Arquimedes

Arquimedes de Syracuse ( c. span style = "white-space: Nowrap;"> 212 bc ) era um matemático grego, físico, engenheiro, astrônomo e inventor da antiga cidade de Siracusa na Sicília. Embora poucos detalhes de sua vida sejam conhecidos, ele é considerado um dos principais cientistas da antiguidade clássica. Considerados o maior matemático da história antiga e um dos maiores de todos os tempos, os arquimedes antecipavam o cálculo e a análise modernos aplicando o conceito de infinitamente pequeno e o método de exaustão para derivar e provar rigorosamente uma série de teoremas geométricos. Isso inclui a área de um círculo, a área de superfície e o volume de uma esfera, a área de uma elipse, a área sob uma parábola, o volume de um segmento de um parabolóide da revolução, o volume de um segmento de um hiperboloide da revolução e a área de uma espiral.

Arquimedes ' Outras realizações matemáticas incluem a derivação de uma aproximação de PI, definição e investigação da espiral arquimediana e elaboração de um sistema usando a exponenciação para expressar números muito grandes. Ele também foi um dos primeiros a aplicar matemática aos fenômenos físicos, trabalhando em estática e hidrostática. Arquimedes ' As realizações nessa área incluem uma prova da lei da alavanca, o uso generalizado do conceito de centro de gravidade e a enunciação da lei da flutuabilidade ou Arquimedes ' princípio. Ele também é creditado por projetar máquinas inovadoras, como sua bomba de parafuso, polias compostas e máquinas de guerra defensivas para proteger sua Siracusa natal da invasão.

Arquimedes morreram durante o cerco de Siracusa, quando ele foi morto por um soldado romano, apesar das ordens de que ele não deveria ser prejudicado. Cícero descreve a visita de arquimedes ' A tumba, que foi encimada por uma esfera e um cilindro que os arquimedes solicitaram ser colocados lá para representar suas descobertas matemáticas.

Ao contrário de suas invenções, Archimedes ' Os escritos matemáticos eram pouco conhecidos na antiguidade. Os matemáticos de Alexandria o leram e citaram, mas a primeira compilação abrangente não foi feita até c. Nowrap "> ad por Isidore de Miletus em Bizantina Constantinopla, enquanto comentários sobre as obras de Arquimedes por Eutocius no século VI os abriram para leitores mais amplos pela primeira vez. As relativamente poucas cópias de Arquimedes ' O trabalho escrito que sobreviveu na Idade Média foi uma fonte influente de idéias para os cientistas durante o Renascimento e novamente no século XVII, enquanto a descoberta em 1906 de obras anteriormente perdidas de Archimedes nos Archimedes Palimpsest forneceu novas idéias sobre como ele obteve matemática resultados.

Biografia

Cicero Descobrindo o túmulo de Arquimedes (1805) de Benjamin West

Arquimedes nasceu c. 287 aC na cidade portuária de Siracusa, Sicília, na época uma colônia autônoma na Magna Grécia. A data de nascimento é baseada em uma declaração do historiador grego bizantino John Tzetzes de que Arquimedes viveu 75 anos antes de sua morte em 212 aC. No Sand-Reckoner, Arquimedes dá o nome de seu pai como Phidias, um astrônomo sobre o qual nada mais se sabe. Uma biografia de Arquimedes foi escrita por seu amigo Heracleides, mas este trabalho foi perdido, deixando os detalhes de sua vida obscuros. Não se sabe, por exemplo, se ele já se casou ou teve filhos, ou se alguma vez visitou Alexandria, no Egito, durante sua juventude. A partir de suas obras escritas sobreviventes, fica claro que ele manteve relações colegiadas com estudiosos baseados lá, incluindo seu amigo Conon de Samos e o bibliotecário-chefe Eratóstenes de Cirene.

As versões padrão do Archimedes' vida foram escritos muito depois de sua morte por historiadores gregos e romanos. A referência mais antiga a Arquimedes ocorre em As Histórias de Políbio (c. 200–118 aC), escrita cerca de 70 anos após sua morte. Ele lança pouca luz sobre Arquimedes como pessoa e se concentra nas máquinas de guerra que ele teria construído para defender a cidade dos romanos. Políbio observa como, durante a Segunda Guerra Púnica, Siracusa trocou alianças de Roma para Cartago, resultando em uma campanha militar sob o comando de Marcus Claudius Marcellus e Appius Claudius Pulcher, que sitiaram a cidade de 213 a 212 aC. Ele observa que os romanos subestimaram as defesas de Siracusa e menciona várias máquinas projetadas por Arquimedes, incluindo catapultas aprimoradas, máquinas semelhantes a guindastes que podiam ser giradas em um arco e outros lançadores de pedras. Embora os romanos tenham finalmente capturado a cidade, eles sofreram perdas consideráveis devido à invasão de Arquimedes. inventividade.

