Análise funcional

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Área de matemática

Um dos modos possíveis de vibração de uma cabeça de tambor circular idealizada. Estes modos são eigenfunctions de um operador linear em um espaço de função, uma construção comum em análise funcional.

Análise funcional é um ramo da análise matemática, cujo núcleo é formado pelo estudo de espaços vetoriais dotados de algum tipo de estrutura relacionada a limites (por exemplo, produto interno, norma ou topologia) e as funções lineares definidas nesses espaços e respeitando essas estruturas no sentido adequado. As raízes históricas da análise funcional estão no estudo de espaços de funções e na formulação de propriedades de transformações de funções como a transformada de Fourier como transformações definindo, por exemplo, operadores contínuos ou unitários entre espaços de funções. Este ponto de vista revelou-se particularmente útil para o estudo de equações diferenciais e integrais.

O uso da palavra funcional como substantivo remonta ao cálculo de variações, implicando uma função cujo argumento é uma função. O termo foi usado pela primeira vez no livro de 1910 de Hadamard sobre esse assunto. No entanto, o conceito geral de um funcional já havia sido introduzido em 1887 pelo matemático e físico italiano Vito Volterra. A teoria dos funcionais não lineares foi continuada por alunos de Hadamard, em particular Fréchet e Lévy. Hadamard também fundou a escola moderna de análise funcional linear desenvolvida por Riesz e o grupo de matemáticos poloneses em torno de Stefan Banach.

Nos textos introdutórios modernos sobre análise funcional, o assunto é visto como o estudo de espaços vetoriais dotados de uma topologia, em particular espaços de dimensão infinita. Em contraste, a álgebra linear lida principalmente com espaços de dimensão finita e não usa topologia. Uma parte importante da análise funcional é a extensão das teorias de medida, integração e probabilidade para espaços dimensionais infinitos, também conhecida como análise dimensional infinita.

Espaços vetoriais normados

A classe básica e historicamente primeira de espaços estudados na análise funcional são espaços vetoriais normados completos sobre os números reais ou complexos. Esses espaços são chamados de espaços de Banach. Um exemplo importante é um espaço de Hilbert, onde a norma surge de um produto interno. Esses espaços são de fundamental importância em muitas áreas, incluindo a formulação matemática da mecânica quântica, aprendizado de máquina, equações diferenciais parciais e análise de Fourier.

De forma mais geral, a análise funcional inclui o estudo dos espaços de Fréchet e outros espaços vetoriais topológicos não dotados de norma.

Um importante objeto de estudo na análise funcional são os operadores lineares contínuos definidos nos espaços de Banach e Hilbert. Isso leva naturalmente à definição de C*-álgebras e outras álgebras de operadores.

Espaços de Hilbert

Os espaços de Hilbert podem ser completamente classificados: há um espaço único de Hilbert até isomorfismo para cada cardinalidade da base ortonormal. Os espaços de Hilbert Finite-dimensional são totalmente compreendidos em álgebra linear, e os espaços de Hilbert separáveis infinita-dimensional são isomórficos para $ell^{,2}(aleph_0),$ . Separabilidade sendo importante para aplicações, análise funcional dos espaços de Hilbert consequentemente lida principalmente com este espaço. Um dos problemas abertos na análise funcional é provar que todo operador linear limitado em um espaço de Hilbert tem um subespaço invariante adequado. Muitos casos especiais deste problema subespacial invariante já foram provados.

Espaços de banco

Os espaços gerais de Banach são mais complicados do que os espaços de Hilbert e não podem ser classificados de maneira tão simples. Em particular, muitos espaços de Banach carecem de uma noção análoga a uma base ortonormal.

