante no documento, ele notou que em um cristal biaxial, ao contrário de um cristal uniaxial, as direções nas quais há apenas uma velocidade normal de onda não são as mesmas daquelas em que há apenas uma velocidade de raio. Hoje em dia nos referimos às primeiras direções como eixos ópticos ou eixos binormais, e as últimas como eixos de raios ou eixos birradiais i> eixos (consulte Birrefringência).

O "segundo suplemento" de Fresnel; foi assinado em 31 de março de 1822 e apresentado no dia seguinte – menos de um ano após a publicação de sua hipótese de onda transversal pura e pouco menos de um ano após a demonstração de seu protótipo de lente de farol de oito painéis (veja abaixo).

Segundo livro de memórias (1822–26)

Tendo apresentado as peças de sua teoria aproximadamente na ordem da descoberta, Fresnel precisava reorganizar o material para enfatizar os fundamentos mecânicos; e ele ainda precisava de um tratamento rigoroso da lei diédrica de Biot. Ele tratou desses assuntos em seu "segundo livro de memórias" sobre dupla refração, publicado nas Recueils da Académie des Sciences de 1824; isso não foi realmente impresso até o final de 1827, alguns meses após sua morte. Neste trabalho, tendo estabelecido os três eixos perpendiculares nos quais um deslocamento produz uma reação paralela e, a partir daí, construído a superfície de elasticidade, ele mostrou que a lei diédrica de Biot é exata desde que os binormais sejam tomados como os eixos ópticos, e a direção normal da onda como a direção de propagação.

Já em 1822, Fresnel discutiu seus eixos perpendiculares com Cauchy. Reconhecendo a influência de Fresnel, Cauchy desenvolveu a primeira teoria rigorosa de elasticidade de sólidos não isotrópicos (1827), daí a primeira teoria rigorosa de ondas transversais (1830) - que ele prontamente tentou aplicar à óptica. As dificuldades que se seguiram levaram a um longo esforço competitivo para encontrar um modelo mecânico preciso do éter. O próprio modelo de Fresnel não era dinamicamente rigoroso; por exemplo, deduziu a reação a uma tensão de cisalhamento considerando o deslocamento de uma partícula enquanto todas as outras estavam fixas, e assumiu que a rigidez determinava a velocidade da onda como em uma corda esticada, qualquer que seja a direção da onda normal. Mas foi o suficiente para permitir que a teoria ondulatória fizesse o que a teoria selecionista não podia: gerar fórmulas testáveis cobrindo uma gama abrangente de fenômenos ópticos, a partir de suposições mecânicas.

Fotoelasticidade, experimentos de prisma múltiplo (1822)

Polarização cromática em um protractor plástico, causada por birefringência induzida pelo estresse.

Em 1815, Brewster relatou que as cores aparecem quando uma fatia de material isotrópico, colocada entre polarizadores cruzados, é tensionada mecanicamente. O próprio Brewster atribuiu imediatamente e corretamente esse fenômeno à birrefringência induzida por estresse - agora conhecida como fotoelasticidade.

Em um livro de memórias lido em setembro de 1822, Fresnel anunciou que havia verificado o diagnóstico de Brewster mais diretamente, comprimindo uma combinação de prismas de vidro tão severamente que era possível ver uma imagem dupla através dele. Em seu experimento, Fresnel alinhou sete prismas de 45°-90°-45°, lado curto a lado curto, com seus ângulos de 90° apontando em direções alternadas. Dois meios-prismas foram adicionados nas extremidades para tornar todo o conjunto retangular. Os prismas foram separados por finas películas de terebintina (térébenthine) para suprimir as reflexões internas, permitindo uma clara linha de visão ao longo da fileira. Quando os quatro prismas com orientações semelhantes foram comprimidos em um torno ao longo da linha de visão, um objeto visto através da montagem produziu duas imagens com polarizações perpendiculares, com espaçamento aparente de 1,5 mm a um metro.

No final desse livro de memórias, Fresnel previu que se os prismas comprimidos fossem substituídos por prismas de quartzo monocristalinos (sem tensão) com direções correspondentes de rotação óptica e com seus eixos ópticos alinhados ao longo da linha, um objeto visto ao olhar ao longo do eixo óptico comum daria duas imagens, que pareceriam não polarizadas quando vistas através de um analisador, mas, quando vistas através de um losango de Fresnel, seriam polarizadas em ±45° em relação ao plano de reflexão do losango (indicando que elas foram inicialmente polarizadas circularmente em direções opostas). Isso mostraria diretamente que a rotação óptica é uma forma de birrefringência. Nas memórias de dezembro de 1822, nas quais introduziu o termo polarização circular, ele relatou ter confirmado essa previsão usando apenas um prisma de 14°-152°-14° e dois semiprismas de vidro. Mas obteve uma separação mais ampla das imagens substituindo o meio-prisma de vidro por meio-prismas de quartzo cuja rotação era oposta à do prisma 14°-152°-14°. Ele acrescentou de passagem que se poderia aumentar ainda mais a separação aumentando o número de prismas.

Recepção

Para o suplemento da tradução de Riffault do System of Chemistry de Thomson, Fresnel foi escolhido para contribuir com o artigo sobre a luz. O ensaio de 137 páginas resultante, intitulado De la Lumière (Sobre a luz), aparentemente foi concluído em junho de 1821 e publicado em fevereiro de 1822. Com seções cobrindo a natureza da luz, difração, interferência de filme fino, reflexão e refração, dupla refração e polarização, polarização cromática e modificação da polarização por reflexão, fez um caso abrangente para a teoria das ondas para um público leitor que não se restringia aos físicos.