Cícero (106–43 aC) menciona Arquimedes em algumas de suas obras. Enquanto servia como questor na Sicília, Cícero descobriu o que se supunha ser a cabeça de Arquimedes. túmulo perto do portão Agrigentine em Siracusa, em uma condição negligenciada e coberto de arbustos. Cícero mandou limpar o túmulo e pôde ver a escultura e ler alguns dos versos que haviam sido adicionados como inscrição. A tumba carregava uma escultura ilustrando o estilo de Arquimedes. prova matemática favorita, que o volume e a área da superfície da esfera são dois terços de um cilindro envolvente, incluindo suas bases. Ele também menciona que Marcelo trouxe para Roma dois planetários construídos por Arquimedes. O historiador romano Lívio (59 aC-17 dC) reconta a história de Políbio. história da captura de Siracusa e Arquimedes' papel nele.

A Morte dos Arquimedes (1815) Por Thomas Degeorge

Plutarco (45–119 DC) escreveu em suas Vidas Paralelas que Arquimedes era parente do rei Hiero II, o governante de Siracusa. Ele também fornece pelo menos dois relatos sobre como Arquimedes morreu depois que a cidade foi tomada. De acordo com o relato mais popular, Arquimedes estava contemplando um diagrama matemático quando a cidade foi capturada. Um soldado romano ordenou que ele viesse encontrar Marcelo, mas ele recusou, dizendo que precisava terminar de trabalhar no problema. Isso enfureceu o soldado, que matou Arquimedes com sua espada. Outra história mostra Arquimedes carregando instrumentos matemáticos antes de ser morto porque um soldado pensou que eram itens valiosos. Marcelo teria ficado irritado com a atitude de Arquimedes. morte, por considerá-lo um valioso bem científico (chamou Arquimedes de "um Briareu geométrico") e ordenou que não fosse prejudicado.

As últimas palavras atribuídas a Arquimedes são "Não perturbe meus círculos" (latim, "Noli turbare circulo meos"; grego Katharevousa, "μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε"), uma referência ao desenho matemático que ele supostamente estudando quando perturbado pelo soldado romano. Não há evidências confiáveis de que Arquimedes tenha proferido essas palavras e elas não aparecem no relato de Plutarco. Uma citação semelhante é encontrada na obra de Valerius Maximus (fl. 30 dC), que escreveu em Memorable Doings and Sayings, "... sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare'" ("... mas protegendo a poeira com as mãos, disse 'eu imploro, não perturbe isso'").

Descobertas e invenções

Arquimedes N#39; princípio

A anedota mais conhecida sobre Arquimedes conta como ele inventou um método para determinar o volume de um objeto com uma forma irregular. De acordo com Vitrúvio, uma coroa votiva para um templo foi feita para o rei Hiero II de Siracusa, que forneceu o ouro puro a ser usado; Arquimedes foi solicitado a determinar se alguma prata havia sido substituída pelo ourives desonesto. Arquimedes teve que resolver o problema sem danificar a coroa, então ele não poderia derretê-la em um corpo de forma regular para calcular sua densidade.

Em Vitrúvio' Por conta disso, Arquimedes notou enquanto tomava banho que o nível da água na banheira subia quando ele entrava e percebeu que esse efeito poderia ser usado para determinar o volume da coroa. Para fins práticos, a água é incompressível, então a coroa submersa deslocaria uma quantidade de água igual ao seu próprio volume. Dividindo a massa da copa pelo volume de água deslocada, pode-se obter a densidade da copa. Essa densidade seria menor que a do ouro se metais mais baratos e menos densos tivessem sido adicionados. Arquimedes então saiu nu às ruas, tão empolgado com sua descoberta que se esqueceu de se vestir, gritando "Eureka!" (Grego: "εὕρηκα, heúrēka!, lit. 'Eu encontrei [isso]!'). O teste na coroa foi realizado com sucesso, provando que a prata realmente foi misturada.

A história da coroa de ouro não aparece em nenhum lugar da história de Arquimedes. obras conhecidas. A praticidade do método que descreve foi questionada devido à extrema precisão que seria necessária ao medir o deslocamento da água. Em vez disso, Arquimedes pode ter buscado uma solução que aplicasse o princípio conhecido na hidrostática como a força de Arquimedes. princípio, que ele descreve em seu tratado On Floating Bodies. Este princípio afirma que um corpo imerso em um fluido experimenta uma força de empuxo igual ao peso do fluido que ele desloca. Usando esse princípio, teria sido possível comparar a densidade da coroa com a do ouro puro, equilibrando a coroa em uma balança com uma amostra de referência de ouro puro do mesmo peso e, em seguida, imergindo o aparelho em água. A diferença de densidade entre as duas amostras faria com que a balança se inclinasse de acordo. Galileo Galilei, que em 1586 inventou uma balança hidrostática para pesagem de metais no ar e na água inspirado na obra de Arquimedes, considerou "provável que esse método seja o mesmo que Arquimedes seguiu, pois, além de muito preciso, é baseado em demonstrações encontradas pelo próprio Arquimedes."

