Análise dimensional

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Análise das relações entre diferentes quantidades físicas

Em engenharia e ciência, análise dimensional é a análise das relações entre diferentes quantidades físicas, identificando suas quantidades básicas (como comprimento, massa, tempo e corrente elétrica) e unidades de medida (como milhas x quilômetros ou libras x quilogramas) e rastrear essas dimensões à medida que cálculos ou comparações são realizados. A conversão de unidades de uma unidade dimensional para outra geralmente é mais fácil dentro da métrica ou do SI do que em outras, devido à base 10 regular em todas as unidades.

As quantidades físicas

comensuráveis são do mesmo tipo e têm a mesma dimensão, e podem ser diretamente comparadas umas com as outras, mesmo que sejam expressas em diferentes unidades de medida, por exemplo. jardas e metros, libras (massa) e quilogramas, segundos e anos. As quantidades físicas incomensuráveis são de tipos diferentes e têm dimensões diferentes, e não podem ser comparadas diretamente umas com as outras, não importa em que unidades sejam expressas, por exemplo, metros e quilogramas, segundos e quilogramas, metros e segundos. Por exemplo, perguntar se um quilograma é maior que uma hora não faz sentido.

Qualquer equação fisicamente significativa, ou desigualdade, deve ter as mesmas dimensões em seus lados esquerdo e direito, uma propriedade conhecida como homogeneidade dimensional. A verificação da homogeneidade dimensional é uma aplicação comum da análise dimensional, servindo como uma verificação de plausibilidade em equações e cálculos derivados. Também serve como guia e restrição na derivação de equações que podem descrever um sistema físico na ausência de uma derivação mais rigorosa.

O conceito de dimensão física e de análise dimensional foi introduzido por Joseph Fourier em 1822.

Formulação

O teorema π de Buckingham descreve como toda equação fisicamente significativa envolvendo n variáveis pode ser reescrita de forma equivalente como uma equação de n − m parâmetros adimensionais, onde m é o posto da matriz dimensional. Além disso, e mais importante, fornece um método para calcular esses parâmetros adimensionais das variáveis dadas.

Uma equação dimensional pode ter as dimensões reduzidas ou eliminadas por meio da adimensionalização, que começa com a análise dimensional e envolve o escalonamento de quantidades por unidades características de um sistema ou unidades naturais da natureza. Isso pode fornecer informações sobre as propriedades fundamentais do sistema, conforme ilustrado nos exemplos abaixo.

A dimensão de uma quantidade física pode ser expressa como um produto das dimensões físicas básicas, como comprimento, massa e tempo, cada uma elevada a uma potência inteira (e ocasionalmente racional). A dimensão de uma quantidade física é mais fundamental do que alguma escala ou unidade usada para expressar a quantidade dessa quantidade física. Por exemplo, massa é uma dimensão, enquanto o quilograma é uma quantidade de referência específica escolhida para expressar uma quantidade de massa. A escolha da unidade é arbitrária e sua escolha geralmente é baseada em precedentes históricos. As unidades naturais, baseadas apenas em constantes universais, podem ser consideradas "menos arbitrárias".

Existem muitas escolhas possíveis de dimensões físicas básicas. O padrão SI seleciona as seguintes dimensões e símbolos correspondentes: tempo (T), comprimento (L), massa (M), corrente elétrica (I), temperatura absoluta (Θ), quantidade de substância (N) e intensidade luminosa (J). Os símbolos são, por convenção, geralmente escritos em fonte romana sem serifa. Matematicamente, a dimensão da quantidade Q é dada por

{displaystyle operatorname {dim} Q={mathsf {T}}^{a}{mathsf {L}}^{b}{mathsf {M}}^{c}{mathsf {I}}^{d}{mathsf {Theta }}^{e}{mathsf {N}}^{f}{mathsf {J}}^{g}}

onde a, b, c, d, e, f, g são os expoentes dimensionais. Outras grandezas físicas podem ser definidas como grandezas de base, desde que formem uma base linearmente independente – por exemplo, pode-se substituir a dimensão (I) da corrente elétrica da base do SI por uma dimensão (Q) da carga elétrica, pois Q = TI.

Como exemplos, a dimensão da quantidade física velocidade v é

{displaystyle operatorname {dim} v={frac {text{length}}{text{time}}}={frac {mathsf {L}}{mathsf {T}}}={mathsf {T}}^{-1}{mathsf {L}}}

e a dimensão da força de quantidade física F é

{displaystyle operatorname {dim} F={text{mass}}times {text{acceleration}}={text{mass}}times {frac {text{length}}{{text{time}}^{2}}}={frac {{mathsf {L}}{mathsf {M}}}{{mathsf {T}}^{2}}}={mathsf {T}}^{-2}{mathsf {L}}{mathsf {M}}}

Uma quantidade que só tem $bneq 0$ (com todos os outros índices zero) é conhecido como uma quantidade geométrica. Uma quantidade que tem apenas ambos $aneq 0$ e $bneq 0$ é conhecido como uma quantidade cinemática. Uma quantidade que tem todo o $aneq 0$ , $bneq 0$ e $cneq 0$ com o resto zero é conhecido como uma quantidade dinâmica.

A unidade escolhida para expressar uma quantidade física e sua dimensão estão relacionadas, mas não são conceitos idênticos. As unidades de uma grandeza física são definidas por convenção e relacionadas a algum padrão; por exemplo, comprimento pode ter unidades de metros, pés, polegadas, milhas ou micrômetros; mas qualquer comprimento sempre tem uma dimensão de L, não importa quais unidades de comprimento sejam escolhidas para expressá-lo. Duas unidades diferentes da mesma quantidade física possuem fatores de conversão que as relacionam. Por exemplo, 1 in = 2,54 cm; neste caso, 2,54 cm/in é o fator de conversão, que é adimensional. Portanto, multiplicar por esse fator de conversão não altera as dimensões de uma quantidade física.

Também existem físicos que lançam dúvidas sobre a própria existência de dimensões fundamentais incompatíveis da quantidade física, embora isso não invalide a utilidade da análise dimensional.

Método de Rayleigh

Na análise dimensional, o método de Rayleigh é uma ferramenta conceitual usada em física, química e engenharia. Ela expressa uma relação funcional de algumas variáveis na forma de uma equação exponencial. Foi nomeado após Lord Rayleigh.

O método envolve as seguintes etapas:

Reúna todas as variáveis independentes que são susceptíveis de influenciar a variável dependente.
Se R é uma variável que depende de variáveis independentes R₁,R₂,R₃,R_n, então a equação funcional pode ser escrita como R = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = F(R₁, R₂, R₃, R_n).
Escreva a equação acima na forma R = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = C R₁^um R₂^b) R₃^c... R_n^m, onde C é uma constante sem dimensão e um, b), c, m são expoentes arbitrários.
Expresse cada uma das quantidades na equação em algumas unidades de base em que a solução é necessária.
Usando homogeneidade dimensional, obter um conjunto de equações simultâneas envolvendo os expoentes um, b), c, m.
Resolver estas equações para obter o valor dos expoentes um, b), c, m.
Substitua os valores dos expoentes na equação principal e forma os parâmetros não dimensionais agrupando as variáveis com expoentes semelhantes.

Como desvantagem, o método de Rayleigh não fornece nenhuma informação sobre o número de grupos adimensionais a serem obtidos como resultado da análise dimensional.

Números concretos e unidades básicas

Muitos parâmetros e medições nas ciências físicas e na engenharia são expressos como um número concreto - uma quantidade numérica e uma unidade dimensional correspondente. Freqüentemente, uma quantidade é expressa em termos de várias outras quantidades; por exemplo, a velocidade é uma combinação de comprimento e tempo, por ex. 60 quilômetros por hora ou 1,4 quilômetros por segundo. Relações compostas com "per" são expressos com divisão, por ex. 60 km/h. Outras relações podem envolver multiplicação (muitas vezes mostrada com um ponto centralizado ou justaposição), potências (como m² para metros quadrados) ou suas combinações.

