Antiprisma
Em geometria, um n-gonal antiprisma ou n-antiprism é um poliedro composto de duas cópias diretas paralelas (não imagens espelhadas) de um lado n /span> polígono, conectado por uma faixa alternada de 2n triângulos. Eles são representados pela notação Conway An.
Os antiprismas são uma subclasse dos prismatóides e são um tipo (degenerado) de poliedro arrebitado.
Os antiprismas são semelhantes aos prismas, exceto que as bases são torcidas uma em relação à outra e que as faces laterais (conectando as bases) são 2n triângulos, em vez de n quadriláteros.
O poliedro dual de um antiprisma n-gonal é um ntrapezoedro-gonal.
História
Na interseção da teoria dos grafos dos dias modernos e da teoria da codificação, a triangulação de um conjunto de pontos tem interessado os matemáticos desde Isaac Newton, que procurou inutilmente uma prova matemática do problema do número de beijos em 1694. A existência de antiprismas foi discutida, e seu nome foi cunhado por Johannes Kepler, embora seja possível que fossem conhecidos anteriormente por Arquimedes, pois satisfazem as mesmas condições nas faces e nos vértices que os sólidos arquimedianos. De acordo com Ericson e Zinoviev, Harold Scott MacDonald Coxeter escreveu longamente sobre o assunto e foi um dos primeiros a aplicar a matemática de Victor Schlegel a esse campo.
O conhecimento neste campo é "bastante incompleto" e "foi obtido recentemente", ou seja, no século XX. Por exemplo, a partir de 2001, foi provado apenas para um número limitado de casos não triviais que o antiprisma n-gonal é o arranjo matematicamente ótimo de 2n pontos no sentido de maximizar a distância euclidiana mínima entre quaisquer dois pontos no conjunto: em 1943 por László Fejes Tóth para 4 e 6 pontos (antiprismas digonais e trigonais, que são sólidos platônicos); em 1951 por Kurt Schütte e Bartel Leendert van der Waerden por 8 pontos (antiprisma tetragonal, que não é um cubo).
A estrutura química dos compostos binários foi observada como pertencente à família dos antiprismas; especialmente os da família dos hidretos de boro (em 1975) e os carboranos por serem isoeletrônicos. Esta é uma conclusão matematicamente real alcançada por estudos de padrões de difração de raios X e decorre do trabalho de 1971 de Kenneth Wade, a fonte nominativa para as regras de Wade da teoria dos pares de elétrons do esqueleto poliédrico.
Metais de terras raras, como os lantanídeos, formam compostos antiprismáticos com alguns dos haletos ou alguns dos iodetos. O estudo da cristalografia é útil aqui. Alguns lantanídeos, quando dispostos em estruturas antiprismáticas peculiares com cloro e água, podem formar ímãs baseados em moléculas.
Antiprisma de direita
Para um antiprisma com bases n-gon regulares, geralmente considera-se o caso em que essas duas cópias são torcidas por um ângulo de 180/n graus.
O eixo de um polígono regular é a linha perpendicular ao plano do polígono e situada no centro do polígono.
Para um antiprisma com bases regulares n-gon congruentes, torcido por um ângulo de 180/n graus, mais regularidade é obtida se as bases tiverem o mesmo eixo: são coaxiais; ou seja (para bases não coplanares): se a linha que liga os centros das bases é perpendicular aos planos das bases. Então o antiprisma é chamado de antiprisma reto, e suas 2n faces laterais são triângulos isósceles.
Antiprisma uniforme
Um uniforme n-antiprisma tem dois n-gons como faces de base e 2n triângulos equiláteros como faces laterais.