Arquimedes N#39; parafuso

O parafuso dos Archimedes pode aumentar a água de forma eficiente.

Uma grande parte da vida de Arquimedes' o trabalho em engenharia provavelmente surgiu do atendimento das necessidades de sua cidade natal, Siracusa. O escritor grego Athenaeus de Naucratis descreveu como o rei Hiero II encomendou a Arquimedes o projeto de um enorme navio, o Syracusia, que poderia ser usado para viagens de luxo, transporte de suprimentos e como um navio de guerra naval. Diz-se que o Syracusia foi o maior navio construído na antiguidade clássica. Segundo Ateneu, tinha capacidade para transportar 600 pessoas e incluía entre as suas instalações decorações de jardim, um ginásio e um templo dedicado à deusa Afrodite. Como um navio desse tamanho vazaria uma quantidade considerável de água pelo casco, a ideia de Arquimedes parafuso foi supostamente desenvolvido para remover a água do porão. Arquimedes' máquina era um dispositivo com uma lâmina giratória em forma de parafuso dentro de um cilindro. Ele era girado manualmente e também podia ser usado para transferir água de um corpo de água baixo para canais de irrigação. Arquimedes' parafuso ainda está em uso hoje para bombear líquidos e sólidos granulados, como carvão e grãos. Descrito na época romana por Vitrúvio, o personagem de Arquimedes. parafuso pode ter sido uma melhoria em uma bomba de parafuso que foi usada para irrigar os Jardins Suspensos da Babilônia. O primeiro navio a vapor marítimo do mundo com hélice helicoidal foi o SS Archimedes, que foi lançado em 1839 e nomeado em homenagem a Arquimedes e seu trabalho no parafuso.

Arquimedes N#39; garra

Diz-se que Arquimedes projetou uma garra como arma para defender a cidade de Siracusa. Também conhecido como "o agitador de navios&# 34;, a garra consistia em um braço semelhante a um guindaste do qual um grande gancho de metal estava suspenso. Quando a garra caía em um navio de ataque, o braço balançava para cima, levantando o navio da água e possivelmente afundando-o.

Houve experimentos modernos para testar a viabilidade da garra e, em 2005, um documentário de televisão intitulado Superweapons of the Ancient World construiu uma versão da garra e concluiu que era um dispositivo viável.

Raio de calor

Arquimedes supostamente usava espelhos coletivamente como um refletor parabólico contra navios atacando Syracuse.

Arquimedes pode ter escrito uma obra sobre espelhos intitulada Catoptrica, e autores posteriores acreditavam que ele poderia ter usado espelhos agindo coletivamente como um refletor parabólico para queimar navios que atacavam Siracusa. Luciano escreveu, no século II dC, que durante o cerco de Siracusa, Arquimedes destruiu os navios inimigos com fogo. Quase quatrocentos anos depois, Anthemius de Tralles menciona, um tanto hesitante, que Arquimedes poderia ter usado vidros incandescentes como arma. O suposto dispositivo, muitas vezes chamado de "Raio de calor de Arquimedes", concentrou a luz do sol nos navios que se aproximavam, fazendo com que pegassem fogo. Na era moderna, dispositivos semelhantes foram construídos e podem ser chamados de helióstato ou forno solar.

Arquimedes' O suposto raio de calor tem sido objeto de um debate contínuo sobre sua credibilidade desde o Renascimento. René Descartes rejeitou-o como falso, enquanto os pesquisadores modernos tentaram recriar o efeito usando apenas os meios que estariam disponíveis para Arquimedes, principalmente com resultados negativos. Foi sugerido que uma grande variedade de escudos de bronze ou cobre altamente polidos atuando como espelhos poderiam ter sido empregados para focar a luz do sol em um navio, mas o efeito geral teria sido cegar, deslumbrar ou distrair a tripulação do navio, em vez de disparar..