Para examinar as primeiras memórias e suplementos de Fresnel sobre dupla refração, a Académie des Sciences nomeou Ampère, Arago, Fourier e Poisson. Seu relatório, do qual Arago era claramente o principal autor, foi entregue na reunião de 19 de agosto de 1822. Então, nas palavras de Émile Verdet, conforme traduzido por Ivor Grattan-Guinness:

Imediatamente após a leitura do relatório, Laplace tomou o chão, e... proclamou a importância excepcional do trabalho que tinha acabado de ser relatado: ele felicitou o autor por sua firmeza e sua sagacidade que o levou a descobrir uma lei que tinha escapado o mais inteligente, e, antecipando um pouco o julgamento da posteridade, declarou que colocou essas pesquisas acima de tudo que tinha sido comunicado à Académie por um longo tempo.

Se Laplace estava anunciando sua conversão à teoria ondulatória – aos 73 anos – é incerto. Grattan-Guinness teve a ideia. Buchwald, observando que Arago não conseguiu explicar que o "elipsóide da elasticidade" não forneceu os planos corretos de polarização, sugere que Laplace pode ter meramente considerado a teoria de Fresnel como uma generalização bem-sucedida da lei de velocidade do raio de Malus, abraçando as leis de Biot.

Padrão de difração arejada 65mm a partir de 0,09abertura circular mm iluminado pela luz laser vermelha. Tamanho da imagem: 17.3mm×13mm

No ano seguinte, Poisson, que não assinou o relatório de Arago, contestou a possibilidade de ondas transversais no éter. Partindo de supostas equações de movimento de um meio fluido, ele notou que elas não davam os resultados corretos para reflexão parcial e dupla refração – como se isso fosse problema de Fresnel e não dele – e que as ondas previstas, mesmo se inicialmente eram transversais, tornavam-se mais longitudinais à medida que se propagavam. Em resposta, Fresnel observou, inter alia, que as equações nas quais Poisson pôs tanta fé nem mesmo previam a viscosidade. A implicação era clara: dado que o comportamento da luz não havia sido satisfatoriamente explicado, exceto por ondas transversais, não era responsabilidade dos teóricos das ondas abandonar as ondas transversais em deferência a noções pré-concebidas sobre o éter; em vez disso, era responsabilidade dos modeladores do éter produzir um modelo que acomodasse ondas transversais. De acordo com Robert H. Silliman, Poisson acabou aceitando a teoria das ondas pouco antes de sua morte em 1840.

Entre os franceses, a relutância de Poisson foi uma exceção. Segundo Eugene Frankel, "em Paris nenhum debate sobre o assunto parece ter ocorrido depois de 1825. De fato, quase toda a geração de físicos e matemáticos que atingiu a maturidade na década de 1820 – Pouillet, Savart, Lamé, Navier, Liouville, Cauchy - parecem ter adotado a teoria imediatamente." O outro proeminente oponente francês de Fresnel, Biot, parecia assumir uma posição neutra em 1830 e acabou aceitando a teoria das ondas - possivelmente em 1846 e certamente em 1858.

Em 1826, o astrônomo britânico John Herschel, que estava trabalhando em um artigo do tamanho de um livro sobre a luz para a Encyclopædia Metropolitana, dirigiu três perguntas a Fresnel sobre refração dupla, reflexão parcial e sua relação à polarização. O artigo resultante, intitulado simplesmente "Light", foi altamente favorável à teoria das ondas, embora não totalmente livre de linguagem selecionista. Ele estava circulando privadamente em 1828 e foi publicado em 1830. Enquanto isso, a tradução de Young de De la Lumière de Fresnel foi publicada em fascículos de 1827 a 1829. George Biddell Airy, o ex-professor lucasiano em Cambridge e futuro astrônomo real, aceitou sem reservas a teoria das ondas em 1831. Em 1834, ele calculou o padrão de difração de uma abertura circular a partir da teoria das ondas, explicando assim a resolução angular limitada de um telescópio perfeito (consulte o disco Airy). No final da década de 1830, o único físico britânico proeminente que se opôs à teoria das ondas foi Brewster, cujas objeções incluíam a dificuldade de explicar os efeitos fotoquímicos e (em sua opinião) a dispersão.

Uma tradução alemã de De la Lumière foi publicada em fascículos em 1825 e 1828. A teoria ondulatória foi adotada por Fraunhofer no início da década de 1820 e por Franz Ernst Neumann na década de 1830, e então começou a encontrar graça nos livros didáticos de alemão.

A economia de suposições sob a teoria das ondas foi enfatizada por William Whewell em sua História das Ciências Indutivas, publicada pela primeira vez em 1837. No sistema corpuscular, "cada nova classe de fatos requer uma nova suposição," enquanto no sistema de ondas, uma hipótese elaborada para explicar um fenômeno é então encontrada para explicar ou prever outros. No sistema corpuscular não há "nenhum sucesso inesperado, nenhuma coincidência feliz, nenhuma convergência de princípios de locais remotos"; mas no sistema de ondas, "tudo tende à unidade e simplicidade."