Um conjunto de unidades básicas para um sistema de medição é um conjunto de unidades convencionalmente escolhido, nenhuma das quais pode ser expressa como uma combinação das outras e em termos das quais todas as unidades restantes do sistema podem ser expressas. Por exemplo, as unidades de comprimento e tempo são normalmente escolhidas como unidades básicas. As unidades de volume, no entanto, podem ser fatoradas nas unidades básicas de comprimento (m³), portanto, são consideradas unidades derivadas ou compostas.

Às vezes, os nomes das unidades obscurecem o fato de serem unidades derivadas. Por exemplo, um newton (N) é uma unidade de força, que pode ser expressa como o produto da massa (com unidade kg) e aceleração (com unidade m⋅s⁻²). O newton é definido como 1 N = 1 kg⋅m⋅s⁻².

Porcentagens, derivadas e integrais

As porcentagens são quantidades adimensionais, pois são proporções de duas quantidades com as mesmas dimensões. Em outras palavras, o sinal de % pode ser lido como "centenários", pois 1% = 1/100.

Tirar uma derivada em relação a uma quantidade divide a dimensão pela dimensão da variável que é diferenciada em relação a. Por isso:

posição (x) tem a dimensão L (comprimento);
derivado da posição em relação ao tempo (Dx/Não., velocidade) tem dimensão T^{- Sim.}L — comprimento da posição, tempo devido ao gradiente;
o segundo derivado (D²x/Não.² = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = D(Dx/Não.) / Não., aceleração) tem dimensão T^-2L.

Da mesma forma, tomar uma integral adiciona a dimensão da variável que está integrando em relação a, mas no numerador.

força tem a dimensão T^-2LM (mass multiplicado pela aceleração);
a integral da força em relação à distância (S) o objeto viajou ( ${displaystyle textstyle int F ds}$ , trabalho) tem dimensão T^-2L²M.

Em economia, distingue-se entre estoques e fluxos: um estoque tem uma unidade (digamos, widgets ou dólares), enquanto um fluxo é um derivado de um estoque e tem uma unidade na forma de sua unidade dividida por um de tempo (digamos, dólares/ano).

Em alguns contextos, as quantidades dimensionais são expressas como quantidades adimensionais ou porcentagens, omitindo algumas dimensões. Por exemplo, as relações dívida/PIB são geralmente expressas como porcentagens: dívida total pendente (dimensão da moeda) dividida pelo PIB anual (dimensão da moeda) – mas pode-se argumentar que, ao comparar um estoque com um fluxo, o PIB anual deveria têm dimensões de moeda/tempo (dólares/ano, por exemplo) e, portanto, a dívida em relação ao PIB deve ter a unidade ano, o que indica que a dívida em relação ao PIB é o número de anos necessários para um PIB constante pagar a dívida, se todo o PIB for gasto na dívida e a dívida permanecer inalterada.

Homogeneidade dimensional

A regra mais básica da análise dimensional é a da homogeneidade dimensional.

Apenas as quantidades commensuráveis (gerações físicas com a mesma dimensão) podem ser em comparação com, equacionado, adicionadoou subtraído.

No entanto, as dimensões formam um grupo abeliano sob multiplicação, então:

Um pode tomar rácios de incommensurável quantidades (quantidades com diferentes dimensões) e multiplicar ou divisão eles.

Por exemplo, não faz sentido perguntar se 1 hora é mais, igual ou menos que 1 quilómetro, pois estes têm dimensões diferentes, nem acrescentar 1 hora a 1 quilómetro. No entanto, faz sentido perguntar se 1 milha é mais, igual ou menos que 1 quilômetro, sendo a mesma dimensão de quantidade física, embora as unidades sejam diferentes. Por outro lado, se um objeto percorre 100 km em 2 horas, pode-se dividi-los e concluir que a velocidade média do objeto foi de 50 km/h.

A regra implica que em uma expressão fisicamente significativa, apenas quantidades da mesma dimensão podem ser adicionadas, subtraídas ou comparadas. Por exemplo, se m_homem, m_rato e L_homem denotam, respectivamente, a massa de algum homem, a massa de um rato e o comprimento daquele homem, a expressão dimensionalmente homogênea m_homem + m_rato é significativo, mas a expressão heterogênea m_homem + L_homem não tem sentido. No entanto, m_man/L²_man está bem. Assim, a análise dimensional pode ser usada como uma verificação de sanidade de equações físicas: os dois lados de qualquer equação devem ser comensuráveis ou ter as mesmas dimensões.

Mesmo quando duas quantidades físicas têm dimensões idênticas, pode não ter sentido compará-las ou adicioná-las. Por exemplo, embora o torque e a energia compartilhem a dimensão T⁻²L² M, são quantidades físicas fundamentalmente diferentes.

Para comparar, adicionar ou subtrair quantidades com as mesmas dimensões, mas expressas em unidades diferentes, o procedimento padrão é primeiro convertê-las todas na mesma unidade. Por exemplo, para comparar 32 metros com 35 jardas, use 1 jarda = 0,9144 m para converter 35 jardas em 32,004 m.

Um princípio relacionado é que qualquer lei física que descreva com precisão o mundo real deve ser independente das unidades usadas para medir as variáveis físicas. Por exemplo, as leis do movimento de Newton devem ser verdadeiras, quer a distância seja medida em milhas ou quilômetros. Este princípio dá origem à forma que deve assumir um fator de conversão entre uma unidade que mede a mesma dimensão: a multiplicação por uma constante simples. Também garante a equivalência; por exemplo, se dois prédios têm a mesma altura em pés, eles devem ter a mesma altura em metros.

Fator de conversão

Na análise dimensional, uma razão que converte uma unidade de medida em outra sem alterar a quantidade é chamada de fator de conversão. Por exemplo, kPa e bar são unidades de pressão e 100 kPa = 1 bar. As regras da álgebra permitem que ambos os lados de uma equação sejam divididos pela mesma expressão, então isso é equivalente a 100 kPa / 1 bar = 1. Como qualquer quantidade pode ser multiplicada por 1 sem alterá-la, a expressão "100 kPa / 1 bar" pode ser usado para converter de bar para kPa multiplicando-o pela quantidade a ser convertida, incluindo a unidade. Por exemplo, 5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa porque 5 × 100 / 1 = 500 e bar/ bar cancela, então 5 bar = 500 kPa.

Aplicativos

A análise dimensional é usada com mais frequência em física e química – e na matemática delas – mas também encontra algumas aplicações fora desses campos.

Matemática

Uma simples aplicação da análise dimensional à matemática está na computação da forma do volume de uma bola n (a bola sólida em n dimensões), ou a área de sua superfície, a n-esfera: ser um n- figura dimensional, o volume escala como $x^{n},$ enquanto a área de superfície, sendo $(n-1)$ -dimensional, escalas como $x^{n-1}.$ Assim o volume do n- A bola em termos de raio é $C_{n}r^{n},$ para alguma constante $C_{n}.$ Determinar a constante leva matemática mais envolvida, mas a forma pode ser deduzida e verificada apenas pela análise dimensional.

Finanças, economia e contabilidade

Em finanças, economia e contabilidade, a análise dimensional é mais comumente referida em termos da distinção entre estoques e fluxos. Mais geralmente, a análise dimensional é usada na interpretação de vários índices financeiros, econômicos e contábeis.