Os antiprismas uniformes formam uma classe infinita de poliedros transitivos de vértice, assim como os prismas uniformes. Para n = 2, temos o tetraedro regular como um antiprisma digonal (antiprisma degenerado); para n = 3, o octaedro regular como um antiprisma triangular (antiprisma não degenerado).
| Nome do antiprisma | Antiprisma Digonal | (Trigonal) Antiprisma triangular | (Tetragonal) Antiprisma quadrado | Antiprisma Pentágono | Antiprisma hexagonal | Antiprisma heptagonal | Antiprisma octogonal | Enneagonal antiprisma | Antiprisma Decagonal | Antiprisma hendecagonal | Antiprisma do Dodecagonal | ... | Antiprisma Apeirogonal |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Imagem de poliedro |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | ... | |
| Imagem de tilagem esférica |  |  |  |  |  |  |  | Imagem de tilingue plana |  | ||||
| Configuração do vértice. | 2.3.3.3 | 3.3.3.3 | 4.3.3.3 | 5.3.3.3 | 6.3.3.3 | 7.3.3.3 | 8.3.3.3 | 9.3.3.3 | 10.3.3.3 | 11.3.3.3 | 12.3.3.3 | ... | ∞.3.3.3 |
Diagramas de Schlegel
 A3 |  A4 |  A5 |  A6 |  A7 |  A8 |
Coordenadas cartesianas
Coordenadas cartesianas para os vértices de um n-antiprisma (ou seja, com estilo regular n-gon bases e 2n faces laterais do triângulo isósceles) são:
- (e kD D n,pecado kD D n,(- Sim. - Sim. 1)kh){displaystyle left(cos {frac {kpi }{n}},sin {frac {kpi }{n}},(-1)^{k}hright)}
onde 0 ≤ k ≤ 2n – 1;
se o n-antiprisma for uniforme (ou seja, se os triângulos forem equiláteros), então:
- 2h2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =e D D n- Sim. - Sim. e 2D D n.{displaystyle 2h^{2}=cos {frac} }{n}}-cos {frac {2pi} Sim.
Volume e área de superfície
Seja a o comprimento da aresta de um uniforme antiprisma n-gonal; então o volume é:
- V= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =n4e2 D D 2n- Sim. - Sim. 1pecado 3D D 2n12pecado2 D D num3,Não. V. {n~{sqrt {4cos ^{2}{frac }{2n}}-1}}sin frac {3pi }{2n}}{12sin ^{2}{frac }{n}}~a^{3},}
e a área da superfície é:
- A= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =n2(Cot D D n+3)um2.- Sim. {n}{2}}left(cot {frac} }{n}}+{sqrt {3}}right)a^{2}.}
Polyedros relacionados
Existe um conjunto infinito de antiprismas truncados, incluindo uma forma de simetria inferior do octaedro truncado (antiprisma triangular truncado). Estes podem ser alternados para criar antiprismas arrebitados, dois dos quais são sólidos de Johnson, e o antiprisma triangular arrebitado é uma forma de simetria inferior do icosaedro regular.
| Antiprismas | ||||
|---|---|---|---|---|
| | | | ... |
| S{2,4} | S{2,6} | S{2,8] | S{2,10} | s{2,2n? |
| Antiprismas truncados | ||||
 |  |  |  | ... |
| Ts{2,4} | Ts{2,6} | Ts{2,8} | Ts{2,10} | Ts{2,2n} |
| Snub antiprismas | ||||
| JJ84 | Icosahedron | JJ85 | Caras irregulares... | |
 |  |  |  | ... |
| - Sim. | - Sim. | Ss{2,8} | Ss{2,10} | ss{2,2n} |
Os antiprismas quadridimensionais podem ser definidos como tendo dois poliedros duplos como faces opostas paralelas, de modo que cada face tridimensional entre eles vem de duas partes duais do poliedro: um vértice e um polígono duplo, ou duas arestas duplas. Todo poliedro tridimensional é combinatorialmente equivalente a uma das duas faces opostas de um antiprisma quadridimensional, construído a partir de seu poliedro canônico e seu dual polar.
Simetria
O grupo de simetria de um n-antiprisma (isto é, com bases regulares e faces laterais isósceles) é Dnd = Dnv da ordem 4n, exceto nos casos de:
- n = 2: o tetraedro regular, que tem o grupo de simetria maior TD de ordem 24 = 3×(4×2), que tem três versões D2d como subgrupos;
- n = 3: octahedron regular, que tem o grupo de simetria maior Oh de ordem 48 = 4×(4×3), que tem quatro versões D3D como subgrupos.