Assim, em 1850, quando Foucault e Fizeau descobriram por experiência que a luz viaja mais lentamente na água do que no ar, de acordo com a explicação ondulatória da refração e ao contrário da explicação corpuscular, o resultado não surpreendeu.

Faróis e as lentes Fresnel

Fresnel não foi a primeira pessoa a focalizar o feixe de um farol usando uma lente. Essa distinção aparentemente pertence ao vidreiro londrino Thomas Rogers, cujas primeiras lentes, com 53 cm de diâmetro e 14 cm de espessura em do centro, foram instaladas no Old Lower Lighthouse em Portland Bill em 1789. Outras amostras foram instaladas em cerca de meia dúzia de outros locais em 1804. Mas grande parte da luz foi desperdiçada pela absorção no vidro.

1: Seção transversal da lente Buffon/Fresnel. 2: Seção transversal da lente plano-convexa convencional de potência equivalente. (A versão de Buffon era biconvexa.)

Também não foi Fresnel o primeiro a sugerir a substituição de uma lente convexa por uma série de prismas anulares concêntricos, para reduzir o peso e a absorção. Em 1748, o conde Buffon propôs a retificação de tais prismas como degraus em uma única peça de vidro. Em 1790, o Marquês de Condorcet sugeriu que seria mais fácil fazer as seções anulares separadamente e montá-las em uma moldura; mas mesmo isso era impraticável na época. Esses designs não eram destinados a faróis, mas a queima de vidros. Brewster, no entanto, propôs um sistema semelhante ao de Condorcet em 1811 e, em 1820, defendia seu uso em faróis britânicos.

Enquanto isso, em 21 de junho de 1819, Fresnel foi "temporariamente" apoiado pela Commission des Phares (Comissão de Faróis) por recomendação de Arago (membro da Comissão desde 1813), para revisar possíveis melhorias na iluminação dos faróis. A comissão foi estabelecida por Napoleão em 1811 e colocada sob o Corps des Ponts - o empregador de Fresnel.

No final de agosto de 1819, sem saber da proposta de Buffon-Condorcet-Brewster, Fresnel fez sua primeira apresentação à comissão, recomendando o que chamou de lentilles à échelons (lentes por etapas) para substituir os refletores então em uso, que refletiam apenas cerca de metade da luz incidente. Um dos comissários reunidos, Jacques Charles, lembrou a sugestão de Buffon, deixando Fresnel constrangido por ter novamente "arrombado uma porta aberta". Mas, enquanto a versão de Buffon era biconvexa e inteiriça, a de Fresnel era plano-convexa e feita de múltiplos prismas para facilitar a construção. Com um orçamento oficial de 500 francos, a Fresnel abordou três fabricantes. O terceiro, François Soleil, produziu o protótipo. Concluído em março de 1820, tinha um painel de lentes quadradas de 55 cm de lado, contendo 97 prismas poligonais (não anulares) - e impressionou tanto a Comissão que Fresnel foi solicitado uma versão completa de oito painéis. Este modelo, concluído um ano depois, apesar do financiamento insuficiente, tinha painéis de 76 cm quadrados. Em um espetáculo público na noite de 13 de abril de 1821, foi demonstrado por comparação com os refletores mais recentes, que repentinamente tornaram obsoletos.

Seção transversal de uma primeira geração Lente de farol Fresnel, com espelhos inclinadosm, n acima e abaixo do painel de refraçãoRC (com segmento central)A). Se a seção transversal em cada plano vertical através da lâmpadaL é o mesmo, a luz se espalha uniformemente ao redor do horizonte.

A próxima lente de Fresnel era um aparato rotativo com oito "olho de boi" painéis, feitos em arcos anulares pela Saint-Gobain, dando oito feixes rotativos – para serem vistos pelos marinheiros como um flash periódico. Acima e atrás de cada painel principal havia um painel de olho de boi inclinado menor de contorno trapezoidal com elementos trapezoidais. Isso refratou a luz para um espelho plano inclinado, que então a refletiu horizontalmente, 7 graus à frente do feixe principal, aumentando a duração do flash. Abaixo dos painéis principais havia 128 pequenos espelhos dispostos em quatro anéis, empilhados como as ripas de uma persiana ou veneziana. Cada anel, em forma de tronco de cone, refletia a luz para o horizonte, dando uma luz constante mais fraca entre os flashes. O teste oficial, realizado no inacabado Arco do Triunfo em 20 de agosto de 1822, foi testemunhado pela comissão – e por Luís XVIII e sua comitiva – de 32 km de distância. O aparelho foi armazenado em Bordeaux durante o inverno e depois remontado no Farol de Cordouan sob a supervisão de Fresnel. Em 25 de julho de 1823, a primeira lente Fresnel de farol do mundo foi acesa. Logo depois, Fresnel começou a tossir sangue.

Em maio de 1824, Fresnel foi promovido a secretário da Commission des Phares, tornando-se o primeiro membro desse órgão a receber um salário, embora no papel simultâneo de Engenheiro-Chefe. Ele também foi examinador (não professor) na École Polytechnique desde 1821; mas problemas de saúde, longas horas durante a temporada de exames e ansiedade em julgar os outros o induziram a renunciar ao cargo no final de 1824, para economizar energia para o trabalho do farol.