Alavanca

Embora Arquimedes não tenha inventado a alavanca, ele deu uma prova matemática do princípio envolvido em seu trabalho Sobre o Equilíbrio dos Planos. Descrições anteriores da alavanca são encontradas na escola peripatética dos seguidores de Aristóteles, e às vezes são atribuídas a Arquitas. Existem vários relatos, muitas vezes conflitantes, sobre a morte de Arquimedes. façanhas usando a alavanca para levantar objetos muito pesados. Plutarco descreve como Arquimedes projetou sistemas de roldanas de bloqueio e equipamento, permitindo que os marinheiros usassem o princípio da alavanca para levantar objetos que, de outra forma, seriam pesados demais para serem movidos. De acordo com Pappus de Alexandria, Arquimedes' o trabalho com alavancas o levou a comentar: "Dê-me um lugar para ficar e eu moverei a Terra" (Grego: δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω). Olympiodorus mais tarde atribuiu a mesma vanglória à atitude de Arquimedes. invenção do baroulkos, uma espécie de molinete, ao invés da alavanca.

Arquimedes também foi creditado por melhorar o poder e a precisão da catapulta e por inventar o odômetro durante a Primeira Guerra Púnica. O hodômetro foi descrito como um carrinho com um mecanismo de engrenagem que jogava uma bola em um recipiente após cada quilômetro percorrido.

Instrumentos astronômicos

Arquimedes discute as medições astronômicas da Terra, do Sol e da Lua, bem como a história de Aristarco. modelo heliocêntrico do universo, no Sand-Reckoner. Sem o uso de trigonometria ou tabela de cordas, Arquimedes descreve o procedimento e o instrumento usado para fazer observações (uma haste reta com pinos ou ranhuras), aplica fatores de correção a essas medições e, finalmente, dá o resultado na forma de superior e limites inferiores para contabilizar o erro de observação. Ptolomeu, citando Hiparco, também faz referência à posição de Arquimedes. observações do solstício no Almagesto. Isso tornaria Arquimedes o primeiro grego conhecido a registrar várias datas e horas de solstício em anos sucessivos.

O De re publica de Cícero retrata uma conversa fictícia que ocorre em 129 aC, após a Segunda Guerra Púnica. Diz-se que o general Marcus Claudius Marcellus levou de volta a Roma dois mecanismos depois de capturar Siracusa em 212 aC, que foram construídos por Arquimedes e que mostravam o movimento do Sol, da Lua e de cinco planetas. Cícero também menciona mecanismos semelhantes projetados por Tales de Mileto e Eudoxo de Cnido. O diálogo diz que Marcellus manteve um dos dispositivos como seu único saque pessoal de Siracusa e doou o outro ao Templo da Virtude em Roma. Marcellus' mecanismo foi demonstrado, de acordo com Cícero, por Gaius Sulpicius Gallus para Lucius Furius Philus, que o descreveu assim:

Esta é a descrição de um pequeno planetário. Pappus de Alexandria relata um tratado de Arquimedes (agora perdido) lidando com a construção desses mecanismos intitulado Sobre a criação de esferas. A pesquisa moderna nesta área tem se concentrado no mecanismo de Antikythera, outro dispositivo construído c. 100 AC que provavelmente foi projetado para o mesmo propósito. A construção de mecanismos desse tipo exigiria um conhecimento sofisticado de engrenagens diferenciais. Antigamente, pensava-se que isso estava além do alcance da tecnologia disponível nos tempos antigos, mas a descoberta do mecanismo de Antikythera em 1902 confirmou que dispositivos desse tipo eram conhecidos pelos antigos gregos.

Matemática

Embora seja frequentemente considerado um projetista de dispositivos mecânicos, Arquimedes também fez contribuições para o campo da matemática. Plutarco escreveu que Arquimedes "colocou toda a sua afeição e ambição naquelas especulações mais puras, onde não pode haver referência às necessidades vulgares da vida", embora alguns estudiosos acreditem que isso pode ser uma descaracterização.

Método de exaustão

Arquimedes calcula o lado do 12-gon do hexágono e para cada duplicação subsequente dos lados do polígono regular.

Arquimedes foi capaz de usar indivisíveis (um precursor dos infinitesimais) de uma forma semelhante ao cálculo integral moderno. Através da prova por contradição (reductio ad absurdum), ele poderia dar respostas a problemas com um grau arbitrário de precisão, enquanto especificava os limites dentro dos quais a resposta estava. Essa técnica é conhecida como método de exaustão, e ele a empregou para aproximar as áreas das figuras e o valor de π.

Em Medição de um Círculo, ele fez isso desenhando um hexágono regular maior fora de um círculo, em seguida, um hexágono regular menor dentro do círculo, e progressivamente duplicando o número de lados de cada polígono regular, calculando o comprimento de um lado de cada polígono em cada etapa. À medida que o número de lados aumenta, torna-se uma aproximação mais precisa de um círculo. Após quatro desses passos, quando os polígonos tinham 96 lados cada, ele foi capaz de determinar que o valor de π estava entre 31/7 (aprox. 3.1429) e 310./71 (aprox. 3.1408), consistente com seu valor real de aproximadamente 3.1416. Ele também provou que a área de um círculo era igual a π multiplicado pelo quadrado do raio do círculo (D D R2{textstyle pi r^{2}}).