Exemplos de espaços de Banach são $L^{p}$ -espaços para qualquer número real $pgeq 1$ . Dado também uma medida $mu$ em conjunto $X$ , então ${displaystyle L^{p}(X)}$ , às vezes também denotado ${displaystyle L^{p}(X,mu)}$ ou ${displaystyle L^{p}(mu)}$ , tem como seus vetores classes de equivalência $[,f,]$ de funções mensuráveis cujo valor absoluto é $p$ -o poder tem integral finito; isto é, funções $f$ para o qual um tem

<math alttext="{displaystyle int _{X}left|f(x)right|^{p},dmu (x)∫ ∫ X|f(x)|pDμ μ (x)<∞ ∞ .{displaystyle int _{X}left|f(x)right|^{p},dmu (x)<infty.}<img alt="{displaystyle int _{X}left|f(x)right|^{p},dmu (x)

Se $mu$ é a medida de contagem, então a integral pode ser substituída por uma soma. Isso é, nós exigimos

<math alttext="{displaystyle sum _{xin X}left|f(x)right|^{p}Gerenciamento Gerenciamento x∈ ∈ X|f(x)|p<∞ ∞ .{displaystyle sum _{xin X}left|f(x)right|^{p}<infty.}<img alt="{displaystyle sum _{xin X}left|f(x)right|^{p}

Então não é necessário lidar com classes de equivalência, e o espaço é denotado ${displaystyle ell ^{p}(X)}$ , escrito mais simplesmente $ell ^{p}$ no caso em que $X$ é o conjunto de inteiros não negativos.

Nos espaços de Banach, grande parte do estudo envolve o espaço dual: o espaço de todos os mapas lineares contínuos do espaço em seu campo subjacente, os chamados funcionais. Um espaço de Banach pode ser canonicamente identificado com um subespaço de seu bidual, que é o dual de seu espaço dual. O mapa correspondente é uma isometria, mas em geral não sobre. Um espaço de Banach geral e seu bidual não precisam nem mesmo ser isometricamente isomórficos de forma alguma, ao contrário da situação de dimensão finita. Isso é explicado no artigo de espaço duplo.

Além disso, a noção de derivada pode ser estendida a funções arbitrárias entre espaços de Banach. Veja, por exemplo, o artigo derivado de Fréchet.

Análise funcional linear

Resultados importantes e fundamentais

Existem quatro teoremas principais que às vezes são chamados de quatro pilares da análise funcional: o teorema de Hahn-Banach, o teorema do mapeamento aberto, o teorema do grafo fechado e o princípio da limitação uniforme, também conhecido como teorema de Banach-Steinhaus. Resultados importantes da análise funcional incluem:

Princípio da limitação uniforme

O princípio da limitação uniforme ou teorema de Banach–Steinhaus é um dos resultados fundamentais da análise funcional. Juntamente com o teorema de Hahn-Banach e o teorema de mapeamento aberto, é considerado um dos pilares do campo. Em sua forma básica, afirma que para uma família de operadores lineares contínuos (e, portanto, operadores limitados) cujo domínio é um espaço de Banach, a limitação pontual é equivalente à limitação uniforme na norma do operador.

O teorema foi publicado pela primeira vez em 1927 por Stefan Banach e Hugo Steinhaus, mas também foi provado independentemente por Hans Hahn.

Teorema (princípio da castidade única)—Vamos. $X$ ser um espaço Banach e $Y$ ser um espaço vetorial normal. Suponha que $F$ é uma coleção de operadores lineares contínuos de $X$ para $Y$ . Se para todos $x$ em $X$ um tem

<math alttext="{displaystyle sup nolimits _{Tin F}|T(x)|_{Y}Vamos.T∈ ∈ F‖ ‖ T(x)‖ ‖ Y<∞ ∞ ,{displaystyle sup nolimits _{Tin F}|T(x)|_{Y}<infty}<img alt="{displaystyle sup nolimits _{Tin F}|T(x)|_{Y}

então

<math alttext="{displaystyle sup nolimits _{Tin F}|T|_{B(X,Y)}Vamos.T∈ ∈ F‖ ‖ T‖ ‖ B(X,Y)<∞ ∞ .{displaystyle sup nolimits _{Tin F}|T|_{B(X,Y)}<infty.}<img alt="{displaystyle sup nolimits _{Tin F}|T|_{B(X,Y)}

Teorema espectral

Existem muitos teoremas conhecidos como teorema espectral, mas um em particular tem muitas aplicações na análise funcional.

teorema espectral—Vamos. $A$ ser um operador unido em um espaço de Hilbert $H$ . Então há um espaço de medida $(X,Sigma,mu)$ e uma função mensurável essencialmente limitada $f$ sobre $X$ e um operador unitário ${displaystyle U:Hto L_{mu }^{2}(X)}$ tal que

{displaystyle U^{*}TU=A}

Onde? T é o operador de multiplicação:

{displaystyle [Tvarphi ](x)=f(x)varphi (x).}

|T|=|f|_{infty }

Este é o início da vasta área de pesquisa da análise funcional chamada teoria do operador; veja também a medida espectral.