Por exemplo, a relação P/E tem dimensões de tempo (unidade: ano), e pode ser interpretada como "anos de ganhos para ganhar o preço pago".
Na economia, o rácio dívida/PIB também tem o ano unitário (a dívida tem uma unidade de moeda, o PIB tem uma unidade de moeda/ano).
A velocidade do dinheiro tem uma unidade de 1/ano (o fornecimento de dinheiro/PIB tem uma unidade de moeda/ano em moeda): com que frequência uma unidade de moeda circula por ano.
As taxas anuais de juros continuamente agravadas e as taxas de juro simples são frequentemente expressas como uma porcentagem (quantidade adimensional) enquanto o tempo é expresso como uma quantidade adimensional que consiste no número de anos. No entanto, se o tempo incluir o ano como unidade de medida, a dimensão da taxa é de 1/ano. Claro, não há nada especial (à parte da convenção habitual) sobre o uso do ano como uma unidade de tempo: qualquer outra unidade de tempo pode ser usada. Além disso, se a taxa e o tempo incluirem suas unidades de medida, o uso de diferentes unidades para cada um não é problemático. Em contraste, a taxa e o tempo precisam se referir a um período comum se forem dimensionais. (Nota que as taxas de juro eficazes só podem ser definidas como quantidades dimensionais.)
Na análise financeira, a duração do vínculo pode ser definida como (DV/Relações públicas)V, onde V é o valor de uma ligação (ou carteira), R é a taxa de juros continuamente composta e DV/Relações públicas é um derivado. Do ponto anterior, a dimensão do R é 1/hora. Portanto, a dimensão da duração é o tempo (geralmente expresso em anos) porque Relações públicas está no "denominador" do derivado.

Mecânica dos fluidos

Na mecânica dos fluidos, a análise dimensional é realizada para obter termos pi adimensionais ou grupos. De acordo com os princípios da análise dimensional, qualquer protótipo pode ser descrito por uma série desses termos ou grupos que descrevem o comportamento do sistema. Usando termos pi adequados ou grupos, é possível desenvolver um conjunto semelhante de termos pi para um modelo que tenha as mesmas relações dimensionais. Em outras palavras, os termos pi fornecem um atalho para desenvolver um modelo que representa um determinado protótipo. Grupos adimensionais comuns na mecânica dos fluidos incluem:

Número de Reynolds (Re), geralmente importante em todos os tipos de problemas de fluido: ${displaystyle mathrm {Re} ={frac {rho ,ud}{mu }}.}$
Número de Froude (Fr), fluxo de modelagem com uma superfície livre: ${displaystyle mathrm {Fr} ={frac {u}{sqrt {g,L}}}.}$
Número Euler (Eu), usado em problemas em que a pressão é de interesse: ${displaystyle mathrm {Eu} ={frac {Delta p}{rho u^{2}}}.}$
Número de Mach (Ma), importante em fluxos de alta velocidade onde a velocidade se aproxima ou excede a velocidade local do som: ${displaystyle mathrm {Ma} ={frac {u}{c}},}$ Onde? $c$ é a velocidade local do som.

História

As origens da análise dimensional foram contestadas pelos historiadores.

A primeira aplicação escrita da análise dimensional foi creditada a um artigo de François Daviet na Academia de Ciências de Turim. Daviet teve o mestre Lagrange como professor. Suas obras fundamentais estão contidas nas atas da Academia datadas de 1799.

Isto levou à conclusão de que as leis significativas devem ser equações homogêneas em suas várias unidades de medida, um resultado que acabou por ser posteriormente formalizado no teorema π de Buckingham. Simeon Poisson também tratou do mesmo problema da lei do paralelogramo por Daviet, em seu tratado de 1811 e 1833 (vol I, p. 39). Na segunda edição de 1833, Poisson introduz explicitamente o termo dimensão em vez da homogeneidade de Daviet.

Em 1822, o importante cientista napoleônico Joseph Fourier fez as primeiras contribuições importantes creditadas com base na ideia de que leis físicas como F = ma deveriam ser independentes das unidades empregadas para medir as variáveis físicas.

James Clerk Maxwell desempenhou um papel importante ao estabelecer o uso moderno da análise dimensional, distinguindo massa, comprimento e tempo como unidades fundamentais, enquanto se referia a outras unidades como derivadas. Embora Maxwell tenha definido comprimento, tempo e massa como "as três unidades fundamentais", ele também notou que a massa gravitacional pode ser derivada de comprimento e tempo assumindo uma forma da lei de Newton da gravitação universal em qual a constante gravitacional G é tomada como unidade, definindo assim M = T⁻²L³. Ao assumir uma forma da lei de Coulomb na qual a constante de Coulomb k_e é tomada como unidade, Maxwell então determinou que as dimensões de uma unidade eletrostática de carga eram Q = T⁻¹L^3/2M^1/2, que, após substituindo sua equação M = T⁻²L³ por massa, resulta em uma carga com as mesmas dimensões que a massa, viz. Q = T⁻²L³.

A análise dimensional também é usada para derivar relações entre as quantidades físicas que estão envolvidas em um determinado fenômeno que se deseja entender e caracterizar. Foi usado pela primeira vez dessa forma em 1872 por Lord Rayleigh, que estava tentando entender por que o céu é azul. Rayleigh publicou pela primeira vez a técnica em seu livro de 1877 The Theory of Sound.

O significado original da palavra dimensão, na Theorie de la Chaleur de Fourier, era o valor numérico dos expoentes das unidades de base. Por exemplo, a aceleração foi considerada como tendo a dimensão 1 em relação à unidade de comprimento e a dimensão -2 em relação à unidade de tempo. Isso foi ligeiramente alterado por Maxwell, que disse que as dimensões da aceleração são T⁻²L, em vez de apenas os expoentes.

Exemplos

Um exemplo simples: período de um oscilador harmônico

Qual é o período de oscilação $T$ de uma massa $m$ anexado a uma mola linear ideal com constante de mola $k$ suspenso na gravidade da força $g$ ? Esse período é a solução para $T$ de alguma equação sem dimensão nas variáveis $T$ , $m$ , $k$ e $g$ . As quatro quantidades têm as seguintes dimensões: $T$ [T] $m$ [M] $k$ [M/T²E $g$ [L/T²]. Destes podemos formar apenas um produto sem dimensão de poderes de nossas variáveis escolhidas, $G_{1}$ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = $T^{2}k/m$ Não.² · M/T² / M = 1e pondo $G_{1}=C$ para alguma constante sem dimensão $C$ dá a equação sem dimensão procurada. O produto sem dimensão de poderes de variáveis é por vezes referido como um grupo sem dimensão de variáveis; aqui o termo "grupo" significa "coleção" em vez de grupo matemático. Eles são frequentemente chamados de números sem dimensão também.

Note que a variável $g$ não ocorre no grupo. É fácil ver que é impossível formar um produto sem dimensão de poderes que combina $g$ com $k$ , $m$ e $T$ , porque $g$ é a única quantidade que envolve a dimensão L. Isto implica que neste problema $g$ é irrelevante. A análise dimensional pode, por vezes, produzir fortes declarações sobre o irrelevância de algumas quantidades em um problema, ou a necessidade de parâmetros adicionais. Se nós escolhemos variáveis suficientes para descrever corretamente o problema, então a partir deste argumento podemos concluir que o período da massa na primavera é independente de $g$ : é o mesmo na terra ou na lua. A equação que demonstra a existência de um produto de poderes para o nosso problema pode ser escrita de forma totalmente equivalente: ${displaystyle T=kappa {sqrt {tfrac {m}{k}}}}$ , para alguma constante sem dimensão $κ$ (igual) ${sqrt {C}}$ da equação sem dimensão original).

Ao enfrentar um caso em que a análise dimensional rejeita uma variável ( $g$ , aqui) que intuitivamente se espera pertencer a um descrição física da situação, outra possibilidade é que a variável rejeitada seja de fato relevante, mas que alguma outra variável relevante tenha sido omitida, o que pode se combinar com a variável rejeitada para formar uma quantidade adimensional. Porém, não é esse o caso aqui.

Quando a análise dimensional produz apenas um grupo adimensional, como aqui, não há funções desconhecidas e a solução é considerada "completa" – embora ainda possa envolver constantes adimensionais desconhecidas, como $κ$ .