O grupo de simetria contém inversão se e somente se n for ímpar.
O grupo de rotação é Dn de ordem 2n , exceto nos casos de:
- n = 2: o tetraedro regular, que tem o grupo de rotação maior T de ordem 12 = 3×(2×2), que tem três versões D2 como subgrupos;
- n = 3: octahedron regular, que tem o grupo de rotação maior O de ordem 24 = 4×(2×3), que tem quatro versões D3 como subgrupos.
Observação: Os n-antiprismas têm bases n-gon e faces laterais de triângulos isósceles congruentes, portanto, têm o mesmo grupo de simetria (diédrico) que o uniforme n-antiprisma, para n ≥ 4.
Antiprisma estelar
 5/2-antiprisma |  5/3-antiprisma | ||||
 9/2-antiprisma |  9/4-antiprisma |  9/5 USD | |||
Os antiprismas estelares uniformes são nomeados por suas bases poligonais estelares, {p/q}, e existem em soluções progressivas e retrógradas (cruzadas). Formas cruzadas têm figuras de vértices que se cruzam e são denotadas por "invertido" frações: p/(p – q) em vez de p/q; exemplo: 5/3 em vez de 5/2.
Um antiprisma estelar direito tem duas faces de base convexas regulares coaxiais congruentes ou polígonos estelares e 2n faces laterais de triângulos isósceles.
Qualquer antiprisma estelar com bases convexas regulares ou polígonos estelares pode se tornar um antiprisma estelar direito (transladando e/ou torcendo uma de suas bases, se necessário).
Nas formas retrógradas, mas não nas formas progradas, os triângulos que unem as bases convexas ou estelares interceptam o eixo de simetria rotacional. Por isso:
- Antiprismas estrela retrógrada com bases de polígono convexo regular não pode ter todos os comprimentos de borda iguais, assim não pode ser uniforme. "Exceção": um antiprisma estrela retrógrado com bases triangulares equiláteros (configuração de vértice: 3.3/2.3.3) pode ser uniforme; mas então, tem a aparência de um triângulo equilátero: é um poliedro estrela degenerado.
- Da mesma forma, alguns antiprismas estrela retrógrados com bases de polígono estrela regular não podem ter todos os comprimentos de borda iguais, assim não pode ser uniforme. Exemplo: um antiprisma estrela retrógrado com bases regulares de estrelas 7/5-gon (configuração de vértice: 3.3.3.7/5) não pode ser uniforme.
Além disso, compostos antiprismas estelares com bases regulares p/q-gon podem ser construídos se p e q têm fatores comuns. Exemplo: um antiprisma 10/4 estrela é o composto de dois antiprismas 5/2 estrelas.
| Grupo de simetria | Estrelas uniformes | Estrelas direitas | |||
|---|---|---|---|---|---|
| D4D [2]+8 (2*) |  3.3/2.3.4 | ||||
| D5h [2,5] (*225) | 3.3.3 |  3.3/2.3.5 | |||
| D5d [2]+10. (2*5) | 3.3.3 | ||||
| D6d [2]+12. (2*6) |  3.3/2.3.6 | ||||
| D7h [2,7] (*227) |  3.3.3.3 |  3.3.3.3 | |||
| D7d [2]+,14] (2**) |  3.3.3.3 | ||||
| D8d [2]+16. (2*) |  3.3.3.3 |  3.3.3.8 | |||
| D9h [2,9] (*229) | 3.3.3.9 | 3.3.3.9/4 | |||
| D9d [2]+,18 (2*) | 3.3.3.9 | ||||
| D10d [2]+20. (2*10) |  3.3.3.10/3 | ||||
| D11h [2,11] (*2.2.11) |  3.3.3.11/2 |  3,3 milhões de ecus |  3.3.3.11/6 | ||
| D11. [2]+22. (2*) |  3.3.3 |  3.3.3.11/5 |  3.3.3.11/7 | ||
| D12d [2]+24? (2*12) |  3,3 milhões de ecus |  3.3.3.12/7 | |||
| ... | ... | ||||