No mesmo ano, ele projetou a primeira lente fixa – para espalhar a luz uniformemente ao redor do horizonte, minimizando o desperdício acima ou abaixo. Idealmente, as superfícies refratoras curvas seriam segmentos de toróides em torno de um eixo vertical comum, de modo que o painel dióptrico se parecesse com um tambor cilíndrico. Se isso fosse suplementado por anéis refletivos (catóptricos) acima e abaixo das partes refratárias (dióptricas), todo o aparato pareceria uma colmeia. A segunda lente Fresnel a entrar em serviço foi de fato uma lente fixa, de terceira ordem, instalada em Dunquerque em 1º de fevereiro de 1825. No entanto, devido à dificuldade de fabricar grandes prismas toroidais, esse aparelho tinha um plano poligonal de 16 lados.

Em 1825, Fresnel estendeu seu projeto de lentes fixas adicionando uma matriz rotativa fora da matriz fixa. Cada painel da matriz rotativa deveria refratar parte da luz fixa de um ventilador horizontal em um feixe estreito.

Também em 1825, Fresnel revelou a Carte des Phares (Mapa do Farol), exigindo um sistema de 51 faróis mais luzes de porto menores, em uma hierarquia de tamanhos de lentes (chamadas ordens, sendo a primeira ordem a maior), com características diferentes para facilitar o reconhecimento: uma luz constante (de uma lente fixa), um flash por minuto (de uma lente rotativa com oito painéis) e dois por minuto (dezesseis painéis).

Catadioptric rotativa de primeira ordem Lente de Fresnel, datada de 1870, exibida no Musée national de la MarineParis. Neste caso, os prismas dioptric (dentro dos anéis de bronze) e prismas catadioptric (fora) são dispostos a dar uma luz puramente piscando com quatro flashes por rotação. A montagem tem 2,54 metros de altura e pesa cerca de 1,5 toneladas.

No final de 1825, para reduzir a perda de luz nos elementos refletores, Fresnel propôs a substituição de cada espelho por um prisma catadióptrico, através do qual a luz viajaria por refração através da primeira superfície e, em seguida, por reflexão interna total na segunda superfície, então refração através da terceira superfície. O resultado foi a lente do farol como a conhecemos agora. Em 1826, ele montou um pequeno modelo para uso no Canal Saint-Martin, mas não viveu para ver uma versão em tamanho real.

A primeira lente fixa com prismas toroidais foi um aparelho de primeira ordem projetado pelo engenheiro escocês Alan Stevenson sob a orientação de Léonor Fresnel e fabricado por Isaac Cookson & Co. de vidro francês; entrou em serviço na Ilha de maio em 1836. As primeiras grandes lentes catadióptricas foram lentes fixas de terceira ordem feitas em 1842 para os faróis de Gravelines e Île Vierge. A primeira lente de primeira ordem totalmente catadióptrica, instalada em Ailly em 1852, forneceu oito feixes rotativos assistidos por oito painéis catadióptricos na parte superior (para alongar os flashes), além de uma luz fixa por baixo. A primeira lente totalmente catadióptrica com feixes puramente giratórios – também de primeira ordem – foi instalada em Saint-Clément-des-Baleines em 1854 e marcou a conclusão do original de Augustin Fresnel Carte des Phares.

Close-up vista de um plástico fino Lente de Fresnel

A produção de lentes dióptricas escalonadas inteiriças — mais ou menos como imaginado por Buffon — tornou-se prática em 1852, quando John L. Gilliland, da Brooklyn Flint-Glass Company, patenteou um método de fabricar tais lentes a partir de vidro moldado à pressão. Na década de 1950, a substituição do plástico pelo vidro tornou econômico o uso de lentes Fresnel de passo fino como condensadores em retroprojetores. Etapas ainda mais finas podem ser encontradas em "folha" lupas.

Honras

Busto de Augustin Fresnel por David d'Angers (1854), anteriormente no farol de Hourtin, Gironde, e agora exibido no Musée national de la Marine

Fresnel foi eleito para a Société Philomathique de Paris em abril de 1819 e, em 1822, tornou-se um dos editores do Bulletin des Sciences da Société. Já em maio de 1817, por sugestão de Arago, Fresnel candidatou-se a membro da Académie des Sciences, mas recebeu apenas um voto. O candidato escolhido naquela ocasião foi Joseph Fourier. Em novembro de 1822, a elevação de Fourier a secretário permanente da Académie criou uma vaga na seção de física, que foi preenchida em fevereiro de 1823 por Pierre Louis Dulong, com 36 votos contra 20 de Fresnel., depois que outra vaga foi deixada pela morte de Jacques Charles, a eleição de Fresnel foi unânime. Em 1824, Fresnel foi nomeado chevalier de la Légion d'honneur (Cavaleiro da Legião de Honra).

Enquanto isso, na Grã-Bretanha, a teoria das ondas ainda estava para se firmar; Fresnel escreveu a Thomas Young em novembro de 1824, dizendo em parte:

Estou longe de negar o valor que atribuo ao louvor dos estudiosos ingleses, ou fingir que eles não me lisonjeariam de forma agradável. Mas por muito tempo esta sensibilidade, ou vaidade, que é chamada de amor de glória, tem sido muito confusa em mim: trabalho muito menos para capturar os votos do público do que para obter uma apropriação interior que sempre foi a mais doce recompensa dos meus esforços. Sem dúvida, muitas vezes precisei da picada de vaidade para me excitar para prosseguir minhas pesquisas em momentos de desgosto ou desânimo; mas todos os elogios que recebi de MM.Arago, Laplace e Biot nunca me deram tanto prazer quanto a descoberta de uma verdade teórica e a confirmação de meus cálculos por experiência.