Há também um teorema espectral análogo para operadores normais limitados em espaços de Hilbert. A única diferença na conclusão é que agora $f$ pode ser de valor complexo.

Teorema de Hahn-Banach

O teorema de Hahn–Banach é uma ferramenta central na análise funcional. Ele permite a extensão de funcionais lineares limitados definidos em um subespaço de algum espaço vetorial para todo o espaço e também mostra que existem funções "suficientes" funcionais lineares contínuos definidos em cada espaço vetorial normado para tornar o estudo do espaço dual "interessante".

Teorema Hahn-Banach:—Se ${displaystyle p:Vto mathbb {R} }$ é uma função sublinear, e ${displaystyle varphi:Uto mathbb {R} }$ é um funcional linear em um subespaço linear $Usubseteq V$ que é dominada por $p$ sobre $U$ ; isto é,

{displaystyle varphi (x)leq p(x)qquad forall xin U}

então existe uma extensão linear

{displaystyle psi:Vto mathbb {R} }

varphi

para todo o espaço

V

que é dominada por

p

sobre

V

; isto é, existe um funcional linear

psi

tal que

{displaystyle {begin{aligned}psi (x)&=varphi (x)&forall xin U,\psi (x)&leq p(x)&forall xin V.end{aligned}}}

Teorema de mapeamento aberto

O teorema de mapeamento aberto, também conhecido como teorema de Banach-Schauder (em homenagem a Stefan Banach e Juliusz Schauder), é um resultado fundamental que afirma que se um operador linear contínuo entre espaços de Banach é sobrejetivo, então é um mapa aberto. Mais precisamente,

Tema de mapeamento aberto—Se $X$ e $Y$ são espaços de Banach e ${displaystyle A:Xto Y}$ é um operador linear contínuo subjetivo, então $A$ é um mapa aberto (isto é, se $U$ é um conjunto aberto $X$ , então $A(U)$ está aberto $Y$ ).

A prova usa o teorema da categoria Baire e a integridade de ambos $X$ e $Y$ é essencial para o teorema. A declaração do teorema não é mais verdadeira se algum espaço é apenas assumido como um espaço normático, mas é verdade se $X$ e $Y$ são tomados para ser espaços Fréchet.

Teorema do grafo fechado

O teorema do gráfico fechado afirma o seguinte: Se $X$ é um espaço topológico e $Y$ é um espaço Hausdorff compacto, então o gráfico de um mapa linear $T$ a partir de $X$ para $Y$ está fechado se e somente se $T$ é contínuo.

Outros tópicos

Fundamentos das considerações matemáticas

A maioria dos espaços considerados na análise funcional tem dimensão infinita. Mostrar a existência de uma base de espaço vetorial para tais espaços pode requerer o lema de Zorn. No entanto, um conceito um pouco diferente, a base de Schauder, costuma ser mais relevante na análise funcional. Muitos teoremas requerem o teorema de Hahn-Banach, geralmente provado usando o axioma da escolha, embora o teorema do ideal primo booleano estritamente mais fraco seja suficiente. O teorema da categoria de Baire, necessário para provar muitos teoremas importantes, também requer uma forma de axioma de escolha.

Pontos de vista

A análise funcional em sua forma atual inclui as seguintes tendências:

Análise abstrata. Uma abordagem à análise baseada em grupos topológicos, anéis topológicos e espaços vetoriais topológicos.
Geometria de espaços de Banach contém muitos tópicos. Uma é uma abordagem combinatória conectada com Jean Bourgain; outra é uma caracterização de espaços de Banach em que várias formas da lei de grandes números possuem.
Geometria não comutativa. Desenvolvido por Alain Connes, parcialmente construindo noções anteriores, como a abordagem de George Mackey para a teoria ergódica.
Conexão com mecânica quântica. Ou estreitamente definido como em física matemática, ou amplamente interpretado por, por exemplo, Israel Gelfand, para incluir a maioria dos tipos de teoria da representação.

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