Assimptota

O gráfico de uma função com um horizontal (Sim.= 0), vertical (x= 0), e assintote oblíquo (linha pura, dada por Sim.= 2x).

Uma curva que cruza um assintoto infinitamente muitas vezes.

Na geometria analítica, uma assimptota () de uma curva é uma linha tal que a distância entre a curva e a linha se aproxima de zero como um ou ambos os x ou as coordenadas y tendem ao infinito. Na geometria projetiva e contextos relacionados, uma assíntota de uma curva é uma linha que é tangente à curva em um ponto no infinito.

A palavra assíntota é derivada do grego ἀσύμπτωτος (asumptōtos) que significa "não caindo junto", de ἀ priv. + σύν "juntos" + πτωτ-ός "caído". O termo foi introduzido por Apolônio de Perga em seu trabalho sobre seções cônicas, mas em contraste com seu significado moderno, ele o usou para significar qualquer linha que não intersete a curva dada.

Existem três tipos de assíntotas: horizontal, vertical e oblíqua. Para curvas dadas pelo gráfico de uma função y = ƒ(x), horizontal assíntotas são linhas horizontais das quais o gráfico da função se aproxima quando x tende a +∞ ou −∞. Assíntotas verticais são linhas verticais perto das quais a função cresce sem limite. Uma assíntota oblíqua tem uma inclinação diferente de zero, mas finita, de modo que o gráfico da função se aproxima dela conforme x tende a +∞ ou −∞.

Em geral, uma curva é uma assimptota curvilínea de outra (em oposição a uma assíntota linear) se a distância entre as duas curvas tende a zero conforme elas tendem a infinito, embora o termo assimptota por si só seja geralmente reservado para assíntotas lineares.

Assíntotas transmitem informações sobre o comportamento das curvas em grande, e determinar as assíntotas de uma função é uma etapa importante no esboço de seu gráfico. O estudo das assíntotas de funções, interpretadas em sentido amplo, faz parte do tema da análise assintótica.

Introdução

f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1x[displaystyle f(x)={tfrac Não. em coordenadas cartesianas. O x e Sim.- Os eixos são os assintotos.

A ideia de que uma curva pode chegar arbitrariamente perto de uma linha sem realmente se tornar a mesma pode parecer contrariar a experiência cotidiana. As representações de uma linha e uma curva como marcas em um pedaço de papel ou como pixels em uma tela de computador têm uma largura positiva. Portanto, se fossem estendidos o suficiente, eles pareceriam se fundir, pelo menos até onde o olho pudesse discernir. Mas essas são representações físicas das entidades matemáticas correspondentes; a linha e a curva são conceitos idealizados cuja largura é 0 (ver Linha). Portanto, a compreensão da ideia de uma assíntota requer um esforço de razão e não de experiência.

Considere o gráfico da função f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1x{displaystyle f(x)={frac Não. mostrado nesta seção. As coordenadas dos pontos na curva são da forma (x,1x){displaystyle left(x,{frac {1}{x}}right)} onde x é um número diferente de 0. Por exemplo, o gráfico contém os pontos (1, 1), (2, 0.5), (5, 0.2), (10, 0.1),... Como os valores de xNão. tornar-se maior e maior, dizer 100, 1.000, 10,000..., colocá-los longe à direita da ilustração, os valores correspondentes Sim.- Sim.,.01,.001,.0001,..., tornar-se infinitassimal em relação à escala mostrada. Mas não importa quão grande xNão. se torna, seu recíproco 1x- Sim. é nunca 0, então a curva nunca realmente toca o x-axis. Da mesma forma, como os valores de xNão. tornar-se menor e menor, say.01,.001,.0001,..., tornando-os infinitossimal em relação à escala mostrada, os valores correspondentes de Sim.- Sim., 100, 1.000, 10,000..., tornam-se maiores e maiores. Assim, a curva se estende mais longe e mais para cima, pois se aproxima e se aproxima mais do Sim.-axis. Assim, tanto o x e Sim.-axis são assintotos da curva. Essas ideias fazem parte da base do conceito de um limite em matemática, e essa conexão é explicada mais plenamente abaixo.