Um exemplo mais complexo: energia de um fio vibrante

Considere o caso de um fio vibrante de comprimento ℓ (L) vibrando com uma amplitude A (L). O fio tem uma densidade linear ρ (M/L) e está sob tensão s (LM/T²), e queremos saber a energia E (L²M/T²) no fio. Sejam π₁ e π₂ dois produtos adimensionais de potências das variáveis escolhidas, dados por

{displaystyle {begin{aligned}pi _{1}&={frac {E}{As}}\pi _{2}&={frac {ell }{A}}.end{aligned}}}

A densidade linear do fio não está envolvida. Os dois grupos encontrados podem ser combinados em uma forma equivalente como uma equação

{displaystyle Fleft({frac {E}{As}},{frac {ell }{A}}right)=0,}

onde F é alguma função desconhecida, ou, equivalente a

{displaystyle E=Asfleft({frac {ell }{A}}right),}

onde f é alguma outra função desconhecida. Aqui a função desconhecida implica que nossa solução agora está incompleta, mas a análise dimensional nos deu algo que pode não ter sido óbvio: a energia é proporcional à primeira potência da tensão. Salvo uma análise analítica mais aprofundada, podemos proceder a experimentos para descobrir a forma da função desconhecida f. Mas nossos experimentos são mais simples do que na ausência de análise dimensional. Faríamos nenhum para verificar se a energia é proporcional à tensão. Ou talvez possamos supor que a energia é proporcional a ℓ, e então inferir que E = ℓs. O poder da análise dimensional como uma ajuda para experimentar e formar hipóteses torna-se evidente.

O poder da análise dimensional torna-se realmente aparente quando ela é aplicada a situações, ao contrário das apresentadas acima, que são mais complicadas, o conjunto de variáveis envolvidas não é aparente e as equações subjacentes irremediavelmente complexas. Considere, por exemplo, uma pequena pedra no leito de um rio. Se o rio fluir rápido o suficiente, ele realmente levantará a pedra e fará com que ela flua junto com a água. Em que velocidade crítica isso ocorrerá? Classificar as variáveis adivinhadas não é tão fácil quanto antes. Mas a análise dimensional pode ser uma ajuda poderosa na compreensão de problemas como esse e geralmente é a primeira ferramenta a ser aplicada a problemas complexos em que as equações e restrições subjacentes são mal compreendidas. Nesses casos, a resposta pode depender de um número adimensional como o número de Reynolds, que pode ser interpretado por análise dimensional.

Um terceiro exemplo: demanda versus capacidade para um disco rotativo

Análise dimensional e experimentos numéricos para um disco rotativo

Considere o caso de um disco fino, sólido e giratório de lados paralelos de espessura axial t (L) e raio R (L). O disco tem uma densidade ρ (M/L³), gira a uma velocidade angular ω (T⁻¹) e isso leva a uma tensão S (T⁻²L⁻¹M) no material. Existe uma solução elástica linear teórica, dada por Lame, para este problema quando o disco é fino em relação ao seu raio, as faces do disco são livres para se mover axialmente, e as relações constitutivas de tensão plana podem ser consideradas válidas. À medida que o disco se torna mais espesso em relação ao raio, a solução de tensão plana se decompõe. Se o disco for restringido axialmente em suas faces livres, ocorrerá um estado de deformação plana. No entanto, se este não for o caso, o estado de tensão só pode ser determinado através da consideração da elasticidade tridimensional e não há solução teórica conhecida para este caso. Um engenheiro pode, portanto, estar interessado em estabelecer uma relação entre as cinco variáveis. A análise dimensional para este caso leva aos seguintes (5 − 3 = 2) grupos não dimensionais:

demanda/capacidade = ρ²ω²/S

relação de espessura/radius ou aspecto = )/R

Através do uso de experimentos numéricos usando, por exemplo, o método dos elementos finitos, a natureza da relação entre os dois grupos adimensionais pode ser obtida conforme mostrado na figura. Como este problema envolve apenas dois grupos adimensionais, a imagem completa é fornecida em um único gráfico e isso pode ser usado como um gráfico de projeto/avaliação para discos rotativos

Propriedades

Propriedades matemáticas

As dimensões que podem ser formadas a partir de uma determinada coleção de dimensões físicas básicas, como T, L e M, formam um grupo abeliano: A identidade é escrita como 1; L⁰ = 1, e o inverso de L é 1/L ou L⁻¹. L elevado a qualquer potência inteira p é um membro do grupo, tendo um inverso de L^−p ou 1/L^p. A operação do grupo é a multiplicação, tendo as regras usuais para manipulação de expoentes (Lⁿ × L^m = L^n+m). Fisicamente, 1/L pode ser interpretado como comprimento recíproco e 1/T como tempo recíproco (consulte segundo recíproco).

Um grupo abeliano é equivalente a um módulo sobre os inteiros, com o símbolo dimensional TⁱL^jM^k correspondente à tupla (i, j, k). Quando quantidades físicas medidas (seja elas de dimensões iguais ou de dimensões diferentes) são multiplicadas ou divididas umas pelas outras, suas unidades dimensionais são igualmente multiplicadas ou divididas; isso corresponde à adição ou subtração no módulo. Quando quantidades mensuráveis são elevadas a uma potência inteira, o mesmo é feito com os símbolos dimensionais associados a essas quantidades; isso corresponde à multiplicação escalar no módulo.

Uma base para tal módulo de símbolos dimensionais é chamada de conjunto de quantidades de base, e todos os outros vetores são chamados de unidades derivadas. Como em qualquer módulo, pode-se escolher diferentes bases, o que resulta em diferentes sistemas de unidades (por exemplo, escolher se a unidade de carga é derivada da unidade de corrente ou vice-versa).

A identidade do grupo, a dimensão das quantidades sem dimensão, corresponde à origem deste módulo, $(0,0,0)$ .

Em certos casos, pode-se definir dimensões fracionárias, especificamente através da definição formal de poderes fracionários de espaços vetoriais unidimensionais, como ${displaystyle V^{L^{1/2}}}$ . No entanto, não é possível tomar poderes fracionários arbitrários de unidades, devido a obstruções teóricos da representação.

Pode-se trabalhar com espaços vetoriais com dimensões dadas sem precisar usar unidades (correspondente para coordenar sistemas dos espaços vetoriais). Por exemplo, dado dimensões M e L, um tem os espaços vetoriais ${displaystyle V^{M}}$ e ${displaystyle V^{L}}$ , e pode definir ${displaystyle V^{ML}:=V^{M}otimes V^{L}}$ como o produto tensor. Da mesma forma, o espaço dual pode ser interpretado como tendo dimensões "negativas". Isso corresponde ao fato de que sob o emparelhamento natural entre um espaço vetorial e seu dual, as dimensões cancelam, deixando um escalar sem dimensão.

O conjunto de unidades das grandezas físicas envolvidas em um problema corresponde a um conjunto de vetores (ou uma matriz). A nulidade descreve algum número (por exemplo, m) de maneiras pelas quais esses vetores podem ser combinados para produzir um vetor zero. Estes correspondem a produzir (a partir das medições) um número de quantidades adimensionais, {π₁,..., π_m}. (Na verdade, essas formas abrangem completamente o subespaço nulo de outro espaço diferente, de potências das medidas.) Todas as formas possíveis de multiplicar (e exponenciar) as quantidades medidas para produzir algo com a mesma unidade de alguma quantidade derivada X pode ser expresso na forma geral

X=prod _{i=1}^{m}(pi _{i})^{k_{i}},.

Consequentemente, toda equação proporcional possível para a física do sistema pode ser reescrita na forma

f(pi _{1},pi _{2},...,pi _{m})=0,.

Conhecer essa restrição pode ser uma ferramenta poderosa para obter novos insights sobre o sistema.