Propriedade arquimediana

Em Sobre a esfera e o cilindro, Arquimedes postula que qualquer magnitude, quando adicionada a si mesma vezes suficientes, excederá qualquer magnitude dada. Hoje isso é conhecido como a propriedade arquimediana dos números reais.

Arquimedes dá o valor da raiz quadrada de 3 entre 265/153 (aproximadamente 1,7320261) e 1351/780 (aproximadamente 1,7320512) em Medição de um Círculo. O valor real é de aproximadamente 1,7320508, tornando esta uma estimativa muito precisa. Ele apresentou esse resultado sem oferecer nenhuma explicação de como o havia obtido. Este aspecto da obra de Arquimedes levou John Wallis a observar que ele era: "como se fosse de propósito ter encoberto os vestígios de sua investigação, como se ele tivesse ressentido com a posteridade o segredo de seu método de investigação enquanto ele desejava extorquir deles o consentimento para seus resultados." É possível que ele tenha usado um procedimento iterativo para calcular esses valores.

A série infinita

Uma prova de que a área do segmento parabólico na figura superior é igual a 4/3 que do triângulo inscrito na figura inferior Quadratura do Parabola.

Em Quadratura da Parábola, Arquimedes provou que a área delimitada por uma parábola e uma linha reta é 4/3 vezes a área de um triângulo inscrito correspondente, conforme mostrado na a figura à direita. Ele expressou a solução do problema como uma série geométrica infinita com a razão comum 1/4:

Gerenciamento Gerenciamento n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0∞ ∞ 4- Sim. - Sim. n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1+4- Sim. - Sim. 1+4- Sim. - Sim. 2+4- Sim. - Sim. 3+⋯ ⋯ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =43.{displaystyle sum _{n=0}^{infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+cdots ={4 over 3}.;}

Se o primeiro termo desta série é a área do triângulo, então o segundo é a soma das áreas de dois triângulos cujas bases são as duas retas secantes menores, e cujo terceiro vértice é onde a reta paralela à o eixo da parábola e que passa pelo ponto médio da base intercepta a parábola, e assim por diante. Esta prova usa uma variação da série 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · que soma 1/3.

Miríades de miríades

Em The Sand Reckoner, Arquimedes decidiu calcular um número maior do que os grãos de areia necessários para preencher o universo. Ao fazer isso, ele desafiou a noção de que o número de grãos de areia era grande demais para ser contado. Ele escreveu:

Há alguns, Rei Gelo (Gelo II, filho de Hiero II), que pensam que o número da areia é infinito em multidão; e quero dizer pela areia não só o que existe sobre Siracusa e o resto da Sicília, mas também o que é encontrado em cada região, seja habitada ou desabitada.

Para resolver o problema, Arquimedes desenvolveu um sistema de contagem baseado na miríade. A própria palavra deriva do grego μυριάς, murias, para o número 10.000. Ele propôs um sistema numérico usando potências de miríades de miríades (100 milhões, ou seja, 10.000 x 10.000) e concluiu que o número de grãos de areia necessários para preencher o universo seria de 8 vigintilhões, ou 8×10⁶³.

Escritos

Frontpage of Archimedes ' Ópera, em grego e latim, editado por David Rivault (1615).

As obras de Arquimedes foram escritas em grego dórico, o dialeto da antiga Siracusa. Muitas obras escritas por Arquimedes não sobreviveram ou existem apenas em fragmentos fortemente editados; sabe-se que pelo menos sete de seus tratados existiram devido a referências feitas por outros autores. Pappus de Alexandria menciona On Sphere-Making e outro trabalho sobre poliedros, enquanto Theon de Alexandria cita uma observação sobre refração do agora perdido Catóptrica.

Arquimedes deu a conhecer o seu trabalho através da correspondência com os matemáticos de Alexandria. Os escritos de Arquimedes foram coletados pela primeira vez pelo arquiteto grego bizantino Isidoro de Mileto (c. 530 dC), enquanto comentários sobre as obras de Arquimedes escritos por Eutócio no século VI dC ajudaram a levar seu trabalho a um público mais amplo. Arquimedes' a obra foi traduzida para o árabe por Thābit ibn Qurra (836–901 AD) e para o latim via árabe por Gerard de Cremona (c. 1114–1187). Traduções diretas do grego para o latim foram feitas posteriormente por Guilherme de Moerbeke (c. 1215–1286) e Iacobus Cremonensis (c. 1400–1453).

Durante o Renascimento, a Editio princeps (Primeira Edição) foi publicada em Basel em 1544 por Johann Herwagen com as obras de Arquimedes em grego e latim.

