Anel de divisão

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Estrutura algébrica também chamada de campo de espeto

Em álgebra, um anel de divisão, também chamado de campo enviesado, é um anel não trivial no qual a divisão por elementos diferentes de zero é definida. Especificamente, é um anel não trivial no qual cada elemento diferente de zero $a$ tem um inverso multiplicativo, ou seja, um elemento geralmente denotado $a -1$ , de modo que $a a -1 = a -1 a = 1$ . Então, (direita) divisão pode ser definida como $a / b = a b -1$ , mas essa notação é evitada, pois pode-se ter $a b -1 \neq b -1 a$ .

Um anel de divisão comutativa é um corpo. O pequeno teorema de Wedderburn afirma que todos os anéis de divisão finitos são comutativos e, portanto, corpos finitos.

Historicamente, os anéis de divisão às vezes eram chamados de corpos, enquanto os campos eram chamados de "campos comutativos". Em alguns idiomas, como o francês, a palavra equivalente a "campo" ("corps") é usado para casos comutativos e não comutativos, e a distinção entre os dois casos é feita adicionando qualificativos como "corps commutatif" (campo comutativo) ou "corps gauche" (campo de inclinação).

Todos os anéis de divisão são simples. Ou seja, eles não têm nenhum ideal bilateral além do ideal zero e dele mesmo.

Relação com campos e álgebra linear

Todos os campos são anéis de divisão; exemplos mais interessantes são os anéis de divisão não comutativos. O exemplo mais conhecido é o anel de quaternions H. Se permitirmos apenas coeficientes racionais em vez de reais nas construções dos quatérnios, obteremos outro anel de divisão. Em geral, se R é um anel e S é um módulo simples sobre R, então, pelo lema de Schur, o endomorfismo anel de S é um anel de divisão; todo anel de divisão surge dessa maneira de algum módulo simples.

Grande parte da álgebra linear pode ser formulada, e permanece correta, para módulos sobre um anel de divisão D em vez de espaços vetoriais sobre um corpo. Ao fazê-lo, deve-se especificar se se está considerando módulos à direita ou à esquerda, e alguns cuidados são necessários para distinguir corretamente a esquerda e a direita nas fórmulas. Trabalhando em coordenadas, os elementos de um módulo direito de dimensão finita podem ser representados por vetores coluna, que podem ser multiplicados à direita por escalares e à esquerda por matrizes (representando mapas lineares); para elementos de um módulo esquerdo de dimensão finita, devem ser usados vetores linha, que podem ser multiplicados à esquerda por escalares e à direita por matrizes. O dual de um módulo direito é um módulo esquerdo e vice-versa. A transposição de uma matriz deve ser vista como uma matriz sobre o anel de divisão oposto D^op para que a regra $(AB) T = B T A T$ para permanecer válido.

Cada módulo sobre um anel de divisão é gratuito; isto é, tem uma base e todas as bases de um módulo têm o mesmo número de elementos. Mapas lineares entre módulos de dimensão finita sobre um anel de divisão podem ser descritos por matrizes; o fato de mapas lineares, por definição, comutarem com a multiplicação escalar é mais convenientemente representado em notação, escrevendo-os no lado oposto dos vetores como os escalares. O algoritmo de eliminação gaussiana permanece aplicável. O posto de coluna de uma matriz é a dimensão do módulo direito gerado pelas colunas, e o posto de linha é a dimensão do módulo esquerdo gerado pelas linhas; a mesma prova do caso do espaço vetorial pode ser usada para mostrar que esses postos são os mesmos e definir o posto de uma matriz.

Na verdade, o inverso também é verdadeiro e isso dá uma caracterização de anéis de divisão por meio de sua categoria de módulo: Um anel unitário R é um anel de divisão se e somente se todo O módulo R é gratuito.

O centro de um anel de divisão é comutativo e, portanto, um corpo. Todo anel de divisão é, portanto, uma álgebra de divisão sobre seu centro. Os anéis de divisão podem ser classificados aproximadamente de acordo com o fato de serem ou não de dimensão finita ou dimensão infinita sobre seus centros. Os primeiros são chamados centralmente finitos e os últimos centralmente infinitos. Todo campo é, obviamente, unidimensional sobre seu centro. O anel de quaternions hamiltonianos forma uma álgebra 4-dimensional sobre seu centro, que é isomorfo aos números reais.

Exemplos

Como observado acima, todos os campos são anéis de divisão.
Os quaternions formam um anel de divisão não-commutative.
O subconjunto dos quaternions $um + b) + CJ + DK$ , tal que $um$ , $b)$ , $c$ e $D$ pertencem a um subcampo fixo dos números reais, é um anel de divisão não-comutativo. Quando este subcampo é o campo dos números racionais, este é o anel de divisão de quaternidades racionais.
Vamos. ${displaystyle sigma:mathbb {C} to mathbb {C} }$ ser um automorfismo do campo $mathbb{C}$ . Vamos. ${displaystyle mathbb {C} ((z,sigma))}$ denota o anel da série Laurent formal com coeficientes complexos, em que a multiplicação é definida como segue: em vez de simplesmente permitir que os coeficientes comutam diretamente com o indeterminado $z$ , para ${displaystyle alpha in mathbb {C} }$ , definição ${displaystyle z^{i}alpha:=sigma ^{i}(alpha)z^{i}}$ para cada índice $iin {mathbb {Z}}$ . Se $sigma$ é um automorfismo não trivial de números complexos (como a conjugação), então o anel resultante da série Laurent é um anel de divisão não-commutativo conhecido como um skew Laurent série anel; se $σ Id$ então apresenta a multiplicação padrão da série formal. Este conceito pode ser generalizado para o anel da série Laurent sobre qualquer campo fixo $F$ , dado um não trivial $F$ - automorfismo $sigma$ .

Principais teoremas

Pequeno teorema de Wedderburn: Todos os anéis de divisão finitos são comutativos e, portanto, corpos finitos. (Ernst Witt deu uma prova simples.)

Teorema de Frobenius: As únicas álgebras de divisão associativa de dimensão finita sobre os reais são os próprios reais, os números complexos e os quatérnios.

Noções relacionadas

Os anéis de divisão costumavam ser chamados de "campos" em um uso mais antigo. Em muitas línguas, uma palavra que significa "corpo" é usado para anéis de divisão, em alguns idiomas designando anéis de divisão comutativos ou não comutativos, enquanto em outros designando especificamente anéis de divisão comutativos (o que agora chamamos de campos em inglês). Uma comparação mais completa é encontrada no artigo sobre campos.

O nome "Campo Inclinar" tem uma característica semântica interessante: um modificador (aqui "distorção") amplia o escopo do termo base (aqui "campo"). Portanto, um campo é um tipo específico de campo de inclinação e nem todos os campos de inclinação são campos.

Enquanto os anéis de divisão e as álgebras discutidas aqui são assumidas como tendo multiplicação associativa, as álgebras de divisão não associativas, como os octônios, também são interessantes.

Um campo próximo é uma estrutura algébrica semelhante a um anel de divisão, exceto que possui apenas uma das duas leis distributivas.

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