Mecânica

A dimensão das quantidades físicas de interesse em mecânica pode ser expressa em termos de dimensões de base T, L e M – estas formam um espaço vetorial tridimensional. Esta não é a única escolha válida de dimensões básicas, mas é a mais comumente usada. Por exemplo, pode-se escolher força, comprimento e massa como as dimensões básicas (como alguns fizeram), com dimensões associadas F, L, M; isso corresponde a uma base diferente, e pode-se converter entre essas representações por uma mudança de base. A escolha do conjunto básico de dimensões é, portanto, uma convenção, com o benefício de maior utilidade e familiaridade. A escolha das dimensões de base não é totalmente arbitrária, porque elas devem formar uma base: elas devem abranger o espaço e ser linearmente independentes.

Por exemplo, F, L, M formam um conjunto de dimensões fundamentais porque formam uma base que é equivalente a T, L, M: o primeiro pode ser expresso como [F = LM/T²], L, M, enquanto o último pode ser expresso como [T = (LM/F)^1/2], L, M.

Por outro lado, comprimento, velocidade e tempo (T, L, V) não formam um conjunto de dimensões base para a mecânica, por dois motivos:

Não há nenhuma maneira de obter massa – ou qualquer coisa derivada dele, como a força – sem introduzir outra dimensão base (assim, eles não fazem abranger o espaço).
A velocidade, expressa em termos de comprimento e tempo (V = L/T), é redundante (o conjunto não é linearmente independente).

Outros campos da física e química

Dependendo do campo da física, pode ser vantajoso escolher um ou outro conjunto estendido de símbolos dimensionais. No eletromagnetismo, por exemplo, pode ser útil usar as dimensões de T, L, M e Q, onde Q representa a dimensão da carga elétrica. Em termodinâmica, o conjunto básico de dimensões é freqüentemente estendido para incluir uma dimensão para temperatura, Θ. Em química, a quantidade de substância (o número de moléculas dividido pela constante de Avogadro, ≈ 6,02×10²³ mol⁻¹) também é definido como um dimensão base, N. Na interação de plasma relativístico com pulsos de laser fortes, um parâmetro de similaridade relativística adimensional, conectado com as propriedades de simetria da equação de Vlasov sem colisão, é construído a partir das densidades de plasma, elétron e crítica, além do potencial do vetor eletromagnético. A escolha das dimensões ou mesmo do número de dimensões a serem usadas em diferentes campos da física é até certo ponto arbitrária, mas consistência no uso e facilidade de comunicação são características comuns e necessárias.

Polinômios e funções transcendentais

O teorema de Bridgman restringe o tipo de função que pode ser usada para definir uma quantidade física de quantidades gerais (compostas dimensionalmente) a apenas produtos de potências das quantidades, a menos que algumas das quantidades independentes sejam combinadas algebricamente para produzir grupos adimensionais, cujas as funções são agrupadas no fator de multiplicação numérico adimensional. Isso exclui polinômios de mais de um termo ou funções transcendentais que não têm essa forma.

Argumentos escalares para funções transcendentais, como funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas, ou para polinômios não homogêneos, devem ser quantidades adimensionais. (Nota: este requisito é um pouco relaxado na análise orientacional de Siano descrita abaixo, na qual o quadrado de certas quantidades dimensionadas são adimensionais.)

Embora a maioria das identidades matemáticas sobre números adimensionais se traduzam de maneira direta em quantidades dimensionais, deve-se tomar cuidado com logaritmos de razões: a identidade log(a/b) = log a − log b, onde o logaritmo é obtido em qualquer base, vale para números adimensionais a e b, mas não vale se a e b são dimensionais, porque neste caso o lado esquerdo é bem definido, mas o lado direito não é.

Da mesma forma, enquanto se pode avaliar monômios (xⁿ) de quantidades dimensionais, não se pode avaliar polinômios de grau misto com coeficientes adimensionais em quantidades dimensionais: para x², a expressão (3 m)² = 9 m² faz sentido (como uma área), enquanto para x² + x, a expressão (3 m)² + 3 m = 9 m² + 3 m não faz sentido.

No entanto, polinômios de grau misto podem fazer sentido se os coeficientes forem quantidades físicas adequadamente escolhidas que não sejam adimensionais. Por exemplo,

{displaystyle {tfrac {1}{2}}cdot (mathrm {-9.8~m/s^{2}})cdot t^{2}+(mathrm {500~m/s})cdot t.}

Esta é a altura para a qual um objeto sobe no tempo t se a aceleração da gravidade for 9,8 metros por segundo por segundo e a inicial para cima a velocidade é de 500 metros por segundo. Não é necessário que t seja em segundos. Por exemplo, suponha que t = 0,01 minutos. Então o primeiro termo seria

{displaystyle {begin{aligned}&{tfrac {1}{2}}cdot (mathrm {-9.8~m/s^{2}})cdot (mathrm {0.01~min})^{2}\[10pt]={}&{tfrac {1}{2}}cdot -9.8cdot left(0.01^{2}right)(mathrm {min/s})^{2}cdot mathrm {m} \[10pt]={}&{tfrac {1}{2}}cdot -9.8cdot left(0.01^{2}right)cdot 60^{2}cdot mathrm {m}.end{aligned}}}

Incorporando unidades

O valor de uma quantidade física dimensional Z é escrito como o produto de uma unidade [Z] dentro da dimensão e um fator numérico adimensional, n.

Z=ntimes [Z]=n[Z]

Quando quantidades de dimensões semelhantes são adicionadas, subtraídas ou comparadas, é conveniente expressá-las na mesma unidade para que os valores numéricos dessas quantidades possam ser adicionados ou subtraídos diretamente. Mas, em conceito, não há problema em somar quantidades de mesma dimensão expressas em unidades diferentes. Por exemplo, 1 metro adicionado a 1 pé é um comprimento, mas não se pode derivar esse comprimento simplesmente adicionando 1 e 1. Um fator de conversão, que é uma razão de quantidades de dimensões semelhantes e é igual à unidade adimensional, é necessário:

{displaystyle 1 {mbox{ft}}=0.3048 {text{m}} }

é idêntico

{displaystyle 1={frac {0.3048 {text{m}}}{1 {text{ft}}}}. }

O factor ${displaystyle 0.3048 {frac {text{m}}{mbox{ft}}}}$ é idêntico ao sem dimensão 1, então multiplicando-se por este fator de conversão nada muda. Então, ao adicionar duas quantidades de dimensão semelhante, mas expressas em diferentes unidades, o fator de conversão apropriado, que é essencialmente o dimensionless 1, é usado para converter as quantidades para a mesma unidade para que seus valores numéricos possam ser adicionados ou subtraídos.

Apenas dessa maneira é significativo falar em adicionar quantidades de dimensões semelhantes de unidades diferentes.

Posição x deslocamento

Algumas discussões sobre análise dimensional descrevem implicitamente todas as quantidades como vetores matemáticos. (Na matemática, escalares são considerados um caso especial de vetores; vetores podem ser adicionados ou subtraídos de outros vetores e, inter alia, multiplicados ou divididos por escalares. Se um vetor for usado para definir uma posição, isso pressupõe um ponto implícito de referência: uma origem. Embora isso seja útil e muitas vezes perfeitamente adequado, permitindo que muitos erros importantes sejam detectados, pode não modelar certos aspectos da física. Uma abordagem mais rigorosa requer a distinção entre posição e deslocamento (ou momento no tempo versus duração, ou temperatura absoluta versus mudança de temperatura).

Considere os pontos em uma linha, cada um com uma posição em relação a uma determinada origem e as distâncias entre eles. Posições e deslocamentos têm unidades de comprimento, mas seus significados não são intercambiáveis:

adicionar dois deslocamentos deve produzir um novo deslocamento (passando dez ritmos, então vinte ritmos lhe dá trinta passos para frente),
adicionar um deslocamento para uma posição deve render uma nova posição (andar um bloco na rua de uma interseção leva você para a próxima interseção),
subtrair duas posições deve ceder um deslocamento,
mas um pode não adicionar duas posições.