Sobreviver funciona

Os seguintes são ordenados cronologicamente com base em novos critérios terminológicos e históricos estabelecidos por Knorr (1978) e Sato (1986).

Medição de um círculo

Este é um pequeno trabalho composto por três proposições. Está escrito na forma de uma correspondência com Dositheus de Pelusium, que foi aluno de Conon de Samos. Na Proposição II, Arquimedes dá uma aproximação do valor de pi (π), mostrando que é maior que 223/71 e menos de 22/ 7.

O Contador de Areia

Neste tratado, também conhecido como Psamitas, Arquimedes encontra um número maior do que os grãos de areia necessários para preencher o universo. Este livro menciona a teoria heliocêntrica do sistema solar proposta por Aristarco de Samos, bem como ideias contemporâneas sobre o tamanho da Terra e a distância entre vários corpos celestes. Usando um sistema de números baseado em potências da miríade, Arquimedes conclui que o número de grãos de areia necessários para preencher o universo é 8×10⁶³ em notação moderna. A carta introdutória afirma que Arquimedes' pai era um astrônomo chamado Fídias. The Sand Reckoner é a única obra sobrevivente em que Arquimedes discute suas opiniões sobre astronomia.

Sobre o Equilíbrio dos Planos

Existem dois livros para Sobre o Equilíbrio dos Planos: o primeiro contém sete postulados e quinze proposições, enquanto o segundo livro contém dez proposições. No primeiro livro, Arquimedes prova a lei da alavanca, que afirma que:

As magnitudes estão em equilíbrio a distâncias reciprocamente proporcional aos seus pesos.

Arquimedes usa os princípios derivados para calcular as áreas e centros de gravidade de várias figuras geométricas, incluindo triângulos, paralelogramos e parábolas.

Quadratura da parábola

Nesta obra de 24 proposições dirigida a Dositeu, Arquimedes prova por dois métodos que a área delimitada por uma parábola e uma reta é 4/3 da área de um triângulo de base e altura iguais. Ele consegue isso em uma de suas provas calculando o valor de uma série geométrica que soma ao infinito com a razão 1 /4.

Sobre a esfera e o cilindro

Uma esfera tem 2/3 o volume e a área de superfície de seu cilindro circunscrevendo incluindo suas bases.

Neste tratado de dois volumes dirigido a Dositeu, Arquimedes obtém o resultado de que mais se orgulhava, nomeadamente a relação entre uma esfera e um cilindro circunscrito de mesma altura e diâmetro. O volume é 4/3πr³ para a esfera e 2πr³ para o cilindro. A área da superfície é 4πr² para a esfera e 6πr² para o cilindro (incluindo suas duas bases), onde r é o raio de a esfera e o cilindro.

Em espirais

Este trabalho de 28 proposições também é dirigido a Dositheus. O tratado define o que é agora chamado espiral arqueu. É o locus de pontos correspondentes aos locais ao longo do tempo de um ponto que se afasta de um ponto fixo com uma velocidade constante ao longo de uma linha que gira com velocidade constante. Equivalentemente, em coordenadas polares modernas (R, θ), pode ser descrito pela equação R= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um+b)θ θ {displaystyle ,r=a+btheta } com números reais um e b).

Este é um dos primeiros exemplos de uma curva mecânica (uma curva traçada por um ponto em movimento) considerada por um matemático grego.

Sobre conóides e esferóides

Esta é uma obra em 32 proposições dirigida a Dositeu. Neste tratado, Arquimedes calcula as áreas e volumes de seções de cones, esferas e parabolóides.

Em corpos flutuantes

Existem dois livros de On Floating Bodies. No primeiro livro, Arquimedes explica a lei do equilíbrio dos fluidos e prova que a água adotará uma forma esférica em torno de um centro de gravidade. Isso pode ter sido uma tentativa de explicar a teoria dos astrônomos gregos contemporâneos, como Eratóstenes, de que a Terra é redonda. Os fluidos descritos por Arquimedes não são autogravitantes, pois ele assume a existência de um ponto para o qual todas as coisas caem para derivar a forma esférica. Arquimedes' princípio da flutuabilidade é dado neste trabalho, declarado da seguinte forma:

Qualquer corpo totalmente ou parcialmente imerso em experiências de fluido um upthrust igual a, mas oposto em direção a, o peso do fluido deslocado.

Na segunda parte, ele calcula as posições de equilíbrio de seções de parabolóides. Esta foi provavelmente uma idealização das formas dos navios. cascos. Algumas de suas seções flutuam com a base sob a água e o cume acima da água, semelhante à forma como os icebergs flutuam.

Ostomachion

Ostomachion é um quebra-cabeça de dissecção encontrado no Archimedes Palimpsest.