Mas "o elogio dos estudiosos ingleses" logo seguido. Em 9 de junho de 1825, Fresnel foi nomeado membro estrangeiro da Royal Society de Londres. Em 1827, ele foi premiado com a Medalha Rumford da sociedade para o ano de 1824, "Por seu desenvolvimento da teoria ondulatória aplicada aos fenômenos da luz polarizada e por suas várias descobertas importantes em óptica física.&# 34;

Um monumento a Fresnel em seu local de nascimento (veja acima) foi inaugurado em 14 de setembro de 1884 com um discurso de Jules Jamin, Secretário Permanente da Académie des Sciences. "FRESNEL" está entre os 72 nomes gravados na Torre Eiffel (no lado sudeste, quarto da esquerda). No século 19, como cada farol na França adquiriu uma lente Fresnel, cada um adquiriu um busto de Fresnel, aparentemente vigiando o litoral que ele havia tornado mais seguro. As feições lunares Promontorium Fresnel e Rimae Fresnel foram posteriormente nomeadas em sua homenagem.

Declínio e morte

O túmulo de Fresnel no Cemitério Père Lachaise, Paris, fotografado em 2018

A saúde de Fresnel, que sempre foi ruim, deteriorou-se no inverno de 1822-1823, aumentando a urgência de sua pesquisa original e (em parte) impedindo-o de contribuir com um artigo sobre polarização e dupla refração para a Encyclopædia Britannica. Datam desse período as memórias sobre polarização circular e elíptica e rotação óptica, e sobre a derivação detalhada das equações de Fresnel e sua aplicação à reflexão interna total. Na primavera, ele se recuperou o suficiente, em sua opinião, para supervisionar a instalação da lente em Cordouan. Logo depois, ficou claro que sua condição era tuberculose.

Em 1824, ele foi avisado de que, se quisesse viver mais, precisava reduzir suas atividades. Percebendo que seu trabalho no farol era seu dever mais importante, ele renunciou ao cargo de examinador na École Polytechnique e fechou seus cadernos científicos. Sua última nota à Académie, lida em 13 de junho de 1825, descrevia o primeiro radiômetro e atribuía a força repulsiva observada a uma diferença de temperatura. Embora sua pesquisa fundamental tenha cessado, sua defesa não; ainda em agosto ou setembro de 1826, ele encontrou tempo para responder às perguntas de Herschel sobre a teoria das ondas. Foi Herschel quem recomendou Fresnel para a Medalha Rumford da Royal Society.

A tosse de Fresnel piorou no inverno de 1826-1827, deixando-o muito doente para retornar a Mathieu na primavera. A reunião da Académie de 30 de abril de 1827 foi a última a que compareceu. No início de junho, ele foi carregado para Ville-d'Avray, 12 quilômetros (7,5 mi) a oeste de Paris. Lá sua mãe se juntou a ele. No dia 6 de julho, Arago chegou para entregar a Medalha Rumford. Sentindo a angústia de Arago, Fresnel sussurrou que "a mais bela coroa significa pouco, quando é colocada no túmulo de um amigo". Fresnel não teve forças para responder à Royal Society. Ele morreu oito dias depois, no Dia da Bastilha.

Ele está enterrado no Cemitério Père Lachaise, em Paris. A inscrição em sua lápide está parcialmente corroída; a parte legível diz, quando traduzida, "À memória de Augustin Jean Fresnel, membro do Instituto da França".

Publicações póstumas

Émile Verdet (1824-1866)

A "segunda memória" sobre refração dupla não foi impresso até o final de 1827, alguns meses após sua morte. Até então, a fonte mais bem publicada sobre seu trabalho sobre dupla refração era um trecho de suas memórias, impresso em 1822. Seu tratamento final sobre reflexão parcial e reflexão interna total, lido para a Académie em janeiro de 1823, foi considerado perdido até que foi redescoberto entre os papéis do falecido Joseph Fourier (1768–1830) e foi impresso em 1831. Até então, era conhecido principalmente por meio de um extrato impresso em 1823 e 1825. As memórias que introduzem a forma paralelepipédica do losango Fresnel, ler em março de 1818, foi extraviado até 1846 e então atraiu tanto interesse que logo foi republicado em inglês. A maioria dos escritos de Fresnel sobre luz polarizada antes de 1821 - incluindo sua primeira teoria da polarização cromática (apresentada em 7 de outubro de 1816) e o crucial "suplemento" de janeiro de 1818 — não foram publicados na íntegra até que suas Oeuvres complètes ("obras completas") começaram a aparecer em 1866. O "suplemento" de julho de 1816, propondo o "raio eficaz" e relatando o famoso experimento do espelho duplo, teve o mesmo destino, assim como o "primeiro livro de memórias" na dupla refração.

A publicação das obras coletadas de Fresnel foi atrasada pela morte de sucessivos editores. A tarefa foi inicialmente confiada a Félix Savary, falecido em 1841. Foi retomada vinte anos depois pelo Ministério da Instrução Pública. Dos três editores eventualmente nomeados nas Oeuvres, Sénarmont morreu em 1862, Verdet em 1866 e Léonor Fresnel em 1869, quando apenas dois dos três volumes haviam aparecido. No início do vol. 3 (1870), a conclusão do projeto é descrita em uma longa nota de rodapé por "J. Lissajous."