Isso ilustra a distinção sutil entre quantidades afins (aquelas modeladas por um espaço afim, como posição) e quantidades vetoriais (aquelas modeladas por um espaço vetorial, como deslocamento).

As quantidades vetoriais podem ser adicionadas uma à outra, produzindo uma nova quantidade vetorial, e uma quantidade vetorial pode ser adicionada a uma quantidade adequada de afine (um espaço vetorial actos um espaço affine), produzindo uma nova quantidade de affine.
As quantidades de Affine não podem ser adicionadas, mas podem ser subtraídas, produzindo relativo quantidades que são vectores, e estas diferenças relativas pode então ser adicionado um ao outro ou a uma quantidade affine.

Propriamente então, as posições têm dimensão de comprimento afim, enquanto os deslocamentos têm dimensão de comprimento vetorial. Para atribuir um número a uma unidade afim, deve-se escolher não apenas uma unidade de medida, mas também um ponto de referência, enquanto para atribuir um número a uma unidade vetorial apenas requer uma unidade de medida.

Assim, algumas quantidades físicas são melhor modeladas por quantidades vetoriais, enquanto outras tendem a exigir representação afim, e a distinção é refletida em sua análise dimensional.

Esta distinção é particularmente importante no caso da temperatura, para a qual o valor numérico do zero absoluto não é a origem 0 em algumas escalas. Para o zero absoluto,

-273.15 °C, 0 K = 0 °R, −459.67 °F,

onde o símbolo ≘ significa corresponde a, pois embora esses valores nas respectivas escalas de temperatura correspondam, eles representam quantidades distintas da mesma forma que as distâncias de pontos iniciais distintos ao mesmo ponto final são quantidades distintas e, em geral, não podem ser igualadas.

Para diferenças de temperatura,

1 K = 1 °C ≠ 1 °F = 1 °R.

(Aqui °R refere-se à escala Rankine, não à escala Réaumur). A conversão de unidades para diferenças de temperatura é simplesmente uma questão de multiplicar por, por exemplo, 1 °F / 1 K (embora a proporção não seja um valor constante). Mas como algumas dessas escalas têm origens que não correspondem ao zero absoluto, a conversão de uma escala de temperatura para outra requer que isso seja considerado. Como resultado, a análise dimensional simples pode levar a erros se for ambíguo se 1 K significa a temperatura absoluta igual a -272,15 °C ou a diferença de temperatura igual a 1 °C.

Orientação e estrutura de referência

Semelhante à questão de um ponto de referência é a questão da orientação: um deslocamento em 2 ou 3 dimensões não é apenas um comprimento, mas é um comprimento junto com uma direção. (Essa questão não surge em 1 dimensão, ou melhor, equivale à distinção entre positivo e negativo.) Assim, para comparar ou combinar quantidades bidimensionais em um espaço multidimensional, é preciso também uma orientação: elas precisam ser comparadas a um quadro de referência.

Isso leva às extensões discutidas abaixo, ou seja, as dimensões direcionadas de Huntley e a análise orientacional de Siano.

Extensões

Extensões de Huntley

Huntley apontou que uma análise dimensional pode se tornar mais poderosa, descobrindo novas dimensões independentes nas quantidades em consideração, aumentando assim a posição $m$ da matriz dimensional.

Ele introduziu duas abordagens:

As magnitudes dos componentes de um vetor devem ser consideradas dimensionalmente independentes. Por exemplo, em vez de uma dimensão de comprimento não diferenciada L, podemos ter L_x representar a dimensão na direção x, e assim por diante. Este requisito resulta, em última análise, da exigência de que cada componente de uma equação fisicamente significativa (escalar, vetor ou tensor) deve ser dimensionalmente consistente.
A massa como medida da quantidade de matéria deve ser considerada dimensionalmente independente da massa como medida de inércia.

Dimensões direcionadas

Como exemplo da utilidade da primeira abordagem, suponhamos que desejamos calcular a distância que uma bala de canhão viaja quando disparada com um componente de velocidade vertical ${displaystyle V_{mathrm {y} }}$ e um componente de velocidade horizontal ${displaystyle V_{mathrm {x} }}$ , assumindo que é disparado em uma superfície plana. Assumindo que nenhum uso de comprimentos direcionados, as quantidades de interesse são então $R$ , a distância percorrida, com dimensão L, ${displaystyle V_{mathrm {x} }}$ , ${displaystyle V_{mathrm {y} }}$ , ambos dimensionados como T^{- Sim.}L, e $g$ a aceleração descendente da gravidade, com dimensão T^-2L.

Com essas quatro quantidades, podemos concluir que a equação para o intervalo $R$ pode ser escrita:

Rpropto V_{text{x}}^{a},V_{text{y}}^{b},g^{c}.,

Ou dimensionalmente

{displaystyle {mathsf {L}}=left({frac {mathsf {L}}{mathsf {T}}}right)^{a+b}left({frac {mathsf {L}}{{mathsf {T}}^{2}}}right)^{c},}

de que podemos deduzir ${displaystyle a+b+c=1}$ e ${displaystyle a+b+2c=0}$ , que deixa um expoente indeterminado. Isso deve ser esperado, pois temos duas dimensões fundamentais T e L, e quatro parâmetros, com uma equação.

No entanto, se usarmos dimensões de comprimento direcionadas, então ${displaystyle V_{mathrm {x} }}$ será dimensionado como T^{- Sim.}L_$x$, ${displaystyle V_{mathrm {y} }}$ T^{- Sim.}L_$Sim.$, $R$ como L_$x$ e $g$ T^-2L_$Sim.$. A equação dimensional torna-se:

{displaystyle {mathsf {L}}_{mathrm {x} }=left({frac {{mathsf {L}}_{mathrm {x} }}{mathsf {T}}}right)^{a}left({frac {{mathsf {L}}_{mathrm {y} }}{mathsf {T}}}right)^{b}left({frac {{mathsf {L}}_{mathrm {y} }}{{mathsf {T}}^{2}}}right)^{c}}

e nós podemos resolver completamente como $a=1$ , $b=1$ e ${displaystyle c=-1}$ . O aumento do poder dedutivo ganho pelo uso de dimensões de comprimento direcionadas é evidente.

No entanto, o conceito de Huntley de dimensões de comprimento direcionado tem algumas limitações sérias:

Não lida bem com equações vetoriais envolvendo o produto cruzado,
nem lida bem com o uso de ângulos como variáveis físicas.

Também é bastante difícil atribuir o L, L_$x$, L_$y$, L_$z$, símbolos às variáveis físicas envolvidas no problema de interesse. Ele invoca um procedimento que envolve a "simetria" do problema físico. Isso geralmente é muito difícil de aplicar de forma confiável: não está claro em quais partes do problema a noção de "simetria" está sendo invocado. É a simetria do corpo físico sobre o qual as forças estão agindo, ou aos pontos, linhas ou áreas nas quais as forças estão sendo aplicadas? E se mais de um corpo estiver envolvido com diferentes simetrias?

Considere a bolha esférica ligada a um tubo cilíndrico, onde se deseja a vazão de ar em função da diferença de pressão nas duas partes. Quais são as dimensões estendidas de Huntley da viscosidade do ar contido nas partes conectadas? Quais são as dimensões estendidas da pressão das duas partes? Eles são iguais ou diferentes? Essas dificuldades são responsáveis pela aplicação limitada das dimensões de comprimento direcionadas de Huntley para problemas reais.

Quantidade de matéria

Na segunda abordagem de Huntley, ele afirma que às vezes é útil (por exemplo, em mecânica dos fluidos e termodinâmica) distinguir entre massa como uma medida de inércia (massa inercial) e massa como uma medida da quantidade de matéria. Quantidade de matéria é definida por Huntley como uma quantidade (a) proporcional à massa inercial, mas (b) não implicando propriedades inerciais. Nenhuma outra restrição é adicionada à sua definição.