Também conhecido como Lóculo de Arquimedes ou Arquimedes' Caixa, este é um quebra-cabeça de dissecação semelhante a um Tangram, e o tratado que o descreve foi encontrado de forma mais completa no Palimpsesto de Arquimedes. Arquimedes calcula as áreas das 14 peças que podem ser reunidas para formar um quadrado. Reviel Netz, da Universidade de Stanford, argumentou em 2003 que Arquimedes estava tentando determinar de quantas maneiras as peças poderiam ser montadas na forma de um quadrado. Netz calcula que as peças podem formar um quadrado de 17.152 maneiras. O número de arranjos é 536 quando soluções equivalentes por rotação e reflexão são excluídas. O quebra-cabeça representa um exemplo de um problema inicial em combinatória.

A origem do nome do quebra-cabeça não é clara e foi sugerido que ele foi retirado da palavra grega antiga para "garganta" ou "garganta", estômagos (στόμαχος). Ausonius chama o quebra-cabeça de Ostomachion, uma palavra grega composta formada a partir das raízes de osteon (ὀστέον, 'osso') e machē (μάχη, 'luta').

O problema do gado

Gotthold Ephraim Lessing descobriu este trabalho em um manuscrito grego que consiste em um poema de 44 versos na Biblioteca Herzog August em Wolfenbüttel, Alemanha, em 1773. É endereçado a Eratóstenes e aos matemáticos de Alexandria. Arquimedes os desafia a contar o número de cabeças de gado no rebanho do sol resolvendo uma série de equações diofantinas simultâneas. Existe uma versão mais difícil do problema em que algumas das respostas devem ser números quadrados. A. Amthor resolveu pela primeira vez esta versão do problema em 1880, e a resposta é um número muito grande, aproximadamente 7,760271×10²⁰⁶⁵⁴⁴.

O método dos teoremas mecânicos

Este tratado foi considerado perdido até a descoberta do Palimpsesto de Arquimedes em 1906. Nesta obra, Arquimedes usa indivisíveis e mostra como dividir uma figura em um número infinito de partes infinitamente pequenas pode ser usado para determinar sua área ou volume. Ele pode ter considerado este método carente de rigor formal, então ele também usou o método de exaustão para derivar os resultados. Assim como O Problema do Gado, O Método dos Teoremas Mecânicos foi escrito na forma de uma carta para Eratóstenes em Alexandria.

Obras apócrifas

Arquimedes' Livro de Lemmas ou Liber Assumptorum é um tratado com 15 proposições sobre a natureza dos círculos. A cópia mais antiga conhecida do texto está em árabe. T. L. Heath e Marshall Clagett argumentaram que não pode ter sido escrito por Arquimedes em sua forma atual, uma vez que cita Arquimedes, sugerindo modificação por outro autor. Os Lemas podem ser baseados em um trabalho anterior de Arquimedes que agora está perdido.

Também foi afirmado que a fórmula para calcular a área de um triângulo a partir do comprimento de seus lados era conhecida por Arquimedes, embora sua primeira aparição seja no trabalho de Heron de Alexandria no século I dC. Outras atribuições questionáveis a Arquimedes' Obras incluem o poema latino Carmen de ponderibus et mensuris (século IV ou V), que descreve o uso de uma balança hidrostática para resolver o problema da coroa, e o texto do século XII Mappae clavicula, que contém instruções sobre como realizar análises de metais calculando suas gravidades específicas.

Palimpsesto de Arquimedes

Em 1906, os Arquimedes Palimpsest revelaram obras de Arquimedes que pensavam ter sido perdidas.

O documento mais importante que contém a identidade de Arquimedes. obra é o Palimpsesto de Arquimedes. Em 1906, o professor dinamarquês Johan Ludvig Heiberg visitou Constantinopla para examinar um pergaminho de orações de pele de cabra de 174 páginas, escrito no século 13, depois de ler uma pequena transcrição publicada sete anos antes por Papadopoulos-Kerameus. Ele confirmou que era de fato um palimpsesto, um documento com texto que havia sido escrito sobre um trabalho antigo apagado. Os palimpsestos foram criados raspando a tinta de obras existentes e reutilizando-as, uma prática comum na Idade Média, pois o velino era caro. As obras mais antigas do palimpsesto foram identificadas por estudiosos como cópias do século X de tratados perdidos de Arquimedes. O pergaminho passou centenas de anos na biblioteca de um mosteiro em Constantinopla antes de ser vendido a um colecionador particular na década de 1920. Em 29 de outubro de 1998, foi vendido em leilão a um comprador anônimo por US$ 2 milhões.