Não incluídas nas Oeuvres estão duas notas curtas de Fresnel sobre magnetismo, que foram descobertas entre os manuscritos de Ampère. Em resposta à descoberta do eletromagnetismo por Ørsted em 1820, Ampère inicialmente supôs que o campo de um ímã permanente era devido a uma corrente circulante macroscópica. Fresnel sugeriu, em vez disso, que havia uma corrente microscópica circulando em torno de cada partícula do ímã. Em sua primeira nota, ele argumentou que as correntes microscópicas, ao contrário das correntes macroscópicas, explicariam por que um ímã cilíndrico oco não perde seu magnetismo quando cortado longitudinalmente. Em sua segunda nota, datada de 5 de julho de 1821, ele argumentou ainda que uma corrente macroscópica tinha a implicação contrafactual de que um ímã permanente deveria estar quente, enquanto correntes microscópicas circulando em torno das moléculas poderiam evitar o mecanismo de aquecimento. Ele não deveria saber que as unidades fundamentais do magnetismo permanente são ainda menores que as moléculas (ver Momento magnético do elétron). As duas notas, juntamente com o reconhecimento de Ampère, foram finalmente publicadas em 1885.

Obras perdidas

O ensaio de Fresnel Rêveries de 1814 não sobreviveu. Embora seu conteúdo fosse interessante para os historiadores, sua qualidade talvez possa ser avaliada pelo fato de que o próprio Fresnel nunca se referiu a ele em sua maturidade.

Mais perturbador é o destino do artigo tardio "Sur les Différents Systèmes relatifs à la Théorie de la Lumière" ("Sobre os diferentes sistemas relacionados à teoria da luz"), que Fresnel escreveu para a recém-lançada revista inglesa European Review. Este trabalho parece ter sido semelhante em escopo ao ensaio De la Lumière de 1821/22, exceto que as visões de Fresnel sobre dupla refração, polarização circular e elíptica, rotação óptica e total interno a reflexão se desenvolveu desde então. O manuscrito foi recebido pelo agente da editora em Paris no início de setembro de 1824 e prontamente encaminhado para Londres. Mas a revista falhou antes que a contribuição de Fresnel pudesse ser publicada. Fresnel tentou, sem sucesso, recuperar o manuscrito. Os editores de suas obras coletadas também não conseguiram encontrá-lo e admitiram que provavelmente estava perdido.

Negócios inacabados

Arrasto do éter e densidade do éter

Em 1810, Arago descobriu experimentalmente que o grau de refração da luz estelar não depende da direção do movimento da terra em relação à linha de visão. Em 1818, Fresnel mostrou que este resultado poderia ser explicado pela teoria das ondas, sobre a hipótese de que se um objeto com índice de refração $n$ moveu-se na velocidade $v$ em relação ao éter externo (tomado como estacionário), então a velocidade da luz dentro do objeto ganhou o componente adicional ${displaystyle ,v(1-1/n^{2})}$ . Ele apoiou essa hipótese supondo que, se a densidade do éter externo foi tomada como unidade, a densidade do éter interno foi $n^{2}$ , do qual o excesso, ou seja, ${displaystyle ,n^{2}{-}1,}$ , foi arrastado ao longo da velocidade $v$ , quando média velocidade do éter interno foi ${displaystyle ,v(1-1/n^{2})}$ . O fator em parênteses, que Fresnel originalmente expressou em termos de comprimentos de onda, tornou-se conhecido como o Coeficiente de arrasto de Fresnel. (Veja a hipótese de arrastar Aether.)

Em sua análise da refração dupla, Fresnel supôs que os diferentes índices de refração em diferentes direções dentro do mesmo meio eram devidos a uma variação direcional na elasticidade, não na densidade (porque o conceito de massa por unidade volume não é direcional). Mas em seu tratamento da reflexão parcial, ele supôs que os diferentes índices de refração de diferentes meios eram devidos a diferentes densidades de éter, não a diferentes elasticidades. A última decisão, embora intrigante no contexto da dupla refração, era consistente com o tratamento anterior do arrasto do éter.

Em 1846, George Gabriel Stokes apontou que não havia necessidade de dividir o éter dentro de um objeto em movimento em duas porções; tudo isso poderia ser considerado como se movendo em uma velocidade comum. Então, se o éter foi conservado enquanto sua densidade mudou em proporção a $n^{2}$ , a velocidade resultante do éter dentro do objeto era igual ao componente de velocidade adicional de Fresnel.

Dispersão

A analogia entre ondas de luz e ondas transversais em sólidos elásticos não prevê a dispersão — isto é, a dependência da frequência da velocidade de propagação, que permite que os prismas produzam espectros e cause danos às lentes da aberração cromática. Fresnel, em De la Lumière e no segundo suplemento de suas primeiras memórias sobre dupla refração, sugeriu que a dispersão poderia ser explicada se as partículas do meio exercessem forças umas sobre as outras em distâncias que eram frações significativas de um comprimento de onda. Mais tarde, mais de uma vez, Fresnel referiu-se à demonstração desse resultado como estando contida em uma nota anexada ao seu "segundo livro de memórias" na dupla refração. Nenhuma nota desse tipo apareceu impressa, e os manuscritos relevantes encontrados após sua morte mostraram apenas que, por volta de 1824, ele estava comparando índices de refração (medidos por Fraunhofer) com uma fórmula teórica, cujo significado não foi totalmente explicado.