Assíntotas de funções

As assíntotas mais comumente encontradas no estudo do cálculo são curvas da forma y = ƒ(x). Estes podem ser calculados usando limites e classificados em assíntotas horizontais, verticais e oblíquas dependendo de sua orientação. Assíntotas horizontais são linhas horizontais das quais o gráfico da função se aproxima quando x tende para +∞ ou −∞. Como o nome indica, eles são paralelos ao eixo x. Assíntotas verticais são linhas verticais (perpendiculares ao eixo x) perto das quais a função cresce sem limite. Assíntotas oblíquas são linhas diagonais tais que a diferença entre a curva e a linha se aproxima de 0 conforme x tende a +∞ ou −∞.

Assíntotas verticais

A linha x = a é uma assíntota vertical do gráfico da função y = ƒ(x) se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:

1. Limpar.x→ → um- Sim. - Sim. f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =± ± ∞ ∞ ,{displaystyle lim _{xto a^{-}}f(x)=pm infty}
2. Limpar.x→ → um+f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =± ± ∞ ∞ ,{displaystyle lim _{xto a^{+}}f(x)=pm infty}

Onde? Limpar.x→ → um- Sim. - Sim. {displaystyle lim _{xto a^{-}}} é o limite como x aproxima o valor um da esquerda (de valores menores) e Limpar.x→ → um+{displaystyle lim _{xto a^{+}}} é o limite como x abordagens um da direita.

Por exemplo, se ƒ(x) = x/(x–1), o numerador se aproxima de 1 e o denominador se aproxima de 0 conforme x se aproxima de 1. Então

Limpar.x→ → 1+xx- Sim. - Sim. 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =+∞ ∞ {displaystyle lim _{xto 1^{+}}{frac (x){x-1}}=+infty)

Limpar.x→ → 1- Sim. - Sim. xx- Sim. - Sim. 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. ∞ ∞ {displaystyle lim _{xto 1^{-}}{frac - Não.

e a curva tem uma assíntota vertical x = 1.

A função ƒ(x) pode ou não ser definida em a, e seu valor preciso no ponto x = a não afeta a assíntota. Por exemplo, para a função

0,\5&{text{if }}xleq 0.end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(1xsex>0,5sex≤ ≤ 0.{displaystyle f(x)={begin{cases}{frac {1}{x}}&{text{if }}x>0,\5&{text{if }}xleq 0.end{cases}}}0,\5&{text{if }}xleq 0.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd6b6f8e22e01596a6f7d0452c18bed3286431a" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.286ex; height:6.176ex;"/>

tem um limite de +∞ como x → 0⁺, ƒ(x) tem a assíntota vertical x = 0, embora ƒ(0) = 5. O gráfico desta função intercepta a assíntota vertical uma vez, em (0, 5). É impossível para o gráfico de uma função interceptar uma assíntota vertical (ou uma reta vertical em geral) em mais de um ponto. Além disso, se uma função é contínua em cada ponto onde é definida, é impossível que seu gráfico intercepte qualquer assíntota vertical.

Um exemplo comum de uma assíntota vertical é o caso de uma função racional em um ponto x tal que o denominador é zero e o numerador é diferente de zero.

Se uma função tem uma assíntota vertical, então não é necessariamente verdade que a derivada da função tem uma assíntota vertical no mesmo lugar. Um exemplo é

f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1x+pecado⁡ ⁡ (1x)[displaystyle f(x)={tfrac {1}{x}}+sin({tfrac {1}{x}}quad } em x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0{displaystyle quad x=0}.

Esta função tem um assintototo vertical em x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0,Não. porque

Limpar.x→ → 0+f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.x→ → 0+(1x+pecado⁡ ⁡ (1x))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =+∞ ∞ ,{displaystyle lim _{xto 0^{+}}f(x)=lim _{xto 0^{+}}left({tfrac {1}{x}}+sin left({tfrac {1}{x}}right)right)=+infty}

e

Limpar.x→ → 0- Sim. - Sim. f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.x→ → 0- Sim. - Sim. (1x+pecado⁡ ⁡ (1x))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. ∞ ∞ {displaystyle lim _{xto 0^{-}}f(x)=lim _{xto 0^{-}}left({tfrac {1}{x}}+sin left({tfrac {1}{x}}right)=-infty }.