Por exemplo, considere a derivação da Lei de Poiseuille. Queremos encontrar a taxa de fluxo de massa de um fluido viscoso através de um tubo circular. Sem fazer distinções entre massa inercial e massa substancial, podemos escolher como variáveis relevantes:

Símbolo	Variável	Dimensões
${dot {m}}$	taxa de fluxo de massa	T^{- Sim.}M
$p_{text{x}}$	gradiente de pressão ao longo do tubo	T^-2L^-2M
$?$	densidade	L^-3M
$?$	viscosidade de fluido dinâmico	T^{- Sim.}L^{- Sim.}M
$R$	raio do tubo	L

Existem três variáveis fundamentais, então as cinco equações acima produzirão duas variáveis adimensionais independentes:

{displaystyle pi _{1}={frac {dot {m}}{eta r}}}

{displaystyle pi _{2}={frac {p_{mathrm {x} }rho r^{5}}{{dot {m}}^{2}}}}

Se distinguirmos entre massa inercial com dimensão $M_{text{i}}$ e quantidade de matéria com dimensão $M_{{text{m}}}$ , então a taxa de fluxo de massa e a densidade usarão a quantidade de matéria como parâmetro de massa, enquanto o gradiente de pressão e o coeficiente de viscosidade usarão massa inercial. Agora temos quatro parâmetros fundamentais, e uma constante sem dimensão, para que a equação dimensional possa ser escrita:

{displaystyle C={frac {p_{mathrm {x} }rho r^{4}}{eta {dot {m}}}}}

onde só agora $C$ é uma constante indeterminada (encontrada para ser igual a $pi /8$ por métodos fora da análise dimensional). Esta equação pode ser resolvida para a taxa de fluxo de massa para produzir a lei de Poiseuille.

O reconhecimento de Huntley da quantidade de matéria como uma dimensão de quantidade independente é evidentemente bem-sucedido nos problemas em que é aplicável, mas sua definição de quantidade de matéria está aberta à interpretação, pois carece de especificidade além dos dois requisitos (a) e (b) ele postulou para isso. Para uma determinada substância, a quantidade de substância na dimensão SI, com unidade mol, satisfaz os dois requisitos de Huntley como medida de quantidade de matéria e pode ser usada como quantidade de matéria em qualquer problema de análise dimensional em que Huntley& #39;s conceito é aplicável.

Extensão de Siano: análise orientacional

Os ângulos são, por convenção, considerados quantidades adimensionais. Como exemplo, considere novamente o problema do projétil no qual uma massa pontual é lançada da origem $(x, y) = (0, 0)$ a uma velocidade $v$ e ângulo $θ$ acima do eixo x, com a força da gravidade direcionada ao longo do eixo y negativo. Deseja-se encontrar o intervalo $R$ , no qual a massa retorna ao eixo x. A análise convencional produzirá a variável adimensional $π = R g / v 2$ , mas não oferece informações sobre a relação entre $R$ e $θ$ .

Siano sugeriu que as dimensões direcionadas de Huntley fossem substituídas pelo uso de símbolos orientacionais $1 x 1 y 1 z$ para denotar direções vetoriais e um símbolo sem orientação 1₀. Assim, L_$x$ de Huntley torna-se L1_$x$ com L especificando a dimensão do comprimento e $1 x$ especificando a orientação. Siano mostra ainda que os símbolos orientacionais têm uma álgebra própria. Junto com o requisito de que $1 i -1 = 1 i$ , a tabela de multiplicação a seguir para os resultados dos símbolos de orientação:

	${displaystyle mathbf {1_{0}} }$	${displaystyle mathbf {1_{text{x}}} }$	${displaystyle mathbf {1_{text{y}}} }$	${displaystyle mathbf {1_{text{z}}} }$
${displaystyle mathbf {1_{0}} }$	$1_{0}$	${displaystyle 1_{text{x}}}$	${displaystyle 1_{text{y}}}$	${displaystyle 1_{text{z}}}$
${displaystyle mathbf {1_{text{x}}} }$	${displaystyle 1_{text{x}}}$	$1_{0}$	${displaystyle 1_{text{z}}}$	${displaystyle 1_{text{y}}}$
${displaystyle mathbf {1_{text{y}}} }$	${displaystyle 1_{text{y}}}$	${displaystyle 1_{text{z}}}$	$1_{0}$	${displaystyle 1_{text{x}}}$
${displaystyle mathbf {1_{text{z}}} }$	${displaystyle 1_{text{z}}}$	${displaystyle 1_{text{y}}}$	${displaystyle 1_{text{x}}}$	$1_{0}$

Note que os símbolos orientais formam um grupo (o Klein four-group ou "Viergruppe"). Neste sistema, os escalares sempre têm a mesma orientação que o elemento de identidade, independente da "simetria do problema". Quantidades físicas que são vetores têm a orientação esperada: uma força ou uma velocidade na direção z tem a orientação de $1 zangão.$ . Para ângulos, considere um ângulo $θ$ que está no avião z. Forme um triângulo direito no z-plane com $θ$ ser um dos ângulos agudos. O lado do triângulo direito adjacente ao ângulo, em seguida, tem uma orientação $1 x$ e o lado oposto tem uma orientação $1 Sim.$ . Desde (usando) $~$ para indicar equivalência direcional) $Tanque(θ) = θ - Sim. Sim. /1 x$ concluímos que um ângulo no xy-plane deve ter uma orientação $1 Sim. /1 x = 1 zangão.$ , que não é irracional. O raciocínio analógico força a conclusão de que $pecado(θ)$ tem orientação $1 zangão.$ enquanto $O que é? θ)$ tem orientação 1₀. Estes são diferentes, então se conclui (corretamente), por exemplo, que não há soluções de equações físicas que são da forma $um O que é? θ) + b) pecado(θ)$ , onde $um$ e $b)$ são escalares reais. Note que uma expressão como $sin(theta +pi /2)=cos(theta)$ não é dimensionalmente inconsistente, uma vez que é um caso especial da soma da fórmula de ângulos e deve ser escrito corretamente:

{displaystyle sin left(a,1_{text{z}}+b,1_{text{z}}right)=sin left(a,1_{text{z}})cos(b,1_{text{z}}right)+sin left(b,1_{text{z}})cos(a,1_{text{z}}right),}

que ${displaystyle a=theta }$ e ${displaystyle b=pi /2}$ produção ${displaystyle sin(theta ,1_{text{z}}+[pi /2],1_{text{z}})=1_{text{z}}cos(theta ,1_{text{z}})}$ . Siano distingue entre ângulos geométricos, que têm uma orientação no espaço tridimensional e ângulos de fase associados a oscilações baseadas no tempo, que não têm orientação espacial, ou seja, a orientação de um ângulo de fase é $1_{0}$ .

A atribuição de símbolos de orientação a quantidades físicas e a exigência de que as equações físicas sejam homogêneas em termos de orientação podem, na verdade, ser usadas de maneira semelhante à análise dimensional para obter mais informações sobre soluções aceitáveis de problemas físicos. Nesta abordagem, resolve-se a equação dimensional tanto quanto possível. Se a menor potência de uma variável física for fracionária, ambos os lados da solução são elevados a uma potência tal que todas as potências sejam integrais, colocando-a na forma normal. A equação de orientação é então resolvida para fornecer uma condição mais restritiva sobre as potências desconhecidas dos símbolos de orientação. A solução é então mais completa do que aquela que a análise dimensional sozinha dá. Muitas vezes, a informação adicionada é que uma das potências de uma determinada variável é par ou ímpar.