Na década de 1830, a sugestão de Fresnel foi aceita por Cauchy, Baden Powell e Philip Kelland, e foi considerada toleravelmente consistente com a variação de índices de refração com comprimento de onda sobre o espectro visível para uma variedade de mídia transparente (veja a equação de Cauchy). Essas investigações foram suficientes para mostrar que a teoria ondulatória era pelo menos compatível com a dispersão; se o modelo de dispersão fosse preciso em uma faixa mais ampla de frequências, ele precisava ser modificado para levar em conta as ressonâncias dentro do meio (veja a equação de Sellmeier).

Refração cônica

A complexidade analítica da derivação de Fresnel da superfície de velocidade do raio foi um desafio implícito para encontrar um caminho mais curto para o resultado. Isso foi respondido por MacCullagh em 1830 e por William Rowan Hamilton em 1832.

Hamilton foi além, estabelecendo duas propriedades da superfície que Fresnel, no curto espaço de tempo que lhe foi dado, havia negligenciado: (i) em cada um dos quatro pontos onde as folhas interna e externa da superfície fazem contato, a superfície tem um cone tangente (tangencial a ambas as folhas), portanto, um cone de normais, indicando que um cone de direções normais de onda corresponde a um único vetor de velocidade de raio; e (ii) em torno de cada um desses pontos, a folha externa tem um círculo de contato com um plano tangente, indicando que um cone de direções de raio corresponde a um único vetor de velocidade normal de onda. Como observou Hamilton, essas propriedades implicam, respectivamente, que (i) um feixe estreito que se propaga dentro do cristal na direção da velocidade do raio único irá, ao sair do cristal através de uma superfície plana, quebrar em um cone oco (refração cônica externa ), e (ii) um feixe estreito atingindo uma superfície plana do cristal na direção apropriada (correspondente à velocidade normal da onda interna única) irá, ao entrar no cristal, quebrar em um cone oco (refração cônica interna).

Assim, um novo par de fenômenos, qualitativamente diferente de qualquer coisa previamente observada ou suspeitada, foi previsto pela matemática como conseqüência da teoria de Fresnel. A pronta confirmação experimental dessas previsões por Humphrey Lloyd trouxe a Hamilton um prêmio que Fresnel nunca havia recebido: fama imediata.

Legado

A sala de lanterna do Farol Cordouan, em que a primeira lente Fresnel entrou em serviço em 1823. A lente "beehive" da catadioptria fixa atual substituiu a lente giratória original de Fresnel em 1854.

Em um século da proposta inicial de lentes escalonadas de Fresnel, mais de 10.000 luzes com lentes Fresnel estavam protegendo vidas e propriedades em todo o mundo. Com relação aos outros benefícios, a historiadora da ciência Theresa H. Levitt observou:

Em todo o lado que olhei, a história repetiu-se. O momento em que uma lente Fresnel apareceu em um local foi o momento em que a região se tornou ligada à economia mundial.

Na história da ótica física, o renascimento bem-sucedido de Fresnel da teoria ondulatória o nomeia como a figura central entre Newton, que sustentava que a luz consistia em corpúsculos, e James Clerk Maxwell, que estabeleceu que as ondas de luz são eletromagnéticas. Enquanto Albert Einstein descreveu o trabalho de Maxwell como "o mais profundo e frutífero que a física experimentou desde a época de Newton" comentaristas da época entre Fresnel e Maxwell fizeram declarações igualmente fortes sobre Fresnel:

MacCullagh, no início de 1830, escreveu que a teoria mecânica de Fresnel de refração dupla "poderia fazer honra à sagacidade de Newton".
Lloyd, no seu Relatório sobre o progresso e o estado actual da óptica física (1834) para a Associação Britânica para o Avanço da Ciência, pesquisou conhecimento prévio de refração dupla e declarou:
A teoria de Fresnel para a qual procedo agora, — e que não só abraça todos os fenômenos conhecidos, mas tem mesmo uma observação ultrapassada, e previu consequências que foram depois plenamente verificadas — será, estou persuadido, ser considerado como a melhor generalização na ciência física que foi feita desde a descoberta da gravitação universal.
Em 1841, Lloyd publicou seu Palestras sobre a teoria das ondas da luz, em que ele descreveu a teoria das ondas transversais de Fresnel como "o tecido mais nobre que já adornou o domínio da ciência física, apenas o sistema do universo de Newton."
William Whewell, nas três edições de sua História das Ciências Indutivas (1837, 1847 e 1857), no final do LivroIX, comparou as histórias de astronomia física e óptica física e concluiu:
Seria, talvez, muito fantasioso tentar estabelecer um paralelismo entre as pessoas proeminentes que figuram nessas duas histórias. Se fôssemos fazer isso, devemos considerar Huyghens e Hooke como estando no lugar de Copernicus, uma vez que, como ele, eles anunciaram a verdadeira teoria, mas a deixaram para uma idade futura para dar-lhe desenvolvimento e confirmação mecânica; Malus e Brewster, agrupando-os juntos, correspondem a Tycho Brahe e Kepler, trabalhoso em acumular observações, inventivas e felizes em descobrir leis de fenômenos; e combinadas Frenel óptico.