O derivado de fNão. é a função

f?(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. (e⁡ ⁡ (1x)+1)x2{displaystyle f'(x)={frac {-(cos({tfrac) {1}{x}}+1)}{x^{2}}}}.

Para a sequência de pontos

xn= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(- Sim. - Sim. 1)n(2n+1)D D ,Não. x_{n}={frac {(-1)^{n}}{(2n+1pi }},quad } para n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0,1,2,...... {displaystyle quad n=0,1,2,ldots }

que se aproxima x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0- Sim. tanto da esquerda como da direita, os valores f?(xn)(x_{n})} são constantemente 0Não. 0. Portanto, ambos os limites unilateral de f?Não. em 0Não. 0 não pode ser +∞ ∞ {displaystyle +infty } nem - Sim. - Sim. ∞ ∞ - Sim.. Daí f?(x)(x)} não tem um assintototo vertical x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0- Sim..

Assíntotas horizontais

A função arctangent tem dois assintotes diferentes

Assíntotas horizontais são linhas horizontais que o gráfico da função aborda como x → ±∞. A reta horizontal y = c é uma assíntota horizontal da função y = ƒ(x) se

Limpar.x→ → - Sim. - Sim. ∞ ∞ f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =c{displaystyle lim _{xrightarrow -infty }f(x)=c} ou Limpar.x→ → +∞ ∞ f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =c{displaystyle lim _{xrightarrow +infty }f(x)=c}.

No primeiro caso, ƒ(x) tem y = c como assíntota quando x tende a −∞, e no segundo ƒ(x) tem y = c como uma assíntota quando x tende a +∞.

Por exemplo, a função arcotangente satisfaz

Limpar.x→ → - Sim. - Sim. ∞ ∞ arctan⁡ ⁡ (x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. D D 2{displaystyle lim _{xrightarrow -infty }arctan(x)=-{frac {pi ? e Limpar.x→ → +∞ ∞ arctan⁡ ⁡ (x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =D D 2.{displaystyle lim _{xrightarrow +infty }arctan(x)={frac {pi }{2}}.}

Portanto, a linha y = –π/2 é uma assíntota horizontal para o arco tangente quando x tende a –∞ e y = π/2 é uma assíntota horizontal para o arco tangente quando x tende a +∞.

As funções podem não ter assíntotas horizontais em um ou em ambos os lados, ou podem ter uma assíntota horizontal que é a mesma em ambas as direções. Por exemplo, a função ƒ(x) = 1/(x²+1) tem uma assíntota horizontal em y = 0 quando x tende para −∞ e +∞ porque, respectivamente,

Limpar.x→ → - Sim. - Sim. ∞ ∞ 1x2+1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.x→ → +∞ ∞ 1x2+1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0.{displaystyle lim _{xto - Sim. {1}{x^{2}+1}}=lim _{xto +infty }{frac {1}{x^{2}+1}}=0.}

Outras funções comuns que têm um ou dois assintotos horizontais incluem x / 1 /x (que tem uma hiperbola como grafo), a função gaussiana x↦ ↦ exp⁡ ⁡ (- Sim. - Sim. x2),{displaystyle xmapsto exp(-x^{2}),} a função de erro e a função logística.

Assíntotas oblíquas

No gráfico de f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x+1x{displaystyle f(x)=x+{tfrac Não., o Sim.-axis (x = 0) e a linha Sim. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x são ambos assintotos.

Quando uma assíntota linear não é paralela ao eixo x ou y, ela é chamada de assíntota oblíqua ou assíntota inclinada. Uma função ƒ(x) é assintótica à linha reta y = mx + n (m ≠ 0) se

Limpar.x→ → +∞ ∞ Não.f(x)- Sim. - Sim. (mx+n)]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0ouLimpar.x→ → - Sim. - Sim. ∞ ∞ Não.f(x)- Sim. - Sim. (mx+n)]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0.{displaystyle lim _{xto +infty }left[f(x)-(mx+n)right]=0,{mbox{ or }}lim _{xto -infty }left[f(x)-(mx+n)right]=0.}

No primeiro caso, a linha y = mx + n é oblíqua a assíntota de ƒ(x) quando x tende a +∞, e no segundo caso a linha y = mx + n é uma assíntota oblíqua de ƒ(x) quando x tende a −∞.