O palimpsesto contém sete tratados, incluindo a única cópia sobrevivente de On Floating Bodies no grego original. É a única fonte conhecida do Método dos Teoremas Mecânicos, mencionado por Suidas e considerado perdido para sempre. Stomachion também foi descoberto no palimpsesto, com uma análise mais completa do quebra-cabeça do que havia sido encontrado em textos anteriores. O palimpsesto foi armazenado no Walters Art Museum em Baltimore, Maryland, onde foi submetido a uma série de testes modernos, incluindo o uso de luz ultravioleta e raio-X para ler o texto sobrescrito texto. Desde então, ele retornou ao seu proprietário anônimo.

Os tratados do Palimpsesto de Arquimedes incluem:

• Sobre o Equilíbrio de Aviões
• Em espirais
• Medição de um Círculo
• Sobre a Esfera e o Cilindro
• Em corpos flutuantes
• O método de teoremas mecânicas
• Estômago
• Discursos pelo político do século IV a.C. Hypereides
• Um comentário sobre Aristóteles Categorias
• Outras obras

Legado

Às vezes chamado de pai da matemática e da física matemática, Arquimedes teve uma grande influência na matemática e na ciência.

Matemática e física

Estátua de Bronze de Arquimedes em Berlim

Os historiadores da ciência e da matemática concordam quase universalmente que Arquimedes foi o melhor matemático da antiguidade. Eric Temple Bell, por exemplo, escreveu:

Qualquer lista dos três matemáticos “grandes” de toda a história incluiria o nome de Arquimedes. Os outros dois geralmente associados com ele são Newton e Gauss. Alguns, considerando a riqueza relativa - ou pobreza - da matemática e da ciência física nas respectivas idades em que esses gigantes viviam, e estimando suas conquistas contra o fundo de seus tempos, colocaria Arquimedes primeiro.

Da mesma forma, Alfred North Whitehead e George F. Simmons disseram sobre Archimedes:

... no ano 1500 Europa sabia menos do que Arquimedes que morreu no ano 212 BC...

Se considerarmos o que todos os outros homens realizaram em matemática e física, em cada continente e em cada civilização, desde o início do tempo até o século XVII na Europa Ocidental, as realizações de Arquimedes superam tudo. Ele era uma grande civilização sozinha.

Reviel Netz, Professor Suppes em Matemática Grega e Astronomia na Universidade de Stanford e especialista em Arquimedes observa:

E assim, uma vez que Arquimedes levou mais do que qualquer outra pessoa à formação do cálculo e como ele foi o pioneiro da aplicação da matemática ao mundo físico, resulta que a ciência ocidental é apenas uma série de notas de rodapé para Arquimedes. Assim, resulta que Arquimedes é o cientista mais importante que já viveu.

Leonardo da Vinci repetidamente expressou admiração por Arquimedes e atribuiu sua invenção Architonnerre a Arquimedes. Galileu o chamou de "super-humano" e "meu mestre", enquanto Huygens disse, "acho que Arquimedes não é comparável a ninguém" e modelou seu trabalho depois dele. Leibniz disse: "Aquele que compreende Arquimedes e Apolônio admirará menos as realizações dos principais homens de tempos posteriores". Os heróis de Gauss foram Arquimedes e Newton, e Moritz Cantor, que estudou com Gauss na Universidade de Göttingen, relatou que certa vez comentou em uma conversa que “houve apenas três matemáticos que marcaram época: Arquimedes, Newton e Eisenstein."

O inventor Nikola Tesla o elogiou, dizendo:

Arquimedes era o meu ideal. Admiro as obras de artistas, mas à minha mente, eram apenas sombras e semelhanças. O inventor, eu pensei, dá às criações mundiais que são palpáveis, que vivem e trabalham.

Honras e comemorações

A Medalha de Campos carrega um retrato de Arquimedes.

Existe uma cratera na Lua chamada Arquimedes (29°42′N 4°00′W / 29.7°N 4.0°W / 29.7; -4.0) em sua homenagem, bem como uma cordilheira lunar, os Montes Arquimedes (25°18′N 4°36′W / 25.3°N 4.6°W / 25.3; -4.6).

A Medalha Fields por realizações extraordinárias em matemática traz um retrato de Arquimedes, junto com uma escultura ilustrando sua prova na esfera e no cilindro. A inscrição ao redor da cabeça de Arquimedes é uma citação atribuída ao poeta Manilius, do século I d.C., que diz em latim: Transire suum pectus mundoque potiri ("Eleve-se acima de si mesmo e agarre o mundo").

Arquimedes apareceu em selos postais emitidos pela Alemanha Oriental (1973), Grécia (1983), Itália (1983), Nicarágua (1971), San Marino (1982) e Espanha (1963).

A exclamação de Eureka! atribuído a Arquimedes é o lema do estado da Califórnia. Neste caso, a palavra refere-se à descoberta de ouro perto de Sutter's Mill em 1848, que desencadeou a corrida do ouro na Califórnia.