O que Whewell chamou de "teoria verdadeira" desde então, passou por duas grandes revisões. A primeira, de Maxwell, especificava os campos físicos cujas variações constituem as ondas de luz. Sem o benefício desse conhecimento, Fresnel conseguiu construir a primeira teoria coerente da luz do mundo, mostrando em retrospecto que seus métodos são aplicáveis a vários tipos de ondas. A segunda revisão, iniciada pela explicação de Einstein sobre o efeito fotoelétrico, supunha que a energia das ondas de luz se dividia em quanta, que acabaram sendo identificados com partículas chamadas fótons. Mas os fótons não correspondiam exatamente aos corpúsculos de Newton; por exemplo, a explicação de Newton sobre a refração comum exigia que os corpúsculos viajassem mais rápido em meios de maior índice de refração, o que os fótons não fazem. Nem os fótons deslocaram as ondas; em vez disso, levaram ao paradoxo da dualidade onda-partícula. Além disso, os fenômenos estudados por Fresnel, que incluíam quase todos os fenômenos ópticos conhecidos em sua época, ainda são mais facilmente explicados em termos da natureza ondulatória da luz. Foi assim que, ainda em 1927, o astrônomo Eugène Michel Antoniadi declarou que Fresnel era "a figura dominante em óptica."

Notas explicativas

^ Pronúncia de Inglês varia: FRAY-nel, - bronəl, or FREN-el, - círculoəl, or fray-NEL. Francês:[o ʒystɛ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ʒ ;
^ Newton (1730) observou penas atuando como grades de reflexão e como grades de transmissão, mas classificou o antigo caso sob placas finas (p. 252), e o último, mais vagamente, sob inflexão (p. 322). Em retrospecto, o último experimento (p. 322, fim de Obs. 2) é perigoso para a visão e não deve ser repetido como escrito.
^ A história que Ampère perdeu o ensaio (propagado de Boutry, 1948, p. 593?) é implicitamente contraposta por Darrigol (2012, p. 198), Buchwald (1989, p. 117), a carta de Mérimée a Fresnel de 20 de dezembro de 1814 (em Fresnel, 1866–70, vol. 2, pp. 830–31) e duas notas de Frexn.
^ "O livro de Young", que Fresnel distinguiu do Transações Filosóficas, é presumivelmente Curso de Palestras sobre Filosofia Natural e Artes Mecânicas (2 volumes, 1807). Em vol. 1, as ilustrações relevantes são PlacaXXVIII (com o p. 777), incluindo o famoso padrão de interferência de duas fontes (Fig. 267), e PlacaXXXII (facing p. 787), incluindo os caminhos hiperbólicos das franjas nesse padrão (Fig. 442) seguido por esboços de outros padrões de difração e padrões de placas finas, sem sugestões visuais sobre suas causas físicas. Em vol. 2, que inclui as palestras de Bakerian da Transações Filosóficas, Fig. 108 (p. 632) mostra apenas um caso de um raio direto indevido que intersete um raio refletido.
^ Silliman (1967, p. 163) e Frankel (1976, p. 156) dão a data da nota de Arago em scintillation como 1814; mas a sequência de eventos implica 1816, de acordo com Darrigol (2012, pp. 201,290). Kipnis (1991, pp. 202–3,206) prova a data posterior e explica a origem e propagação da data anterior incorreta.
^ Na mesma parcela, Fresnel reconheceu uma carta de Young a Arago, datada de 29 de abril de 1818 (e perdida antes de 1866), na qual Young sugeriu que as ondas de luz poderiam ser análogas a ondas em cordas esticadas. Mas Fresnel foi insatisfeito com a analogia porque sugeriu tanto modos transversais quanto longitudinais de propagação e foi difícil conciliar com um meio fluido (Silliman, 1967, pp. 214-5; Fresnel, 1821a, §13).
^ Fresnel, em um esforço para mostrar que as ondas transversais não eram absurdas, sugeriu que o éter era um fluido que compreende uma treliça de moléculas, camadas adjacentes das quais resistiriam a um deslocamento deslizante até um certo ponto, além do qual se gravitaria para um novo equilíbrio. Tal médium, ele pensou, comportaria-se como um sólido para deformações suficientemente pequenas, mas como um líquido perfeito para deformações maiores. Quanto à falta de ondas longitudinais, sugeriu ainda que as camadas ofereciam incomparavelmente maior resistência a uma mudança de espaçamento do que a um movimento deslizante (Silliman, 1967, pp. 216–8; Fresnel, 1821a, §§ 11–12; cf. Fresnel, 1827, tr. Hobson, pp. 258–62).
^ O S originalmente vem do alemão Segmentos, significado perpendicular (para o plano de incidência).
^ Em obras coletadas de Fresnel (1866–70), diz-se que um artigo foi "apresentado" ("- Não.") se foi apenas entregue ao Secretário Permanente da Académie para testemunhar ou processar (cf. vol. 1, p. 487; vol. 2, pp. 261, p. 261).308). Nestes casos, este artigo prefere a palavra genérica "submitida", para evitar a impressão de que o papel tinha uma leitura formal.
^ Outro relatório de Fresnel, datado de 29 de agosto de 1819 (Fresnel, 1866–70, vol. 3, pp. 15–21), diz respeito a testes sobre refletores, e não menciona lentes pisadas, exceto em um esboço não relacionado na última página do manuscrito. A acta das reuniões da Comissão remonta apenas a 1824, quando o próprio Fresnel assumiu o cargo de Secretário (Fresnel, 1866–70, vol. 3, p. 6n). Assim, infelizmente, não é possível verificar a data exata em que Fresnel formalmente recomendado Ientilles à échelons.

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