Um exemplo é ƒ(x) = x + 1/x, que tem a assíntota oblíqua y = x (ou seja, m = 1, n = 0) conforme visto nos limites

Limpar.x→ → ± ± ∞ ∞ Não.f(x)- Sim. - Sim. x]{displaystyle lim _{xto pm infty }left[f(x)-xright]}

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.x→ → ± ± ∞ ∞ Não.(x+1x)- Sim. - Sim. x]{displaystyle =lim _{xto pm infty }left[left(x+{frac {1}{x}}right)-xright]}

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.x→ → ± ± ∞ ∞ 1x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0.{displaystyle =lim _{xto pm infty }{frac {1}{x}}=0.

Métodos elementares para identificar assíntotas

As assíntotas de muitas funções elementares podem ser encontradas sem o uso explícito de limites (embora as derivações de tais métodos normalmente usem limites).

Cálculo geral de assíntotas oblíquas para funções

A assíntota oblíqua, para a função f(x), será dada pela equação y = mx + n. O valor para m é calculado primeiro e é dado por

m= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =deLimpar.x→ → umf(x)/x{displaystyle m;{stackrel {text{def}}{=}},lim _{xrightarrow a}f(x)/x}

Onde? um ou - Sim. - Sim. ∞ ∞ - Sim. ou +∞ ∞ {displaystyle +infty } dependendo do caso que está sendo estudado. É uma boa prática para tratar os dois casos separadamente. Se este limite não existir, então não há assintotote oblíquo nessa direção.

Tendo m, então o valor para n pode ser calculado por

n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =deLimpar.x→ → um(f(x)- Sim. - Sim. mx){displaystyle n;{stackrel {text{def}}{=}},lim _{xrightarrow a}(f(x)-mx)}

onde a deve ser o mesmo valor usado antes. Se esse limite não existir, não há assíntota oblíqua nessa direção, mesmo que o limite que define m exista. Caso contrário, y = mx + n é a assíntota oblíqua de ƒ(x) como x tende a a.

Por exemplo, a função ƒ(x) = (2x² + 3x + 1)/x tem

m= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.x→ → +∞ ∞ f(x)/x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.x→ → +∞ ∞ 2x2+3x+1x2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2Não. m=lim _{xrightarrow +infty }f(x)/x=lim _{xrightarrow +infty }{frac {2x^{2}+3x+1}{x^{2}}}=2} e depois

n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.x→ → +∞ ∞ (f(x)- Sim. - Sim. mx)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.x→ → +∞ ∞ (2x2+3x+1x- Sim. - Sim. 2x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =3{displaystyle n=lim _{xrightarrow +infty }(f(x)-mx)=lim _{xrightarrow +infty }left({frac {2x^{2}+3x+1}{x}}-2xright)=3}

de modo que y = 2x + 3 é a assíntota de ƒ(x) quando x tende a +∞.

A função ƒ(x) = ln x tem

m= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.x→ → +∞ ∞ f(x)/x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.x→ → +∞ ∞ I⁡ ⁡ xx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Não. m=lim _{xrightarrow +infty }f(x)/x=lim _{xrightarrow - Sim. - Sim. e depois

n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.x→ → +∞ ∞ (f(x)- Sim. - Sim. mx)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.x→ → +∞ ∞ I⁡ ⁡ x{displaystyle n=lim _{xrightarrow +infty }(f(x)-mx)=lim _{xrightarrow +infty }ln x}, que não existe.

Então y = ln x não tem uma assíntota quando x tende a +∞.

Assíntotas para funções racionais

Uma função racional tem no máximo uma assíntota horizontal ou oblíqua (inclinada) e possivelmente muitas assíntotas verticais.

O grau do numerador e o grau do denominador determinam se há ou não assíntotas horizontais ou oblíquas. Os casos são tabulados abaixo, onde deg(numerador) é o grau do numerador e deg(denominador) é o grau do denominador.