Como exemplo, para o problema do projétil, usando símbolos de orientação, $θ$ , estando no plano xy terá dimensão $1 z$ e o alcance do projétil $R$ será do formulário:

{displaystyle R=g^{a},v^{b},theta ^{c}{text{ which means }}{mathsf {L}},1_{mathrm {x} }sim left({frac {{mathsf {L}},1_{text{y}}}{{mathsf {T}}^{2}}}right)^{a}left({frac {mathsf {L}}{mathsf {T}}}right)^{b},1_{mathsf {z}}^{c}.,}

A homogeneidade dimensional vai render-se corretamente $um = -1$ e $b) = 2$ , e homogeneidade direcional exige que ${displaystyle 1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1}$ . Em outras palavras, que $c$ Deve ser um inteiro estranho. Na verdade, a função necessária de theta será $pecado(θ) θ)$ que é uma série que consiste em poderes estranhos de $θ$ .

Vê-se que a série de Taylor de $sin(θ)$ e $cos(θ)$ são orientacionalmente homogêneos usando a tabela de multiplicação acima, enquanto expressões como $cos(θ) + sin(θ)$ e $exp(θ)$ não são, e são (corretamente) considerados não físicos.

A análise orientacional de Siano é compatível com a concepção convencional de quantidades angulares como sendo adimensionais, e dentro da análise orientacional, o radiano ainda pode ser considerado uma unidade adimensional. A análise orientacional de uma equação quantitativa é realizada separadamente da análise dimensional comum, fornecendo informações que complementam a análise dimensional.

Conceitos adimensionais

Constantes

As constantes sem dimensão que surgem nos resultados obtidos, como o C no problema da Lei de Poiseuille e o $kappa$ nos problemas de primavera discutidos acima, vêm de uma análise mais detalhada da física subjacente e muitas vezes surgem da integração de alguma equação diferencial. A própria análise dimensional tem pouco a dizer sobre essas constantes, mas é útil saber que muitas vezes têm uma magnitude de unidade de ordem. Esta observação pode permitir às vezes fazer cálculos "de volta do envelope" sobre o fenômeno do interesse, e, portanto, ser capaz de projetar experimentos de forma mais eficiente para medi-lo, ou julgar se é importante, etc.

Formalismos

Paradoxalmente, a análise dimensional pode ser uma ferramenta útil, mesmo que todos os parâmetros na teoria subjacente sejam dimensionados, por exemplo, modelos de treliça como o modelo de Ising podem ser usados para estudar transições de fase e fenômenos críticos. Tais modelos podem ser formulados de uma forma puramente dimensionada. À medida que abordamos o ponto crítico cada vez mais próximo, a distância sobre a qual as variáveis no modelo de treliça estão correlacionadas (o chamado comprimento de correlação, $xi$ ) torna-se maior e maior. Agora, o comprimento de correlação é a escala de comprimento relevante relacionada a fenômenos críticos, então pode-se, por exemplo, supor em "bases dimensionais" que a parte não analítica da energia livre por local de treliça deve ser $sim 1/xi ^{d}$ Onde? $d$ é a dimensão do treliça.

Tem sido argumentado por alguns físicos, por exemplo, Michael J. Duff, que as leis da física são inerentemente adimensionais. O fato de termos atribuído dimensões incompatíveis a Comprimento, Tempo e Massa é, segundo esse ponto de vista, apenas uma questão de convenção, corroborada pelo fato de que antes do advento da física moderna não havia como relacionar massa, comprimento e tempo entre si. As três constantes dimensionais independentes: c, ħ e G, nas equações fundamentais da física, devem então ser vistas como meros fatores de conversão para converter Massa, Tempo e Comprimento entre si.

Assim como no caso de propriedades críticas de modelos de treliça, pode-se recuperar os resultados da análise dimensional no limite de dimensionamento adequado; por exemplo, a análise dimensional em mecânica pode ser derivada pela reinserção das constantes ?, ce G (mas podemos agora considerá-los sem dimensão) e exigindo que uma relação não-singular entre quantidades exista no limite $crightarrow infty$ , $hbar rightarrow 0$ e ${displaystyle Grightarrow 0}$ . Em problemas envolvendo um campo gravitacional o último limite deve ser tomado de tal forma que o campo permanece finito.

Equivalências dimensionais

A seguir estão as tabelas de expressões comumente encontradas na física, relacionadas às dimensões de energia, momento e força.

Unidades SI

Energia, E T^-2L²M	Expressão	Nomenclatura
Mecânica	$Fd$	F = força, D = distância
	$S/tequiv Pt$	S = ação, ) - Tempo, P =
	$mv^{2}equiv pvequiv p^{2}/m$	m = massa, v - velocidade, p = momentum
	$Iomega ^{2}equiv Lomega equiv L^{2}/I$	L = momentum angular, Eu... = momento de inércia, ω = velocidade angular
Gases ideais	${displaystyle pVequiv NT}$	p = pressão, Volume, T = temperatura N = quantidade de substância
Ondas	${displaystyle AItequiv ASt}$	A = área de frente de onda, Eu... = intensidade de onda, ) - Tempo, S = Vetor Poynting
Eletromagnética	$qphi$	q = carga elétrica, φ = potencial elétrico (para alterações esta é a tensão)
	$varepsilon E^{2}Vequiv B^{2}V/mu$	E = campo elétrico, B = campo magnético, ε = permissão, μ = permeabilidade, V = 3d volume
	${displaystyle pEequiv mBequiv IAB}$	p = momento dipolo elétrico, m = momento magnético, A = área (limitada por um loop atual), Eu... = corrente elétrica em loop

Momentum, p T^{- Sim.}LM	Expressão	Nomenclatura
Mecânica	$mvequiv Ft$	m = massa, v - velocidade, F = força, ) = tempo
Mecânica	$S/requiv L/r$	S = ação, L = momentum angular, R = deslocamento
Térmica	${displaystyle m{sqrt {leftlangle v^{2}rightrangle }}}$	${displaystyle {sqrt {leftlangle v^{2}rightrangle }}}$ = velocidade quadrada média da raiz, m = massa (de uma molécula)
Ondas	$rho Vv$	? = densidade, V = volume, v = velocidade de fase
Eletromagnética	$qA$	A = potencial vetor magnético

Força, F T^-2LM	Expressão	Nomenclatura
Mecânica	$maequiv p/t$	m = massa, um = aceleração
Térmica	$Tdelta S/delta r$	S = entropia, T = temperatura, R = deslocamento (ver força entropic)
Eletromagnética	$Eqequiv Bqv$	E = campo elétrico, B = campo magnético, v - velocidade, q = carga

Unidades naturais

Se c = ħ = 1, onde c é a velocidade da luz e ħ é a constante reduzida de Planck, e uma unidade fixa adequada de energia é escolhida, então todas as quantidades de tempo T, comprimento L e massa M pode ser expresso (dimensionalmente) como uma potência de energia E, porque comprimento, massa e tempo podem ser expressos usando velocidade v, ação S e energia E:

{displaystyle t={frac {S}{E}},quad L={frac {Sv}{E}},quad M={frac {E}{v^{2}}}}

embora velocidade e ação sejam adimensionais (v = c = 1 e S = ħ = 1) – então a única quantidade restante com dimensão é a energia. Em termos de potências de dimensões:

{displaystyle {mathsf {E}}^{n}={mathsf {T}}^{p}{mathsf {L}}^{q}{mathsf {M}}^{r}={mathsf {E}}^{-p-q+r}}

Isso é particularmente útil em física de partículas e física de alta energia, caso em que a unidade de energia é o elétron-volt (eV). As verificações e estimativas dimensionais tornam-se muito simples neste sistema.

No entanto, se cargas e correntes elétricas estiverem envolvidas, outra unidade a ser fixada é para carga elétrica, normalmente a carga do elétron e embora outras escolhas sejam possíveis.

Quantidade	p, q, R poderes de energia			n energia de energia
Quantidade	p	q	R	n
Acção, S	- Sim.	2	1	0
Velocidade, v	- Sim.	1	0	0
Missa. M	0	0	1	1
Comprimento, L	0	1	0	- Sim.
Tempo. )	1	0	0	- Sim.
Momentum, p	- Sim.	1	1	1
Energia, E	-2	2	1	1

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