Os casos de assintotos horizontais e oblíquos para funções racionais

deg (numerador)−deg (denominador)	Assintotos em geral	Exemplo	Assintote por exemplo
< 0	Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0- Sim.	f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1x2+1{displaystyle f(x)={frac {1}{x^{2}+1}}}	Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0- Sim.
= 0	Sim. = a proporção de coeficientes principais	f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2x2+73x2+x+12{displaystyle f(x)={frac {2x^{2}+7}{3x^{2}+x+12}}}	Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =23- Sim. Não.
= 1	Sim. = o quociente da divisão euclidiana do numerador pelo denominador	f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2x2+3x+5x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2x+3+5x{displaystyle f(x)={frac {2x^{2}+3x+5}{x}}=2x+3+{frac Não.	Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2x+3- Sim.
> 1	nenhum	f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2x43x2+1{displaystyle f(x)={frac {2x^{4}}{3x^{2}+1}}}	nenhum assintoto linear, mas um assintoto curvilíneo existe

As assíntotas verticais ocorrem apenas quando o denominador é zero (se o numerador e o denominador forem zero, as multiplicidades do zero são comparadas). Por exemplo, a função a seguir tem assíntotas verticais em x = 0 e x = 1, mas não em x = 2.

f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x2- Sim. - Sim. 5x+6x3- Sim. - Sim. 3x2+2x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(x- Sim. - Sim. 2)(x- Sim. - Sim. 3)x(x- Sim. - Sim. 1)(x- Sim. - Sim. 2){displaystyle f(x)={frac {x^{2}-5x+6}{x^{3}-3x^{2}+2x}}={frac {(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x-2)}}}

Assíntotas oblíquas de funções racionais

Preto: o gráfico de f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(x2+x+1)/(x+1)(x)=(x^{2}+x+1)/(x+1)}. Vermelho: o assintoto Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x- Sim.. Verde: diferença entre o grafo e seu assintoto para x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1,2,3,4,5,6Não. x=1,2,3,4,5,6}

Quando o numerador de uma função racional tem grau exatamente um maior que o denominador, a função tem uma assíntota oblíqua (inclinada). A assíntota é o termo polinomial após a divisão do numerador e do denominador. Esse fenômeno ocorre porque ao dividir a fração, haverá um termo linear e um resto. Por exemplo, considere a função

f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x2+x+1x+1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x+1x+1{displaystyle f(x)={frac {x^{2}+x+1}{x+1}}=x+{frac - Não.

mostrado à direita. À medida que o valor de x aumenta, f se aproxima da assíntota y = x. Isso ocorre porque o outro termo, 1/(x+1), se aproxima de 0.

Se o grau do numerador for mais de 1 maior que o grau do denominador e o denominador não dividir o numerador, haverá um resto diferente de zero que vai para zero conforme x aumenta, mas o quociente não será linear e a função não possui uma assíntota oblíqua.

Transformações de funções conhecidas

Se uma função conhecida tiver uma assíntota (como y=0 para f(x)=e ^x), então as traduções dele também possuem uma assíntota.

• Se x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um é um assintote vertical de f(x), então x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um+h é um assintote vertical de f(x- Não.h)
• Se Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =c é um assintotote horizontal de f(x), então Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =c+k é um assintotote horizontal de f(x)+k

Se uma função conhecida tiver uma assíntota, então a escala da função também terá uma assíntota.

• Se Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Ax+b) é um assintoto de f(x), então Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =cax+cb é um assintoto de Ç(x)

Por exemplo, f(x)=e^x-1 +2 tem assíntotas horizontais y=0+2=2, e nenhuma assíntota vertical ou oblíqua.

Definição geral

(sec(t), cosec(t)), ou x² + y² = (xy)², com 2 assintotos horizontais e 2 verticais.

Vamos A: (a,b) → R² seja uma curva plana paramétrica, nas coordenadas A(t) = (x(t),y(t)). Suponha que a curva tenda ao infinito, ou seja:

Limpar.)→ → b)(x2())+Sim.2()))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∞ ∞ .{displaystyle lim _{trightarrow b}(x^{2}(t)+y^{2}(t))=infty.}

Uma reta ℓ é uma assíntota de A se a distância do ponto A(t) a ℓ tende a zero quando t → b. Pela definição, apenas curvas abertas que possuem algum ramo infinito podem ter uma assíntota. Nenhuma curva fechada pode ter uma assíntota.

Por exemplo, o ramo superior direito da curva y = 1/x pode ser definido parametricamente como x = t , y = 1/t (onde t > 0). Primeiro, x → ∞ como t → ∞ e a distância da curva ao eixo x é 1/t que se aproxima de 0 como t → ∞. Portanto, o eixo x é uma assíntota da curva. Além disso, y → ∞ como t → 0 da direita, e a distância entre a curva e o eixo y é t que se aproxima de 0 como t → 0. Portanto, o eixo y também é uma assíntota. Um argumento semelhante mostra que o ramo inferior esquerdo da curva também tem as mesmas duas linhas como assíntotas.

Embora a definição aqui use uma parametrização da curva, a noção de assintototo não depende da parametrização. Na verdade, se a equação da linha é umx+b)Sim.+c= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0- Sim. então a distância do ponto A()) = (x()),Sim.()) à linha é dada por

|umx())+b)Sim.())+c|um2+b)2{displaystyle {frac {|ax(t)+by(t)+c|}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}}

se γ(t) é uma mudança de parametrização então a distância se torna

|umx(γ γ ()))+b)Sim.(γ γ ()))+c|um2+b)2{displaystyle {frac {|ax(gamma (t))))+por(gamma (t)+c|}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}}

que tende a zero simultaneamente como a expressão anterior.

Um caso importante é quando a curva é o gráfico de uma função real (uma função de uma variável real e que retorna valores reais). O gráfico da função y = ƒ(x) é o conjunto de pontos do plano com coordenadas (x,ƒ(x)). Para isso, é feita uma parametrização

)↦ ↦ (),f())).(t,f(t)). ?

Esta parametrização deve ser considerada nos intervalos abertos (a,b), onde a pode ser −∞ e b pode ser +∞.

Um assintoto pode ser vertical ou não vertical (oblico ou horizontal). No primeiro caso, sua equação é x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =c, para algum número real c. O caso não vertical tem equação Sim. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Mx + n, onde m e nNão. são números reais. Todos os três tipos de assintotos podem estar presentes ao mesmo tempo em exemplos específicos. Ao contrário dos assintotos para curvas que são gráficos de funções, uma curva geral pode ter mais de dois assintotos não verticais, e pode cruzar seus assintotos verticais mais de uma vez.

Assíntotas curvilíneas

x²+x+3 é um assintototo parabólico para (x³+x²+3x+4)/x

Vamos A: (a,b) → R² seja uma curva plana paramétrica, nas coordenadas A(t) = (x(t),y(t)) e B ser outra curva (não parametrizada). Suponha, como antes, que a curva A tende ao infinito. A curva B é uma assíntota curvilínea de A se a distância mais curta do ponto A(t) a um ponto em B tende a zero conforme t → b. Às vezes, B é simplesmente referido como uma assíntota de A, quando não há risco de confusão com assíntotas lineares.

Por exemplo, a função

Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x3+2x2+3x+4x- Sim. {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{x}}}

tem uma assíntota curvilínea y = x² + 2x + 3, que é conhecida como assimptota parabólica porque é uma parábola em vez de uma linha reta.

Assíntotas e esboço de curvas

Assíntotas são usadas em procedimentos de esboço de curvas. Uma assíntota serve como uma linha guia para mostrar o comportamento da curva em direção ao infinito. Para obter melhores aproximações da curva, assíntotas curvilíneas também foram usadas, embora o termo curva assintótica pareça ser preferido.

Curvas algébricas

Uma curva cúbica, o folium de Descartes (sólido) com um único assintoto real (dashed).

As assíntotas de uma curva algébrica no plano afim são as retas tangentes à curva projetivizada através de um ponto no infinito. Por exemplo, pode-se identificar as assíntotas da hipérbole unitária dessa maneira. As assíntotas geralmente são consideradas apenas para curvas reais, embora também façam sentido quando definidas dessa maneira para curvas sobre um campo arbitrário.

Uma curva plana de grau n intercepta sua assíntota no máximo em n−2 outros pontos, pelo teorema de Bézout, já que a interseção no infinito é de multiplicidade pelo menos dois. Para uma cônica, há um par de linhas que não interceptam a cônica em nenhum ponto complexo: essas são as duas assíntotas da cônica.

Uma curva algébrica plana é definida por uma equação da forma P(x,y) = 0 onde P é um polinômio de grau n

P(x,Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Pn(x,Sim.)+Pn- Sim. - Sim. 1(x,Sim.)+⋯ ⋯ +P1(x,Sim.)+P0{displaystyle P(x,y)=P_{n}(x,y)+P_{n-1}(x,y)+cdots +P_{1}(x,y)+P_{0}}

onde P_k é homogêneo de grau k. O desaparecimento dos fatores lineares do termo de maior grau P_n define as assíntotas da curva: configuração Q = P_n, se P_n(x, y) = (ax − por) Q_n−1(x, y), então a linha

Qx?(b),um)x+QSim.?(b),um)Sim.+Pn- Sim. - Sim. 1(b),um)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0(b,a)x+Q'_{y}(b,a)y+P_{n-1}(b,a)=0}

é um assintoto se Qx?(b),um)(b,a)} e QSim.?(b),um)(b,a)} não são ambos zero. Se Qx?(b),um)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =QSim.?(b),um)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0(b,a)=Q'_{y}(b,a)=0} e Pn- Sim. - Sim. 1(b),um)≠ ≠ 0(b,a)neq 0}, não há assintototo, mas a curva tem um ramo que se parece com um ramo de parabola. Tal ramo é chamado de ramo parabólico, mesmo quando não tem nenhum parabola que é um assintotote curvilinear. Se Qx?(b),um)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =QSim.?(b),um)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Pn- Sim. - Sim. 1(b),um)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0,(b,a)=Q'_{y}(b,a)=P_{n-1}(b,a)=0,} a curva tem um ponto singular no infinito que pode ter vários assintotos ou ramos parabólicos.

Sobre os números complexos, P_n divide-se em fatores lineares, cada um dos quais define um assintoto (ou vários para múltiplos fatores). Sobre os reais, P_n divide-se em fatores lineares ou quadráticos. Apenas os fatores lineares correspondem a ramos infinitos (reais) da curva, mas se um fator linear tem multiplicidade maior que um, a curva pode ter vários assintotos ou ramos parabólicos. Também pode ocorrer que tal fator linear múltipla corresponde a dois ramos conjugados complexos, e não corresponde a qualquer ramo infinito da curva real. Por exemplo, a curva x⁴ + Sim.² - 1 = 0 não tem pontos reais fora do quadrado |x|≤ ≤ 1,|Sim.|≤ ≤ 1{displaystyle |x|leq 1,|y|leq 1, mas seu termo de ordem mais alto dá o fator linear x com multiplicidade 4, levando ao assintote único x=0.

Cone assintótico

Hyperbolas, obteve o corte do mesmo cone circular direito com um avião e seus assintotos.

A hipérbole

x2um2- Sim. - Sim. Sim.2b)2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}}}}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}

tem as duas assíntotas

Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =± ± b)umx.{displaystyle Y=pm} {displaystyle Y=pm} {b}{a}}x.}

A equação para a união dessas duas retas é

x2um2- Sim. - Sim. Sim.2b)2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0.{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}}}}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}

Da mesma forma, o hiperbolóide

x2um2- Sim. - Sim. Sim.2b)2- Sim. - Sim. zangão.2c2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}}}}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}-{frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}

é dito ter o cone assintótico

x2um2- Sim. - Sim. Sim.2b)2- Sim. - Sim. zangão.2c2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0.{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}}}}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}-{frac {z^{2}}{c^{2}}}=0.}

A distância entre o hiperbolóide e o cone se aproxima de 0 à medida que a distância da origem se aproxima do infinito.

Mais geralmente, considere uma superfície que tenha uma equação implícita PD(x,Sim.,zangão.)+PD- Sim. - Sim. 2(x,Sim.,zangão.)+⋯ ⋯ P0= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0,(x,y,z)+P_{d-2}(x,y,z)+cdots P_{0}=0,}onde o PEu...Não. P_{i}} são polinômios homogêneos de grau Eu...Não. e PD- Sim. - Sim. 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0Não. P_{d-1}=0}. Então a equação PD(x,Sim.,zangão.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0(x,y,z)=0} define um cone que é centrado na origem. Chama-se um cone assintomático, porque a distância ao cone de um ponto da superfície tende a zero quando o ponto na superfície tende a infinito.